第27章 二次函数（暑假单元自测）新九年级数学新教材沪教版五四制

**基本信息** 沪教版新教材二次函数单元自测卷，覆盖定义、图像性质、平移等全章重难点，结合飞行汽车、交通拥堵等真实情境，梯度设计基础题与综合应用题，适合暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|6/18|二次函数定义、图像开口方向、平移规律|基础概念辨析，如第3题平移考查几何直观| |填空|11/22|参数取值、最值、实际建模|开放题设计，如第11题自编满足条件的函数表达式| |解答|7/60|表达式求解、投篮/喷水池/飞行汽车等实际应用|情境化综合题，如20题飞行汽车路径建模，23题拥堵指数分析，体现数学建模与应用意识|

第27章 二次函数 单元自测卷 【新教材，沪教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空11题，解答7题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 3．将抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的平移变换，利用抛物线平移规律“上加下减，左加右减”即可求解． 【详解】解：将抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为． 4．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 5．已知实数a、b、c满足，，则（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】构造二次函数，利用二次函数与x轴的交点情况判断与的大小关系，再结合已知条件变形推导得到与的大小关系，即可求解． 【详解】当时，，，即， ， 解得，即， 故且； 当时，把、、看作二次函数的系数， ， 当时，，即二次函数图象经过点， 二次函数与轴至少有一个交点， ，即， 由得，将代入得： ，化简得 ， ， 故且； 综上，且． 6．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置以及最值性质，逐项判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 二、填空题（共11小题，每小题2分，共22分） 7．若是二次函数，则_______． 【答案】 【详解】解：根据二次函数的定义可得：二次项系数不为0，且自变量的最高次数为2， 即， 整理，得， ∴， ∴， 解得或， 结合， 可得． 8．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 9．如果抛物线经过点，那么的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出二次函数图象上的点的坐标满足的关系式． 将点代入抛物线解析式，建立关于的方程并求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 化简得， 解得． 故答案为：． 10．已知点和在二次函数图像上，则_____0．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着轴的增大而减小， ∴， ∴， 故答案为： 11．请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点； ②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】二次函数的一般式为，若图象经过原点，将，代入，得，解得，因此，函数表达式可简化为； 二次函数的增减性由开口方向和对称轴决定：当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧随的增大而减小，题目中“时随的增大而增大”，说明抛物线开口向上（即），且对称轴需在或其左侧，对称轴公式为，因此需满足． 【详解】解：设该二次函数表达式为， 由题意，可知该二次函数图象开口向上（即），对称轴（即）， 且，则满足题意．（答案不唯一，符合题意即可） 12．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 【答案】， 【分析】将方程的解等价转化为二次函数中时对应的的值是解题关键，先根据表格数据求出抛物线的对称轴，再利用对称性得到时对应的所有的值即可． 【详解】解：由表格可知，二次函数经过点，，， 点与点纵坐标相等， 抛物线的对称轴为直线， 设点关于对称轴的对称点横坐标为， 则， 解得，即对称点坐标为， 当时，的值为或， 即关于的方程的解为，． 13．图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，建立如图所示的平面直角坐标系，拱桥所在抛物线的解析式是___． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，考查了待定系数法和通过数形结合求出图象上点坐标，由已知得到点、坐标，由待定系数法求函数解析式． 【详解】解：由题意设抛物线解析式为：， 当拱顶离水面时，水面宽， 点，点在抛物线， 代入得：， 解得， 拱桥所在抛物线的解析式为， 故答案为：． 14．若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 15．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 16．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的对称性可知交点B的坐标为，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：的图象经过，对称轴为直线， 交点B的坐标为， 可设表达式为， ， ∴， 二次函数与y轴交点在x轴下方， ， ， 当时，，即时， ， 该二次函数的表达式可以是（答案不唯一）． 17．如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，由题意可知，直线的表达式为，联立方程求得的坐标，进而求得第一个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的表达式为：，联立方程求得的坐标，进而求得第二个正方形的边长和的坐标，即可得到直线的解析式为：，联立方程求得的坐标，即可求得第三个正方形的边长，得出规律，第个正方形的边长是． 【详解】正方形的对角线在轴上 ，和关于轴对称，和关于轴对称，和关于轴对称 到轴和轴的距离相等 直线的表达式为 列方程组： 解得或 根据两点间距离公式： 设的表达式为： 在函数上 解得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 直线的表达式为： 列方程组： 解得或 同理可得： 按此规律类推，第个正方形的边长为，第个正方形的边长是 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题6分）已知抛物线经过点和． (1)求此抛物线的表达式； (2)指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况． 【答案】(1) (2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是本题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可求得． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和 ∴把和代入解析式得， 解得， ∴抛物线的表达式为；..........................................3分 （2）解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大．..........................................6分 19．（本题6分）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米． (1)如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【答案】(1)①；②米 (2)不能投进 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意求得二次函数的表达式是解题的关键． （1）①根据题意，设抛物线为，将代入，即可求得抛物线表达式；②求得抛物线与y轴的交点坐标，即为球出手时离地面的高度，进而求得答案； （2）根据题意，设抛物线为，将代入，求得抛物线表达式，然后把代入表达式，求得y的值，即可判断． 【详解】（1）解：①由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得 ∴．..........................................2分 ②当时，， ∴抛物线与y轴交点为，即球出手时离地面的高度为米， ∴他跳离地面的高度为：（米）．..........................................4分 （2）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线为， 将代入， 得， 解得， ∴． 当时，， ∵， ∴不能投进．..........................................6分 20．（本题6分）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     【答案】（1）、；（2） 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，理解题意，从图象上获取作息是解题的关键． （1）根据题意先求出水平飞行时的距离，根据点距离起飞点的水平距离为10千米，求出，，分别代入，直线，即可求解． （2）根据对称轴为最高点的横坐标求出，得出抛物线，令，求出，将代入直线．求出，结合，求解即可． 【详解】解：（1）水平飞行时的距离为：， ， ，， 分别代入，直线， 得：，， 解得：，．..........................................2分 （2）， ， ． ∴抛物线， 令， ． 解得：，， ， 将代入直线．得：， 即， ， 即， ．..........................................6分 21．（本题8分）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 .    (1)求雕塑高； (2)求落水点、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明. 【答案】(1) (2) (3) 不会碰到水柱， 理由：令，则． 【分析】（1）求雕塑的高，直接令代入解析式求得的值即可； （2）可先求出的距离，再根据对称性求的长； （3）直接令，求出此时对应的值，若大于3，则不会碰到水柱，反之能碰到． 【详解】（1）解：由题意可知，点在图像上， 当时， ∴ 故：雕塑高．..........................................2分 （2）解：当时， 解得 ∴点坐标为 ∴m ∴m 故、点之间的距离为m．..........................................5分 （3）略..........................................8分 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标． 22．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 【答案】(1) (2)5 (3)或． 【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答； （2）设顶点的横坐标为，则，根据是平移得到的，得出的解析式为：，由题意，横坐标为，则，根据平行于的对称轴（直线），求出，则，，即可求解； （3）由（2）得原顶点，，求出直线的解析式，根据新抛物线顶点仍在直线上，设，则新抛物线解析式为：，将代入求出或，再根据平移距离为顶点到的距离：解答即可； 【详解】（1）解：抛物线， ∴顶点的坐标为；..........................................2分 （2）解：设顶点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵是平移得到， ∴值不变， ∴的解析式为：， 由题意，横坐标为， 代入得的纵坐标：，即， ∵平行于的对称轴（直线）， ∴为垂直于轴的直线，即、横坐标相等： ∴， ∴， ∴，， 此时，点到直线的水平距离为， ∴；..........................................5分 （3）解：由（2）得原顶点，， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 沿平移时，新抛物线顶点仍在直线上， 设， 则新抛物线解析式为：， 将代入得：，整理得， 解得：或， 平移距离为顶点到的距离： 当时，，平移距离； 当时，，平移距离； 综上，本次平移的距离为或．..........................................8分 23．（本题12分）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】(1)（），（）； (2)每天至少需要执勤的时间为分钟 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）；..........................................6分 （2）解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟．..........................................12分 24．（本题14分）如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，利用二次函数求最值等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题的关键； （1）把，，代入，即可求得答案； （2）设，根据四边形是正方形，可得，即，解方程即可得出答案； （3运用待定系数法求出直线的解析式，由，则，可得，设，则，可得，再由，再运用二次函数的最值求得答案； 【详解】（1）解：把，，代入得， ， 解得：，，， ∴抛物线的解析式为；..........................................4分 （2）解：设， 四边形是正方形， ， 即， 解得：， ， ， ∴当四边形是正方形时，点的坐标；..........................................8分 （3）解：如图，连接，过点作轴交于点． 设直线的解析式为． 把，代入，得， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， 由题意，得， 当时，达到最大值为；..........................................14分 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 二次函数 单元自测卷 【新教材，沪教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选6题，填空11题，解答7题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 3．将抛物线向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 4．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 5．已知实数a、b、c满足，，则（     ） A．且 B．且 C．且 D．且 6．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（共11小题，每小题2分，共22分） 7．若是二次函数，则_______． 8．如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 9．如果抛物线经过点，那么的值为______． 10．已知点和在二次函数图像上，则_____0．（填“”、“”或“”） 11．请写出一个满足以下条件的关于的二次函数表达式： ①图象经过原点； ②当时，随的增大而增大． 则这个二次函数表达式可以是_________________．（写出一个即可） 12．已知二次函数图象上的部分点的坐标对应值列表如下： x … 1 3 … y … 4 … 则关于x的方程的解为：________． 13．图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，建立如图所示的平面直角坐标系，拱桥所在抛物线的解析式是___． 14．若，则的最大值是______． 15．如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 16．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴交于，B两点，与y轴的交点C在x轴下方，若，则该抛物线的表达式可以是________．（写出一个即可） 17．如图，在抛物线的内部依次画正方形，使对角线在轴上，另两个顶点落在抛物线上，按此规律类推，第个正方形的边长是________． 三、解答题（共7小题，共60分） 18．（本题6分）已知抛物线经过点和． (1)求此抛物线的表达式； (2)指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况． 19．（本题6分）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米． (1)如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ (2)如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 20．（本题6分）请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面0.3千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线、直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为0.09小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为0.4千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围．     21．（本题8分）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 .    (1)求雕塑高； (2)求落水点、之间的距离； (3)若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明. 22．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为A．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点B始终在直线上运动．P是抛物线上一点，其横坐标比顶点B的横坐标大2． (1)求抛物线的顶点A的坐标； (2)当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； (3)在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点A时，求本次平移的距离． 23．（本题12分）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． (1)求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； (2)若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 24．（本题14分）如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点，是第四象限内抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，当四边形是正方形时，求点的坐标； (3)如图2，连接，，过点作交线段于点，连接，，，记与面积分别为，，设，求的最大值． 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $