第1章 图形的相似（暑假单元自测）新九年级数学新教材湘教版

**基本信息** 湘教版初中数学图形的相似单元卷，90分钟120分，覆盖比例线段、相似性质与判定、位似等核心知识点，通过基础题与实际应用题结合，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|比例线段（题1）、相似性质（题5）、位似（题6）|基础概念辨析，梯度合理| |填空|8/24|黄金分割（题14）、开放型相似条件（题16）|融入文化元素，设置结论开放题| |解答|6/66|比例计算（题19）、位似作图（题21）、悟颖塔测量（题23）、几何证明（题24）|结合文化传承情境，综合考查推理与应用能力|

第1章 图形的相似 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 2．若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 5．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 6．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A．1 B．2 C． D． 7．如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，为直角，点在上，于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 12．如图，已知，那么________． 13．如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点P恰好是线段的黄金分割点（），，则线段的长为________．（结果保留根号） 15．如图，在中，，，则的值为______． 16．结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 17．如图，点、分别在的边、上，．如果，，那么的值是___________． 18．如图，中，，，的面积是，那么的面积是_______． 三、解答题（共66分） 19．（10分）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 20．（10分）如图，，E，F分别在上，且，若，，求线段的长． 21．（11分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 22．（11分）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 23．（12分）悟颖塔坐落于河南省驻马店市汝南县，此塔造型古朴，承载着千年的历史底蕴，是当地极具代表性的古建筑．某数学兴趣小组打算测量悟颖塔的高度，王林在点处竖直立起一根2.4米的标杆，李华在点处观察到三点在同一条直线上，测量得的长度是8.5米，．已知，且三点在同一条水平线上． (1)求悟颖塔的高度；（结果保留整数．参考数据：） (2)计算之后他们所得结果与实际高度稍有差异，请写出至少一条减少误差的建议． 24．（12分）如图，在中，，，垂足为点，点是边上一点，，垂足为点，交于点． (1)如果平分，求证：； (2)如果，求证：． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 图形的相似 单元自测卷 【新教材，湘教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空8题，解答6题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 2．若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 3．如图，直线分别交直线于点，已知，，则的长是（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入已知数据计算即可得出结果． 【详解】∵直线 ∴ ∵， ∴ ∴． 4．如图，已知，与相交于点．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，由此列方程即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：，经检验符合题意． 5．如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 6．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形周长之比是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．根据图形位似的性质可得，则可得，同理可得两个四边形其余三条对应边的比值，即可解题． 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴四边形四边形，， ∴， ∴， ∴四边形与四边形的周长之比为． 7．如图，在中，，若，则的值（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，可得，再根据“相似三角形的面积之比是相似比的平方”，即可求解． 【详解】解：， ， ， ，即， ． 8．如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，已知，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， 点的坐标为，即． 9．如图是“小孔成像”的装置，保持蜡烛与光屏平行，要使蜡烛的像是的倍，若点到蜡烛的距离，则光屏到蜡烛的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，且，， ， ∴， ， 即光屏到蜡烛的距离为． 10．如图，在中，为直角，点在上，于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过证明三角形相似得出对应边成比例，进而求出所求式子的值． 【详解】解：因为，， 所以， 在与中， ， ∴， 所以， 设，则； 设，则； 设，则， 所以． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知为成比例线段，其中，，，则_______ ． 【答案】 【分析】本题考查成比例线段的定义，若按顺序为成比例线段，则满足，代入已知线段长度即可求解． 【详解】解：是成比例线段， ， 将，，代入得， 交叉相乘得， 解得． 12．如图，已知，那么________． 【答案】15 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线分线段成比例解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 故答案为：15 ． 13．如图，四边形 和' 是以点O为位似中心的位似图形，若，四边形 的面积为8，那么四边形的面积为 ______ 【答案】18 【分析】根据位似图形的性质得出四边形与四边形相似，且相似比等于，再利用相似多边形面积比等于相似比的平方进行计算即可． 【详解】解： 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形，且相似比为 . 四边形的面积为， 四边形的面积为． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．如图，汉字“干”刚劲有力、舒展美观．已知线段，点P恰好是线段的黄金分割点（），，则线段的长为________．（结果保留根号） 【答案】/ 【详解】解：∵，， ∴． 15．如图，在中，，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】过点作的平行线，交于点，设，由平行可判定，则，计算得，同理，因此． 【详解】解：如图，过点作的平行线，交于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．结论开放 如图所示，在中，，，D是边上的一点，连接，若使与相似，只需添加一个条件：____________． 【答案】或或或 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．根据为与的公共角，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹的两组对应边成比例． 【详解】解：∵为与的公共角， 当或时，； 当时，， 故答案为：或或或． 17．如图，点、分别在的边、上，．如果，，那么的值是___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活利用相似三角形的性质是解题的关键． 先证明可得，设，则，进而得到、，再根据列方程求得k的值，进而完成解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，，即， ∵，，， ∴，解得：或（不合题意舍弃）， ∴． 故答案为：2． 18．如图，中，，，的面积是，那么的面积是_______． 【答案】12 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵的面积是2， ∵． ∴． 故答案为：12． 三、解答题（共66分） 19．（10分）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 20．（10分）如图，，E，F分别在上，且，若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；连接，延长交于点H，然后由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，延长交于点H，如图所示： ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， 21．（11分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中有和格点（网格线的交点）O． (1)以点O为位似中心，在网格内将放大为原来的2倍，得到，画出放大后的； (2)将绕点O顺时针旋转，得到，请你画出，并直接写出边在旋转过程中扫过的面积． 【答案】(1)如图所示．    (2)如图所示．扫过的面积为 【分析】（1）先确定位似中心为，因为位似比为2，所以分别连接、、并延长，使对应线段长度变为原来的2倍，得到对应顶点、、，顺次连接即可； （2）根据旋转的性质，确定旋转中心、旋转方向为顺时针、旋转角为，分别作出、、三点旋转后的对应点、、，顺次连接得到，因为扫过的面积是圆心角为，半径分别为、的两个扇形的面积差，所以先计算、的长度，再用扇形面积公式计算面积差． 【详解】（1）分别连接， 延长到使，延长到使，延长到使， 顺次连接，所以即为所求作的图形； （2）分别将点绕点顺时针旋转得到对应点，顺次连接得到即为所求作的图形； 根据勾股定理，结合网格可得：，， 线段旋转过程中扫过的图形是圆心角为的圆环，面积为大扇形面积减小扇形面积： ． 22．（11分）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 23．（12分）悟颖塔坐落于河南省驻马店市汝南县，此塔造型古朴，承载着千年的历史底蕴，是当地极具代表性的古建筑．某数学兴趣小组打算测量悟颖塔的高度，王林在点处竖直立起一根2.4米的标杆，李华在点处观察到三点在同一条直线上，测量得的长度是8.5米，．已知，且三点在同一条水平线上． (1)求悟颖塔的高度；（结果保留整数．参考数据：） (2)计算之后他们所得结果与实际高度稍有差异，请写出至少一条减少误差的建议． 【答案】(1)悟颖塔的高度约为27米 (2)多次测量求平均值（答案不唯一） 【分析】（1）证明，可得，结合，可得，再进一步求解即可； （2）利用多次测量求平均值可减少误差. 【详解】（1）解： ， ， 又， ， ， ， 在中，， 则， ， ， 解得，经检验，符合题意， （米）， 悟颖塔的高度约为27米． （2）解：多次测量求平均值（答案不唯一）． 24．（12分）如图，在中，，，垂足为点，点是边上一点，，垂足为点，交于点． (1)如果平分，求证：； (2)如果，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，再证明，得到，即可得出结论； （2）证明，得到，证明，得到，则，证明，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $