第2单元 12 第15讲 函数模型及其应用（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及其应用”专题，依据课标要求梳理了三种增长模型比较、常见函数模型应用等核心考点，通过知识表格对比性质、题组分类（常识题、常错题）、探究点分题型（图象刻画、已知模型、构建模型），并融入2023新课标Ⅰ卷等真题，精准对接高考评价体系，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+模型构建+易错指导”，如2023新课标Ⅰ卷噪声污染题用对数运算求解声压关系，培养数学思维；注意力集中指数分段函数题通过待定系数法构建模型，发展数学语言表达。特设易错点警示（忽视定义域等），帮助学生掌握建模技巧，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

第15讲 函数模型及其应用 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和 工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一 次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数 爆炸”等术语的现实含义. 3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型, 体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现 实意义. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.三种函数模型的性质的比较 函数 性质 在 上的 增减性 单调______ 单调______ 单调______ 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 递增 递增 递增 课 前 基 础 巩 固 4 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，为常数， 二次函数模型 ，，为常数， 反比例函数模型 ，为常数且 指数函数模型 ，，为常数，且 ， 对数函数模型 ，，为常数， 且 ， 幂函数模型 ，， 为常数，， 课 前 基 础 巩 固 5 ◆ 对点演练◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于 的矩形花园 （阴影部分），则其中 的取值范围是________. 课 前 基 础 巩 固 6 [解析] 设矩形花园另一边的长为 ， 由相似三角形的性质可得 ， 即， 矩形花园的面积 矩形花园的面积不小于，， 即 ，解得， 故的取值范围是 . 课 前 基 础 巩 固 7 2.［教材改编］某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800元.若每批生产件，则平均仓储时间为 天，且每件产品 每天的仓储费用为1元，则平均每件产品的生产准备费用与仓储费用 之和与 的函数关系式是_ _________________. [解析] 由题意知，平均每件产品的生产准备费用是 元，仓储费 用是 元，所以平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和 . 课 前 基 础 巩 固 8 3.［教材改编］大气压强，它的单位是“ ” ，大气压强随海拔高度 的变化规律是 ， 是海平面大气压强.已知在某高 山，两处测得的大气压强分别为，，且，那么 ， 两处的海拔高度的差约为________.参考数据： [解析] 设，两处的海拔高度分别为， ，则 ，故 . 课 前 基 础 巩 固 9 题组二 常错题 ◆ 索引：忽视限制条件;忽视实际问题中实际量的单位、含义等;分 段函数模型的分界把握不到位. 4.一枚炮弹被发射后，其升空高度与时间 的函数关系式为 ，则该函数的定义域是_______. [解析] 令，解得 ，故所求定义域为 . 课 前 基 础 巩 固 10 5.某物体一天中的温度单位：是关于时间单位： 的函数， 且，其中表示中午12时，其后 的值为正，则 上午8时该物体的温度是_____. [解析] 由题意知，上午8时即 ， 因此所求温度 . 课 前 基 础 巩 固 11 6.已知，两地相距，某人开汽车以的速度从 地到 达地，在地停留后再以的速度返回地，则汽车与 地 的距离关于时间 的函数表达式是 _ _____________________________________________. 课 前 基 础 巩 固 12 [解析] 当时，； 当时， ； 当时，. 故关于 的函数表达式为 课 前 基 础 巩 固 探究点一 用函数图象刻画变化过程 例1 已知点为某封闭图形边界上一定点，动点 从 点出发，沿其边界顺时针匀速运动一周.设点 运 动的时间为，线段的长度为，表示与 的函 A. B. C. D. 数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是 ( ) √ 课 堂 考 点 探 究 14 [解析] 根据函数图象可知函数图象具有对称性， 故C错误； 对于A，由等边三角形可知线段 的长度先增大 再减小，再增大，最后减小，故A错误； 对于D，由图可知线段 的长度不会是线性变化，故D错误； 对于B，由正方形可知线段 的长度先增大再减小， 且一开始线性增大，符合题意，故B正确.故选B. ［思路点拨］根据图形的性质结合函数图象的特点逐项分析判断. 课 堂 考 点 探 究 15 [总结反思] 判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴 与纵轴所表示的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化 快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的 情况,选出符合实际的答案. 课 堂 考 点 探 究 16 变式题 在股票交易过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况， 一种是即时价格曲线，另一种是平均价格曲线 .如 表示股票开始交易后2小时的即时价格为3元； 表示 2小时内的平均价格为3元，以下四个图中，实线表示 的图 象，虚线表示 的图象，其中正确的是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，故A，D错误； 开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价 格同增同减，故B错误.故选C. 课 堂 考 点 探 究 18 探究点二 已知函数模型解决实际问题 例2（1）血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正 常范围是，当血氧饱和度低于 时，需要吸氧治疗， 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型 描述血 氧饱和度随着给氧时间 （单位：小时）的变化而变化的规律，其 中为初始血氧饱和度，为参数.已知 ，给氧1小时后，血氧 饱和度为，若要使得血氧饱和度达到 ，则至少还需要的给氧 时间为精确到，参考数据：， ( ) A.0.3小时 B.0.5小时 C.0.7小时 D.0.9小时 √ 课 堂 考 点 探 究 19 ［思路点拨］根据已知条件列方程得 的值，进而利用已知条件求得 所需时间. [解析] 要使得血氧饱和度达到，设给氧时间至少还需要 小时. 由题意可得， ，两边同时取自然对数并整 理，得 ， ，则 ， 则给氧时间至少还需要 （小时）.故选B. 课 堂 考 点 探 究 20 （2）（多选题）[2023· 新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视.用 声压级来度量声音的强弱，定义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/ 声压级/ 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 课 堂 考 点 探 究 21 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声 压分别为，， ，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］思路一：根据声压级公式，结合各选项中声压级的关系， 通过求解对数不等式来判断实际声压,, 之间的关系； 思路二：利用作差法结合对数运算求解各个选项中实际声压的大小关 系即可. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 方法一：由题意可得燃油汽车的声压级 ，所以, . 同理，,， . 对于A，由表知，可得，故A正确； 对于B， 得，所以 ，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D， 得，即, 即 ，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 23 方法二：因为 ，所以 ，又因为，所以，即， 所以 ，故A正确； 同理， ， 因为，所以 ， 即，所以，则 ，故B错误； 课 堂 考 点 探 究 24 因为，所以，则，即 ， 所以，故C正确； 因为，即 ，所以， 即，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 25 [总结反思] 用已知函数模型解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际 意义,根据已知条件确定模型中的待定系数，合理地运用函数的基本 性质解决问题. 课 堂 考 点 探 究 26 变式题 [2025·重庆一检] 酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了 保障交通安全，根据国家有关规定: 血液中酒精含量大于或者 等于且小于认定为饮酒驾车，大于或者等于 认定 为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量 上升到了 .如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以 每小时 的速度减少，那么至少经过___个小时后他才能驾驶车辆. 结果取整数.参考数据:， 4 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 设经过个小时后能驾驶车辆，则 ，即 ， 两边同时取常用对数得，即 ， 因为，所以 ， 所以 ，即至少经过4个小时后才能驾驶车辆. 课 堂 考 点 探 究 28 探究点三 构建函数模型解决实际问题 例3 注意力集中程度的研究，有助于大众提高自身办事效率.有一种算法 模型用注意力集中指数衡量注意力集中程度，注意力集中指数的值越大， 注意力集中程度越高，越有利于学习.数据显示在一节40分钟的课中，高中 学生的注意力集中指数受上课累计时长的影响，开始上课时学生的注意力 集中指数逐步升高，随后学生的注意力集中指数开始降低.经过试验分析， 得出某学生的注意力集中指数 与开始上课时间（单位：分钟）的关系为： 当时，是 的一次函数，其中开始上课1分钟时注意力集中指数 为70，开始上课5分钟时注意力集中指数为78；当时，是 的二 次函数，其中开始上课20分钟时注意力集中指数达到最大值，最大值为100. 课 堂 考 点 探 究 29 （1）求关于 的函数解析式. ［思路点拨］利用待定系数法求得关于 的函数解析式； 解：当时，设 ， 依题意得解得所以 . 当时， . 当时，设，将 代入上式， 得,解得 ，所以 . 综上所述， 课 堂 考 点 探 究 30 （2）如果该学生的注意力集中指数不低于80，那么称该学生处于 “理想听课状态”，则在一节40分钟的课中该学生处于“理想听课状态” 所持续的时间有多长？精确到1分钟，参考数据： ［思路点拨］根据已知条件列不等式组，通过解不等式组求解. 课 堂 考 点 探 究 31 解：由解得 ， 由 即 得所以 . 因为 ，所以一节40分钟的课中该学生处于“理想听课状态” 所持续的时间是27分钟. 课 堂 考 点 探 究 32 [总结反思] 构建函数模型解决实际问题的步骤：（1）认真审题，分析理解实际 问题的题意，为解题找出突破口；（2）依题意确定变量间的关系， 构建函数模型，将实际问题转化为数学问题；（3）利用数学知识求 解构建的函数模型，得出结论解决问题. 课 堂 考 点 探 究 33 变式题1 净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标 准，其工作原理中有多次的 棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般由 孔径为5微米的 棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式， 主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质 含量为 ，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过， 则棉滤芯的层数最少为参考数据： ， ( ) A.9 B.8 C.7 D.6 √ 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 设经过层棉滤芯过滤后水中的大颗粒杂质含量为 ， 则. 令，解得 ，两边取常用对数得， 即 ，即，所以， 又 ，所以 的最小值为9.故选A. 课 堂 考 点 探 究 35 变式题2 甲、乙两个课外兴趣小组分别对本地某一蔬菜交易市场的 一种蔬菜价格进行追踪. （1）甲小组得出该种蔬菜在月份的价格 （单位：元/千克）与 月份满足关系式，月交易量（单位：吨）与月份 满足关系式，求月交易额 （单位：万元）与月 份的函数关系式，并求 月份中哪个月的月交易额最大. 课 堂 考 点 探 究 36 解：由题意得 ， ，即 当，时，根据二次函数的性质可得，时 取得最 大值5400， 当，时，同理可得，时 取得最大值6240， 所以4月份的月交易额最大. 课 堂 考 点 探 究 37 （2）乙小组通过追踪得到该种蔬菜上市初期和后期因供不应求使价 格呈连续上涨态势，而中期又出现供大于求使价格连续下跌.现有三 种函数模型模拟价格（单位：元/千克）与月份 ，且 之间的函数关系：，且 ； ； . 课 堂 考 点 探 究 38 （i）为准确研究其价格走势，应选哪种函数模型?并说明理由. 解：函数 是单调函数，不符合题意. ②二次函数 的图象不具备先上升，后下降， 再上升的特点，不符合题意. ③当时，函数的图象在 上是上升的， 在上是下降的，在 上是上升的，符合题意.应选③. 课 堂 考 点 探 究 39 （ii）若，，求出所选函数 的解析式，并求该 种蔬菜价格在5元/千克以下的月份有几个. 课 堂 考 点 探 究 40 解：因为， ， 所以所以 所以 . 因为，所以， 由 ，得，所以或， 解得 或， 又，所以 ，7，8，9，即1月、7月、8月、9月该种蔬菜的 价格在5元/千克以下,所以该种蔬菜的价格在5元/千克以下的月份有4个. 课 堂 考 点 探 究 41 课时作业 42 ◆ 基础热身 ◆ 1.游泳池原有一定量的水，打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水 阀，再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流 量、排水时的流量各保持不变．用表示游泳池的水深， 表示时间， 则下列函数图象中能反映所述情况的是( ) A. B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 43 [解析] 游泳池原有一定量的水，故函数图象不过原点，排除A，C； 过了一段时间关闭进水阀，再过一段时间打开排水阀排水，故函数 值有一段时间不变，排除B.故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 44 2.视力检测结果有两种记录方法，分别是小数记录法与五分记录法， 其部分对应数据如下表： 小数记录法 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0 五分记录法 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型：，， 表示小数 记录法的数据， 表示五分记录法的数据.请选择合适的函数模型并 解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为 ，则 小明同学的小数记录法的数据约为参考数据： ， ， ( ) A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.8 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 45 [解析] 由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为 . 令，解得 .故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 46 3.某大型家电商场在一周内计划销售， 两种电器，已知这两种电 器每台的进价都是1万元，规定一家商场在一周内进货 种电器的台 数不高于种电器台数的2倍，且进货种电器至少2台，， 两种电 器每台的售价分别为1.2万元和1.25万元.若该家电商场每周用来进货 ， 两种电器的总资金为6万元，所进电器都能销售出去，则该商 场在一周内销售，两种电器的总利润的最大值为（利润 售价-进 价）( ) A.1.2万元 B.2.8万元 C.1.6万元 D.1.4万元 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 47 [解析] 设该商场在一周内进货种电器的台数为，则 ，一周 内进货种电器的台数为. 设该商场在一周内销售， 两种电器的总利润为万元， 由题意可得 可得，且， 则 ， 故 .故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 48 4.有些家用电器（如冰箱等）使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大 气上层的臭氧层，使臭氧含量随时间 （单位：年）呈指数型函数 变化，当氟化物的排放量维持在某种水平时，满足关系式 ，其中 是臭氧的初始量，则臭氧含量减少初始量 的大约需要取 ( ) A.276年 B.552年 C.414年 D.483年 √ [解析] 由题意可得，，则 ， 则，所以，可得 , 故臭氧含量减少初始量的 大约需要552年.故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 49 5.点声源在空中传播时，衰减量单位：与传播距离 （单位：米）之间的关系式为 .若传播距离从20米变化 到40米，则衰减量的增加值约为参考数据： ( ) A. B. C. D. [解析] 当时，， 当 时，， 则 .故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 50 6.某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为 ，本年度 计划将电价下降到0.55元/至0.75元/ 之间，而用户期 望电价为0.4元/ .经测算，下调电价后的新增用电量和实际电 价与用户的期望电价的差成反比比例系数为 .该地区的电力成本价 为0.3元/.已知 ，为保证电力部门的收益比上年至少 增长，则最低的电价可定为____元/ . 0.6 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 51 [解析] 设电价定为元/ ， 则由题意可得 ， 整理可得， 又，故 ， 故最低的电价可定为0.6元/ . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 52 ◆ 综合提升 ◆ 7.[2025·北京卷]在一定条件下，某人工智能语言模型训练 个单位的 数据量所需要时间（单位：小时），其中 为常数，在此 条件下，已知训练数据量从个单位增加到 个单位时， 训练时间增加20小时，则当训练数据量从 个单位增加 到 个单位时，训练时间增加（单位：小时）( ) A.2 B.4 C.20 D.40 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 53 [解析] 设当取，， 时训练时间分别为 ,,. 由题意得， ， ， . 因为，所以 ， 所以 ， 所以当训练数据量从个单位增加到 个单位时， 训练时间增加4小时.故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 54 8.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环 保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥 作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状 态与和的关系，其中表示温度，单位是； 表 示压强，单位是 .下列结论中正确的是( ) A.当， 时，二氧化碳处于液态 B.当， 时，二氧化碳处于气态 C.当， 时，二氧化碳处于超临界状态 D.当， 时，二氧化碳处于超临界状态 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 55 [解析] 结合图象逐一验证:当 , 时,由图象可知二氧化碳处于固态, 故A错误; 当, 时,由图象可知二氧 化碳处于液态,故B错误; 当 , 时,由图象可知二氧化碳处于固态, 故C错误; 当, 时,由图象可知二氧化碳处于超临 界状态, 故D正确.故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 56 9.（多选题）某打车平台欲对收费标准进行改革，现 制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用 （单位：元）与打车距离 （单位：千米）的函数关 系大致如图所示，则下列说法正确的是( ) A.当打车距离为8千米时，乘客选择乙方案省钱 B.当打车距离为10千米时，乘客选择甲、乙方案均可 C.当打车距离为3千米以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多 D.甲方案中，当打车距离在3千米内（含3千米）时，付费5元，当打 车距离大于3千米时，每增加1千米费用增加0.7元 √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 57 [解析] 对于A，当打车距离满足 时， 甲方案对应的函数图象在乙方案对应的函数图象 的下方，故当打车距离为8千米时，乘客选择甲 方案省钱，故A错误； 对于B，当打车距离为10千米时，支付费用均为12元， 因此乘客选择甲、乙方案均可，故B正确； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 58 对于C，当打车距离为3千米以上时，甲方案每千 米增加的费用为 （元），乙方案每千米增 加的费用为 （元），故甲方案每千米增加 的费用比乙方案多，故C正确； 对于D，由题图可知，甲方案中，当打车距离在3千 米内（含3千米）时，付费5元，当打车距离大于3千米时， 每增加1千米费用增加1元，故D错误.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.用指数模型描述累计一个池塘甲种微生物的数量 随时 间 （单位：天）的变化规律，则该池塘甲种微生物的数量增加到原 来的3倍需要的时间约为____天.，结果精确到 2.5 [解析] 设从开始观察，在 时，该池塘甲种微生物的数量增加到 原来的3倍，则，所以 ， 则有，所以 ， 故需要的时间约为2.5天. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 60 11.舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指 标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行 收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些 事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前 天，若某次舆情 过程中至少有一天的舆论场指数大于 ，则认为本次舆情是严重 的.某平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起 第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：#1 第 天 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 61 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以 刻画数据：； ，且；,且 .#1.2 （1）请从①②③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果）； 解：选择③. （根据表格中数据可知，舆论场指数增长非常快，符合指数函数的 性质，故选③.） 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 62 （2）根据（1）中选取的函数模型，预测第4天的舆论场指数； 解：由题得 解得 故函数解析式为， ， 则预测第4天的舆论场指数为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 63 （3）若本次舆情不是严重的，求 的最小值. 解：若本次舆情不是严重的，则 恒成立， 即恒成立， 两边同时除以 ，得 恒成立. 不妨设,，则对任意 恒成立， 整理得对任意 恒成立， 由于函数在 上单调递减，因此只需 ，即，解得 ，故的最小值为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 64 $