第1单元 03 第3讲 等式与不等式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“等式与不等式”专题，依据课标要求梳理了比较数（式）大小、等式性质、不等式性质及综合应用等核心考点，通过教材改编题、2025年模拟题等真题素材，分析了作差法、性质应用等高频考点的权重，归纳了比较大小、取值范围推导等常考题型，构建了系统的备考知识体系。 课件亮点在于“错题索引+变式训练+核心素养培养”的实战策略，如针对求取值范围乱用不等式加法法则的易错点，通过例3“整体代换法”推导4x+y范围，培养学生的数学思维和推理能力。课时作业分层设置基础题与综合题，融入“糖水不等式”等生活模型，帮助学生掌握符号表达与逻辑分析技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第3讲 等式与不等式 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.两个实数比较大小的方法 作差法 ___ , ___ , ___ （1） 课 前 基 础 巩 固 4 作商法 ___ , ___ , ___ （2） 课 前 基 础 巩 固 5 2.等式的性质 （1）如果,，那么 . （2）如果,那么___，___ . （3）如果,那么___，___ . 课 前 基 础 巩 固 6 3.不等式的性质 （1）对称性: ______（双向性）. （2）传递性:, （单向性）. （3）可加性:___ （双向性）. （4）可乘性:,___;,___ . （5）, _____________（单向性）. （6）,___ （单向性）. （7）乘方法则:___ （单向性）. 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 1.若，且 . 2.若，，则 . 3.若,,,，则 ; 若，，，，则 . 课 前 基 础 巩 固 8 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］设，，则与 的 大小关系为_______. [解析] ， 故 . 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］已知，，则 的取值范围 是______. [解析] ，， 又 ， . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］下列命题为真命题的是_________（填序号）. ①若，则 ； ②若，则 ； ③若，则 ； ④若，则 . 课 前 基 础 巩 固 11 [解析] 对于①，若，则，所以 ，故①为真命 题； 对于②，若，则 ，故②为真命题； 对于③，若，，则满足，但 ， 故③为假命题； 对于④，若，则，所以 ，故④为真命题. 故填①②④. 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 ◆ 索引：求取值范围时乱用不等式的加法法则致错;乘法运算时不 注意符号的影响致错;运用作差法时对差的变形不彻底或变形方向不 明确致错. 4.若，，则 的取值范围为______. [解析] 由，得，又 ，所以 ，所以的取值范围为 . 课 前 基 础 巩 固 13 5.已知实数，，则 的取值范围是________. [解析] 当时,； 当时， ． 综上可知，的取值范围是 ． 课 前 基 础 巩 固 14 6.已知，，为不全相等的实数， ， ，那么与 的大小关系是_______. [解析] 因为，，所以，当且仅当时取等号, 因为，， 为不全相等的实数，所以等号不成立，所以，所以 . 课 前 基 础 巩 固 15 探究点一 比较数（式）的大小 例1（1）（多选题）下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］通过作差法判断差的符号,进而得出结论； √ √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] , ,故A正确； ，，的符号不确定，与 的大小不确定，故B错误； ， ，故C错误； ，，，， 故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 17 （2）已知,都是正数,比较大小：___ . ［思路点拨］把与作商后对, 的大小关系分类,借助指数 函数的性质比较大小. [解析] . 当时,, ,,; 当时,, , ,; 当时,, , ,. 综上所述, . 课 堂 考 点 探 究 18 [总结反思] （1）判断两个式子大小关系的常用方法:作差法、作商法、不等式 性质法、函数单调性法、中间量法、特殊值法等. （2）作差（商）法的一般步骤是:作差（商）,变形,定号,得出结论. 课 堂 考 点 探 究 19 变式题（1）已知，则与 的 大小关系是_______. [解析] 方法一：因为，所以 , ，所以 . 因为，所以，即 . 方法二：， ， 因为， ， 所以,所以 . 课 堂 考 点 探 究 20 （2）若，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：易知,,都是正数 , ，，， .故选B. 方法二：构造函数，则. 令 ，得；令，得. 在 上单调递增，在上单调递减， ，即 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 21 探究点二 不等式的性质 例2（1）已知，，， 均为实数，则下列说法正确的是( ) A.若，，则 B.若，则 C.若，则 D.若且，则 ［思路点拨］由不等式的性质及特例逐项判断即可； √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 对于A，取，，，，则 ， 故A错误； 对于B，当，时，，但 ，故B错误； 对于C，当 时， ，故C正确； 对于D，因为，，所以，则 ，故 D错误.故选C. 课 堂 考 点 探 究 23 （2）（多选题）若 ，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］由题得,分和 两种情况判断A,D;由 ,得,由,得与 同号,即可判 断B,C. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 由得. 当时，由 ，得，即，所以， ； 当 时，由，得，即，所以， ，故A，D正确； 由，得 ，由上析可知与同号， 即，所以与异号，即与 同号，故C正确; 由，得，故B错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 25 [总结反思] 解决不等式有关问题常用的三种方法 （1）直接利用不等式的性质逐个验证,利用不等式的性质判断不等式 是否成立时要特别注意前提条件. （2）利用特殊值法排除错误答案，需注意取值一定要遵循三个原则： 一是满足题设条件；二是取值要简单；三是所取的值要有代表性. （3）构造函数，利用函数的单调性判断. 课 堂 考 点 探 究 26 变式题（1）[2025·北京房山区一模]已知,，且 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，令,，则 ，故A错误； 对于B，令,，则 ，故B错误； 对于C， ， 因为，所以，而, 且不同时为0， 故，即，故C正确； 对于D，令, ,则 ，故D错误.故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 27 （2）（多选题）[2025·山东临沂二模]已知 ，则下列不等 式一定正确的是( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 对于A，,因为 ,所以 ,,,即 ,所以，故A正确. 对于B，取，此时 ，故B错误. 课 堂 考 点 探 究 28 对于C，令，，，则 ，故C错误. 对于D，若，则 ； 若，则； 若 ，则； 若或 ，则. 综上所述，只要,就一定有 ,故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 29 探究点三 不等式性质的综合应用 例3 （多选题）已知实数,满足, ， 则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用不等式的可加性判断A，B；将 变形为 后判断C；将 变形为 后判断D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 30 [解析] 因为所以,解得 ,故A正确； 因为所以 ,解得,故B 错误； 因为 ,,， 所以 ,故C正确； 因为, , ,所以,故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] 求代数式的取值范围需注意两点:（1）严格运用不等式的性质;（2） 利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围，防止 在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题 已知实数，，满足，且，那么 的 取值范围是_ ________. [解析] 因为，且，所以， ， . 由，得，故 . 由，得，故，所以.。 课 堂 考 点 探 究 33 课时作业 34 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知， ，则( ) A. B. C. D. [解析] ， .故选D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 2.设，，，则， 的大 小关系为( ) A. B. C. D.不确定 [解析] 由题知，，因为 ，所 以 . √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 3.下列结论中正确的是( ) A.若且，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，则 [解析] 对于A选项,令,,满足且 ,但,故A错误； 对于B选项,令,,满足 ,但,故B错误； 对于C选项,令,, ,,满足,,但 , 故C错误； 对于D选项,由及不等式的性质可得 ,故D正确.故选D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 4.设，，， ，下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，若，则, ，故A错误； 对于B，因为，所以 ，故B正确； 对于C，D，若，则， ，故C,D错误. 故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 5.[2025·福州部分学校最后一卷]已知 ， ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为， ， ，所以，所以 的取值范围是 .故选C. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 6.（多选题）[2025·广东茂名模拟]下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，，则 D.若，则 √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 [解析] 对于A，取,，满足,但是 ，故A错误； 对于B，因为，不等式两边同时乘负数 ，不等号方向改变， 所以,不等式两边同时乘负数 ，不等号方向改变，所以， 所以 ，故B正确； 对于C，因为， ， 所以，又，即，所以 ， 所以，故C正确； 对于D，由可得 ，故，所以不一定成立， 故D错误.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.已知，，则 的取值范围是_________. [解析] ，，故 . 又，，则 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 8.李明经营一家水果店，为增加销量，李明制定了两种促销方案．方 案一：一次购买水果的总价达到100元，顾客就少付 元．方案二： 每笔订单按八折销售．在促销活动中，某顾客购买水果的总价为120 元，该顾客通过计算发现选择方案二所付金额不高于选择方案一所 付金额，则 的最大值为____． 24 [解析] 由题意可得，解得，所以 的最 大值为24. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 ◆ 综合提升 ◆ 9.设，，的平均数为，与的平均数为，与的平均数为 . 若 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意得，, ,. 对于A， ,,, , ，， ，故A错误. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 对于B，,, , ,,, ，故B正确. 对于C，, ,, ，, ,，故C错误. 对于D， ，， ，故D错误.故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.设，，，其中 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，故 . 由对勾函数的性质可得， ， 且. 综上所述， .故选C. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 11.（多选题）[2025·长郡中学期末]已知， ，则使得“ ”成立的一个充分条件可以是( ) A. B. C. D. √ √ [解析] 对于A，因为，，所以由得，故 ， 故A正确； 对于B，取，，此时满足， ，，但 ，故B错误； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 对于C，由 可得，即，当, 时，， ，而 ，故C错误； 对于D，由可知，，因为, ， 所以，故D正确.故选 。 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 12.（多选题）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖 ，， 且，若再添加克糖 后，糖水会更甜，于是得出一个 不等式：，，且， ，趣称之为“糖水 不等式”.根据“糖水不等式”判断下列说法，其中一定正确的是( ) A.若，，则 B. C.若，，为的三条边长，则 D.若，，为的三条边长，则 √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 [解析] 对于A，由糖水不等式得， 时， ，故A错误. 对于B， ，故B正确. 对于C， ，故C正确. 对于D， ， ，故D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 13.若，， ，则 的最小值为____. [解析] 因为，， ， 所以，，，从而，， ， 所以当，异号时，取得最小值 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 14.若实数，，，且， ，则 的取值范围是________. [解析] 因为，，所以 ， ，由，，，得 解得 ，故 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 ◆ 能力拓展 ◆ 15.（多选题）[2025·十堰4月调研]已知， ，则 ( ) A. B. C. D. √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 [解析] 对于A，若，，则 ，故A错误； 对于B， ，令 ，则在 上单调递减，则 ，故B正确； 对于C，，因为，所以 ， ，所以 ，故C正确； 对于D，因为，所以，设 ，则在定义域上单调递增，则 ，即 ，所以 ，故D正确. 故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 $