第2单元 07 第10讲 幂函数、对勾函数与一次分式函数（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦幂函数、对勾函数与一次分式函数三大核心考点，依据课标要求梳理定义域、值域、单调性等性质，通过分析近五年高考真题明确幂函数单调性判断、对勾函数最值求解、分式函数对称性应用等高频考点，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“基础巩固+考点探究+真题演练”的系统设计，如例2通过换元法将对勾函数转化为标准形式，培养学生数学思维，结合课时作业中的高考改编题（如分式函数对称中心应用），指导学生用数学语言规范表达解题过程。特设易错点分析（如对勾函数定义域忽略）和答题技巧总结，帮助学生高效突破考点，教师可据此开展精准复习教学。

第10讲 幂函数、对勾函数与一次分 式函数 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.通过具体实例,结合,,,, 的图象,理解 它们的变化规律,了解幂函数. 2.了解对勾函数的图象与性质. 3.掌握一次分式函数的值域、对称性等性质. 课 标 要 求 3 1.对勾函数的图象 （1）当<m></m>,<m></m>同号时,函数<m></m>的图象形状酷似对勾,故称“对 勾函数”，其图象如图所示. ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 （2）当,异号时，函数 的图象如图所示. 课 前 基 础 巩 固 5 2.对勾函数的性质 函数 图象 课 前 基 础 巩 固 6 性 质 定义域 值域 ，当且仅当 ，即 时取到端点值 顶点坐标 , 奇偶性 奇函数 续表 课 前 基 础 巩 固 7 性 质 单调性 在上单调递减，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递增 渐近线 , 续表 课 前 基 础 巩 固 8 3.幂函数 （1）定义：一般地，函数 叫作幂函数，其中是自变量， 是常数. （2）常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 图象 课 前 基 础 巩 固 9 函数 性 质 定义域 _________ __________ 值域 __________ _________ __________ 奇偶性 ____函 数 ____函数 ____函 数 _________ 函数 ____函数 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 续表 课 前 基 础 巩 固 10 函数 性 质 单调性 在 上单 调递增 在________ 上单调递 减；在 _________ 上单调递增 在 上 单调递 增 在 ________ 上单调 递增 在________ 和________ 上单调递减 公共点 ______ 续表 课 前 基 础 巩 固 11 4.一次分式函数 1.定义：我们把形如 的函数称为一次分式 函数. 2.一次分式函数 的图象和性质： （1）图象 课 前 基 础 巩 固 12 （2）性质 ①定义域：；值域： ； ②对称中心： ； ③渐近线方程：和 ； ④单调性：当时，函数在区间和 上单调 递减；当时，函数在区间和 上单调递增. 课 前 基 础 巩 固 13 常用结论 幂函数的性质 幂函数在 上都有定义； 当时，幂函数的图象都过点和，且在 上单调 递增； 当时，幂函数的图象都过点，且在 上单调递减； 当 为奇数时， 为奇函数；当 为偶数时， 为偶函 数；当 取正整数时，定义域为；当 取零或负整数时，定义域 为；当 取分数时，可以化为根式，利用根式的 要求求定义域. 课 前 基 础 巩 固 14 题组一 常识题 1.［教材改编］已知幂函数的图象过点 ，则函数 ___. [解析] 设 ，则 ，解得，故函数 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 15 2.［教材改编］已知.若幂函数 为 奇函数，且在上单调递减，则 ____. [解析] 由 为奇函数，知 从 ，1，3中取， 又 在上单调递减，， . 课 前 基 础 巩 固 16 3.［教材改编］已知函数在 上的最 大值比最小值大，则 ___. 1 [解析] 易知为奇函数，因为在 上的最大值比最小 值大，所以在上的最大值比最小值大. 当 ，即时，在 上单调递增， 则 ， 解得. 课 前 基 础 巩 固 17 当，即时，在 上单调递减， 在上单调递增，则 ， 因为，所以 ， 所以， 解得 （舍去）或（舍去）. 综上可得 . 课 前 基 础 巩 固 题组二 常错题 ◆ 索引：对勾函数定义域出错；给定区间内忽略函数单调性求最值 出错;忽略幂函数的定义域出错. 4.已知函数，则 的定义域为_________________， 的值域为__________________. 课 前 基 础 巩 固 19 [解析] 要使函数有意义，则需满足 ， 所以函数的定义域为. 当 时，可得，当且仅当， 即 时，等号成立，所以； 当 时，可得， 当且仅当 ，即时，等号成立，所以. 所以函数 的值域为 . 课 前 基 础 巩 固 20 5.已知幂函数，若，则 的取值范 围为______. [解析] 幂函数在定义域 上单调递减，由 ，得 解得 . 课 前 基 础 巩 固 21 探究点一 幂函数的图象和性质 例1（1）已知幂函数,, , 在第一象限内的图象如图所示，则( ) A. B. C. D. ［思路点拨］作出直线 ,与四个函数的图象各有一个交点,得到 ,进而得到,,, 的大小关系. √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 作出直线，可知当 时， ，则 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 23 （2）幂函数在 上单调递减，则下 列说法正确的是( ) A. B.是减函数 C.是奇函数 D. 是偶函数 ［思路点拨］利用幂函数的定义以及单调性即可求出 的值, 进而可得正确答案. √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 因为函数 为幂函数， 所以，解得或. 当时， 在上单调递增，不满足题意； 当时， 在上单调递减，满足题意. 故， ，故A错误. 函数在和 上单调递减，但 ，故 不是减函数，故B错误. 因为函数的定义域关于原点对称，且 ， 所以函数 是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选C. 课 堂 考 点 探 究 25 （3）若，则 的取值范围是_______________ _____________. [解析] 因为， 为偶函数，定义域 为,且在上单调递减，所以 解得 且或， 所以 的取值范围为 . ［思路点拨］由为偶函数，定义域为 ， 且在 上单调递减，得到不等式组进行求解即可. 课 堂 考 点 探 究 26 [总结反思] 幂函数的性质因幂指数大于或等于1，大于0且小于1，等于或小于0 而不同,解题时要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解 析式、参数取值等. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题（1）已知幂函数 在其定义域上 是奇函数，则 ( ) A.或3 B.3 C. D. √ [解析] 由函数 是幂函数， 得，解得或. 当时， 是上的偶函数，不符合题意； 当时， 是上的奇函数， 符合题意. 所以 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 28 （2）形如 的函数称为幂函数，写出一个满足条件“函数的图 象关于原点对称且与坐标轴没有交点”的幂函数： __________ _______________. （答案不唯一） [解析] 由幂函数的图象关于原点对称，得幂函数 为奇函数， 又幂函数的图象与坐标轴没有交点，所以 的幂指数 为负数，不妨取，所以 . 课 堂 考 点 探 究 29 探究点二 对勾函数的性质 例2（1）已知函数，，求函数 的 单调区间和值域； ［思路点拨］换元并利用对勾函数的单调性求解. 课 堂 考 点 探 究 30 解：函数，，令 ， 则， . 由对勾函数的性质知，函数,在 上单调递减， 在 上单调递增，又是增函数，当时，， 当 时，， 因此在上单调递减，在 上单调递增， 则，,， 所以函数 的单调递减区间是，单调递增区间是， 值域是 . 课 堂 考 点 探 究 31 （2）对于任意，恒成立，求 的取 值范围. ［思路点拨］变形函数式，再利用对勾函数的单调性求出最小值即可. 解：当时， ， 令，显然函数在 上单调递增， 则当时，，于是当时， 取得最小值5. 因为对任意，恒成立，所以， 则 的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 32 [总结反思] （1）牢记对勾函数解析式的特征及其图象拐点、单调区间、最值等； （2）善于识别并可以将代数式变形转化为对勾函数形式再解决最值、 恒成立等有关问题. 课 堂 考 点 探 究 33 变式题（1）设若是 的最小值，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由题知，由于是的最小值， 因此 在上单调递减，则. 又, 恒成立，而， 当且仅当时取等号，所以 ，解得. 综上，的取值范围为 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 34 （2）若对任意,不等式恒成立，则实数 的 取值范围是_______. [解析] 由得. 当 时， ,而 , 当且仅当 时取等号，所以,解得; 当时，不等式恒成立； 课 堂 考 点 探 究 35 当 时， ,而 ,当且仅当 时取等号， 所以,解得. 综上所述，的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 一次分式函数及其应用 例3 已知函数，其中 . （1）当函数的图象关于点对称时，求 的值； 解： ， 所以的图象的对称中心为，则 . （2）若函数在上单调递减，求 的取值范围. 解：由知直线为 的图象的一条渐近线， 又由一次分式函数的性质知，当且仅当 ， 即时，在上单调递减，故的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 37 [总结反思] （1）熟练掌握一次分式函数分离参数的方法与技巧；（2）能够识 别复合函数中的一次分式函数模型，抓住其本质，根据需要作出函 数的大致图象，数形结合求解. 课 堂 考 点 探 究 38 变式题 函数 的值域为_______. [解析] 令，则由与 复合而成. 因为单调递增，所以 ， 又当 时，，所以的值域是 . 课 堂 考 点 探 究 39 课时作业 40 1.已知幂函数 的图象经过点，则 ( ) A. B.2 C.4 D.8 [解析] 依题意可得 ，即 ，解得 . 故选C. √ ◆ 基础热身 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 2.若函数在上单调递减，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 对勾函数在和 上单调递增， 在和上单调递减，所以 .故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 3.记,, ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为，幂函数在 上单调 递增，，所以，所以 . 因为对数函数在 上单调递减， 所以，故 .故选D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 4.设函数 ，则下列函数中为奇函数的是( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：,所以函数 的图象关于点 对称. 因为奇函数的图象关于原点 对称，所以需要将函数 的图象 先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 方法二：对于A， , 故 不是奇函数，故A不正确； 对于B, 是奇函数，故B正确； 对于C，， 故 不是奇函数，故C不正确； 对于D， 不是奇函数，故D不正确.故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 5.（多选题）已知幂函数的图象经过点 ，则下列说法中正 确的有( ) A.函数 为增函数 B.函数 为偶函数 C.若，则 D.若，则 √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 [解析] 设幂函数，因为函数 的图象经过点， 所以，即 ，可得，解得，所以 ， 即. 由的定义域为，且 ， 可知函数为偶函数，所以B正确； 当时，随着的增大， 也增大，也增大，所以当时， 单调递增，又 为偶函数，所以当时，单调递减， 所以A错误； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 当时， 单调递增，又，所以当时， ， 所以C正确； 作出函数的图象如图， 为点 与点 的连线中点的纵坐标， 为 时的函数值，观察图象可知选 项D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.（多选题）已知函数 ，则( ) A.的值域是 B.的定义域为 C. D. [解析] 由，得的定义域为 ， 值域为，所以点是 的图象的对称中心， 则 . 综上，A，C，D正确，B错误.故选 . √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 7.函数在 上的最大值为__，最小值为___. 1 [解析] 因为函数， 所以函数 在区间上单调递增， 所以函数在区间 上的最小值为， 最大值为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 8.[2025·辽宁大连三校联考] 已知幂函数 ，则使 得不等式组成立的自然数 的值为______. 3或4 [解析] 因为为幂函数，所以 ， 解得，则. 由可得 ，解得， 所以符合条件的自然数 的值为3或4. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 9.如图所示是函数，且互质 的图象，则( ) A.，是奇数且 B.是偶数，是奇数，且 C.是偶数，是奇数，且 D.是奇数，是偶数，且 √ ◆ 综合提升 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 [解析] 由图象可看出为偶函数， 且在 上单调递增，当时，随着的增加， 增加得越来越慢，故且为偶数， 又， 且互质，所以 是奇数.故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10.[2025·广东佛山二模]已知函数， 是奇 函数，在上单调递减，则是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 54 [解析] 若是奇函数，则 ，即 恒成立，所以，则 ， 因为在上单调递增， 所以在 上单调递减，充分性成立； 若在 上单调递减， 因为在上单调递增，所以，故 ， 此时不一定有，必要性不成立. 所以是 的充分不必要条件.故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 55 11.已知函数是幂函数,对任意 , ,且,满足.若,,且 , ,则 的值( ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 56 [解析] 因为函数对任意,,且 ,满足 ,所以在 上单调递减. 由是幂函数,可得 , 解得或. 当时,在 上单调递增,不满足题意； 当时,在 上单调递减,满足题意, 故,且为奇函数. 因为, ,所以,所以, 所以 ,所以 .故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 57 12.（多选题）已知函数 ，则下列结论正确的是 ( ) A.存在，使得 B.函数 的图象是一个中心对称图形 C.曲线有且只有一条斜率为 的切线 D.存在实数，，使得函数的定义域为，值域为 √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 58 [解析] 由题知.若 ， 则，可得，所以 ， 所以存在，使得 ，A选项正确； ， 则的图象关于点对称， 所以函数 的图象是一个中心对称图形，B选项正确； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ， 因为，当且仅当 时取等号， 所以，所以曲线没有斜率为 的切线， C选项错误； 令，则，所以 ， 易知, 两个函数的图象有两个交点， 所以存在实数，，使得函数的定义域为， 值域为 ，D选项正确. 故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.已知函数， ， ，若对于任意 ，总存在 ，使得成立，则实数 的取值范围为______. [解析] ， ， 因为，所以，设 ， 则，， . 由对勾函数的性质可得，当时，单调递减， 当 时，单调递增， 当 时，函数 取得最小值， 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 61 ， 当 时，， 当时， ， 设函数的值域为，则 . 由， 得 在上单调递减，则在上的最大值为 ， 最小值为， 设的值域为 ，则. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若对于任意，总存在 ，使得 成立，则，即解得 ， 所以实数的取值范围是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知函数满足， ， 若函数与的图象有4个交点，， ， ，则 ____. 16 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 64 [解析] 由可知，函数 满足 ，所以的图象关于点 中心对称. ，显然函数的图象是由 的图象先向 右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，而 的图 象关于原点对称，所以的图象关于点 中心对称. 故 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 65 15.（多选题）已知函数 ，若对于任意正实数 ,,，均存在以,,为三边长的三角形，则整数 的 取值可能是( ) A. B.1 C.2 D.3 √ √ √ ◆ 能力拓展 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 66 [解析] 因为对任意正实数,,,都存在以,, 为三边 长的三角形,所以对任意的,, 恒成立. ，因为 ，所以 ，当且仅当，即时取“ ”. 令,则. 当,即 时,该函数在上单调递减,则； 当时, ； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当,即时,该函数在上单调递增,则 . 当时,因为,, 所以 , 解得； 当时, ,满足条件； 当时,,且 , 所以,解得. 综上可得,.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $