第2单元 08 第11讲 指数与指数函数（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“指数与指数函数”专题，依据课标要求覆盖指数幂运算、指数函数图象与性质等核心考点，通过分析近五年高考真题明确单调性比较大小、指数方程不等式等高频题型，构建系统的知识梳理与题型归纳体系。 课件亮点在于“真题演练+方法提炼+素养提升”，如结合2023天津卷比较大小题，提炼“同底化”“中间量法”等技巧，培养运算能力与推理意识。通过指数函数图象过定点问题，强化几何直观，帮助学生掌握分类讨论、换元法等解题策略，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

第11讲 指数与指数函数 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.通过对有理数指数幂，且;,,且 、实数 指数幂，且， 含义的认识,了解指数幂的拓展过 程,掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念. 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解 指数函数的单调性与特殊点. 课 标 要 求 3 1.根式 次 方根 概念 一般地，如果，那么叫作 的_________，其中 ，且 性质 当是______时，的次方根为 当是______时，正数的次方根为 ，负数没 有偶次方根 0的任何次方根都是0，记作 次方根 奇数 偶数 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 次 方根 概念 式子叫作______，其中叫作________， 叫作 ___________ 根式 性质 当为奇数时， ___ 当为偶数时， 根式 根指数 被开方数 续表 课 前 基 础 巩 固 5 2.有理数指数幂 （1）幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂： . ②正数的负分数指数幂： . 的正分数指数幂等于___，0的负分数指数幂__________. 0 没有意义 课 前 基 础 巩 固 6 （2）有理数指数幂的运算性质 ①_____ ； ②____ ； ③______ . 课 前 基 础 巩 固 7 3.指数函数的图象与性质 且 图象 定义域 值域 ________ 课 前 基 础 巩 固 8 且 性质 过定点______ 当 时，______； 当 时，__________ 当 时， __________； 当 时， ______ 在 上是________ 在 上是________ 增函数 减函数 续表 课 前 基 础 巩 固 9 题组一 常识题 1.［教材改编］化简：_____ . [解析] . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 10 2.［教材改编］已知,则 ___, ____. 7 47 [解析] 由,得,即 , 因此, 所以,即 ,于是 . 课 前 基 础 巩 固 11 3.［教材改编］函数且 的图象恒过定点 ______. [解析] 令，得，此时 ， 所以函数且的图象恒过定点 . 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 ◆ 索引：忽略的范围导致式子 化简出错;不能正确理解 指数函数的概念致错;指数函数问题忽略底数的两种情况致错. 4.计算: _____. [解析] . 课 前 基 础 巩 固 13 5.若函数为指数函数，则 ___. 2 [解析] 由指数函数的定义可得解得 . 课 前 基 础 巩 固 14 6.若指数函数在上的最大值为2，则 _ ____. 2或 [解析] 若，则在上单调递增，所以 ； 若，则在上单调递减，所以 ， 解得. 故的值为2或 . 课 前 基 础 巩 固 15 探究点一 指数幂的运算 1. ___. 1 [解析] . 课 堂 考 点 探 究 16 2.若，则 __. [解析] 由两边平方，得 ，两边再平方得 ，. 又 ， . 课 堂 考 点 探 究 17 3.（多选题）已知， ，则下列运算正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 对于A选项，由，得 ，A选项正确； 对于B选项， ，B选项正确； 对于C选项， ，C选项错误； 对于D选项， ， D选项正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 19 4.化简： . 解：原式 . 课 堂 考 点 探 究 20 [总结反思] 指数幂运算的一般原则: （1）指数幂的运算首先将根式、负分数指数幂统一为正分数指数幂, 以便利用法则计算. （2）先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. （3）若底数是负数,则先确定符号;若底数是小数,则先化成分数;若底 数是带分数,则先化成假分数. （4）若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数 幂的运算性质来解答. 课 堂 考 点 探 究 21 探究点二 指数函数的图象及应用 例1（1）函数，，， 的 图象如图所示，，，，分别是，，， 中 的一个，则，，， 的值分别是( ) A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， ［思路点拨］根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直 线 与图象的交点的纵坐标进行判断. √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 由题图得，直线 与函数图象的交点的 纵坐标从大到小依次为，，， ， 而 ，故选C. 课 堂 考 点 探 究 23 （2）（多选题）已知函数 ,且 的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据所给函数图象得到, 的取值范围,进而结合指数函数 的单调性及不等式的性质判断各选项即可. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 由题图可知,函数 ，且 在上单调递增,所以,又当 时, ,所以 . 对于A选项, ,故A正确; 对于B选项, ,故B正确; 对于C选项, ,故C错误; 对于D选项,因为,所以,所以, 故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 25 （3）若直线与函数，且 的图象有两 个交点，则 的取值范围是_ _____. ［思路点拨］对 进行分类讨论，画出图象，数形结合求参数范围. [解析] 当时， 的图象如 图①，因为直线与 的图象 有两个交点，所以 ，所以； 当时， 的图象 如图②， 此时直线不可能与 的图象有两个交点. 综上，的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 26 [总结反思] （1）研究指数函数 的图象要抓住三个特殊点: ,, . （2）对于与指数函数有关的函数图象问题的研究,往往利用指数函数 的图象,通过平移、对称变换得到其图象. （3）一些指数方程、不等式问题,往往结合相应的指数型函数图象, 数形结合求解. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题（1）（多选题）已知实数，满足等式 ，则下列 结论不可能成立的有( ) A. B. C. D. [解析] 在同一坐标系中作出函数和 的 大致图象，如图所示.设， . 当时，由图可知； 当 时，由图可知； 当时，由图可知.故选 . √ √ 课 堂 考 点 探 究 28 （2）当且时,若函数的图象过定点 , 则 ___. 1 [解析] 依题意得解得于是 . 课 堂 考 点 探 究 29 探究点三 解决指数函数性质有关的问题 微点1 利用单调性比较大小 例2（1）已知，， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由，， ，可得 ，显然.又， ，而 ，所以，所以 ．故选D． √ ［思路点拨］根据指数函数、幂函数的单调性即可判定b<a,c<a, 再利用指数函数的单调性判定c<b,即得结果. 课 堂 考 点 探 究 30 （2）若；，则是 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 由，得 . 设，则函数为增函数，所以 ， 所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A. √ ［思路点拨］ 首先把， 然后构造函数f(x)＝,再利用函数f(x)＝的单调性得 出的大小关系，进而得到结论. 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] 比较指数式的大小的依据是指数函数的单调性,原则上是将待比较的 指数式化为同底的指数式,并要注意底数的范围是还是 . 若不能化为同底,则可化为同指数或利用中间量比较. 课 堂 考 点 探 究 32 微点2 解简单的指数方程或不等式 例3（1）不等式 的解集为_______． ［思路点拨］根据给定条件，转化为同底的指数不等式，再利用指 数函数的单调性得到一元二次不等式，求解可得解集. [解析] 由，得 ， 因为函数在上单调递增，所以 ， 即，解得，所以原不等式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）若关于的方程 有两个不相等的 实数根,则实数 的取值范围是___________________________. ［思路点拨］令,把原问题转化为关于 的一元二次方 程有两个不等的正实数根问题，从而求得 的 取值范围. 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 令,则方程化为 , 依题意知方程 有两个不相等的正实数根,因此 解得或，故实数 的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 35 [总结反思] （1）且 . （2）,当时,等价于;当 时,等 价于 . （3）有些含参数的指数不等式（方程）需要用换元法求解. 课 堂 考 点 探 究 36 微点3 探究指数型函数的性质（含复合函数单调性的结论） 例4 已知函数 为偶函数， . （1）求的值及函数 的值域； ［思路点拨］先根据函数是偶函数求出参数，再结合基本不等式求 出值域； 课 堂 考 点 探 究 37 解： 为偶函数， ， 即 ， ，即， ， ，当且仅当 时取等号， 故函数的值域为 . 课 堂 考 点 探 究 38 （2）若命题“，”为假命题，求实数 的取值范围. ［思路点拨］先根据不等式恒成立化简不等式，再用换元法结合（1） 求出新自变量的范围，再应用导数求出最值即可求参数的取值范围. 解：因为命题“，”为假命题，所以命题“ ， ”为真命题. ， 令，当且仅当 时等号成立， 则 ， 课 堂 考 点 探 究 39 对任意 恒成立， 即对任意 恒成立. ，对任意 恒成立. 令，则， 在 上单调递增， 故，，故的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 40 [总结反思] 指数函数性质的综合问题主要涉及单调性、奇偶性、最值等,应结合 题目条件合理利用这些性质进行解题.指数函数性质的重点是单调性, 注意利用单调性实现问题的转化. 课 堂 考 点 探 究 41 应用演练 1.[2023·天津卷]若,,,则,, 的大小关 系为( ) A. B. C. D. [解析] 因为函数在上单调递增，且 , 所以，即. 因为在 上单调递增，且, 所以，即.所以 . √ 课 堂 考 点 探 究 42 2.若当时，方程，且有解，则实数 的 取值范围是______. 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 依题意知，当时，与 的图象有交点. 因为在上单调递减，所以 在上的取值范围是， 当 时，在上的取值范围是，即 ， 不满足题意，故. 当时，作出， 在上的图象， 如图所示，由图可知 解得 . 课 堂 考 点 探 究 44 3.不等式 的解集为________. [解析] 由，可得 . 令，因为，， 均为上的减函数，所以在上单调递减， 且 ，所以，所以， 故不等式 的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 45 4.函数 的单调递增区间为__________. [解析] 设，则在 上单调递减，在上单调递增. 由，得 ，由，得， 而函数在 上单调递减， 所以函数的单调递增区间为 . 课 堂 考 点 探 究 46 课时作业 47 1. ( ) A.9 B. C.3 D. [解析] .故选B. √ ◆ 基础热身 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 2.若函数是指数函数，则 的值为( ) A.2 B.3 C. D.4 [解析] 函数是指数函数， 且,，解得， ， .故选A. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 3.[2025·河北石家庄二模]已知，， ，则 ，， 的大小关系为( ) A. B. C. D. [解析] 因为在 上单调递增， 所以. 因为在 上单调递增，所以. 因为在 上单调递减，所以， 又，所以，所以 .故选D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 4.[2025·河北保定二模]若函数在上单调，则 的 取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 [解析] 当时，根据指数函数在 上单调递增， 可知. 当时， ，所以， 在上单调递增； 当 时， 在上不单调； 当时， ，所以， 在上单调递减. 综上可得， 的取值范围为 .故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 5.[2025· 重庆南开中学模拟]已知 且 ，，函数与 的图象如 图所示，则( ) A. B.且 C.且 D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 [解析] 函数 由题图知当 时， 单调递减，所以，即 . 由题图知函数的定义域为，且为增函数，所以 . 又随着的增加， 的增长速度逐渐变快，所以. 综上可得，且 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.（多选题）已知定义在上的函数 ， 则下列结论中正确的是( ) A.的单调递减区间是 B.的单调递增区间是 C.的最大值是 D.的最小值是 √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 [解析] 设，，则是增函数，且 ， 又函数在上单调递增， 在 上单调递减，因此在上单调递增， 在 上单调递减，故A正确，B错误； ，故C正确； 因为 ，，所以的最小值是， 故D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 7.若函数在区间 上的最大值与最小值的差为2，则 ___． 2 [解析] 因为函数在区间 上单调递增， 所以根据题意得，解得或 （舍去）. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 8.[2025·八省联考] 已知函数,且 ，若 ，则 __． [解析] 由，可得 ， 即，即， ，且 ，， 两边取自然对数得，解得 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 9.[2025·杭州二模]定义“真指数” 为自然对数的底数 ，则( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 [解析] 对于A，取,，则，即左边 ， 右边，排除A. 对于B，取, ，则，即左边， 右边 ，排除B. 对于D，取,，则，即 ， ，排除D.故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 10.[2025·福建龙岩5月质检]已知，若当 时， 有 ，则必有( ) A.,, B.,, C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 [解析] 画出 的图象，如图所示. 对于A，当时，若,, ， 因为当时，函数 单调递减，所以 ，与 矛 盾，故A错误； 对于B，由图知当时，若 ， 则可能小于零，也可能大于零，故B错误； 对于C，当 ，，时，满足题意，但 ， 故C错误； 对于D，由图可知，,，所以,，又 ， 所以，所以 ，故D正确.故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 11.已知正数，，满足， ， ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 [解析] 由已知可得， ，， 则，，可分别看作直线 和，， 的图象的交点的横 坐标. 画出直线和，， 的大致图象，如图所示. 由图可知， .故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 12.[2025·安徽安庆二模]函数 的图象经过原点，且 无限接近直线 但又不与该直线相交，则( ) A.函数 不具有奇偶性 B. C.函数的值域为 D.函数的单调递增区间为 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 [解析] 因为函数的定义域为，且 ， 所以函数为偶函数，故A错误； 由函数的图象过原点，得 ，即， 所以，由于 , 的图象无限接近直线但又不与该直线相交，因此 ， 则，则 ，故B，C错误； 由以上的分析得，函数 显然 的单调递增区间为 ，故D正确.故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 13.[2025· 湖北武汉四月调研] 为了响应节能减排号召，某地政府决 定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第 年年底光伏太阳能板的 保有量（单位：万块）满足模型，其中 为饱和 度，为初始值， 为年增长率.若该地区2024年年底的光伏太阳能 板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为 ， 饱和度为1020万块，那么2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量 约为____万块.（结果四舍五入保留到整数，参考数据： ，， ） 36 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 [解析] 根据题意知，,,, ， 则2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量 ， 因为 ，所以 ， 所以2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约为36万块. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 14.若不等式的解集为 ,则实数 ___. 1 [解析] 原不等式可化为,因为在定义域 上为减函数,所以,即 , 又原不等式的解集为,所以关于 的方程 的两根为,6,所以 解得 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 15.已知函数 . （1）求函数 的值域； 解：的定义域为 .当时，， 因为，所以 ，所以； 当时， ，因为，所以， 所以 . 综上可得，函数的值域为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 （2）若时，恒有成立，求实数 的取 值范围. 解：因为，所以， ， 则即为 ， 两边同时乘得 ， 即 ， 即 ， 即 恒成立. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 令， ， 由二次函数的性质可知在上单调递减， 所以当 时， ， 所以，所以实数的取值范围是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.[2025· 辽宁大连育明中学一模]已知函数 ,，若正实数, 满足 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D. √ ◆ 能力拓展 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 [解析] 由函数, ，可得 ， 所以函数为奇函数. 易知为增函数，因为正实数, 满足， 所以 ，即 ，则 ， 当且仅当，即,时，等号成立， 所以 的最小值为 .故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 17.若对任意和任意 ，都有 成立，则实数 的取值范围为___________. [解析] 由可得 . 令，， 因为 与均在 上单调递减， 所以在 上单调递减， 所以. 由题知，对任意都有 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 当时，恒成立，满足题意； 当 时，幂函数在上单调递增， 所以 ，解得，即； 当 时，幂函数在上单调递减， 所以 ，则，即. 综上可得，实数 的取值范围为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $