第2单元 11 第14讲 函数与方程（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数与方程”专题，依据课标要求覆盖函数零点定义、零点存在定理、二分法及零点应用等核心考点，对接高考评价体系，分析近五年高考中零点存在性判断（占比约30%）、参数范围求解（占比约40%）等高频考点，归纳选择、填空、解答题三大常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题驱动+素养导向”的备考设计，如结合2024新课标Ⅱ卷函数交点题，用“数形结合+单调性分析”突破零点区间判断，培养数学思维与直观想象素养。针对“忽略定义域致误”等易错点设专题警示，通过复合函数零点换元法等典型题型解析，帮助学生掌握解题技巧，教师可依托此课件精准定位考点，提升复习效率。

第14讲 函数与方程 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.函数的零点 （1）函数零点的定义 对于一般函数，我们把使 的_______叫作函数 的零点. 实数 （2）等价关系 方程有实数解 函数有______ 函数 的 图象与_____有公共点. 零点 轴 课 前 基 础 巩 固 4 （3）函数零点存在定理 如果函数在区间 上的图象是一条连续不断的曲线,且有 _____________,那么,函数在区间 内____________零点, 即存在,使得_________,这个也就是方程 的解. 至少有一个 课 前 基 础 巩 固 5 2.二分法 （1）二分法的定义：对于在区间 上图象__________且 _____________的函数 ,通过不断地把它的零点所在区间 __________,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点 ________的方法叫作二分法. 连续不断 一分为二 近似值 课 前 基 础 巩 固 6 （2）给定精确度,用二分法求函数零点 的近似值的一般 步骤: ①确定零点的初始区间______，验证 . ②求区间 的______. 中点 ③计算 ，并进一步确定零点所在的区间： 若_________此时,则就是函数的零点;若 （此时______）,则令;若此时 , 则令 . ④判断是否达到精确度若___________,则得到零点近似值或 , 否则重复步骤②～④. 课 前 基 础 巩 固 7 ◆ 对点演练◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］ 函数 的零点个数是___. 1 [解析] 由题知,函数在上单调递增,且, , 故函数 存在唯一的零点. 课 前 基 础 巩 固 8 2.［教材改编］若函数在区间 内有零点， 则实数 的取值范围是______. [解析] 令，则， 由 ，可得， 令，， 则由题知直线 与，的图象有交点. 在 上单调递增，且，， . 课 前 基 础 巩 固 9 3.［教材改编］利用二分法求方程 的一个近似解时， 已经将一解锁定在区间 内，则下一步可断定该解所在的区间为 ______. [解析] 令，则 ， ，， 由 知该解所在的区间为 . 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 常错题 ◆ 索引：误解函数零点的定义致误;忽略限制条件致误. 4.函数 的零点为___. 2 [解析] 由题知的定义域为， 由 ，得， 即或，解得 （舍）或， 所以函数 的零点为2. 课 前 基 础 巩 固 11 5.已知函数 的图象是连续不断的,且有如下的对应值表: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 6 19 13 4 29 98 则下列说法正确的是________.（填序号） ①函数在区间内有零点;②函数在区间 内有零点;③ 函数在区间内有零点;④函数在区间 内有三个零点. ①②③ 课 前 基 础 巩 固 12 [解析] 由题知,, , 因为的图象是连续不断的,所以函数在,, 三个 区间内均有零点,但不能判断有几个零点,故①②③正确,④不正确. 故填①②③. 课 前 基 础 巩 固 13 6.函数 的零点个数是___． 2 [解析] 当时，由可得； 当 时，由，解得. 所以函数 的零点个数是2. 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 函数零点所在区间的判断 例1（1）函数 的零点所在区间是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据函数零点存在定理分析判断. [解析] 函数的定义域为， 易知函数在 上单调递增， 又, ， 所以函数的零点在 内.故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 15 （2）已知函数,, 的零点 分别为,,,则,, 的大小关系为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］将函数零点问题转化为函数图象交点问题，通过数形 结合求解. √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 由得 , 由得 , 由得 在同一坐标系内作出函数，, 和 的图象，如图所示. 由图可知，, , ,所以 .故选B． 课 堂 考 点 探 究 17 [总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:（1）解方程法,当对应方程易解时,可 直接解方程;（2）利用函数零点存在定理;（3）数形结合,画出相应 函数图象,观察与 轴的交点来判断,或转化为两个函数的图象在所给 区间上的交点的横坐标来判断. 课 堂 考 点 探 究 18 变式题（1）已知,若,则 所在区间为 ( ) A. B. C. D. [解析] 由已知得函数的图象是连续的，且 单调递增. 因为, , 所以, 由函数零点存在定理可知 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 19 （2）已知函数与的图象的交点为 ，若 ，，则 ___． 3 [解析] 令函数 ， 显然函数在上单调递增，所以至多有一个零点. 由函数 与的图象的交点为， 得函数的零点为 ， 而,，即， 因此 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 20 探究点二 函数零点个数的判断 例2（1）已知函数则关于 的方程 的根的个数不可能是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 ［思路点拨］作出函数的图象，分，， 三 种情况讨论直线与 的图象的交点个数，从而得解. √ 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] 作出函数 的图象，如图所示. 将原问题转化为直线过定点 与 函数 的图象交点的个数问题. 由图可知，当时，直线与函数 的图象只有1个交点； 当时，直线与函数 的图象没有交点； 当时，直线与函数 的图象有3个交点. 所以直线与函数 的图象不可能有2个交点.故选C. 课 堂 考 点 探 究 22 （2）若定义域为的奇函数满足，则 在 上的零点个数至少为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 ［思路点拨］由奇函数的性质可得，由 得 函数的周期为1,从而可得 ，赋值可得 ，最后结合周期性即可得结果. √ 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 由是定义域为的奇函数可得 ， 再由可得函数 的周期为1, 则 中取 ，得， 所以，， ，， 所以在 上的零点个数至少为7.故选C. 课 堂 考 点 探 究 24 [总结反思] 求解函数零点个数的基本方法有:（1）直接法,令 ,方程有多 少个不同的解则 有多少个不同的零点;（2）定理法,利用函数零 点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;（3）图象法, 一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出 函数的零点个数；（4）若函数是周期为 的奇函数,则必有 . 课 堂 考 点 探 究 25 变式题（1）函数 的零点个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [解析] 方法一：由和都在 上连续且单调递增， 得在 上连续且单调递增. 因为 , , 所以函数 有且只有一个零点.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 26 方法二：由题知，的零点个数即为函数 和 的图象的交点个数. 画出两函数的图象如图所示， 由图可知两函数图象交点的个数为1，即 的零点 个数为1.故选B. 课 堂 考 点 探 究 27 （2）若偶函数，满足，且当时, ，则方程在 内的根的个数为___. 8 [解析] ， 偶函数 是周期为4的函数. 由当时，，可作出函数在 内的 图象，同时作出函数在 内的图象，如图所示. 由图可得两图象的交点个数为8， 即方程在 内的根的个数为8. 课 堂 考 点 探 究 28 探究点三 函数零点的应用 角度1 根据零点个数求参数范围 例3 （多选题）[2025·北京西城区二模] 已知函数 ，其中 . ①若函数无零点，则 的一个取值为_________________； -1（答案不唯一） 课 堂 考 点 探 究 29 ［思路点拨］作出函数的图象，函数无零点，即 的图象与的图象无交点，由图可得到 的一个取值； [解析] 画出函数 的图象，如图所示. 函数无零点，即关于的方程 无解，即的图象与的 图象无交点，由图可知 ，可取 . 课 堂 考 点 探 究 30 ［思路点拨］由图象的对称性，即可得出 的值. [解析] 函数有4个零点，即关于的方程 有4个根，即的图象与的图象 有4个交点，作出 的图象如图， 不妨设. 因为，关于直线 对称，所以， 因为，关于直线对称，所以 ， 所以 . ②若函数有4个零点，则 ___. -2 课 堂 考 点 探 究 31 变式题 已知函数 ，给出下列四个结论： ①若，则函数 至少有一个零点； ②存在实数，，使得函数 无零点； ③若，则不存在实数，使得函数 有三个零点； ④对任意实数，总存在实数使得函数 有两个零点. 其中所有正确结论的序号是________. ①②④ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 当时，， 令 ，得， 在同一坐标系中作出， 的图象， 如图（a）所示， 由图及的图象过定点 知， 与的图象至少有一个交点， 则函数 至少有一个零点，故①正确. 课 堂 考 点 探 究 33 当， 时，在同一坐标系中作出 ， 的图象， 如图（b）所示，由图可知，两函数的图象无交点， 则函数无零点，故②正确. 当 ，时，在同一坐标系中作出， 的图象，如图（c）所示， 由图可知，两函数的图象有三个交点， 则函数 有三个零点，故③错误. 课 堂 考 点 探 究 当 时，在同一坐标系中作出， 的图象，如图（d）所示； 当时，在同一坐标系中作出 ， 的图象，如图（e）所示; 课 堂 考 点 探 究 当 时，在同一坐标系中作出， 的图象，如图（f）所示. 由图（d）（e）（f）可知，对任意实数，总存在实数 使得两 函数的图象有两个交点，则函数 有两个零点，故④正确.故填① ②④. 课 堂 考 点 探 究 角度2 根据零点（所在区间）求参数范围 例4（1）已知是函数 的零点，则 的值( ) A.为正数 B.为负数 C.等于0 D.无法确定正负 √ 课 堂 考 点 探 究 37 ［思路点拨］利用零点存在定理及的单调性求出 的零点所 在的区间，再判断式子的符号. [解析] 由题意可知单调递增且 ， ，则， 所以 ，，， ， 所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 38 （2）[2024· 新课标Ⅱ卷]设函数 , 为常数,当时，曲线 与恰有一个 交点，则 ( ) A. B. C.1 D.2 ［思路点拨］思路一：令，则根据题意得 有 唯一零点，由 为偶函数，得零点为0，从而得到结果； 思路二：令，转化为函数 与 的图象有唯一交点，从而得到结果； 思路三：通过参变分离，研究函数 的最值得到结果. √ 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] 方法一:令 , 则为偶函数, 因为当 时,曲线与 恰有一个交点, 所以,得 . 课 堂 考 点 探 究 40 方法二:令 ,得 ,即 . 设 , ,易知, 都为偶函数. 当时, , , 故曲线与无交点; 当 时,作出与 的大致图象,如图所示, 因为曲线与恰有一个交点,且 , 所以,则 . 课 堂 考 点 探 究 41 方法三：令 ，得，得 . 当时， 单调递增，单调递减， 且 ，， 故 单调递增，其取值范围是； 当时， 单调递减，单调递增， 且 ，， 故 单调递减，其取值范围是. 根据题意得直线与 在上的图象恰有一个交点， 故 ，故选D. 课 堂 考 点 探 究 42 [总结反思] 已知函数的零点个数或零点所在区间求参数取值范围常用的方法和 思路: （1）直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不 等式确定参数范围; （2）分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以 解决; （3）数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数 的图象,然后数形结合求解. 课 堂 考 点 探 究 43 变式题（1）[2025·浙江Z20联盟一联]设函数 , ，若函数在区间 上存 在零点，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 44 [解析] 由，得 ， 依题意得对 有解. 记，，则函数与在 上 的图象有公共点. 当时，. 当 时，，显然函数与在 上的图象无公共点；当时，函数与的图象都 关于 轴对称，则即解得. 综上，实数 的取值范围是 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 45 （2）[2025·福州四检]若 为函数 的零点，则 ( ) A.0 B.1 C.2 D. √ 课 堂 考 点 探 究 46 [解析] 当时，，求导得 ， 令，可得，当时，，当 时，，所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以， 又，所以在 上无零点. 当 时， . 令，得， 又 ，所以，即， 因为为函数 的零点，所以， 两边取自然对数得 ，所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 47 探究点四 复合函数的零点 例5 设函数则函数 的零点 的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 ［思路点拨］作出函数 的图象，将问题转化为求方程 的根的个数，令，先确定 的根，再得 的根的个数，结合函数图象即可求解. √ 课 堂 考 点 探 究 48 [解析] 作出函数 的图象，如图所示. 令 ，则由，即 ，得 或 ，所以或或. 当时，则，结合函数 的图 象可得的根有3个； 当时，则 ，结合函数的图象可得的根有1个； 当时，则 ，结合函数的图象可得 的根 有0个. 综上可得，函数 的零点的个数是4.故选C. 课 堂 考 点 探 究 49 [总结反思] 求复合函数 零点个数的一般方法是换元法，具体步骤是： （1）令，解方程,解得的值的值可能有多个 ； （2）根据不同的的值解方程，这个方程的解 即为函数 的零点. 如不能直接解出的值，可结合函数与 的图象的交点 个数，确定函数 的零点个数. 课 堂 考 点 探 究 50 变式题 已知函数 若函数 有5个不同的零点，则实 数 的取值范围为____________________. 或 课 堂 考 点 探 究 51 [解析] 令 ，得或， 作出函数 的大致图象如图. 因为直线与 的图象有3个交点，所以直线与 的图象只能有2个交点，则或，解得或，故 的取值范围为或 . 课 堂 考 点 探 究 52 课时作业 53 ◆ 基础热身 ◆ 1.函数 的零点是( ) A.1 B. C. D.4 [解析] 由，解得,故函数 的 零点是 .故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 2.函数 的零点所在的区间是( ) A. B. C. D. [解析] 由已知可得在 上为增函数， 且， ， 根据函数零点存在定理，可得函数在 上有零点， 且零点是唯一的.故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 3.（多选题）下列函数图象与 轴均有公共点，其中不能用二分法求 零点的是( ) A. B. C. D. [解析] 能用二分法求零点的函数必须在给定区间 上的图象连续 不断，并且有，A，B中不存在 ，D中函数图 象不连续.故选 . √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 4.（多选题）设 ，某同学用二分法求方 程的近似解（精确度为 ），列出了对应值表如下： 0.125 0.75 2 0.49 3.58 依据此表格中的数据，方程的近似解 不可能为( ) A. B.0.375 C.0.525 D.1.5 [解析] 由表格中数据可得在区间 内，观察四个选项 可知，可能为，不可能为A，B，D选项中的数.故选 . √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 5.（多选题）以下说法中正确的有( ) A.函数在区间上连续，若满足 ，则方程 在区间 上可能有实根 B.若函数的零点为，则函数在点 两侧的函数值的符 号一定不相同 C.用“二分法”判断函数零点所在区间的方法对连续不断的函数的所 有零点都有效 D.连续函数相邻两个零点之间的函数值（两零点之间的函数值不为0） 保持同号 √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 [解析] 对于A，函数在上连续， ，方 程在上有实根0，A正确； 对于B，函数 的零点为0，而函数在点 两侧的函数 值符号相同，B错误； 对于C，用“二分法”判断函数零点所在区间的方法对连续不断的函数 在零点两侧函数值符号相同的零点无效，C错误； 显然D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 6.已知函数若函数 恰有3 个零点，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 [解析] 当时， ，， 作出在 上的大致图象，如图所示. 由，得 . 若函数恰有3个零点， 则函数的图象与函数 的图象恰有3个不同的交点， 由图可知 .故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 7.已知函数的零点在区间 上， 则 ___. 3 [解析] 是增函数， ，， 即， 函数 的零点在上， 又函数 的零点在区间上， . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 8.[2025·河南郑州二检] 函数与函数 的图象的交点个数为___. 3 [解析] 作出函数和函数 的图象， 如图. 因为，，而， 所以由图可知， 和 的图象有3个交点. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 ◆ 综合提升 ◆ 9.已知函数则 的图象上关于原点对 称的点有( ) A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 [解析] 作出的图象，再作出函数 , 的图象关于原点对称的图象如图所示. 因为函数, 的图象关于原点对称的 图象与,的图象有3个交点， 所以 的图象上关于原点对称的点有3对.故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 10.[2025·广西南宁适应性测试]设函数 ， ，若曲线与 恰有一个交点，则实数 ( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 令 ，易知其定义域 为,又，所以 为偶函数, 由曲线与恰有一个交点,得 有唯一的零点， 则，解得 .故选D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 [解析] 令 ， 则， ，， 则，， 可分别视为函数，， 的图象 与直线 交点的横坐标. 11.[2026· 浙南联盟10月联考]已知实数,, 满足 ，则下列关系式不可能成立的是( ) A. B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 在同一坐标系中画出函数，， 和的图象，如图. 当直线为 时，； 当直线为或 时，； 当直线为 时，；当直线为 时， ；当直线为 时，； 当直线为 时，； 当直线为移动到 左侧的直线时，始终有, . 综上所述，， ，都有可能成立， 而 不可能成立.故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.（多选题）[2025·福建部分高中最后一卷]已知函数 则下列说法正确的有( ) A.的单调递减区间为 B.的值域为 C.若有3个零点，则 D.若有5个零点，则 √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 [解析] 函数 的大致图象如图. 由图可知，函数的单调递减区间为 ， ，不能用“ ”连接， 故A错误. 由图可知，函数的值域为 ，故B正确. 若有3个零点，则 ，故C正确. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 由，解得或 ； 由，得或 ， 解得或或； 由 ，解得或. 设 ，由题意知方程有5个不同的解. 由 ，得. 若，则方程 只有1个解，且， 此时方程 有3个解； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 若，则有2个解，且或 ， 而方程有3个解，方程 也有 3个解，所以方程 有6个解； 若，则有3个解, ， 且， ，， 而方程 有1个解，方程有3个解， 方程 也有3个解，所以方程有7个解； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 若 ，则方程有3个解，且 或 或，而方程 有1个 解，方程有3个解，方程 有2个解，所以方程有6个解； 若 ，则有3个解,, ， 且，， ， 而方程有1个解，方程 有3 个解， 方程 有1个解，所以方程有5个解； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 若，则 有2个解，且或 ，而方程 有2个解，方程 有1个解，所以方程有3个解； 若 ，则有1个解， 且 ，此时方程 至多有1个解. 综上，若有5个零点，则 ，故D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.若偶函数满足，且当 时，，则函数 有___个零点. 6 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 [解析] 由函数 满足可得函数 是周期为2的周期函数. 结合 是偶函数，且当时，， 作出函数 的图象，再作出函数的图象， 如图所示. 因为， ， 所以由图可知两个函数的图象有6个交点， 所以函数 有6个零点. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 14.函数 的零点为____. [解析] 由,得, 令 ,则,可得, 观察可知 符合条件，所以. 设,易知 是减函数， 所以存在唯一的使得,即是 的唯一解， 所以函数的零点为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 15.[2025·浙江强基联盟期末] 已知函数， .若 的零点恰为的零点，则 的最大值是___. 3 [解析] 设，, 显然，集合 为非空集合. 当时，显然， 当时， ， ,，易知 ，当且仅当对任意的， 有，即 ，故整数 的最大值为3. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 16.已知关于的方程在区间 上有解，则实数 的最大值为_ ___. [解析] 方法一：由 ，得 ， 令，则在 上单调递增，且. 若，则 ，不符合题意； 若，则，不符合题意. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 ,在上有解， 即在 上有解. 令，则 . 令，得，在上单调递增； 令 ，得，在 上单调递减. ，的最大值为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：，令 ， 则， 原式可化为 ， 即，即 ， , ，即， 在 上有解. 令，则 . 令，得，在上单调递增； 令 ，得，在 上单调递减. ，的最大值为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 81 ◆ 能力拓展 ◆ 17.[2025·湖北十堰4月调研] 已知函数 若存在 实数，，，使得，且，， 成等差数列，则 __. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 82 [解析] 因为函数 的图 象是由保留函数在 上的图象，并去除 函数在上的图象，再将函数 在 上的图象关于 轴对称得到的，所以作出函 数的图象如图所示. 当时，设方程的解为 ，，， ，因为 ，所以，，为，， ，中的三个数， 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 83 又，， 成等差数列，且， 所以，，对应的数分别为，，或 ，，. 根据对称性，不妨取，， 对应的数分别为，，， 因为，所以 ，又，所以. 因为 ，所以， 令 ，则， 因为函数 为减函数，且， 所以方程 的解为，即， 解得，则 ，故 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $