第2单元 05 第9讲 函数的四性质的应用（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦函数周期性、奇偶性、对称性、单调性四大性质，依据课标要求和高考评价体系，梳理了定义辨析、结论应用、综合求值等考查维度，通过真题分析明确周期性与奇偶性结合、对称性与单调性综合等高频题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题引领-方法归纳-素养提升”策略，如结合2022全国乙卷真题，用“函数方程推导周期+对称性转化”突破求值问题，培养逻辑推理和数学抽象素养。特设易错点警示（如周期性与对称性混淆）和分层训练，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，高效备战高考。

第9讲 函数的四性质的应用 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义. 2.掌握函数的性质. 课 标 要 求 3 函数的周期性 （1）周期函数 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数 ，使得 对每一个都有，且________________，那么函数 就叫作周期函数，非零常数 叫作这个函数的周期. ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 （2）最小正周期 如果在周期函数 的所有周期中存在一个____________，那么这 个__________就叫作 的最小正周期.不是所有的周期函数都有最 小正周期. 最小的正数 最小正数 课 前 基 础 巩 固 5 常用结论 1.设的周期为，对的定义域内任一自变量的值 ，有如下 结论： （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 . 课 前 基 础 巩 固 6 2.对称性与周期性之间的常用结论： （1）若函数的图象关于直线和对称，则函数 的 周期 ； （2）若函数的图象关于点和点对称，则函数 的 周期 ； （3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数 的周期 . 课 前 基 础 巩 固 7 题组一 常识题 1.［教材改编］已知函数满足,当 时, ,则 ___. 8 [解析] 因为,所以 是以3为周期的周期函数, 所以 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 8 2.［教材改编］若偶函数的图象关于直线 对称，且当 时，，则 ___. 5 [解析] 为偶函数，， 又 的图象关于直线对称， , . 课 前 基 础 巩 固 9 题组二 常错题 ◆ 索引：“若函数满足,则函数 的图象 关于直线对称”与“若 ,则周期 ”混淆出错. 3.若满足,则函数 的一个周期为________ _______________. 3 （答案不唯一） [解析] 因为，所以 的一个周期为3. 课 前 基 础 巩 固 10 4.写出满足为上的偶函数且的一个函数 的解析式：_________________________________. （答案不唯一） [解析] 由为上的偶函数可得 ， 所以，则的图象关于直线 对称， 又，所以满足条件的一个函数 的解析式为 . 课 前 基 础 巩 固 11 探究点一 函数的周期性 例1（1）定义在上的函数满足，且 ， 则 _ __. ［思路点拨］通过已知条件得到函数的周期， 结合 得到结果. [解析] ， ， ， 的周期为4， . 课 堂 考 点 探 究 12 （2）设是定义在上周期为4的偶函数，且当 时， ，则函数在 上的解析式为_____________ ______. ［思路点拨］根据函数 的周期以及偶函数的性质，得到函数 在 上的解析式. 课 堂 考 点 探 究 13 [解析] 根据题意，设，则，所以 ， 又当时， ， 所以， 又 是周期为4的偶函数，所以当 时， ， 即当 时， . 课 堂 考 点 探 究 14 [总结反思] 1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求 出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析 式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. 课 堂 考 点 探 究 15 变式题（1）已知定义在上的奇函数满足 ，当 时，，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 定义在上的奇函数满足 ， 则 ， 于是， 即函数 的周期为4. 而，则，则 ， 又当时， ， 所以 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 （2）（多选题）已知定义在上的偶函数 的周期为4，当 时， ，则( ) A. B.的值域为 C.在上单调递减 D.在 上有8个零点 [解析] 对于A， ， 所以A正确； 对于B，当时， 单调递增，所以当时， 的取值范围为，由函数 是偶函数，可得在上 的取值范围也为，又 是周期为4的周期函数， 所以的值域为，所以B正确； √ √ 课 堂 考 点 探 究 18 对于C，当 时，单调递增， 又的周期是4，所以在 上也单调递增，所以C错误； 对于D，当 时，令，得， 所以，又 的周期为4， 所以,，所以 在上有 6个零点，所以D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 函数的奇偶性、对称性与周期性 例2 （多选题）[2026·广东深圳中学摸底考]已知定义在 上的函数 满足，且 为偶函数，则下列结 论正确的是( ) A.函数 的周期为2 B.函数的图象关于直线 对称 C.函数的图象关于点 对称 D.函数 为奇函数 ［思路点拨］综合利用函数的周期性、对称性、奇偶性，逐一对选 项进行分析判断. √ √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 对于A，由，得 ， 则，即函数 的周期为4， 所以选项A错误； 对于B，因为 是偶函数，所以， 即函数的图象关于直线 对称，所以选项B正确； 对于C，因为 ，所以， 则函数的图象关于点 对称，所以选项C正确； 对于D，因为 ，所以， 则函数 为偶函数，所以选项D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 21 [总结反思] （1）周期性与对称性结合的问题中多考查求值问题,常利用对称性及 周期性进行转换. （2）函数满足关系式 表明的是函数的对称 性,函数满足关系式 表明的是函数的 周期性,在使用这两个关系式时不要混淆. 课 堂 考 点 探 究 22 变式题（1）已知函数的定义域为,且 是偶函数， 是奇函数,则( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：因为 是奇函数,所以 ,且有 . 又因为是偶函数,所以,令 , 得. 在中,令 ，得, 故一定有 ,故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 23 方法二：因为是偶函数,所以的图象关于直线 对称, 又因为是奇函数,所以的图象关于点 对称, 从而的图象关于点对称, 于是函数 的周期. 因为 是奇函数,所以. 因为 是偶函数,所以, 令，得,因此 . 故选B. 课 堂 考 点 探 究 24 方法三：因为函数的定义域为,且是偶函数, 是奇函数,所以可取, 这时, ,, ,故选B. 课 堂 考 点 探 究 （2）[2025·嘉兴二模]已知函数的定义域为，且 ， ，，则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 因为 ， 所以，所以 ， 所以函数 的周期为6， 所以 . 由，，， 令 有 ，，所以 ， √ 课 堂 考 点 探 究 26 所以， 令有， ，即， 令有 ，即 ， 又，所以 ， 所以 ，故选D. 课 堂 考 点 探 究 例3 [2022·全国乙卷]已知函数，的定义域均为 ，且 ，，若 的图象关于 直线对称，，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］将已知两个方程代换后得到函数 的周期，利用 与 的关系即可计算. √ 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 由得 . 由得 ， 所以. 由①②得 ，即， 所以的图象关于点 对称，， 又的图象关于直线对称，所以函数 是周期为4的函数， 且， . 因为，所以 ， 所以， ， 课 堂 考 点 探 究 29 ，， 所以 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 变式题（多选题）[2025·福建部分优质高中4月联考]已知函数 ， 的定义域为，若函数是奇函数，函数 是 偶函数，，且 ，则下列结论正确的是 ( ) A.函数的图象关于直线 对称 B.函数 为偶函数 C.4是函数 的一个周期 D. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 因为是偶函数，所以 . 因为是奇函数，所以 ， 即，又 ， 所以，所以 , 则，所以， 所以函数 为偶函数，故选项B正确. 因为，所以 ， 由，得 ， 所以，得 ， 课 堂 考 点 探 究 32 所以，所以4是函数 的一个周期，故选项C正确. 由,，得，所以 ， 所以，由，得 ， ，所以，， 因为 ，所以，故选项A错误. 由 ，得， 则 ， 所以 ，故选项D正确. 故选 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 函数的对称性、周期性与单调性 例4 （多选题）定义在上的函数满足 , ,且在区间 上单调递增,则下列结论中正 确的是( ) A.是周期函数 B.的图象关于直线 对称 C.在上单调递增 D. ［思路点拨］由可得是 上的奇函数, 由得是以4为周期的周期函数及 的图象 关于直线 对称,综合分析得出结论. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 由,取得 ， 取,得, 所以函数是 上的奇函数. 由,得 , 因此函数 是以4为周期的周期函数,故A正确; ,因此的图象关于直线 对称, 故B正确; 因为在区间上单调递增,所以在区间 上单调递增, 又的图象关于直线对称，所以在区间 上单调递减, 故C错误; 由,得 ,故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 35 [总结反思] 函数的奇偶性、单调性、对称性及周期性是函数的四大性质，解决 四大性质综合的问题，通常先由奇偶性和对称性得出周期，再由已 知单调区间得出其他单调区间，最后在整个定义域上解决问题. 课 堂 考 点 探 究 36 变式题 （多选题）已知定义域为的函数在 上单调递 增，，且的图象关于点 对称，则 ( ) A. B. 的周期为4 C.在上单调递减 D. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 由，可得的图象关于直线 对称， 所以，又由 ，可知. 因为函数的图象关于点 对称，即， 所以 ，所以， 即，所以 ，所以的周期为4， 所以，所以 ，故A，B正确. 因为在上单调递增，且的周期为4，所以 在 上单调递增，又的图象关于点对称，所以 在上 单调递增，又的图象关于直线对称，所以 在上 单调递减，则函数在 上单调递减，故C正确. 课 堂 考 点 探 究 根据的周期为4，可得， ， ，因为的图象关于直线 对称，所以 且，则 ， ， ， 由C选项的分析可知，函数在上单调递增， 在上单调递增，而和 的大小关系不能确定， 若 ，则不成立， 故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 40 1.下列函数是周期函数的为( ) A. B. C. D. [解析] 对于A选项，由二次函数的性质可知 不是周期函数， A错误. 对于B选项，由指数函数的性质可知 不是周期函数，B错误. 对于C选项，由一次函数的性质可知 不是周期函数，C错误. 对于D选项，由正弦函数的性质可知 是周期函数，D正确. 故选D. √ ◆ 基础热身 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 41 2.已知函数则 ( ) A. B.0 C. D. [解析] 由题得 .故选D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 42 3.设是定义在上的周期为2的偶函数,已知当 时, ,则当时, 的解析式为( ) A. B. C. D. [解析] 当时,,因为 是周期为2的 周期函数，所以； 当 时,，因为 为偶函数, 所以. 综上,当 时, ,故选C. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 43 4. 全国一卷］已知为定义在 上周期为2的偶函数,当 时,,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题知, , 所以 .故选A. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 44 5.[2025·江西九江二模]已知是定义在 上周期为2的偶函数，且 当时，.设，, ， 则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. [解析] 由题得, ， 且在上单调递减，因为，所以 .故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 45 ， 故A选项错误； 6.[2025·金华十校4月模拟]下列关于函数 的说法中，正确的是( ) A.最小正周期为 B.是偶函数 C.在区间上单调递增 D.最大值为 [解析] 对于A选项， 对于B选项， ，故B选项错误； √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 对于C选项，， 当时， ，，则， 函数 单调递增，故C选项正确； 对于D选项，，当时， ， ， 此时，，，即,, 无法同时 取到最大值，故D选项错误.故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[2025·浙江北斗星盟四月模拟] 已知函数满足 ，且对 任意，，则函数 ____（填“是”或“不是”） 周期函数， ____. 是 [解析] 由题知， ， ， 所以函数 是周期为3的周期函数. 因为，所以 ，则 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 8.定义在上的函数满足 ,则 ___. 7 [解析] 因为满足,所以当 时, ,当时,,即, 当 时,,当时,,即 , 故 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 9.设是定义在上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ，当时， ． （1）求证： 是周期函数； 证明：因为 ， 所以 ， 所以 是以4为周期的周期函数. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 （2）当时，求 的解析式； 解：函数是定义在上的奇函数，当时， , 所以 . 当时， ， 所以 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 （3）求 的值. 解：易得,,, ， 因为函数 的周期为4， 所以 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 10.[2026·重庆一中月考]设函数的定义域为， 为奇函数， 为偶函数，当时，，则 ( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 [解析] 因为为奇函数，所以， 因为 为偶函数，所以， 则 ，所以， 则，故函数 是周期为4的周期函数. 又为 上的奇函数，所以， 解得 ，则 .故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 11.已知定义在 上的函数 则下列结论正确的是( ) A.的图象关于直线 对称 B.的图象关于点 对称 C.在 上单调递增 D. 有最小值 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 [解析] 对于A，由题意知，若是有理数，且 , 是互质的正整数，则, 也是互质的正整数， 所以, 若为无理数，则 也为无理数，所以, 所以的图象关于直线 对称，故A正确； 对于B，,,显然 的图象不关于点 对称，故B错误； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 对于C，,,所以在 上不单调递增，故C错误； 对于D，若为有理数，, 是互质的正整数则, 显然当 时，，函数 无最小值，故D错误.故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.[2025·沈阳二模]已知函数是定义在 上的偶函数，函数 的图象关于点中心对称，若 ，则 ( ) A. B. C.0 D.1 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 [解析] 由函数的图象关于点 中心对称可知， ，即 ， 可得，因此函数的图象关于直线 对称. 由，可得， 由为 上的偶函数且图象关于直线对称， 可得 故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 13.（多选题）[2025·石家庄三模]已知函数是定义在 上的偶函 数，是定义在 上的奇函数，则( ) A.的图象关于点 中心对称 B. 是周期为2的周期函数 C. D. √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 [解析] 对于A，由是 上的奇函数，可知其图象关于原 点对称，又的图象可看成是由函数 的图象向左 平移1个单位长度得到的，所以的图象关于点 中心对称， 故A正确； 对于B，由是 上的奇函数，可得， 即，又 ，所以， 所以，故 是周期为4的周期函数， 故B错误； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于C，由 ，令，得， 则 ，所以 ，故C正确； 对于D，由，得 ， 又， 是周期为4的周期函数，所以 ，而的值无法确定，故D错误.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.（多选题）[2025·青岛一模]已知狄利克雷函数 设 函数 ，则( ) A. 是奇函数 B. 是周期函数 C.的值域是 D.在区间 上的有理数零点恰有3个 √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 [解析] 的定义域为，当为有理数时， 是有理数，则 ，当为无理数时， 是无理数，则， 所以 为偶函数，所以 ，则 是奇函数，故A正确； 对于任意的整数,，当 为有理数时，，也是有理数， 则，，当 为无理数时，，也是 无理数，则 , ， ，， 即函数是周期函数，故B正确； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 函数 的值域为，当为无理数时，，当 为有理数时， ， 不能取到一个周期内的所有实数， 所以的值域不是，故C错误； 当 为有理数时，， 则在区间上有 ,0,1这3个有理数零点，故D正确. 故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.[2025·攀枝花二诊] 已知函数 ，若不 等式对任意恒成立，则实数 的取值范围是 _______. [解析] 因为的定义域为 ， ， 即， 所以 的图象关于直线 对称， 又，当时， ， ，， 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 所以当 时，， 则在 上单调递增，在上单调递减. 因为不等式对任意 恒成立， 所以 恒成立， 即恒成立， 所以 恒成立，则 解得，所以实数的取值范围是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.我们知道，函数 的图象关于坐标原点成中心对称图形的 充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为： 函数的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函 数为奇函数．已知函数 ． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 （1）证明：函数的图象关于点 对称； 证明：令， 显然函数 的定义域为 ，关于原点对称， 因为 ， 所以函数是奇函数，即 为奇函数， 则函数的图象关于点 对称． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 （2）判断函数 的单调性（不用证明），若 ，求实数 的取值范围． 解：因为函数在上为减函数，且 恒成立， 所以是 上的增函数. 由（1）知函数的图象关于点 对称， 所以，即 ， 所以 ， 因为 ，所以 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 因为是上的增函数，所以 ， 即，解得， 所以实数 的取值范围为 ． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.（多选题）对于定义在区间上的函数，若满足, ， 且，都有，则称函数为区间 上的“非增函 数”.若为区间上的“非增函数”，且 , ，当时， 恒成立，则下 列结论中正确的是( ) ◆ 能力拓展 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 A. B., C. D., [解析] 对于A，令，则 ， 又因为，所以 ，故A正确. 对于B，因为， 所以的图象关于点 对称. √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 当时，；当时， 恒成立， 令，则，因为为区间 上的“非增函数”， 所以，所以，所以, ， 故B错误. 对于C，由,令 ，得， 由B知，当 时，， 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 所以，因为 , ， 所以 ，所以 ， 故C正确. 对于D，当时,，即 ， 所以由C知，故D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $