第2单元 02 第7讲 函数的单调性（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性”专题，依据课标要求覆盖单调性概念、证明、单调区间及最值等核心考点，对接高考评价体系，分析出单调性判断、单调区间求解、由单调性求参数范围等高频考点，归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如结合2024新课标Ⅰ卷分段函数题，通过定义法、导数法及复合函数“同增异减”法则突破考点，培养学生数学思维与符号表达能力。设易错点分析（如定义域、分段函数整体单调性），助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第7讲 函数的单调性 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值， 理解它们的作用和实际意义. 2.理解函数单调性的概念，能运用函数图象理解和研究函数的单调性. 3.会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性. 4.会求一些具体函数的单调区间. 课 标 要 求 3 1.单调函数#1 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果 ， 当 时，都有__________ _____，那么就称函数 在区 间 上单调递增.特别地，当函 数 在它的定义域上单调递 增时，我们就称它是增函数 当 时，都有__________ _____，那么就称函数 在区 间 上单调递减.特别地，当函 数 在它的定义域上单调递 减时，我们就称它是减函数 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 增函数 减函数 图 象 描 述 ________________________________________ 自左向右看图象是________ __________________________________________ 自左向右看图象是________ 上升的 下降的 续表 课 前 基 础 巩 固 5 2.单调区间 如果函数在区间 上单调递增或单调递减,那么就说函数 在这一区间具有（严格的）________,区间叫作 的 ___________. 单调性 单调区间 课 前 基 础 巩 固 6 3.函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数 满足 条件 ，都有__________； ，使得___________ ，都有__________； ，使得___________ 结论 为最大值 为最小值 几何 意义 图象上最高点的 ________ 图象上最低点的 ________ 纵坐标 纵坐标 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 1.函数单调性的常用结论： （1）若，均在区间上单调递增（减），则 也 在区间 上单调递增（减）. （2）若，则与的单调性相同；若，则 与 的单调性相反. （3）若在区间上单调递增（减），且，则 在 区间 上单调递减（增）； （4）复合函数单调性的判断方法：“同增异减”. 课 前 基 础 巩 固 8 2.单调性定义的等价形式：设，， . （1）若有或，则 在 区间 上单调递增； （2）若有或，则 在 区间 上单调递减. 课 前 基 础 巩 固 9 3.函数最值存在的两个结论 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间 上单调时，最值一定在端点处取到； （2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大（小）值. （3）函数存在唯一的极值点就是它的唯一的最值点. 课 前 基 础 巩 固 10 题组一 常识题 1.［教材改编］函数 的单调递增区间 是______，单调递减区间是_______. [解析] 由函数的图象可得 的单 调递增区间是，单调递减区间是 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 11 2.［教材改编］设函数满足对任意的, ，都有 ，比较大小：___.（填“ ”或“ ”） [解析] 因为对任意的，，都有 ， 所以函数在上单调递增，又 ，所以 . 课 前 基 础 巩 固 12 3.［教材改编］函数在 上单调递增，则实 数 的取值范围是________. [解析] 函数的单调递增区间是， 当 在上单调递增时，，所以, 故实数 的取值范围是 . 课 前 基 础 巩 固 13 4.［教材改编］已知函数，则函数 的最大 值为___，最小值为__. 2 [解析] 函数在上单调递减，所以在 处取到 最大值2，在处取到最小值 . 课 前 基 础 巩 固 14 题组二 常错题 ◆ 索引：求单调区间时忘记定义域致误;讨论分段函数的单调性时 忘记整体考虑致误;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念致误. 5.函数 的单调递增区间为________. [解析] 由得或， 故 的定义域为. 由函数在 上单调递减，在上单调递增， 结合复合函数的单调性得 的单调递增区间为 . 课 前 基 础 巩 固 15 6.已知函数是定义在上的减函数，则实数 的取值范围为_ ________. [解析] 由题知解得，即实数 的取值 范围为 . 课 前 基 础 巩 固 16 7.（1）若函数在区间 上单调递减， 则实数 的取值范围是__________. [解析] 函数的图象的对称轴为直线 ，由题意得 ，解得，故实数的取值范围是 . （2）若函数的单调递减区间为 ，则 的值为____. [解析] 函数的图象的对称轴为直线 ，由题意得 ，解得 . 课 前 基 础 巩 固 17 探究点一 确定函数的单调性 角度1 函数单调性的判断 例1 （多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］通过图象法、函数单调性的性质、复合函数的单调性 以及导数等判断函数的单调性. √ √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 对于A，画出函数 的图象，如 图所示，易知函数 在其定义域内不 是增函数，故A错误； 对于B，因为函数 是上的增函数，是 上的减函数，所以 是上的增函数，故B正确； 对于C，函数 在其定义域上是减函数，而 在其 定义域上为增函数，所以函数在定义域 上 为减函数，故C错误； 对于D，的定义域为，在 上恒成立， 故是上的增函数，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 19 角度2 利用定义证明函数的单调性 例2 讨论函数在 上的单调性. ［思路点拨］思路一：利用定义证明函数的单调性即可； 思路二：利用导数判断. 解：方法一：任取,,且 ,易知 , 则 , 又,,,故当时, , 即,所以函数在 上单调递减; 课 堂 考 点 探 究 20 当时,,即,所以函数 在 上单调递增. 方法二：因为，所以当时，在 上 恒成立，所以函数在上单调递减， 当时， 在上恒成立， 所以函数在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 1.用定义法证明函数单调性的一般步骤为:取值、作差变形、判断符 号、得出结论. 2.函数单调性的判断方法：（1）定义法;（2）图象法；（3）直接利 用已知函数的单调性可以判断一些组合函数的单调性,如“增 增”为 增,“增-减”为增,“减 减”为减,“减-增”为减；（4）导数法；（5）利 用“同增异减”的规则判断复合函数 的单调性. 课 堂 考 点 探 究 22 探究点二 求函数的单调区间 例3（1）函数 的单调递减区间是( ) A. B.和 C. D.和 ［思路点拨］作出函数 的图象,根据图象即可得解； √ [解析] 函数 作 出函数 的图象如图所示，由图可知，函数 的单调递减区间为和 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 23 （2）函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］对函数求导,利用导数的符号确定函数的单调区间. [解析] 由题得,令,解得, 当 时, ,当时,, 故在 上单调递减,在上单调递增, 所以的单调递减区间是 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 24 [总结反思] （1）求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图 象法. （2）单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示,有多个单 调区间应分开写,不能用并集符号“ ”连接. 课 堂 考 点 探 究 25 变式题（1）函数 的单调递减区间是( ) A. B. C. D. [解析] 由，解得或 ，所以函数 的定义域为. 令 ，则函数在上单调递减， 在 上单调递增，而函数在 上为增函数， 故由复合函数的单调性可得的单调递减区间为 . 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 26 （2）函数 的单调递减区间为_______. [解析] 由 , 得, 令,得 ,所以函数的 单调递减区间为 . 课 堂 考 点 探 究 27 （3）已知函数,则函数 的 单调递减区间是______. [解析] 由题意知 作出 函数的图象，如图所示.由图可知, 的单调递减 区间是 . 课 堂 考 点 探 究 28 探究点三 由单调性求参数的取值范围 例4（1）已知函数在区间 上单调递减，则实 数 的取值范围是_______. ［思路点拨］利用换元法和复合函数的单调性进行判断，由内层函 数单调递减并且在区间 上大于零恒成立联立求解即可； [解析] 令，则，因为函数 在区 间上单调递减，且 在定义域内单调递增，所以 解得 . 课 堂 考 点 探 究 29 （2）[2024· 新课标Ⅰ卷]已知函数在 上单调递增，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据分段函数在 上的单调性求解即可. [解析] 因为在上单调递增，所以,且 , 解得 ,故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 30 [总结反思] 利用函数的单调性求参数的取值范围（或值）的注意点:（1）视参 数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与 已知单调区间比较求参数;（2）若分段函数是单调函数,则不仅要保 证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的. 课 堂 考 点 探 究 31 变式题（1）[2023· 新课标Ⅰ卷]设函数在区间 单 调递减，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为在 上是增函数,所以根据复合函数的单调性可得 在上单调递减,故,解得 , 故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 32 （2）已知函数满足对任意实数, ，且 ，都有成立，则 的取值范围是______. [解析] 因为函数满足对任意实数,，且 ，都有 成立，所以函数在上单调递减，则 解得，所以的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 33 探究点四 函数单调性的应用 微点1 比较大小 例5 [2025· 襄阳三模]函数, , ,，则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小. √ 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 易知函数的定义域为 ，可得 ， 所以函数在上单调递减. 又 ，所以， 即 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 35 [总结反思] 比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用 其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题 能用数形结合的尽量用图象法求解. 课 堂 考 点 探 究 36 微点2 解不等式 例6（1）已知函数 则不等式 的解集是___________________. ［思路点拨］先判断函数 的单调性，再根据单调性解不等式即可. 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 由函数可得当时， 单调递 增，当时，单调递增，且 ，故函 数在上单调递增， 故不等式 等价于， 即，解得或 ， 故原不等式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 38 （2）定义在上的减函数满足：对任意， ， 总有，则不等式 的解集是 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用已知等式结合赋值法可得 ，再利用函数 的单调性求解. √ 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] 在中，令 ， 得，可得， 所以 即为. 因为函数是定义在 上的减函数，所 以解得 ，故选D. 课 堂 考 点 探 究 40 [总结反思] 利用函数单调性解不等式的具体步骤:（1）将不等式转化成 或的形式;（2）确定函数 的单调性; （3）根据函数的单调性去掉符号“”,转化为形如“ ”或“ ”的常规不等式,从而得解. 课 堂 考 点 探 究 41 应用演练 1.已知函数，则关于的不等式 的解集 为( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知，故在 上单调递增. 由，得，解得 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 42 2.[2025·大连一模]若是定义在上的增函数，则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 因为是定义在上的增函数，所以若 ，则 ，即充分性成立； 若，假设存在 满足，则， 这与 相矛盾，所以假设不成立，所以 ， 即必要性成立. 综上所述，“”是“ ”的充要条件.故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 43 3.若 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 构造函数，易知为 上的增函数. 由得， , ,， ，故A正确，B错误. 与1的大小关系不确定， 的符号不确定， 故C,D均错误.故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 44 4.[2025·山东烟台三模] 已知函数，若 ，则 实数 的取值范围是______. [解析] 的定义域为，因为和 在上均单调递增，所以在 上单调递增， 又，所以等价于 ， 可得，解得 . 课 堂 考 点 探 究 45 课时作业 46 1.[2023·北京卷]下列函数中，在区间 上单调递增的是( ) A. B. C. D. √ ◆ 基础热身 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 [解析] 对于A，因为在上单调递增，在 上单 调递减，所以在 上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在 上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为 在上单调递减，在上单调递减， 所以 在 上单调递增，故C正确； 对于D，因为，, ，所以在 上不单调，故D错误. 故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 2.函数 的单调递增区间是( ) A. B. C. D. [解析] 因为所以 的单 调递增区间为 ,故选D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 3.函数 的单调递增区间为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得，解得或 ，又 的单调递增区间为，在 上单 调递增，故函数的单调递增区间为 .故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 4.已知函数在定义域上满足对任意的, , 且,都有，若，则实数 的 取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由题知函数在定义域 上是减函数，则有 解得 ，故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 5.已知函数是上的增函数，则 的取值 范围是( ) A. B. C. D. √ [解析] 因为函数是 上的增函数，所以 解得 .故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 6.设函数在 上为增函数，则下列结论正确的是( ) A.在上为减函数 B.在 上为增函数 C.在上为增函数 D.在 上为减函数 √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 [解析] 对于A，若，则，不是 上的减函数， 故A错误； 对于B，若，则，在 上不是增函数，故B错误； 对于C，若，则，不是 上的增函数，故C错误； 对于D，函数在 上为增函数，则对于任意的,，设， 必有 ，即，对于 ， 则有， 则在 上为减函数，故D正确.故选D. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 7.已知函数，若，则 的取值范围为 _______. [解析] 函数的定义域为 ， 因为恒成立，所以函数在 上单调递增. 因为，所以可得， 故 的取值范围为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 8.设函数在上单调递减，则 的取值范 围是_ _______. [解析] 令，因为函数在 上为减函数， 函数在 上单调递减，所以函数 在上单调递增，所以，解得 ， 且对任意恒成立，则 ， 解得，所以的取值范围是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 9.已知函数且, . （1）求 的解析式; 解：因为 所以解得 所以 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 （2）写出 的单调递增区间和单调递减区间. 解：由（1）知 画出函数 的图象,如图所示. 由图可知,函数 的单调递减区间是 , ,单调递增区间是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 10.已知函数,,, ,则 ,, 的大小关系为( ) A. B. C. D. [解析] 函数的定义域为,且 是增函数, 因为,所以,即 .故选D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 11.[2025·河北唐山二模]已知， ， 则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. [解析] 设，，则由对勾函数的单调性得， 在上单调递减，在上单调递增， ， 且 ， ， 因为，所以 ， 即 .故选A. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 12.（多选题）已知函数 ，则下列叙述正确的是 ( ) A.当时，函数在区间 上单调递增 B.当时，函数在区间 上单调递减 C.若函数有最大值2，则 D.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是 √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 [解析] 对于A，B，当时， ， 因为在上单调递增，在 上单调递减， 所以由复合函数的单调性可得，函数在 上单 调递减，故A错误，B正确. 对于C，显然当时， 没有最大值；当时， 若 有最大值2， 则函数有最小值， 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 所以 解得，故C正确. 对于D，若函数在 上单调递增， 则在上单调递减. 当 时，显然成立；当时，由二次函数的性质可得 解得 ，所以的取值范围为，故D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.对于函数定义域中任意的,,当 时，总有 , 成立，则满足条件的函数 的解析式可以是_________________________. （答案不唯一） [解析] 由当时，总有 成立， 得函数在上单调递增； 由当 时，总有成立， 得函数在上是上凸函数. 故 的解析式可以是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 14.已知函数是定义在 上的单调函数，且 ，则在 上的最大值为____． 10 [解析] 因为是定义在上的单调函数，所以存在唯一的 ， 使得，则，即 ， 令，则. 因为函数 为增函数，且，所以， 则． 易知 在上单调递增， 所以在上的最大值为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 15.已知函数的定义域为，对任意的， ，都有 .当时，，且 . （1）求的值，并证明当时， ； 解：令，则，又，所以 . 证明：当时，，所以 ， 又，所以 ， 所以 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 （2）判断 的单调性； 解：令，， ， 则 ， 又，所以 ， 所以，所以 ， 又当时，，当时， ， 当时，，所以，所以 ， 所以，即，所以在 上单调递减. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 （3）若，求不等式 的解集. 解：因为 ，所以 ， 所以 ， 由（2）知在上单调递减，所以，解得 ， 所以不等式的解集为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 16.已知定义在上的函数满足：对任意的 , ，，都有 ， 且，则满足不等式的 的 取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 由 ， 可得 ， 令，可得 ， √ ◆ 能力拓展 ◆ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 即对任意的,，，都有 ， 所以函数在 上单调递减. 等价于 ，即 ，可得 ， 又，所以 ，所以 等价于 ，因此可得 ，解得,则 的取值范围是 .故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17. 安徽江淮十校4月联考］已知, ，且 ，，则 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] ，两边同除以，得 ， 即，两边同除以 ， 得，即 ， 整理得. 设 ，显然函数是上的增函数， 所以，所以 ，因此 .故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 $