第1单元 07 第5讲 第2课时 一元二次方程、不等式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“一元二次方程、不等式”专题，依据高考评价体系覆盖不等式求解、三个二次关系、恒成立问题等核心考点，通过知识聚焦梳理课标要求，结合近五年真题分析“含参不等式”“恒成立问题”等高频题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“分类讨论+真题演练+素养提升”策略，如例2含参不等式通过“系数分类—根的比较—解集确定”三步法，培养数学思维与逻辑推理能力，课时作业融入2025年模拟题并设易错点分析，助力学生掌握解题技巧，教师可据此实施精准教学，提升高考冲刺效率。

第5讲 一元二次函数、方程和不等式 / 第2课时 一元二次方程、不等式 / 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实 根的个数,了解函数的零点与方程根的关系. 2.了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二 次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程 的联系. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.一元二次不等式 一般地，形如 的不等式称为一元二次不等式，其中 ,,是常数，而且 . 课 前 基 础 巩 固 4 2.三个“二次”间的关系 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两个不相等的 实数根 ， 有两个相等实数根 没有实数根 课 前 基 础 巩 固 5 判别式 的解集 ______________ ________ _ ___________ ___ 的解集 ______________ ___ ___ 或 续表 课 前 基 础 巩 固 6 3.分式不等式 （1） ； . （2） 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 1.绝对值不等式的解集为 ，绝对值 不等式的解集为 . 2.（1）对于不等式,求解时不要忘记讨论 时的 情形; （2）注意区分时,的解集为还是 . 课 前 基 础 巩 固 8 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］不等式 的解集为_ __________________. [解析] 原不等式等价于，即 ，解得 ，所以原不等式的解集是 . 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］若不等式 的解集为 ,则 ____. [解析] 由题意可得,,可得, ,故 . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］若一元二次不等式对一切实数 都 成立,则实数 的取值范围是_______. [解析] 由题意知解得 . 课 前 基 础 巩 固 11 题组二 常错题 ◆ 索引：忽视二次项系数的符号致误；变形不等价致误；分类讨论 时忽视二次项系数为0的情况致误. 4.不等式 的解集为_ _________________. [解析] 由可得 ， 即，得或 ， 故不等式的解集为 . 课 前 基 础 巩 固 12 5.不等式 的解集是__________________. 或 [解析] 由得，得，得 ，所以 或，得或或 ，即 或，所以原不等式的解集为或 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.若关于的不等式有实数解,则 的取值范围是 __________. [解析] 当时,不等式为,有实数解,满足题意; 当 时,不等式对应的二次函数的图象开口向上, ， 所以不等式有实数解，满足题意； 当 时,若不等式有实数解,则,可得. 综上,的取值范围是 . 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 一元二次不等式的求解 角度1 不含参的不等式 例1 （多选题）下列说法中正确的是( ) A.不等式的解集为或 B.不等式的解集为 C.不等式的解集为 D.不等式的解集为 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 15 ［思路点拨］对于A，首先解一元二次方程 ，再结合 不等式对应的二次函数图象写出其解集.对于B，先等价变形,转化为 与其同解的一元二次不等式（组）,再求解.对于C，思路一：借助绝 对值的意义求解；思路二：将绝对值不等式转化为一元二次不等式 求解.对于D，分别求出不等式和 的解 集,然后求交集. 课 堂 考 点 探 究 16 [解析] 对于A，因为方程的解为, ,所以 不等式的解集为或 ,故A正确. 对于B，因为,所以,可得 ,解得,所以不等式的解集为 ,故B正确. 对于C，方法一：由,可得或 ,解得 或,所以不等式的解集为或 ,故C错误. 方法二：由,可得，即 ，所以 ,解得或,所以不等式的解集为 或,故C错误. 课 堂 考 点 探 究 17 对于D，由题得 即 即 即故原不等式的解集为 ，故D正确. 故选 . 课 堂 考 点 探 究 18 [总结反思] 解一元二次不等式的一般步骤是: ①化为标准形式 ; ②确定判别式 的符号,若 ,则求出该不等式对应的一元二次方 程的根,若 ,则对应的一元二次方程无根; ③结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式 的左边能因式分解,则可直接写出不等式的解集. 课 堂 考 点 探 究 19 角度2 含参的不等式 例2 解关于的不等式 . ［思路点拨］对 进行分类讨论，分别解出不等式即可. 解：若，则不等式化为，解得 ，不等式的解 集为 . 若，则不等式化为 ，一元二次方程 的解为, . 当时，，则原不等式的解集为 ； 课 堂 考 点 探 究 20 当时，，则原不等式的解集为 ； 当时，，则原不等式的解集为 ； 当时，，不等式化为，解得 或 ，故原不等式的解集为 . 综上所述，当时，不等式的解集为；当 时，不等式的解集为；当 时，不等式的解集为 ；当时，不等式的解集为 ；当 时，不等 式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 21 [总结反思] 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有： （1）根据二次项系数为正、负及零进行分类； （2）根据判别式 与0的关系判断对应一元二次方程根的个数； （3）对应的一元二次方程有两个根时，有时还需根据两根的大小进 行讨论. 课 堂 考 点 探 究 22 变式题 解关于的不等式， . 解：当时，原不等式为，解得 ，则不等式的 解集为 . 当时，， 的两个根分别为 ，，且 ， 此时不等式的解集为 . 当时，若，即，则不等式的解集为 ； 若，即，则不等式的解集为 ； 课 堂 考 点 探 究 若，即，则 的两个根分别 为，， ，则不等式的解集为 . 综上可知，当时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 24 角度3 二次复合含参不等式 例3 已知函数，求关于 的不等式 的解集. ［思路点拨］设 ，通过换元，将不等式化为 ，再对 进行讨论，进而求解. 课 堂 考 点 探 究 25 解：设，则不等式可化为 . 当时，， 不等式 恒成立，此时不 等式的解集为； 当时，， 由 得 ， ，解得，此时不等式的解集为 . 综上所述，当时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为 . 课 堂 考 点 探 究 26 [总结反思] 对于复合指数（对数）不等式，可通过换元法，转化为一元二次不 等式后求解.需要注意的是换元前后对未知数取值范围的影响. 课 堂 考 点 探 究 27 探究点二 三个二次之间的关系 例4 （多选题）已知关于的不等式 的解集为 ,则( ) A. B. C.不等式的解集是 D.不等式的解集为 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 28 ［思路点拨］对于A，结合不等式及其解集判断 的符号；对于B， 易知，3是方程的根，利用根与系数的关系用 表示，，进而可判断的符号；对于C，D，将， 替换成 ，解一元一次不等式与一元二次不等式即可. 课 堂 考 点 探 究 29 [解析] 关于的不等式 的解集为 ,,故A正确; 易知和3是关于 的方程的两根,由根与系数的关 系得 则,故B错误; 不等式 可化为,得,故C正确; 不等式 可化为,即 ,解得或 ,故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 30 [总结反思] 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二 次不等式解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方 向及与 轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 课 堂 考 点 探 究 31 变式题 （多选题）已知关于的不等式 的解 集是，其中 ，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 由题意可得 ，且 ，则，， 即 ，故A，B正确； 由,,得 ,, 即 , ,又, ,所以 ，故C错误； ，故 D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 33 探究点三 一元二次不等式恒成立问题 例5 已知函数 . （1）当时，恒成立，求实数 的取值范围； ［思路点拨］当时，恒成立，即 恒成立,则 ，解不等式即可； 解：因为当时，恒成立，即 恒成立， 所以 ，即，解得 ， 所以实数的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 34 （2）当时，恒成立，求实数 的取值范围； ［思路点拨］可化为 ，设 ，得到二次函数 的图象的对称轴方程 为，按对称轴与 的位置关系讨论求解； 解：由题意，原不等式可转化为对 恒成立，则当时， . 令,则函数 的图象的对称轴方程为 . 当,即时,在 上的最小值为 ， 由,解得 ,舍去； 课 堂 考 点 探 究 35 当，即时，在 上的最小值为 ， 由，解得，所以 ； 当，即时，在上的最小值为 ， 由，解得 ，所以. 综上可得，实数的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 36 （3）当时，恒成立，求实数 的取值范围. ［思路点拨］先把化为 ,再 令 ,然后利用单调性即可求解. 解：令 . 当时， 恒成立，只需即 解得或 ， 所以实数的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 37 [总结反思] 不等式恒成立求参数的取值范围的解题策略 （1）一元二次不等式恒成立，可以利用判别式. （2）求不等式恒成立问题的常见方法：①分离参数： 恒成 立即可）或恒成立 即可）；②数 形结合：的图象在 的图象的上方即可；③讨论最 值：或 恒成立；④讨论参数. （3）弄清自变量、取值范围，一般情况下，求谁的取值范围，谁就 是参数. 课 堂 考 点 探 究 38 变式题（1）若关于的不等式对任意 恒成 立，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 当时,原不等式为,恒成立; 当 时,由题得恒成立,令, ,易知 在上单调递增,所以当时, 取得最大值,即,所以,则. 综上,实数 的取值范围为 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 39 （2）若不等式对任意 恒成立，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由题得不等式对任意 恒成立,所以即 解得或 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 40 （3）已知函数，若 对任意 ，恒成立，则实数 的取值范围为_______. [解析] ，所以函数在 上单 调递增，当时， . 由对任意，， 恒成立，得 对任意，恒成立，即对任意 ， 恒成立，因此 解得则 ，所以 实数的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 41 课时作业 42 ◆ 基础热身 ◆ 1.不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 由得 ，解得 ，所以原不等式的解集为 .故选C. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 43 2.[2025· 全国二卷]不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，即 ，可得 且，所以 ，故不等式 的解集为 . √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 44 3.若关于的不等式的解集是，则 的取值范 围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为关于的不等式的解集是 ，所以 且，解得，所以的取值范围是 .故选C. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 45 4.已知不等式的解集为或 ，则不等 式 的解集为( ) A. B. C.或 D.或 [解析] 由题意知，1为方程的两根且 ，所 以解得则不等式 可化为 ，即，解得 .故选A. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 5.在物理学中，若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高 度与时间满足关系，其中 ，一名同学 以初速度竖直上拋一排球，排球能够在拋出点 以上 的位置最多停留( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可得，令 ，得 ，解得，所以排球能够在拋出点 以 上的位置最多停留 .故选C. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 6.（多选题）已知关于的不等式 的解集为 或 ，则下列说法正确的是( ) A. B.的解集为 C. D.的解集为 √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 [解析] 对于A，的解集为或 ， 解得故选项A正确； 对于B， 可化为，即，故 的解集为 ，故选项B不正确； 对于C， ，故选项C不正确； 对于D， 可化为，即 ，其解集为，故选项D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 7.不等式 的解集为___. [解析] 因为 恒成立，所以不等式 的解集为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 8.若关于的不等式在区间 上有解，则实 数 的最小值为___. 5 [解析] 关于的不等式在区间 上有解，等 价于关于的不等式在区间上有解，即关于 的不等式在区间上有解，又 ，当且仅当 时，等号成立，所以，可得，故 的最小值为5. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 9.已知,,且，关于的不等式 的解集为 或 . （1）求, 的值； 解：由题意，1，是关于的方程 的两根. 由，得, 由，解得或 （舍去）， 故， . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 （2）解关于的不等式 . 解：由（1）可知，原不等式可化为 ，即 . 若，则，解得； 若 ，则，解得或 ； 若，则 ， 当，即时，解得 ， 当，即时，解得 ， 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 当，即 时，解得. 综上可知，当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为； 当 时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 ； 当 时，不等式的解集为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 ◆ 综合提升 ◆ 10.关于的方程 有两根，其中一根小于2， 另一根大于3，则实数 的取值范围是( ) A.或 B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 [解析] 设 ，则由题意可知 即解得 ，故实数 的取值范围是 .故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 11.[2025·广西南宁二模]已知函数， .若不等 式的解集为，则 ( ) A. B.1 C. D.2 [解析] 根据选项可知只需要考虑的情况,要使不等式 的解集为,则当时， 的图象如图①所示, 轴的单位长度不相等, √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 则 可得解得. 当时， 的图象如图②所示，由图可知， 若，则 ,无法满足 的解集为 ，故舍去.故选A. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 12.（多选题）若关于的不等式在 上恒成立，则该不等式称为 单位区间不等式，则下列不等式是单位区间不等式的有( ) A. B. C. D. √ √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 [解析] 的解集为，故A错误； 当 时，（当且仅当时，等号成立），因为 ，所以对恒成立，故B正确； 的解集为 ,所以对恒成立,故C正确； 当 时，（当且仅当时，等号成立），因为 ，所以对恒成立，故D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 13.若函数的定义域是，则实数 的值 为___. 3 [解析] 依题意，得，即 的解集为 ，所以，是方程 的两个根，所以 解得 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 14.[2025·渭南二模] 若关于的不等式 有且只有 一个整数解，则实数 的取值范围是______. [解析] 当时，不等式为，解得 ，不满足条件， 故，不等式 可化为 ，所以 ，即 ，方程的两根为 , ，当时，不等式可化为，则 , ，所以不等式的解集为 ，不满足条件. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 当时，不等式可化为， 当时， ，即，不等式的解集为 ，要使不等式 有且只有一个整数解，则，又因为,所以不满足条件； 当 时，，即，不等式的解集为空集； 当时， ，即，不等式的解集为 ，要使不等 式有且只有一个整数解，则，解得. 综上，实数的取值范围是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知二次函数，为实数 . （1）若函数图象过点，对任意，恒成立，求实数 的取值范围； 解：依题意得，即，由对任意 ， 恒成立，得 即 整理得解得， 所以实数 的取值范围是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 （2）若函数图象过点，对任意， 恒成立，求 实数 的取值范围； 解：由（1）知，，由，得 ， 即 . 依题意得，对任意 恒成立， 令 ，则 解得，所以实数 的取值范围是 ． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 （3）若对任意，恒成立，当时，求 的最小值. 解：由对任意，恒成立，得则 ， 因此，显然，当且仅当 ， 即时取等号，由且，得，所以当, 时， 取得最小值1． 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 ◆ 能力拓展 ◆ 16.（多选题）[2025·重庆八中月考]已知，， ，满足 ，且 ，则下列结论正确 的有( ) A. B. C.的最大值为2 D.的最小值为 √ √ √ [解析] 由 ，得 ，所以 ，解得 ，故A正确； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 ，即 ，故B 错误； 由，得 ， ，构造以， 为两根的一元二次方程 ，则，解得 ，故C，D正确. 故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 17.设，若不等式 对于任意的 恒成立，则 的取值范围是________. [解析] 因为不等式 对于任意的 恒成立，所以不等式 对于任意 的恒成立， 令，即 对于任意的恒成立， 设，因为 ,,所以,则， 即，解得 或(舍去)，故 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 $