第1单元 06 第5讲 第1课时 二次函数及其性质（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“二次函数及其性质”核心考点，依据课标要求梳理了二次函数的图象、单调性、对称性、顶点、最值及应用等考查维度，通过知识聚焦表格化呈现性质，常用结论归纳解析式与零点分布，课堂探究分解析式、图象、最值三大题型并配例题变式，精准对接高考评价体系。 课件亮点在于“考点分层突破+真题实战训练”，如二次函数最值问题通过对称轴位置分类讨论（培养数学思维），课时作业含2024北京卷等真题，易错点分析单调性理解误区，帮助学生掌握分类讨论技巧，教师可据此精准教学，提升学生逻辑推理与数学表达能力，助力高效备考。

第5讲 一元二次函数、方程和不等式 / 第1课时 二次函数及其性质 / 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值）. 2.了解二次函数的广泛应用. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 二次函数的图象和性质 解析式 图象 定义域 值域 _ ____________ _ ___________ 课 前 基 础 巩 固 4 解析式 单调性 在_ __________上单调递 减，在 上单调 递增 在_ __________上单调递 增，在 上单调递 减 顶点坐标 _ ____________ 奇偶性 当______时为偶函数 对称轴方程 续表 课 前 基 础 巩 固 5 常用结论 1.二次函数解析式的三种形式： （1）一般式： ； （2）顶点式： ； （3）零点式： . 2.一元二次函数图象与 轴的交点个数 （1）没有交点 ; （2）有一个交点 ; （3）有两个不同的交点 .#1.1.3.3 课 前 基 础 巩 固 6 3.二次函数零点的分布问题 设函数,若在区间上,有 , ,则曲线必与轴相交在 内至少有一个零 点 .#1.1.4.1 课 前 基 础 巩 固 7 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］函数 的最大值为___. 4 [解析] . 课 前 基 础 巩 固 8 2.［教材改编］已知为二次函数,若在处取得最小值 , 且的图象经过原点,则函数 的解析式为_ _______________. [解析] 由题意,可设, 又 的图象过原点,所以,解得 , 所以 . 课 前 基 础 巩 固 9 3.［教材改编］若函数， 的图象关于 直线对称，则 ___. 6 [解析] 函数， 的图象关于直线 对称，且，， . 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 常错题 ◆ 索引：对二次函数的图象特征把握不准致误;二次函数的单调性 理解不到位致误. 4.若，，则函数 的大致图象是____.（填序号） ③ 课 前 基 础 巩 固 11 [解析] 由题意可知，函数图象的开口向下，对称轴方程为 ， 且 ，函数图象过原点，故填③. 课 前 基 础 巩 固 12 5.若函数在上单调递减，则 的取值范围是 _ _________. [解析] 当时,函数在 上单调递增,不符合题意； 当时，函数 的图象的对称轴为直线， 依题意知解得 . 课 前 基 础 巩 固 13 探究点一 二次函数的解析式 例1 已知二次函数的图象经过点，的图象截 轴所得线 段的长度为2，并且对任意，都有 ，则 ____________. ［思路点拨］根据得到函数 的图象关于直线 对称，结合的图象截轴所得线段的长度为2，得到 的 图象与轴的两个交点的坐标分别为和，设出 的零点 式，将点的坐标代入，即可求出 的解析式. 课 堂 考 点 探 究 14 [解析] 因为对任意恒成立，所以 的图 象关于直线对称， 又的图象截 轴所得线段的长度为2， 所以的两个根分别为和 ， 所以二次函数的图象与轴的两个交点的坐标分别为和 ， 故可设. 因为点在的图象上，所以 ，解得， 故 . 课 堂 考 点 探 究 15 [总结反思] 求二次函数解析式的三个策略: （1）已知三个点的坐标,宜选用一般式; （2）已知顶点坐标、对称轴、最大（小）值等,宜选用顶点式; （3）已知图象与 轴的两交点的坐标,宜选用零点式. 课 堂 考 点 探 究 16 变式题 已知二次函数满足,,且 的最 大值是8,则 ______________. [解析] 方法一（利用“一般式”）：设 ， 由题意得解得 所以 . 课 堂 考 点 探 究 17 方法二（利用“顶点式”）：设 . 因为, 所以的图象的对称轴为直线 ,所以. 又函数有最大值8,所以 ,所以. 因为,所以 ,解得, 所以 . 课 堂 考 点 探 究 18 方法三（利用“零点式”）：由题可知的两根为 , ,故可设 ,即 . 又函数 有最大值8,所以，解得， 故 . 课 堂 考 点 探 究 19 探究点二 二次函数的图象 例2（1）已知函数，若, ， 则 的图象可能是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］根据,，判断出, 的符号后可得 正确的选项； √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 因为, ，所以， 即，所以 的图象开口向上，排除B，C； 又，所以 ，所以 ，排除A. 故选D. 课 堂 考 点 探 究 21 （2）设，二次函数 的图象为下列4个图 象之一，则 的值为( ) ① ② ③ ④ A.1 B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 22 ［思路点拨］由二次函数的性质得该函数的图象的对称轴不为 轴， 当时，对称轴方程为，当 时，对称轴方程为 ，进而得该函数的图象，结合函数图象过坐标原点且开 口向下即可得答案. [解析] 由题知，，所以二 次函数 的图象 不关于轴对称，故①②中图象不满 足题意. ① ② 课 堂 考 点 探 究 23 当 时，该二次函数的图象的对称轴为直线，易知 ，故④中图象不满足题意. 当 时，该二次函数的图象的对称轴为直线，易知 ，图象开口向下，故③中图象满足题意，此时函数图象过坐 标原点，故，可得 .故选B. ③ ④ ① ② 课 堂 考 点 探 究 24 [总结反思] 研究二次函数的图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一 个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与 轴 的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向. 课 堂 考 点 探 究 25 变式题 （多选题）如图，已知二次函数 的图象的顶点在第一象限， 且经过， 两个点，则下列说法正确 的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 根据题意，得 ，因为二次函数的图象 过点，所以 ，又顶点在第一象限，所 以对称轴方程为，则 ，所以 ，故A正确； 二次函数的图象过点 ，所以，则 ，故B错误； 因为 ，，所以，则 ，故C正确； 因为，所以，又 ，所以 ，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 27 探究点三 二次函数的最值 例3 已知函数 . （1）若，求函数在区间 上的取值范围； ［思路点拨］把 代入函数解析式，再判断函数在已知区间上的 单调性，即可求解； 解：若，则， 的图象 的对称轴方程为， 函数在区间 上单调递减，在区 间 上单调递增，在区间上的最小值为， 又 , ,在区间上的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 28 （2）若函数在区间上有最小值3，求 的值. ［思路点拨］根据对称轴的位置，分三种情况讨论，分别求出 在已知区间上的最小值，令其为3，解出 的值，即可求解. 解：，其图象的对称轴方程为 . ①当，即时，函数在上单调递增， 在 上的最小值为 ， 由，可得 . 课 堂 考 点 探 究 29 ②当，即时，在 上的最小值为 ,在 上无解. ③当，即时，函数在上单调递减， 在 上的最小值为， 由 ，可得. 综上所述，或 . 课 堂 考 点 探 究 30 [总结反思] （1）影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素是图象的开 口方向、对称轴位置、闭区间. （2）常结合二次函数在给定区间上的单调性或图象求解最大值与最 小值，通常在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值. （3）当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论. 课 堂 考 点 探 究 31 变式题 已知函数 . （1）若在上单调递增，求 的取值范围； 解：由函数，可得 的图象开口向上，且其 对称轴为直线，要使得在 上单调递增，则满足 ，所以的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 32 （2）求在 上的最小值. 解：由函数，可得 的图象开口向上，且其 对称轴为直线 ， 当时，函数在上单调递增，所以在 上的 最小值为 ； 当时，函数在上单调递减，在 上单调递 增，所以在上的最小值为 ； 课 堂 考 点 探 究 33 当时，函数在上单调递减，所以在 上的 最小值为 . 综上可得，在 上的最小值 课 堂 考 点 探 究 34 课时作业 35 ◆ 基础热身 ◆ 1.若二次函数满足,,且图象过原点,则 的 解析式为( ) A. B. C. D. [解析] 二次函数满足, ,且图象过原点,设二次 函数,可得则 故 .故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 36 2.已知函数在上单调递增，在 上 单调递减，则 ( ) A. B.13 C.7 D.不确定 [解析] 依题意知的图象的对称轴为直线 ， 所以，解得，所以 ，所以 .故选B. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 37 3.已知，则函数和 在同一平面直角 坐标系内的图象可以是( ) A. B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 38 [解析] 若,则一次函数 为增函数,二次函数 的图象开口向上,若，则一次函数 为减函数，二次函数 的图象开口向下，排除A,D; 对于B,由图可知 不等式组无解，排除B.故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 39 4.已知二次函数的图象与 轴的两个交点 的横坐标分别为和3,则二次函数 的单调递减区间为( ) A. B. C. D. [解析] 因为二次函数的图象与 轴的两 个交点的横坐标分别为和3,所以 的图象的对称轴方程为 ,又,所以的图象开口向上，所以 的单调 递减区间为 .故选A. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 40 5.如果函数，对任意的实数 ，都有 ，那么( ) A. B. C. D. [解析] ,对任意的实数 ,都有， 函数 的图象的对称轴方程为. 的图象开口向上，对称轴方程为， 距离最近， 距离最远， .故选D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 41 6.（多选题）[2025⋅ 四川眉山一诊]如图，二次函数 的图象经过点， ，下列说法正确的是( ) A. B. C.当时，函数 取得最小值 D.图象的对称轴是直线 √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 42 [解析] 因为二次函数 的图象经过点 ,,所以 的两根分别为1,5. 由图可知， ，由根与系数的关系可知 ，即 ，故A错误； 由图可知，该二次函数与轴有两个交点，所以 ，故B错误； 由根与系数的关系可知， ，即该二次函数的图象的对称轴方 程为，所以当时，函数 取得最小 值，故C，D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 43 [解析] 令，得或 ，当或时， ，其图象的对称轴方程为； 当 时，,其图象的对称轴方程为. 作出 的图象，如图所示，由图可知， 的单调递减区间为和 . 7.函数 的单调递减区间是_ ______________. 和 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 44 8.已知函数在区间上的取值范围为 ，则 实数 的取值范围为______. [解析] 函数的图象的对称轴方程为，则 在 上单调递减，且，当时，函数 单调递 增，且， 要使函数在区间 上的取值 范围为，则实数的取值范围是 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 45 9.已知是二次函数，且满足, . （1）求函数 的解析式； 解：设 ，, ， 又 , ， 即 ， 解得 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 （2）设函数，求在区间 上的最小值 的表达式. 解：由题意得， ，则二次函数 的图象的对称轴为 . 当时，，在上单调递增，当时， 取得 最小值； 当时，，在 上单调递减，在上单调 递增，当时，取得最小值； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 当 时，，在上单调递减，当时， 取得 最小值 . 综上， 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ◆ 综合提升 ◆ 10.若函数在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为的图象的对称轴为直线 ，所以 函数在上单调递减，又函数 在区间 上单调递减，所以，解得， 又 ，所以，故实数的取值范围是 .故选C. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 11.已知向量， ，则函数 的图象不可能为( ) A. B. C. D. √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 [解析] 因为 ,所以. 当时，，故A可能为 的图象； 当时，二次函数 的图象开口向上,由 ，解得或，所以 的零点为0和 ，且，故B可能为的图象，C不可能为 的图象； 当时，二次函数 的图象开口向下，的零点 为0和，且，故D可能为 的图象. 故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 12.（多选题）已知函数 ,则下列结论正确的是 ( ) A.若是偶函数,则 B.若的解集是,则 C.若,则 恒成立 D.当,时,在 上单调递增 √ √ √ [解析] 对于A,函数的定义域为,若函数 为偶函数,则 ,即,即 对任意的 恒成立,所以,故A正确; 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 对于B,若不等式 的解集为,则且,1为方程 的两根,则 解得故,故B正确; 对于C,若 ,则,,故 不 恒成立,故C错误; 对于D,当时,因为,所以在上单调递增,当 时,函数的图象的对称轴为直线，且 ,由二次函数的单 调性可知,函数在上单调递增,故D正确.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 13.请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式： _______________________. ；有两个零点； 有最小值. （答案不唯一） [解析] 令，则其图象的对称轴为直线 ，满足 ； 令，解得或 ，满足有两个零点; ，当 时，，满足 有最小值. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 14.已知函数在上单调，则实数 的取值范围为 _________________. [解析] ， 令， ， 则“函数 在上单调”等价于“函数 在上单调”. 的图象的对称轴为直线 ， 若在上单调递增，则，解得 ； 若在上单调递减，则，解得 . 综上所述，实数的取值范围为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 15.已知函数 . （1）若，求不等式 的解集； 解：当时，不等式即为 ， 所以，则有，则 ，故不等 式的解集为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 （2）当时，的最小值为，求 的值. 解：令，，则，设,则 的 图象开口向上，对称轴方程为 . ①当，即时，在 上的最小值为 ，解得 ，不符合题意； ②当，即时，在 上的最小值为 ，可得 ； 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 ③当，即时，在 上的最小值为 ，解得 ，不符合题意. 综上所述，的值为 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 ◆ 能力拓展 ◆ 16.（多选题）若函数在 上单调， 则实数 的值可以为( ) A. B. C. D.3 √ √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 [解析] ①当，即 时， ，所以 的图象的对称轴为直 线，当时， 的图象如图①所示，当 时， 的图象如图②所示. 由图可知，要使函数 在上单调，则 或 ,解得或,即或 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 ②当，即或 时,令 ，则的图象的对称轴为直线 ,当时，的图象如图③所 示,当时， 的图象如图④所示. 由图可知，要使函数在 上单调， 则或可得或 . 综上，或.故选 . 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.[2024·北京卷]已知, , 是平面直角坐标系中的点集.设是 中两点间的距离的最 大值，是 表示的图形的面积，则( ) A.， B.， C.， D.， √ 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 [解析] 对任意的，，因为 ， 所以，即 ，所以集合 ,, 表示的图形即为 不等式组 表示的平面区域，如图中阴 影部分所示，其中,,，连接. 由图可知， ， .故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 $