精品解析：甘肃兰州市兰州新区片区联考2025-2026学年高二下学期7月期末检测数学试卷

高二期末检测 数学试题 本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（ ） A. B. C. D. 3. 若随机变量服从二项分布，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有 A. B. C. D. 5. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 4 D. 7 6. 已知向量，，，若共面，则x等于（ ） A. B. 1 C. D. 7. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.12 B. 两人都不中靶的概率为0.42 C. 恰有一人中靶的概率为0.46 D. 至少一人中靶的概率为0.74 8. 在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为45° B. C. 线段的长度为1 D. 直线与所成的角为60° 二、多项选择题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ） A. B. 向量与的夹角的余弦值为 C. 点关于轴的对称点坐标为 D. 直线的一个方向向量 10. 某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点 B. 用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好 C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D. 基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 已知服从参数为0.6的两点分布，则__________. 13. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布（），若ξ在内取值的概率为0.4，则ξ在内取值的概率为______ 14. 已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为_______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为. （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的数学期望和方差. 16. 某城市统计该地区人口流动情况，随机抽取了100人了解他们端午节是否回老家，得到如下不完整的列联表： 回老家 不回老家 总计 60周岁及以下 5 60 60周岁以上 25 总计 100 （1）完成以上列联表： （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为回老家过节与年龄有关？ 参考公式：， 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. （1）分别写出，的值； （2）若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； （3）若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 18. 正方体的棱长为4，分别为中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期末检测 数学试题 本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案. 【详解】， ，解得. 故选：B. 2. 设，随机变量的分布列为： 5 8 9 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分布列的性质，列式计算即得. 【详解】由，得， 所以. 故选：D 3. 若随机变量服从二项分布，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 所以. 故选：C 4. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A． 5. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. 4 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由随机变量期望的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则. 故选：D. 6. 已知向量，，，若共面，则x等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理求解作答. 【详解】因为向量，，，且共面， 则存在实数，使得 ， 即， 所以，解得. 所以，即 故选：C 7. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.12 B. 两人都不中靶的概率为0.42 C. 恰有一人中靶的概率为0.46 D. 至少一人中靶的概率为0.74 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件， 乙中靶为事件， 则两人都中靶的概率为， 两人都不中靶的概率为， 恰有一人中靶的概率为， 至少一人中靶的概率为. 故选：C 8. 在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为45° B. C. 线段的长度为1 D. 直线与所成的角为60° 【答案】C 【解析】 【分析】为基底，结合向量夹角公式、模长公式和向量运算法则即可逐一计算求解判断各选项 【详解】由题可得，，， 对于A，由题， 所以，， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由题得 ，故B错误； 对于C，因为，， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 又， 所以，所以， 所以直线与所成的角为，故D错误. 故选：C 二、多项选择题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分，共18分） 9. 在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ） A. B. 向量与的夹角的余弦值为 C. 点关于轴的对称点坐标为 D. 直线的一个方向向量 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，根据空间两点距离公式可判断A选项正误； 对于B选项，根据空间向量的夹角坐标公式可判断B选项正误； 对于C选项，根据点的对称性可判断C选项的正误； 对于D选项，根据直线方向向量的概念可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由于，，根据空间两点距离公式可得：.故A选项错误； 对于B选项，，，设向量与向量的夹角为， 则，故B选项正确； 对于C选项，点关于轴的对称点坐标为，故C选项正确； 对于D选项，易知，由于，得：，因此是直线的一个方向向量，故D选项正确. 故选：BCD 10. 某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据超几何分布概率公式直接求解即可. 【详解】从个产品中任意抽取个，基本事件总数为个； 其中恰好有个二等品的基本事件有个， 恰好有个二等品的概率； 也可由对立事件计算可得. 故选：AD. 11. 下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点 B. 用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好 C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D. 基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过 【答案】BD 【解析】 【分析】由回归直线的性质即可判断A；利用决定系数的性质即可判断B；由标准差的性质即可判断C；由独立性检验的思想即可判断D. 【详解】A：回归直线恒过样本点的中心正确，但不一定会过样本点，故A错误； B：用决定系数来刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好，故B正确； C：将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据的波动性不变， 故方差不变，则标准差不变，故C错误； D：根据独立性检验可知D正确. 故选：BD 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 已知服从参数为0.6的两点分布，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两点分布的基本性质即可求解 【详解】. 故答案为： 13. 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布（），若ξ在内取值的概率为0.4，则ξ在内取值的概率为______ 【答案】0.4## 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性求解 【详解】因为ξ服从正态分布（），即正态分布曲线的对称轴为，根据正态分布曲线的对称性，可知ξ在与取值的概率相同，所以ξ在内取值的概率为0.4. 故答案为：0.4 14. 已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由在恒成立求解. 【详解】函数的定义域为，因为函数在定义域上是增函数， 所以在恒成立， 所以在恒成立，所以 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】若在是增函数，则恒成立；若在是减函数，则恒成立. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为. （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的数学期望和方差. 【答案】（1）分布列为： （2），【解析】 【分析】（1）找出的所有可能取值并计算对应概率即可得； （2）借助分布列计算期望与方差即可得. 【小问1详解】 的可能取值为、、， 则， ， ， 故其分布列为： 【小问2详解】， . 16. 某城市统计该地区人口流动情况，随机抽取了100人了解他们端午节是否回老家，得到如下不完整的列联表： 回老家 不回老家 总计 60周岁及以下 5 60 60周岁以上 25 总计 100 （1）完成以上列联表： （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为回老家过节与年龄有关？ 参考公式：， 参考数据： 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 回老家 不回老家 总计 60周岁及以下 5 55 60 60周岁以上 15 25 40 总计 20 80 100 （2）可以认为回老家过节与年龄有关 【解析】 【分析】（1）根据表中已知数据即可求解， （2）计算卡方值，即可与临界值比较求解. 【小问1详解】 回老家 不回老家 总计 60周岁及以下 5 55 60 60周岁以上 15 25 40 总计 20 80 100 【小问2详解】计算 根据小概率值的独立性检验，可以认为回老家过节与年龄有关 17. 在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为（单位：，以下同），且. （1）分别写出，的值； （2）若生产这样的成品铜棒10000根，试估计直径在内的铜棒根数； （3）若质检员从这些铜棒中随机抽取1根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率. 参考数据：若，则，，. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由正态分布概念可确定，； （2）注意到，由题利用可得答案； （3）由，结合题意可得答案. 【小问1详解】 , 则，； 【小问2详解】 ， 因，则直径在内概率约为， 则直径在内的铜棒根数估计为； 【小问3详解】 ， 因，， 则， ， 则. 18. 正方体的棱长为4，分别为中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 法一、在正方形中， 由条件易知 ，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； 【小问3详解】 由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 19. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在单调递减，当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论和两种情况导数的符号，进而可求函数的单调区间； （2）将已知条件转化为恒成立，构造函数，求出，转化为成立，然后构造函数，借助导数判断的单调性，从而得出满足条件的的取值范围. 【小问1详解】 因为函数， 所以， 当时，，所以函数在单调递减， 当时，令，得， 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 综上所述，当时，函数在单调递减， 当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增； 【小问2详解】 若不等式恒成立，又 则有恒成立 设函数，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，不合题意 当时，令，解得 当时，，所以函数单调递减， 当时，，所以函数单调递增， 所以， 由恒成立，则成立， 即成立 令，则 所以函数在上单调递增， 又，， 所以当时，成立. 综上所述，实数的取值范围为 【点睛】关键点：第（1）问的关键是分和讨论；第（2）问的关键是构造两个函数和，借助导数求出最值和单调性，即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $