甘肃省古浪县第三中学等校2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷

高二数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：高考范围。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合M={1,3,5},N={1,2,3},则M∩N= A.{1,2,3,5} B.(1,3) C.(3} D.(1} 2.在复平面内，复数x对应的点为(1，一3)，则xi= 场度 A.3+i B.1-3i C.1+3i D.3-i 3.已知圆C的方程为x2+y2一2x十4y十a=0,则实数a的取值范围是 A.(-∞，5) B.(-∞，4) C.(5,+o∞) D.(4,十∞) 4.某班6人（含学生甲）站成一排拍照，若甲不站最右端也不站最左端，则不同站法数为 A.720 B.480 C.360 D.240 5.已知函数f(x)=a.x3十bx2+cx十d(a≠0)的部分图象如图所示，f(x)为函数 f(x)的导函数，则关于x的不等式x·f(x)>0的解集为 A.（-∞，1) B.(0,1) C.(-∞，-1)U(1,+∞) D.(-∞，-1)U(0,1) 6.已知点P(1,一2,1)，Q(1,2,3),点P在平面a内，若平面a的法向量n=(1,0,1),则点Q到平面a的 距离为 A.2 B.√3 C.√2 D.1 【高二数学第1页（共4页）】 GS 7.某电影放映厅有15排座位，且从第二排起，每一排都比前一排多d个座位，前5排，中5排，后5排分 别称为甲区，乙区，丙区，若甲区，乙区的座位数分别是70,95，则此电影放映厅的座位总数为 A.495 B.285 C.210 D.120 8.已知函数f(zx)=2sin(awx十p)>0,0<g<)的部分图象如图所示，M,N是相邻的最低点和最高 点，直线MN的方程为y=4x+专，则f(号) A.2 B.1 C.25 D.5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.通过随机抽样，得到变量x和变量y的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量y和变量x线性 相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是 7 .P A.直线1的斜率是负数 6 5 B.变量y与变量x正相关 3 2 C.相关系数r<0 D.若去掉图中点A后，剩余数据的相关系数r变大 可1234567元 10.已知向量a=(一3,1)，b=(4,2),则 A.(2a+b)∥b B.lbl=√2la Ca与b的夹角为 D.a在b方向上的投影向量的坐标为（一2，一1） 11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)=f(x)十f(y)一2xy一1，则下列说法正确的是 A.f(2)+f(-2)=-6 B.函数y=f(x)十x2是奇函数 C.若f(1)<5,则f(2)<5 D.若f(100)=1,则f(1)=100 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.抛物线x2=一14y的焦点到准线的距离为 13.已知随机事件A,B满足P(A)-号，P(AB)=号，P(BlA)=},则P(B) 14.已知数列{an}满足a1=3,am+1=an十8n十4，则数列 2}的前2026项和为 【高二数学第2页（共4页）】 GS 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 21许饰出得中 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且2 acos C-=bcos C+ccos B. (1)求角C的大小； (2)若c=√13,3b=4a,求△ABC的面积. 16.(本小题满分15分) 一个不透明的袋子中有6个大小相同的球，其中有3个白球、3个黑球，从中随机依次摸出3个球作为 样本，用X表示样本中白球的个数. (1)若有放回地摸球，求X>2的概率； 的除存父得的改流，安离单代 (2)若不放回地摸球，求X的分布列与数学期望 楼拉下向必年设险所，转托位的任 虽的生的可，营中码地店由后口，头 17.(本小题满分15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C中，AB⊥AC,点D为AC的中点. (1)求证：B1C∥平面A1BD; C (2)若AC=AB=2AA1=2,求平面A1BD与平面B1CD夹角的正 B 弦值 【高二数学第3页（共4页）】 GS 18.(本小题满分17分) 已知菊圆C号+苦=1Q>6>0)的离心率为9，上顶点B的坐标为0,1). (1)求C的方程； (2)已知M为C上一点，过M作x轴的垂线，垂足为N,若点S满足NS=3NM,当点M在C上运动 时，求点S的轨迹方程； (3)过（一1,0）的直线1与椭圆C交于P,Q两点，O为坐标原点，直线OQ与椭圆的另一个交点为G, 若△PQG的面积Sa=号，求直线1的方程， 后容合安要一营度，中张个明的出丝要心量站。食比共，化：过小接感小：共保流器数， 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=alnx-2x(a∈R) 的家收设，内面平许 (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程； (②若fe)在[是，©]上的最大值为0，求a的值， (3)若a≠-2，f代)≤1-b-2nx恒成立，求年的最大值， 【高二数学第4页（共4页）】 GS高二数学参考答案、提示及评分细则 1.B由M={1,3,5冫，N={1,2,3},得M∩N={1,3}.故选B. 2.A由题知之=1-3i,所以i=(1一3i)i=3+i.故选A. 3.A由题意得(-2)2十42-4a>0,解得a<5.故选A. 4.B先安排甲从除最左端和最右端的4个位置中选一个站，有A=4种站法：将剩余的人任意排序，有A=120种站法. 由分步乘法计数原理可得，不同站法数有4×120=480种.故选B. 5.D由图知函数f(x)的单调递减区间为(-∞，一1)，(1，+∞)，单调递增区间为(-1,1)，所以x∈（一∞，一1）U 20, x>0, (1,+∞)时，f(x)<0,x∈(-1,1)时，f(x)>0.由x·f(x)>0,得 或 所以x∈(-∞，-1)U f(x)<0(f(x)>0, (0,1).故选D. 6.C由题意得Pd(04,2),所以点Q到平面a的距离d=P:m=名-反.故选C 7.B方法一：设第n(n=1,2,3,…,l5)排的座位数为an,由题意可知，数列{am》(n≤15，n∈N”)是公差为d的等差数 列，设{am}的前n项和为Sm,则S,S。一S,S15一S成等差数列，所以2(Sn一S)=S十(S16一S1o),由题意知S= 70,S0-S=95,所以2×95=70+S5-(70+95),解得S15=285.故选B. 方法二：设第n(n=1,2,3,…,15)排的座位数为au,由题意可知，数列{an}(n≤15，n∈N)是公差为d的等差数列，设 {an}的前n项和为Sn,由题意知S3=70,S0-S=95,所以S=5a1+10d=70,So=10a1+45d=70+95=165,解得 a1=12,d=1,所以S1s=15a1+105d=285.故选B. &.D设MN交x轴于点P,由图象的对称性，知点P(-号，0)在函数f(x)的图象上.设N(w,2),由k=2 -=4,得 =日，所以f(x)的最小正周期T=4×[6-(-号)门=2，故还=2，解得w=,f)=2sin(x+g,因为点N (合，2)是f)图象的-个最高点，所以f(合)=2n(x×号十9)=2，结合0<受，解得9=哥，所以f(x)= 2sin(xx+吾)f(号)=2sm经-5.放选D 9.AC由图可知直线l的斜率是负数，所以变量y与变量x负相关，相关系数r<0,故AC正确，B错误；若去掉图中点A 后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值|r变大，又<0，所以相关系数r变小，故D错误.故 选AC. 10.BCD由题知2a十b=(-2,4),显然2a+b与b不平行，A错误，|a=√(-3)2+1下=√0，b川=√4+2=25，因 比a-a,B正确设a与b的来角为0，s广治而”后号，且0G[0,小，因此a与6的夹 a·b 角为宁C正确：a在6方向上的投影狗量为a@s1合=而×(-号)X号房-(-2，-D.D正商故选cD 11.AD取x=y=0,得f(0)=1,取y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+2.x2-1,所以f(x)+f(-x)=2-2x2,f(2)+ f(-2)=一6，A正确：f(-x)+(-x)2+f(x)十x2=f(x)十f(-x)十2.x2=2,函数y=f(x)十x2不是奇函数，B错 误：取y=1,得f(x+1)-f(x)=f(1)-2x-1,所以f(2)-f(1)=f(1)-2×1-1,f3)-f(2)=f(1)-2×2-1, 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 GS …,f(n)-f(n-1)=f(1)-2(n-1)-1,所以f(n)-f(1)=(n-1)f(1)-n(n-1)-(n-1),f(n)=nf(1)-n2+1, 若f(1)=4,则f(2)=2f(1)-3=5,C错误；f(100)=100f(1)-1002+1=1,f(1)=100,D正确.故选AD. 12.7由抛物线的标准方程，得2p=14,解得p=7,所以焦点到准线的距离为7. 1 图为P(A)=号，P(BA)=寸所以P(AB)=PBA·PA)=子×号=吉又PAB)=号，PAB) 0质以PB)路=×是-高 148照 由a+1=am十81+4，得a+1一a,=8+4,所以a2-a1=12,a3-a2=20,…,an-a-1=81-4(n≥2)，以上各 式相加，得a,-41=12十20十十81-4=1-1D(2+81一4=402-4，所以0=4r2-1,又4=3满足上式，所以 2 a,=4-1(mN),品-与=D2n十D-专（点2）.所以数列}的前202项和为 1 (片吉+日吉++4)=0照 15.解：(1)由2 acos C=bcos C+ccos B及正弦定理可得2 sin Acos C-=sin Bcos C+sin Ccos B,…2分 所以2 sin Acos C=sin(B+C)=sin(π-A)=sinA, …3分 又A∈(0，x),所以sinA>0,所以cosC=号， …5分 又Ce(0,x),所以C-音 6分 (2)由余弦定理c2=a2+b2-2abc0sC,即13=a2十b2一ab,…8分 a=3, 又3b=4a,解得 (负值舍去)，… 10分 1b=4. 所以S△BC= 13分 16.解1)若有放回地摸球，每次摸到白球的概率为2，且各次摸球之间的结果是独立的，所以X~B(3,),…3分 所以P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=C×(3)}'×(1-)+C×(分)广=， 即X≥2的概率为2 …6分 (2)若不放回地摸球，则X服从超几何分布，且X的所有可能取值为0,1,2,3， …8分 所以PX=0)晋-高PX=1)晋-品PX=2)晋-品PX=0)--六 X的分布列为 0 1 2 3 9 2 20 …12分 所以E(X)=0×易+1×易+2×易+3×易- 15分 17.解：(1)证明：连接AB,交AB于点E,连接DE,如图所示，在直三棱柱ABC-A,BC中，四边形ABBA1是平行四 边形，故E是AB1的中点，又点D为AC的中点，所以DE∥BC,… …3分 又DEC平面ABD,BC平面ABD,所以BC∥平面ABD. …6分 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 GS (2)解：以A为坐标原点，AB,AC,AA所在的直线分别为x轴，y轴，之轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，所以A(0,0,1),B(2,0,0),D(0,1,0), B1(2,0,1),C(0,2,1) 设平面ABD的一个法向量为n=(x,y,2),又BA=(-2,0,1),Bd= n·BA=-2x+e=0, (-2,1,0),所以 令x=1,解得y=2,之=2，所以平 n.BD=-2x+y=0, 面A1BD的一个法向量为n=(1,2,2).… …8分 m·BC=-2a+2b=0, 设平面B,CD的一个法向量为m=(a,b,c),又BC=(-2,2,0),DC=(0,1,1),所以 m.DC=6+c=0, a=1,解得b=1,c=一1，所以平面BCD的一个法向量为m=(1,1,-1), …10分 设平面ABD与平面B1CD的夹角为0， 所以cos0=|cos(n,ml=Tn·1m n·m /3 √/+22+2X√2+12+(-1) …13分 所以s血0=-o-√-（停=，即平面ABD与平面B,GD夹角的正弦值为g 9 15分 18解：1)设C的半焦距为c,由题含知e=合-号61所以c= 6 …2分 又a2=+c,所以a2=1+号a,解得d=3, 则C的方程为写十=1.… 4分 (2)设S(x,y),M(x0,%),由题意知N(x0,0),…5分 所以N$=(x-y),NM=(0,),由N$=3NM,得 (x-20-0, …7分 y=3%, to-T, 所以 又M在C上，所以号+=1，…9分 所以写+（学）=1，化简，得号+苦-1， 所以点S的轨迹方程为写+号=1.… …11分 (3)由题意知过点（一1,0）的直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=y一1，与C的方程联立，得 消 x=my-1, 元，得(m2+3)y2-2my-2=0,△=4m2+8(m2+3)=12m2+24>0, 设P(M),Q(2),则y十为一m开3为一m千3 2m -2 12分 因为OQ与椭圆的另一交点为G,所以Q,G关于原点对称，即O为QG中点， 所以Saa=2Sm0=是，所以Sa0=子， 3 13分 Sw=合X1X1y-为=2X1XV+w)-4w= 2m 8 2V（m2+3 十m2+3-4’ 化简，得3m十2m2-5=0,… 15分 (m2-1)(3m2+5)=0,解得2=1，m=士1， 16分 所以直线l的方程为x=士y一1，即x十y+1=0,或x一y十1=0.… 17分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 GS 1解：0当a=1时，)=hx一2，期f)--2, 所以f(1)=-2,f(1)=-1, 所以曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y一(-2)=（一1）·(x一1)，即x十y十1=0.…3分 (2由题知了(x)=-2=-22,令了)=0，得x=号 ①当号≤。，即a<号时x)0在xe[日，e]恒成立，所以f)在[日，e]上单调递减， 所以f八x)x=f(日)--a-名=0，解得a=- e …5分 ②当<号<e,即总<a<2e时，则当x∈（日，号）时，(x>0,当x∈（号，）时，r(<0, 所以f()在（日，号）上单调递增，在（号，）上单调递减， 所以fx)=f(受）=aln受-2×号=0，解得a=2e,不符合题意，含去： …7分 ③当号>e,即a≥2e时，f(x)≥0在x∈[，e]恒成立，所以fa)在[是e]上单调递增， 所以f(x)mx=f(e)=a-2e=0,解得a=2e. 综上，a=-2或2e.… e …9分 (3)由f(x)≤1-b-2nx恒成立，整理得(a+2)lnx-2x十b-1≤0恒成立， 设g(x)=(a+2)lnx一2x+b-1,则g(x)≤0恒成立. 当a<-2时，函数y=(a十2)nx,y=-2x十b-1在(0，十∞)上均为减函数， 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减，当x0+时，g(z)>+∞，与题意不符： 11分 当a>-2时.可知g2)<0,所以g(2)=(a+2h2+6-5<0.则哈-<-h2, 所以当会-h2时，g2)=(a+2h2+65=a+2)(血2+合年)>0，与题意不将 12分 下面证阴，存在a,6∈k使得哈=-lh2成立，所以-(a+2h2+5, 所以g(x)=(a十2)(nx-ln2)-2(x-2),则g(2)=0,… 13分 因为g(x)≤g(2)=0对任意的x>0恒成立，所以g(x)在x=2处取得最大值， 因为g(x)=a十2-2，且a十2>0，所以函数g()在(0，十∞)上单调递减， x 所以g()在x=2处取得极大值，则g(2)=a2-2=0,解得a=2, 2 所以=-h2,则65-n2,… 15分 此时g(=41nx-h2)-2(x-2),则g6)=4-2=42 x 当x∈(0,2)时，g'(x)>0,g(x)在(0,2)上单调递增；当x∈(2，十∞)时，g'(x)<0,函数g(x)在(2，十∞)上单调递减， 所以对任意的x>0,g(x)≤g(2)=0,符合题意. 综上所述，一的最大值为-h2。 17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 GS