精品解析：陕西省西安市经开第三中学2025-2026学年度第二学期期末评价试题（初一数学）

经开三中2025-2026学年第二学期期末评价试题（初一数学） （满分：120分；时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形． 【详解】解：A.该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； B. 该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； C. 该选项图标是轴对称图形，符合题意； D. 该选项图标不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. PM2.5是大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解： ． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘除法，根据相关运算法则逐项计算，即可得出答案． 【详解】解：A，，运算正确； B，，运算错误； C，，运算错误； D，，运算错误； 故选：A． 4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，先理解题意，得出，结合两直线平行，同位角相等，得，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， 依题意，， ∴， 故选：A 5. 等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立． 【详解】解：当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×=65°； 当50°是底角时也可以． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 6. 从长度分别为的三条线段中任选2条，与长度为的线段首尾相连，则能连成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直接列举法求等可能事件的概率，组成三角形的条件，不重不漏地列举出所有等可能的情况，以及发现能组成三角形的情况是解题的关键． 首先利用列举法列举出任选三条线段的所有等可能的结果，从中找出能构成三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：①若选择和的线段， ∵， ∴不能与长度为的线段连成三角形； ②若选择和的线段， ∵， ∴不能与长度为的线段连成三角形； ③若选择和的线段， ∵， ∴能与长度为的线段连成三角形． 综上，共有3种等可能情况，符合条件的情况只有1种，其概率为． 故选：C． 7. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵的垂直平分线分别交，于点， ∴ ∵的周长为 ∴ ∴的周长为． 8. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为(cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积(cm2)关于(cm)的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】△ADP的面积可分为两部分讨论，由A运动到B时，面积逐渐增大，由B运动到C时，面积不变，从而得出函数关系的图象． 【详解】解：当P点由A运动到B点时，即0≤x≤2时，y=×2x=x， 当P点由B运动到C点时，即2＜x＜4时，y=×2×2=2， 符合题意的函数关系的图象是A； 故选：A． 【点睛】本题考查了动点函数图象问题，用到的知识点是三角形的面积、一次函数，在图象中应注意自变量的取值范围． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 若，则___． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法和幂的乘方逆运算法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法和幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10. 如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于点，首先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵，平分， ∴， ∴的面积是． 11. 如图，，，，则____． 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：25． 12. 如图，两个正方形的边长分别为、，如果，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】由题意表示AB，AE，EF的长，再由结合三角形面积公式、完全平方公式的变式解答． 【详解】解：由题意得，AB=BC=m，EF=GF=CE=n， 则BE=m+n， = ，， 故答案为：20． 【点睛】本题考查整式的混合运算，涉及三角形面积、正方形面积、完全平方公式的变形等整式，熟练掌握运算法则是解题关键． 13. 如图，等腰的底边的长为，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，的周长为，为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到，说明，当三点共线时，，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 连接， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴， ∴当三点共线时，， ∵点D为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为： ． 三、解答题：本题共12小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，绝对值，再计算乘法，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ． 15. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【分析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将的值代入计算即可求出值． 【详解】 ， 当时，原式=． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 16. 如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求． 【解析】 【分析】先作的平分线，再作的垂直平分线，直线交于点，则点满足条件． 【详解】略 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质． 17. 如图，中是内一点，且平分．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线定义、三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质等知识，先由角平分线定义得到，再由三角形全等的判定与性质确定，进而得到是等腰三角形，由等腰三角形性质即可得证，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ，即是等腰三角形， ． 18. 在一次实验中，老师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧秤的长度随所挂物体的质量x变化关系的图象如下： （1）根据图象信息补全表格： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 8 10 12 14 16 （2）写出所挂物体质量在0至时弹簧秤长度y与所挂物体质量的关系式； （3）结合图象，写出弹簧秤长度是怎样随悬挂物体质量的变化而变化的． 【答案】（1）18；（2）；（3）当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm． 【解析】 【分析】（1）根据表格可知，发现所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm，据此解答即可； （2）根据弹簧的长度等于弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度列出关系式； （3）结合图象解答即可． 【详解】解：（1）由题意可知，当x=5时，y=16+2=18， 故答案为：18； （2）根据表格可知：所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm， 根据弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度可知当所挂物体的重量为x千克时，弹簧长度y=2x+8（0≤x≤5）； （3）由图象可知，当0≤x≤5时，所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm；当挂重物不小于5千克时，弹簧的长度均为18cm． 【点睛】本题主要考查得是列函数关系式，解答本题需要同学们明确弹簧的长度=弹簧原来的长度+弹簧伸长的长度，根据表格发现所挂重物每增加1千克，弹簧增长2cm是解题的关键． 19. 如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种． （1）任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向红色区域的概率是多少? （2） 甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗?为什么? 【答案】（1）；（2）公平，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据红色的有4个扇形，直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可． 【详解】解：（1）∵一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有4个扇形， ∴指针指向红色的概率为：； （2）由图可知：转盘被分成10个相同的扇形， 黄色区域有3块，绿色区域有3块， ∴甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，概率一样， ∴这个游戏对甲、乙公平． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位． （1）过直线m作四边形的对称图形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】 【分析】（1）先作出四边形ABCD各个顶点关于直线m的对称点，再顺次连接起来，即可； （2）四边形对角线的乘积÷2，即可求解． 【详解】（1）如图所示： （2）． 【点睛】本题主要考查画轴对称图形以及四边形的面积，掌握轴对称图形的性质，是解题的关键． 21. 如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明是边上的中线， ， ， ， 在△和△中， ， △△； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．解题的关键是全等三角形判定定理的应用． （1）已知是边上的中线，可得，又，可得，又因为（对顶角相等），可证△△； （2）由（1）中证明的△△，可得，进而求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， △△， ， ， ． 22. 如图，点F在线段上，点E，G在线段上，． （1）求证：； （2）若于点H，平分，，求∠1的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∠1的度数为 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合已知可得，然后利用平行线的判定，即可解答； （2）根据垂直定义可得，再利用平行线的性质可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为． 23. 最短路径问题： 例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点． 应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. （1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C. （2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长． 【答案】(1)作点关于的对称点，关于的对称点，连接,与相交于两点，连接,即为所求． （2）10 【解析】 【详解】试题分析：作点关于的对称点，关于的对称点，连接,与相交于两点，连接,即为所求． 试题解析：略 此时线段的长度即为周长的最小值 连接 由对称性知： 为等边三角形 所以三角形的最小周长为10. 点睛：属于将军饮马问题，依据是：两点之间，线段最短. 24. 最短路径问题： 例：如图①所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：如图②，只有A关于l的对称点与点C、B在一直线上时，才能使最小．作点A关于直线“街道”的对称点，然后连接，交“街道”于点C，则点C就是所求的点． 应用：如图③，点A是锐角内部任意一点，在的两边上各取一点B，C，组成，当B、C在什么位置时，周长最小？ （1）在图中找出符合条件的点B和C，并画出． （2）若，，求周长的最小值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）分别作点A关于的对称点，连接分别交于点B，点C，则点B，点C即为所求； （2）连接，由轴对称的性质可得，，可证明是等边三角形，得到；可证明当四点共线时，的周长有最小值，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得，， ， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∵的周长， ∴当四点共线时，的周长有最小值，最小值为10． 25. 【知识生成】通过学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题： （1）写出下图中所表示的数学等式______． （2）如下图，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______． （3）【知识应用】若，求的值； （4）【灵活应用】下图中有两个正方形、，现将放在的内部得到图甲，将、并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形的面积之和______． 【答案】（1） （2） （3） （4）13 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． （1）利用“算两次”的方法分别计算正方形的面积即可； （2）由图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案； （3）利用（2）中的结论，求出即可； （4）分别用代数式表示图3甲、乙中的阴影部分的面积即可． 【小问1详解】 解：图1中大正方形的边长为，因此面积为，图1中4个部分的面积和为，因此有， 故答案为：； 【小问2详解】 解：图2中阴影部分是4个长为，宽为的长方形组成，因此阴影部分的面积为，阴影部分也可以看作边长为，与边长为的面积差，即，因此有， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， ， ； 【小问4详解】 解：设正方形的边长为，正方形的边长为，所以图3甲中的阴影部分的面积为，即， 图3乙中阴影部分的面积为， 所以正方形、的面积之和为， 故答案为：13． 26. 如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 【答案】（1）证明：，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）解：猜想、、之间的数量关系为：． 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， 又，， ； （3）当时，仍然成立． 【解析】 【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定． （1）首先判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）猜想、、之间的数量关系为：．首先证明，据此推得，所以，最后根据，判断出即可． （3）当时，仍然成立，依照（2）的证明过程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，仍然成立， 证明：，， ∴， 由（1），可得， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， 又，， ； ∴当时，仍然成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 经开三中2025-2026学年第二学期期末评价试题（初一数学） （满分：120分；时间：120分钟） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，四个图标中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. PM2.5是大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（　　） A. 65° B. 65°或80° C. 50°或65° D. 40° 6. 从长度分别为的三条线段中任选2条，与长度为的线段首尾相连，则能连成三角形的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止．设点P的运动路程为(cm)，在下列图象中，能表示△ADP的面积(cm2)关于(cm)的函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 9. 若，则___． 10. 如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 11. 如图，，，，则____． 12. 如图，两个正方形的边长分别为、，如果，，则图中阴影部分的面积为__________． 13. 如图，等腰的底边的长为，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点为的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为___________． 三、解答题：本题共12小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 15. 先化简，再求值： ，其中． 16. 如图．已知锐角，，请用尺规作图法，在内部求作一点．使．且．（保留作图痕迹，不写作法） 17. 如图，中是内一点，且平分．求证：． 18. 在一次实验中，老师把一根弹簧秤的上端固定，在其下端悬挂物体，测得弹簧秤的长度随所挂物体的质量x变化关系的图象如下： （1）根据图象信息补全表格： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 8 10 12 14 16 （2）写出所挂物体质量在0至时弹簧秤长度y与所挂物体质量的关系式； （3）结合图象，写出弹簧秤长度是怎样随悬挂物体质量的变化而变化的． 19. 如图，一个转盘被分成10个相同的扇形，颜色分别为红、黄、绿三种． （1）任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向红色区域的概率是多少? （2） 甲、乙二人利用该转盘做游戏，规则是：自由转动转盘，若指针指向黄色区域则甲获胜，而指针指向绿色区域则乙获胜，你认为这个游戏对甲、乙公平吗?为什么? 20. 如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位． （1）过直线m作四边形的对称图形； （2）求四边形的面积． 21. 如图，在中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，点F在线段上，点E，G在线段上，． （1）求证：； （2）若于点H，平分，，求∠1的度数． 23. 最短路径问题： 例：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点． 应用：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. （1）借助直角三角板在下图中找出符合条件的点B和C. （2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周长． 24. 最短路径问题： 例：如图①所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：如图②，只有A关于l的对称点与点C、B在一直线上时，才能使最小．作点A关于直线“街道”的对称点，然后连接，交“街道”于点C，则点C就是所求的点． 应用：如图③，点A是锐角内部任意一点，在的两边上各取一点B，C，组成，当B、C在什么位置时，周长最小？ （1）在图中找出符合条件的点B和C，并画出． （2）若，，求周长的最小值． 25. 【知识生成】通过学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题： （1）写出下图中所表示的数学等式______． （2）如下图，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______． （3）【知识应用】若，求的值； （4）【灵活应用】下图中有两个正方形、，现将放在的内部得到图甲，将、并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形的面积之和______． 26. 如图，在四边形中，，，，是边上一点，是的延长线上一点，且． （1）求证：； （2）若点在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由； （3）若将题中条件“，”改为“，，点在边上”，则当满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $