26.2.2 二次函数y=ax²+k的图象和性质 第1课时 学案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学学案聚焦二次函数y=ax²+k的图象与性质核心知识点，通过复习y=ax²的性质引入k的影响，用对比表和“三同三不同”梳理平移关系、开口方向等性质，搭建从已知到未知的学习支架。 学案亮点在于通过描点法画图培养几何直观，对比归纳发展推理意识，练习覆盖基础判断到综合应用，结合“上加下减”规律提升模型意识，帮助学生构建知识体系，有效提升课堂学习效率。

学案：26.2.2 二次函数y=ax²+k的图象和性质（第1课时） 人教版九年级上册 第二十六章 二次函数 一、学习目标 1. 会用描点法画出二次函数y=ax²+k的图象，理解抛物线y=ax²+k与抛物线y=ax²之间的平移关系。 2. 能说出抛物线y=ax²+k的开口方向、对称轴和顶点坐标，能根据a和k的符号判断函数的最值和增减性。 3. 掌握"上加下减"的平移规律，能灵活运用平移规律解决相关问题。 二、知识梳理 二次函数y=ax²+k的图象与性质对比表 y=ax²+k的图象与性质归纳 项目 a > 0 a < 0 图象 抛物线 抛物线 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（x=0） y轴（x=0） 顶点坐标 顶点特征 最低点 最高点 增减性（x<0） y随x增大而减小 y随x增大而增大 增减性（x>0） y随x增大而增大 y随x增大而减小 最值 y=ax²+k与y=ax²的平移关系 k的取值 平移方向 平移距离 k > 0 向上平移 k个单位 k = 0 不移动 即为y=ax² k < 0 向下平移 |k|个单位 描点法画y=ax²+k图象的步骤 步骤 操作要点 第一步：列表 以对称轴（y轴）为中心，对称取若干组自变量x的值，计算对应的函数值y。注意k对函数值的影响：y=ax²+k中，每个y值比y=ax²多k。 第二步：描点 在平面直角坐标系中，将表中各组(x, y)对应的点描出来。与y=ax²的图象对比，观察点的位置变化。 第三步：连线 用平滑的曲线顺次连接各点，得到二次函数y=ax²+k的图象。观察与y=ax²图象的平移关系。 y=ax²+k与y=ax²的"三同三不同" y=ax²+k与y=ax²的相同点 y=ax²+k与y=ax²的不同点 第一 开口方向相同（都由a决定） 顶点纵坐标不同（由0变为k） 第二 开口大小相同（都由|a|决定） 函数最值不同（由0变为k） 第三 对称轴相同（都是y轴） 图象位置不同（整体上下平移） 三、课堂练习 练习1 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 当x < -1时，y随x的增大而减小 C. 图象的对称轴是直线x = 2 D. 当x = 0时，y有最大值3     练习2 关于抛物线与，下列说法正确的是（ ） A. 开口方向相同 B. 顶点相同 C. 对称轴相同 D. 当x > 0时，y随x的增大而增大     练习3 二次函数的图象是将（ ） A. 抛物线y = -3x²向左平移3个单位得到 B. 抛物线y = -3x²向左平移1个单位得到 C. 抛物线y = 3x²向上平移1个单位得到 D. 抛物线y = -3x²向上平移1个单位得到     练习4（教材P38练习） 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况。                         练习5 1. 抛物线可以由抛物线向______平移______个单位得到。     2. 抛物线向______平移______个单位后，会得到抛物线。     3. 抛物线的开口方向______，对称轴是______，顶点坐标是______。     练习6 4. 已知点(m,n)在（a不为0）的图象上，点(-m,n)______（填"在"或"不在"）（a不为0）的图象上。     5. 若的顶点是原点，则k ______；若顶点位于x轴上方，则k ______；若顶点位于x轴下方，则k ______。       练习7 已知抛物线 (1) 若抛物线y = ax² + k的形状与y = 2x²相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0, -3)，则该抛物线的函数表达式是__________________。 (2) 若抛物线y = ax² + k向上平移2个单位后得到的抛物线的函数表达式为y = -0.5x² - 1，则a = ______，k = ______。 (3) 若抛物线y = ax² + k的最小值为4，且经过点(1, 5)，则该抛物线的函数表达式是__________________；将抛物线向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是__________________。                     练习8 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且 ，求P点的坐标。   四、参考答案 练习1 答案 答案：B 解析： 中a = 2 > 0，开口向上，A错误。 对称轴是y轴（x = 0），不是x = 2，C错误。 a > 0，开口向上，顶点(0, 3)是最低点，当x = 0时y有最小值3，不是最大值，D错误。 a > 0时，在对称轴左侧（x < 0），y随x增大而减小。当x < -1时，x < 0，所以y随x增大而减小，B正确。 练习2 答案 答案：C 解析： 中a = -1 < 0，开口向下，顶点(0, 1)。 中a = 1 > 0，开口向上，顶点(0, -1)。 开口方向相反（一个向下，一个向上），A错误。 顶点坐标不同：(0, 1)与(0, -1)，B错误。 两条抛物线的对称轴都是y轴（x = 0），C正确。 y = -x² + 1：a < 0，x > 0时y随x增大而减小；y = x² - 1：a > 0，x > 0时y随x增大而增大。两者增减性不同，D错误。 练习3 答案 答案：D 解析： 中a = -3，k = 1。根据"上加下减"的平移规律，k = 1 > 0，所以是由 向上平移1个单位得到的。 A和B说"向左平移"错误（上下平移不是左右平移）。C中把y = -3x²误写为y = 3x²（改变了a的符号），错误。D正确。 练习4 答案 解： 三条抛物线y = x²、y = x² + 1、y = x² - 1都是开口向上，对称轴都是y轴。 y = x²的顶点是(0, 0)；y = x² + 1的顶点是(0, 1)；y = x² - 1的顶点是(0, -1)。 位置关系：y = x² + 1由y = x²向上平移1个单位得到；y = x² - 1由y = x²向下平移1个单位得到。 增减性：三条抛物线都是a = 1 > 0，所以x < 0时y随x增大而减小，x > 0时y随x增大而增大。 （具体描点画图过程略，学生应自行在坐标系中描点连线。） 练习5 答案 1. 抛物线可以由抛物线向上平移3个单位得到。 2. 抛物线向下平移1个单位后，会得到抛物线。 3. 抛物线的开口方向向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0, -5)。 练习6 答案 4. 抛物线的对称轴是y轴，图象关于y轴对称。点(m,n)和点(-m,n)关于y轴对称。因为抛物线关于y轴对称，所以点(-m,n)也在图象上。答案：在。 5. 的顶点坐标是(0, k - 2)。 顶点是原点：k - 2 = 0，k = 2。 顶点在x轴上方：k - 2 > 0，k > 2。 顶点在x轴下方：k - 2 < 0，k < 2。 练习7 答案 解： (1) 形状与y = 2x²相同，即|a| = 2；开口方向相反，即a < 0，所以a = -2。 顶点坐标为(0, -3)，即k = -3。 (2) 向上平移2个单位后得到y = -0.5x² - 1，根据"上加下减"的逆运算： 所以a = -0.5，k = -3。 (3) 最小值为4，说明a > 0且k = 4，所以抛物线为y = ax² + 4。 经过点(1, 5)，代入得： a = 1 向下平移3个单位，得： 练习8 答案 解： ，当y = 0时： 即A点的坐标为(-2, 0)，B点的坐标为(2, 0)。 所以AB = 4。 ，设P点纵坐标为b，则： |b| = 2 当b = 2时，将y = 2代入y = x² - 4： 当b = -2时，将y = -2代入y = x² - 4： 综上所述，满足条件的P点坐标共有4个： 学科网（北京）股份有限公司 $