26.3 y=ax2+bx+c的图象和性质 学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象和性质，通过复习y＝ax²及y＝a(x－h)²＋k，引导学生用配方法转化一般式，构建从基础到复杂的学习支架，掌握开口方向、对称轴和顶点坐标的确定方法。 资料以数形结合为核心，通过平移法和描点法培养直观想象，总结公式法、配方法等提升逻辑推理，课堂练习与分层检测强化数学建模，助力学生理解系数与图象关系，提升知识灵活运用能力，适合教学使用。

人教版九年级数学上册第26章二次函数 26.3第四课时：y＝ax2＋bx＋c的图象和性质学案 一、素养目标 1.能通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标； 2.会利用对称性画出二次函数的图象； 3.理解二次函数图象与性质，培养直观想象；掌握系数与图象关系，提升逻辑推理；解决实际问题，增强数学建模素养. 二、教学重点、难点 重点：会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象. 难点：会用配方法或公式法确定抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点、对称轴及最值. 三、教学过程 课堂导入 从简单的二次函数y＝ax2开始，我们逐步深人，研究了二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质，我们还知道，通过配方，可以将二次函数y＝ax2＋bx＋c转化为y＝a(x－h)2＋k.这样，就可以利用y＝a(x－h)2＋k的图象和性质来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质. 思考 对于二次函数，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 对二次函数进行配方. 解：＝＝＝＝ 注意：二次项系数不为1时，配方要注意“一加一减”：提取完二次项系数后，括号里要加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式，再减去一次项系数一半的平方.这里的一次项系数是提取了二次项系数之后的一次项系数. 平移法 ① ② 描点法 直接画二次函数的图象. 由配方的结果可知，抛物线的顶点是 (6，3)，对称轴是直线x＝6. 先利用图象的对称性列表： 然后描点画图，得到的图象. 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降； 在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.也就是 说，当x＜6时，y随x的增大而减小；当x＞6 时，y随x的增大而增大；当x＝6时，y取最小 值，最小值是3. 方法总结 二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的作法 一.平移法 步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标(h，k)； 步骤2：作出y＝ax2的图象； 步骤3：平移y＝ax2的图象，使顶点坐标为(h，k). 二.描点法 步骤1：配方，变为顶点式，确定顶点坐标、对称轴； 步骤2：以顶点为中心，左右对称各取几组对应值，列表； 步骤3：描点，并用平滑的曲线将描出的点顺次连接. 探究 你能用上面的方法研究二次函数的图象和性质吗？ 开口向下 顶点是(－1，3) 对称轴是直线x＝－1 当x＜－1时，y随x的增大而增大； 当x＞－1时，y随x的增大而减小. 当x＝－1时，y取最大值，最大值是3. 归纳总结 一般地，我们可以类似地研究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质. 通过配方，可以将二次函数y＝ax2＋bx＋c化成 因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－，顶点是(－，) 如图，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可以看出： 如果a＞0，那么当x＜－时，y随x的增大而减小，当x＞－时，y随x的增大而增大； 如果a＜0，那么当x＜－时，y随x的增大而增大，当x＞－时，y随x的增大而减小. 因此，当a＞0(或a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低点(或最高点).也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小值(或最大值) . 方法总结 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴、顶点坐标的三种方法： (1)公式法：对称轴为直线x＝－，顶点坐标为(－，). (2)配方法：运用配方法将一般式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，对称轴为直线x＝h，顶点坐标为(h，k). (3)先求出对称轴，也就得到了顶点的横坐标，再将其代入函数解析式，从而求出顶点的级坐标，即可得出顶点坐标. 课堂练习 1.确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： (1) y＝－3x2＋12x－3 (2) y＝4x2－24x＋26 (3) y＝2x2＋8x－6 (4) y＝x2－2x－1 2.求下列函数的最大值或最小值： (1) y＝3x2＋2x (2) y＝－2x2＋8x－8 参考答案： 1、（1）开口向下，对称轴直线x=2和顶点(2,9)（2）开口向上，对称轴直线x=3和顶点(3,0)（3）开口向上，对称轴直线x=-2和顶点(-2,14)（4）开口向上，对称轴直线x=2和顶点(2,-3) 2、（1）当x=时，最小值是1，（2）当x=2时，最大值是0. 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本节课围绕二次函数一般式的图象与性质展开教学，依托数形结合思想，引导学生通过配方转化解析式，探究开口方向、对称轴、增减性等核心知识点。课堂以自主探究结合例题演练推进，多数学生能掌握基础判定方法。但教学中发现部分学生配方运算熟练度不足，难以快速关联系数与图象特征，知识灵活运用能力偏弱。后续将精简讲解时长，增加分层习题训练，针对性补齐计算短板，强化图象与代数知识的联动理解。 6、 课堂检测 1、写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 2、已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．在抛物线上是否存在点M，使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案： 1、（1）依次为：开口向上，对称轴直线x=和顶点(,)，开口向下，对称轴直线x=-1和顶点(-1,1)，开口向下，对称轴直线x=2和顶点(2,0)，开口向下，对称轴直线x=4和顶点(4,-5) 2、（1）解：把，，代入函数解析式得： ，解得：， ∴； （2）解：∵当时，解得，， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， 设，则，， ，，， ∴，， ∴， ∴当时，的最大值为； （3）解：∴，，点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设的解析式为：，，， ， 解得：， ∴， 联立， 解得，， ∴； 取点E关于x轴的对称点，连接交抛物线于点M，则：， ， 设的解析式为：， 则：， 解得：， ∴， 联立， 解得，， ∴； 综上，点M的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $