2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【基础过关系列】2022-2023学年高一数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019必修第一册)

二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式及其解法 ① 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系： (以下均以为例) 判别式 二次函数   的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实数根 有两个相等实数根 没有实数根 一元二次不等式 的解集 一元二次不等式 的解集 ② 二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系，可充分利用二次函数图像去理解； ③ 求解一元二次不等式时，利用二次函数图像思考，需要确定二次函数的开口方向，判别式，两根的大小与不等式的解集有关，而对称轴是不会影响解集的. 【例】填表 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 解析 方程 方程根的情况 二次函数图像 解不等式 或 无解 【练1】二次不等式的解集是的条件是(　　) ． 解析 由题意可知二次不等式， 对应的二次函数开口向下，所以 二次不等式的解集是，所以． 故选：． 【练2】解不等式 (1) (2) (3) 解析 (1) (2) (3) 3 一元二次不等式的应用 (1) 分式不等式的解法 解分式不等式可等价为有理整式不等式(组)求解. 由于与均意味同号，故与等价的； 与均意味异号，故与等价的； 可得① ，且. 比如且. ② ，且. 比如且. 【例】解不等式的解集是 . 解析 不等式，等价于，解得. 【练】解不等式的解集是 . 解析 不等式，等价于，解得. ． 【题型1】二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 【典题1】 解下列不等式： (1) ；(2) ；(3) . 解析 (1) 二次项系数化为得：， 十字相乘得：，解得或. (2) ， 结合二次函数图像易得不等式解集是. (3)不等式， 等价于，解得. 点拨 1.求解不等式，其中，有个口诀：大于取两边、小于取中间；这结合二次函数图像也很好理解； 2.求解分式不等式时，等价过程中要注意严谨. 【典题2】若不等式的解集为空集，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 解析 由题意可知恒成立，当时成立， 当时需满足，代入求得， 所以实数的取值范围是. 点拨 注意二次系数是否为，涉及到一元二次不等式可理解二次函数图像进行分析. 【典题3】 若不等式的解集是，则不等式的解集是 (　　) 解析 不等式的解集是， 和是方程的两个实数根， 由韦达定理得，解得，， 故不等式，即，解得， 所以所求不等式的解集是， 故选：． 【巩固练习】 1.下列不等式的解集是空集的是 ( ) A． B． C． D． 答案 2.若不等式的解集为空集，则实数k的取值范围是(　　) 答案 解析 当时，满足题意； 当时，，解得； 实数的取值范围是．故选：． 3.关于的不等式，解集为，则不等式的解集为 . 答案 解析 由题意知，，是方程的两根， 可得，解得； 所以不等式为，即，解得， 所以不等式的解集为. 4.不等式的解集为 . 答案 解析 . 5.不等式的解集为 . 答案 解析 原不等式等价于，即，整理得， 不等式等价于，解得． 6.若不等式的解集是 (1)求不等式的解集． (2)已知二次不等式的解集为，求关于的不等式的解集． 答案 (1) (2) 解析 (1)因为等式的解集是}， 所以和是一元二次方程的两根， ，解得， 不等式可化为，即， ，解得， 所以不等式的解集为； (2)由(1)知，二次不等式的解集为， 和是一元二次方程的两根， ，，解得，， 所以不等式可化为：， 即，解得． 所以关于的不等式的解集为． 【题型2】求含参一元二次不等式(选学) 角度1 按二次项的系数的符号分类，即; 解不等式 解析 (不确定不等式对应函数是否是二次函数，分与讨论) 当时，不等式为，解集为； 当时， (二次函数与轴必有两个交点) 解得方程两根； (二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分与讨论) 当时，解集为； 当时, 解集为}.(注意的大小) 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时, 解集为}. 角度2 按判别式的符号分类 解不等式. 解析 (此时不确定二次函数是否与轴有两个交点，对判别式进行讨论) ①当，即时，解集为； ②当，即时，解集为； ③当或