1.3 集合的基本运算（讲义，知识点&8大题型&刷好题）高一数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学集合的基本运算核心知识点，系统梳理并集、交集、补集的定义（含韦恩图几何意义）、符号表示、运算性质（交换律、结合律等），拓展区间表示、德摩根定律及容斥原理，构建“定义-性质-运算-拓展-应用”的学习支架，衔接集合概念与逻辑用语，为后续学习奠定基础。 该资料以课标为纲明确重难点，通过韦恩图直观呈现集合关系培养几何直观（数学眼光），分题型（如根据运算结果求参）训练推理能力（数学思维），随学随练与活学活用结合。课中辅助教师分层教学，课后学生可通过实例巩固应用意识（数学语言），有效查漏补缺。

第 一 章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 课标要点 1、理解并集、交集、补集的定义及几何意义（韦恩图表示）。 2、掌握并集、交集、补集的符号表示与自然语言描述。 3、能熟练计算两个集合的并集与交集，能在给定全集的条件下求补集。 4、掌握并集、交集、补集的基本运算性质（如交换律、结合律、分配律、德摩根律等）。 5、能利用韦恩图解决集合运算中的实际问题，并能用集合运算表示实际问题中的条件。 学习重难点 重点： 1、并集、交集、补集的定义及符号表示； 2、利用韦恩图直观理解三种运算； 3、由集合的运算结果反推参数或集合本身（如已知A并B的结果求参数）； 难点： 1、含参集合的运算中，根据运算结果列不等式组求参数时，端点值的取舍（等号是否成立）容易出错； 2、补集运算中全集范围的确定； 3、利用韦恩图解决复杂集合关系时，各区域对应的代数条件容易遗漏或重复。 4、德摩根律的直观理解与简单应用。 知识点 集合的并集 1、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为与的并集，记作 2、并集的性质 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 任何集合与它子集的并集都是它本身 ； 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 交换律 结合律 特别提醒 求并集的时候注意，根据集合的互异性，两个集合的公共元素在并集中只出现一次。 随学随练 1．（25-26高二下·广东佛山·期末）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由集合，集合，则. 知识点 集合的交集 1、交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作（读作“交），符号语言 2、交集的性质 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 任何集合与空集的交集都是空集 任何集合与它的子集的交集都是这个集合的子集 两个集合的交集是其中任一集合的子集 交换律 结合律 分配律 特别提醒 当集合A和集合B没有公共元素时，不能说集合A与集合B没有交集，而是集合A与集合B的交集为空集。 随学随练 1．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，，所以. 知识点 全集与补集 1、一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为. 2、若集合是全集的一个子集，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作.符号表示。 3、补集的运算性质 性质 定义 一个集合与其补集的并集是全集 一个集合与其补集的交集是空集 一个集合的补集的补集是其本身 全集的补集是空集 空集的补集是全集 在同一全集中，相等集合的补集也相等 在同一全集中，任何集合的补集是其子集的补集的子集 在全集U中，集合A与集合B的补集没有公共元素，等价于 集合A是集合B的子集 在全集U中，集合A与集合B的补集的并集等于全集U，等价于 集合B是集合A的子集 特别提醒 补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割。补集即是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算。 随学随练 1．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以， 又，所以. 知识点 区间 1、区间的表示：设，是两个实数，而且，我们规定：这里的实数，叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 2、数轴法：对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示。在数轴上，若端点值是集合中的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示。 定义 符号 数轴表示 拓展 德摩根定律与容斥原理 1．德摩根定律 设集合为全集，为的子集，则有 (1) (2) 2、容斥原理 （1）二元容斥原理：对于集合来说,有 . (表示有限集合A中元素的个数) （2）三元容斥原理及其内涵:对于集合来说,有 . 活学活用 1．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 题型 交集与并集运算 ▌例1（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. ▌例2（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合，，则 解题贴士 直接化简各集合（列举或解不等式），然后用数轴或枚举找公共部分（交集）或合并所有元素（并集）。注意端点开闭，交集取重叠区间，并集取覆盖全范围。 ▌对点练1-1（25-26高二下·广西梧州·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，解得，所以， 又，所以. ▌对点练1-2（25-26高二下·北京石景山·期末）已知集合，，则（    ） A．≥ B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， ，所以. 题型 根据交集结果求参 ▌例1（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，然后根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，得， 由于集合或}，， 所以或，解得或， 故实数的取值范围为，故D正确. ▌例2（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【分析】化简集合，根据交集的概念可知，通过讨论集合是否为空集即可求解. 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 解题贴士 根据交集求参，核心是将交集结果转化为元素归属条件： 1、若交集含某元素，则该元素同时属于两集合（代入列方程）； 2、若交集为空，则两集合无公共元素（列矛盾不等式）。 3、若通过交集能推出一个集合包含于另一个（如 则），则按包含关系列端点或元素对应条件。 最后必须将参数代回原集合验证互异性与交集一致性，尤其注意空集和端点开闭。 ▌对点练1-1（2026·山东·模拟预测）已知集合，若 ，则 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由得，进而求得，再验证即可求解. 【详解】由，所以或，解得或， 当时，，所以，满足题意， 当时，，所以，不满足题意， 所以. ▌对点练1-2（2026·上海·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________． 【答案】 【分析】根据交集的定义和集合的性质计算即可. 【详解】因为已知集合，，， 所以，解得. 题型 根据并集结果求参 ▌例1（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据并集的定义计算即可. 【详解】已知集合，若， 所以，解得. ▌例2（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，解得或， 当时，此时，不合题意. 当时，此时，要使，则. 综上. 解题贴士 根据并集结果求参，核心是将并集条件转化为“并集结果中的元素必须来自两集合”： 1、若并集为某确定集合，则所有元素必须出现在两集合中； 2、若，则，按包含关系列参数范围。 注意并集结果中的每个元素，至少属于其中一个集合，因此若并集含某元素，则需检查该元素能否由参数取值保证。最后验证互异性及并集是否多出额外元素（需排除）。 ▌对点练1-1（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，即实数的取值范围为. ▌对点练1-2（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】由得到，然后由子集的定义求解. 【详解】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 题型 交并补的混合运算 ▌例1（25-26高二下·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，则， 且全集，所以. ▌例2（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得或， 因为，所以. 解题贴士 并集、交集、补集混合运算优先级：①优先计算括号内运算；②其次计算补集；③最后计算交集、并集（从左至右依次运算）. ▌对点练1-1（25-26高二下·江苏无锡·期末）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为全集，，， 所以，所以. ▌对点练1-2（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用交集运算与补集运算求解. 【详解】由题可得，又因， 则. 题型 根据补集求参 ▌例1（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】已知全集，， 则，又，所以，解得． ▌例2（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的性质以及补集的定义即可求解. 【详解】已知集合， 由补集的定义可知，即， 因此必有且，解得，故A正确. 解题贴士 直接利用补集定义：补集中的元素属于全集但不属于原集合，由此转化条件。注意端点开闭会反转（补集中开区间变闭区间），且全集范围必须明确，参数需同时满足原集合与补集结果的互斥性。最终参数需代回检验，确保原集合与补集互斥且并集为全集。 ▌对点练1-1（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的根，结合补集定义即可求解. 【详解】解：由得，解得或， 而， 可得，故， 故答案为：1 ▌对点练1-2（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据补集得出或，再代入检验得出参数. 【详解】因为集合，， 且，所以 则或； 当时，集合，，符合题意； 当时，集合，不符合集合互异性舍； 所以. 故选：D. 题型 根据集合混合运算求参 ▌例1已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】根据集合是否为空集进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. 【详解】由得，， 当时，由，可得，即， 此时； 当时，由， 得或，而， 所以，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. ▌例2（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知有，结合已知交补运算的结果确定、，进而判断各项的正误. 【详解】由题设，又， 所以，，，则的不同子集的个数为个，B对， 由，则，故， 所以，C错，A、D对. 故选：ABD 解题贴士 对集合的混合运算进行解读，注意运算式中的交集对应“且”（公共元素）、并集对应“或”（合并元素）、补集对应“否定”，可通过韦恩图直观理解。最终需验证参数使元素互异、端点开闭及空集满足，并确保逆推关系等价。 ▌对点练1-1（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【详解】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． ▌对点练1-2（25-26高一上·河南信阳·期中）（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用并集补集定义求解，再分为空集与非空集情况讨论，列出参数不等式求解即可. 【详解】，，， ，， 由且 当时，，即符合题意； 当时，，解得； 综上：或； 故选：ACD 题型 利用Wenn图求集合 ▌例1（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 ▌例2（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 解题贴士 Wenn图（韦恩图）用于直观表示集合关系与运算，将全集视为矩形，子集视为圆，不同区域代表不同的元素归属（如仅属A、交叠区域等）。解题时先标出各区域对应代数条件，再根据已知元素分布反推集合元素或参数。注意每块区域不能遗漏且互斥，尤其补集对应矩形内圆外部分，常用于验证混合运算的包含关系或元素个数。 ▌对点练1-1（25-26高一上·重庆·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦恩图表示的集合含义，即可求出答案. 【详解】根据韦恩图可知，阴影部分表示的集合是, 故选：D ▌对点练1-2（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【详解】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 题型 容斥原理 ▌例1（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. ▌例2（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． ▌对点练1-1（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ）解题贴士 容斥原理用于计算多个集合并集的元素个数，核心是“加多减重”。常用公式为∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣，三集合时需加回三交集。实际应用时先明确全集个数，再反向求交集或补集元素个数，注意“至少一个”与“恰好一个”的区别。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】结合韦恩图，列出方程求解即可. 【详解】设同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为，只参加田径的人数为，只参加球类比赛的人数为， 则只参加游泳比赛的人数为，画出韦恩图，如图所示， 则，解得，所以同时只参加田径比赛和球类比赛的有1人. ▌对点练1-2（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 基础通关 1． （2026·陕西榆林·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据真子集的定义，结合交集定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以，，即， 又，但，所以，故. 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，，， 所以，即，解得. 3．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据列不等式，由此求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 5．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）（多选）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】根据集合包含的定义即可判断AB；根据交集并集结果求出参数范围可判断CD. 【详解】对于A，若，则，则，故A正确； 对于B，若，则显然任意，则，则，故，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C正确； 对于D，若，则，不等式无解，故D错误. 故选：ABC. 6．（2026·江苏南京·一模）设全集，集合，，则（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】因为，，， 所以，即. 7．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 8．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由补集和交集的概念可得出答案. 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 9．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦恩图及集合的运算求解即可. 【详解】由韦恩图可知，阴影部分为不在集合且在集合中的元素所构成的， 所以阴影部分所表示的集合为， 故选：C 10．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集、并集、补集的概念求出. 【详解】，则， 又，则图中阴影部分表示的集合是. 故选：D 素养提升 1．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据集合交集和并集的运算性质进行求解即可. 【详解】当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项A不正确，选项B正确. 当时，即， 则实数的取值范围为，因此选项C不正确，选项D正确． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先将代入集合中，再根据集合的并集运算求解即可； （2）先求出，再分和两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）选择①，则，所以； 选择②，则，所以； 选择③，则，所以． （2）由，则， 又，所以， （ⅰ）若，即，则，满足题意； （ⅱ）若，即，由，得或，解得或． 综上实数的取值范围为或，即． 3．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由并集性质得，分类讨论为空集和非空集两种情况列不等式求解； （2）由交集为空集的条件，分类讨论为空集和非空集，结合集合端点的大小关系列不等式求解. 【详解】（1）由并集的性质可知等价于， ① 当时，满足，即，解得； ② 当时，需同时满足：， 解得：，即. 综上，的取值范围是或， 即的取值范围是. （2）由题意， ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足的所有元素都不在的范围内，且（即）， 即： 或 ，解得， 结合得， 解得，结合得. 综上，合并两类情况的解，的取值范围是或， 即. 4．（25-26高一下·上海·期中）已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解绝对值不等式和分式不等式求得集合，可求； （2）利用集合非空可得，由，可得，求解即可. 【详解】（1）若，由，得，解得，所以. 由，得，即，所以， 解得，，所以； （2）由（1）得， 因为集合为非空集合，所以， 由，得，解得，所以， 又，所以，解得，又，所以， 所以实数的取值范围. 5．（25-26高三下·浙江·开学考试）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 【答案】B 【详解】参加竞赛的总人数：45−15=30（位）， 根据容斥原理计算同时参加两科竞赛的人数：18+15−30=3（位）. 迁移创新 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件求和，再结合定义求结论. 【详解】因为，， 所以，， 所以，， 所以. 3．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用“差集”， “对称差集”的定义和子集的定义，交集和并集的运算求解. 【详解】若，则，A正确； 当时，，B错误； ，C正确； ， ，， ， 故，D正确. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第 一 章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 课标要点 1、理解并集、交集、补集的定义及几何意义（韦恩图表示）。 2、掌握并集、交集、补集的符号表示与自然语言描述。 3、能熟练计算两个集合的并集与交集，能在给定全集的条件下求补集。 4、掌握并集、交集、补集的基本运算性质（如交换律、结合律、分配律、德摩根律等）。 5、能利用韦恩图解决集合运算中的实际问题，并能用集合运算表示实际问题中的条件。 学习重难点 重点： 1、并集、交集、补集的定义及符号表示； 2、利用韦恩图直观理解三种运算； 3、由集合的运算结果反推参数或集合本身（如已知A并B的结果求参数）； 难点： 1、含参集合的运算中，根据运算结果列不等式组求参数时，端点值的取舍（等号是否成立）容易出错； 2、补集运算中全集范围的确定； 3、利用韦恩图解决复杂集合关系时，各区域对应的代数条件容易遗漏或重复。 4、德摩根律的直观理解与简单应用。 知识点 集合的并集 1、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为与的并集，记作 2、并集的性质 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 任何集合与它子集的并集都是它本身 ； 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 交换律 结合律 特别提醒 求并集的时候注意，根据集合的互异性，两个集合的公共元素在并集中只出现一次。 随学随练 1．（25-26高二下·广东佛山·期末）设集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 知识点 集合的交集 1、交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作（读作“交），符号语言 2、交集的性质 任何集合与其本身的交集等于这个集合本身 任何集合与空集的交集都是空集 任何集合与它的子集的交集都是这个集合的子集 两个集合的交集是其中任一集合的子集 交换律 结合律 分配律 特别提醒 当集合A和集合B没有公共元素时，不能说集合A与集合B没有交集，而是集合A与集合B的交集为空集。 随学随练 1．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 知识点 全集与补集 1、一般地，如果一个集合包含所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为. 2、若集合是全集的一个子集，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，记作.符号表示。 3、补集的运算性质 性质 定义 一个集合与其补集的并集是全集 一个集合与其补集的交集是空集 一个集合的补集的补集是其本身 全集的补集是空集 空集的补集是全集 在同一全集中，相等集合的补集也相等 在同一全集中，任何集合的补集是其子集的补集的子集 在全集U中，集合A与集合B的补集没有公共元素，等价于 集合A是集合B的子集 在全集U中，集合A与集合B的补集的并集等于全集U，等价于 集合B是集合A的子集 特别提醒 补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割。补集即是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算。 随学随练 1．（25-26高二下·天津武清·阶段检测）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 知识点 区间 1、区间的表示：设，是两个实数，而且，我们规定：这里的实数，叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 2、数轴法：对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示。在数轴上，若端点值是集合中的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示。 定义 符号 数轴表示 拓展 德摩根定律与容斥原理 1．德摩根定律 设集合为全集，为的子集，则有 (1) (2) 2、容斥原理 （1）二元容斥原理：对于集合来说,有 . (表示有限集合A中元素的个数) （2）三元容斥原理及其内涵:对于集合来说,有 . 活学活用 1．（25-26高一下·河北保定·期中）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 题型 交集与并集运算 ▌例1（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高二下·安徽滁州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 解题贴士 直接化简各集合（列举或解不等式），然后用数轴或枚举找公共部分（交集）或合并所有元素（并集）。注意端点开闭，交集取重叠区间，并集取覆盖全范围。 ▌对点练1-1（25-26高二下·广西梧州·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二下·北京石景山·期末）已知集合，，则（    ） A．≥ B． C． D． 题型 根据交集结果求参 ▌例1（25-26高三下·山东烟台·阶段检测）已知集合或}，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌例2（2026高一·全国·专题练习）设 ．若 ，求 的取值范围． 解题贴士 根据交集求参，核心是将交集结果转化为元素归属条件： 1、若交集含某元素，则该元素同时属于两集合（代入列方程）； 2、若交集为空，则两集合无公共元素（列矛盾不等式）。 3、若通过交集能推出一个集合包含于另一个（如 则），则按包含关系列端点或元素对应条件。 最后必须将参数代回原集合验证互异性与交集一致性，尤其注意空集和端点开闭。 ▌对点练1-1（2026·山东·模拟预测）已知集合，若 ，则 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌对点练1-2（2026·上海·模拟预测）已知集合，，若，则实数__________． 题型 根据并集结果求参 ▌例1（25-26高一上·河北唐山·期中）已知集合，若，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．2 D．1 ▌例2（2026·重庆·二模）已知集合，若，则（ ） A． B． C． D． 解题贴士 根据并集结果求参，核心是将并集条件转化为“并集结果中的元素必须来自两集合”： 1、若并集为某确定集合，则所有元素必须出现在两集合中； 2、若，则，按包含关系列参数范围。 注意并集结果中的每个元素，至少属于其中一个集合，因此若并集含某元素，则需检查该元素能否由参数取值保证。最后验证互异性及并集是否多出额外元素（需排除）。 ▌对点练1-1（2026高三下·河南信阳·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一上·江苏徐州·期末）已知，或，若，则实数的取值范围是______. 题型 交并补的混合运算 ▌例1（25-26高二下·天津·期末）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． ▌例2（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 解题贴士 并集、交集、补集混合运算优先级：①优先计算括号内运算；②其次计算补集；③最后计算交集、并集（从左至右依次运算）. ▌对点练1-1（25-26高二下·江苏无锡·期末）设全集，，，则（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 题型 根据补集求参 ▌例1（2026·陕西咸阳·模拟预测）设全集，集合，，则a的值是（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 ▌例2（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 解题贴士 直接利用补集定义：补集中的元素属于全集但不属于原集合，由此转化条件。注意端点开闭会反转（补集中开区间变闭区间），且全集范围必须明确，参数需同时满足原集合与补集结果的互斥性。最终参数需代回检验，确保原集合与补集互斥且并集为全集。 ▌对点练1-1（25-26高一上·福建·阶段检测）设，若，则实数________． ▌对点练1-2（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 题型 根据集合混合运算求参 ▌例1已知集合，，全集为.若，求实数m的取值范围. ▌例2（25-26高一上·山东德州·阶段检测）（多选）已知全集，，则下列选项正确的为（ ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 解题贴士 对集合的混合运算进行解读，注意运算式中的交集对应“且”（公共元素）、并集对应“或”（合并元素）、补集对应“否定”，可通过韦恩图直观理解。最终需验证参数使元素互异、端点开闭及空集满足，并确保逆推关系等价。 ▌对点练1-1（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是_________． 故答案为：． ▌对点练1-2（25-26高一上·河南信阳·期中）（多选）全集 ，，，， ,若，则下列的取值满足题意的有（    ） A． B． C． D． 题型 利用Wenn图求集合 ▌例1（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． ▌例2（25-26高一下·湖北黄石·阶段检测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 Wenn图（韦恩图）用于直观表示集合关系与运算，将全集视为矩形，子集视为圆，不同区域代表不同的元素归属（如仅属A、交叠区域等）。解题时先标出各区域对应代数条件，再根据已知元素分布反推集合元素或参数。注意每块区域不能遗漏且互斥，尤其补集对应矩形内圆外部分，常用于验证混合运算的包含关系或元素个数。 ▌对点练1-1（25-26高一上·重庆·期末）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（25-26高一上·湖南·阶段检测）已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 题型 容斥原理 ▌例1（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 ▌例2（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时只参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时只参加游泳比赛和球类比赛的有3人，同时参加三项比赛的有1人，则同时只参加田径比赛和球类比赛的人数为（ ）解题贴士 容斥原理用于计算多个集合并集的元素个数，核心是“加多减重”。常用公式为∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣，三集合时需加回三交集。实际应用时先明确全集个数，再反向求交集或补集元素个数，注意“至少一个”与“恰好一个”的区别。 A．0 B．1 C．2 D．3 ▌对点练1-2（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 基础通关 1． （2026·陕西榆林·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏连云港·模拟预测）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）（多选）设集合或，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2026·江苏南京·一模）设全集，集合，，则（   ） A．4 B．5 C．7 D．9 7．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 8．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 9．（25-26高三上·江苏无锡·阶段检测）已知是全集的两个子集，则如图所示的阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 素养提升 1．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列结论正确的是（ ） A．若，则实数的取值范围为 B．若，则实数的取值范围为 C．若，则实数的取值范围为 D．若，则实数的取值范围为 2．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，． (1)在①，②，③这三个条件中选择一个条件，求； (2)若，求实数的取值范围． 3．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 4．（25-26高一下·上海·期中）已知集合，其中为实数，集合. (1)若，求； (2)若非空集合，求实数的取值范围. 5．（25-26高三下·浙江·开学考试）某班共有45位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，有18位同学参加数学竞赛，有15位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15位同学，则同时参加数学和物理竞赛的同学有（    ） A．2位 B．3位 C．4位 D．5位 迁移创新 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江杭州·期末）在机器学习中，常用来衡量两个集合，之间的相似度，其中表示集合的元素的个数．已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）对于集合，，我们把属于集合但不属于集合的元素组成的集合叫做集合与的“差集”，记作，即；把集合与中所有不属于的元素组成的集合叫做集合与的“对称差集”，记作，即．下列四个选项中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $