15.1.2 线段的垂直平分线课件2026-2027学年数学人教版八年级上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质、判定及尺规作图，通过复习轴对称引入，以“线段是否为轴对称图形”等问题建立与前知联系，搭建从轴对称到垂直平分线的学习支架。 其亮点在于以探究活动培养几何直观，通过互逆命题发展推理意识，例题运用转化思想强化模型意识。采用问题导入、验证推理、尺规实践等方法，小结系统梳理知识，助力学生提升探究与应用能力，为教师提供清晰教学流程与丰富实例。

15.1.2 线段的垂直平分线 第十五章 轴对称 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 学习目标 1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法． 2.了解逆命题与逆定理的概念. 3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题. 学习重难点 线段的垂直平分线的性质和判定的探究和运用. 线段的垂直平分线的性质和判定的理解和准确运用. 难点 重点 问题导入 1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？ 2.你能找到线段的对称轴吗？ 3.线段的对称轴与这条线段有什么关系？ 线段是轴对称图形，线段的对称轴垂直平分这条线段. 轴对称图形的对称轴，是任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 新课讲授 知识点1 线段垂直平分线的性质 探究 如图，直线l垂直平分线段AB，点P1，P2，P3，…在l 上，分别比较点P1，P2，P3，… 与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A与点B的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 猜想： 点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 验证结论 　 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 　证明：当点P与点C不重合时， ∵ l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 　　又 AC =CB，PC =PC， 　　∴△PCA≌△PCB（SAS）． 　　∴ PA =PB． A B P C l 例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线 DE交AB，AC于点E，D. （1）若△BCD的周长为 8，求BC的长； （2） 若BC＝4，求△BCD的周长． 分析：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD 的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长． 例题解读 例1 如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线 DE交AB，AC于点E，D. （1）若△BCD的周长为 8，求BC的长； （2） 若BC＝4，求△BCD的周长． 解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. （1）∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. （2）∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9. 总结 本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者． 练一练 1.如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列判断正确的有_____ . ①AB⊥MN; ②MD=ND; ③AB是MN的垂直平分线; ④AD=BD. ①④ MN是线段AB的垂直平分线，则①④是正确的； MN是一条直线，②是错误的； 垂直平分线是直线，③是错误的. A B M D N 2．如图，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一直线上，则AB＋DB与DE的关系是(　　) A．AB＋DB>DE B．AB＋DB<DE C．AB＋DB＝DE D．不能确定 C 3.如图所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm，则AC的长是 . A B C D E 10cm 知识点2 线段垂直平分线的判定 思考 把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还成立吗？即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 已知：如图，线段AB外任意一点P到点A，点B的距离相等. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. P A B 证明：过点P 作线段AB 的垂线PC， 垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， PA =PB， PC =PC， ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）． ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 线段的垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 应用格式： ∵ PA =PB， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 　这些点能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 　与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合. P A B C l 应用格式： ∵ AB =AC，MB =MC， ∴ 直线AM 是线段BC 的 垂直平分线． A B C D M 这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法. 例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E. 求证：直线AD是CE的垂直平分线． 分析：根据角平分线的性质可得CD＝DE，所以点D 在CE的垂直平分线上，只要再证点A也在CE 的垂直平分线上，就能证明． 例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E. 求证：直线AD是CE的垂直平分线． 证明：∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE, ∴点D在CE的垂直平分线上. 在Rt△ADC和Rt△ADE中， AD＝AD， CD＝ ED， ∴Rt△ADC≌Rt△ADE，∴AC＝AE， ∴点A也在CE的垂直平分线上， ∴直线AD是CE的垂直平分线． 分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？ 这两个命题的题设、结论正好相反.我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理. 小结 线段的垂直平分线的性质与判定 性质 判定 内容 作用 内容 作用 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 见垂直平分线，得线段相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 互逆命题 随堂小测 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　　） A．AB垂直平分CD； B ．CD垂直平分AB ； C．AB与CD互相垂直平分； D．CD平分∠ ACB ． Ａ Ｂ Ｃ Ｄ A 2.下列说法： ①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 （填序号）. ① ② ③ 3.下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果a=b，那么a2=b2 C．钝角三角形中有两个锐角 D．两直线平行，内错角相等 D 4.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点 D E P A B C D F PA=PB=PC 解析：∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，∴BD＝AD，AE＝EC.∴△ADE的周长为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm. D 5.如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是(　　) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm 15.1.2 线段的垂直平分线 第十五章 轴对称 第2课时 线段的垂直平分线的画法 学习目标 1.能用尺规作已知线段的垂直平分线． 2.进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据． 3.能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题． 学习重难点 作线段的垂直平分线. 培养动手操作能力，体会尺规作图的理论依据. 难点 重点 复习导入 2. 说一说： 线段垂直平分线的性质? 1. 轴对称的性质是什么？ 3. 如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？ 成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂直平分. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 新课讲授 思考 有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ A B C A ′ B ′ C ′ 通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称的. 追问 　不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.因此，只要能找到一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可以得到点A和点B的对称轴，为此作出到点A, B距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线. A B 尺规作图 尺规作图 A B C D 作法： （1）分别以点A和点B为圆心，大于 AB的 长为半径作弧（想一想为什么），两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD. CD即为所求. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点. 用尺规作AB的垂直平分线的原理 A B C D 解：连接AC、AD、BC、BD 则AC=AD=BC=BD， 在△ACD和△BCD中， AC＝BC，AD=BD，CD=CD， ∴△ADC≌BCD，∴∠ACD=∠BCD， ∴CD平分∠ACB， ∵△ACB是等腰三角形，∴CD平分AB, CD⊥AB ∴直线CD是AB的垂直平分线． 例题解读 例1 请用尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：直线AB和AB外一点C . 求作：AB的垂线，使它经过点C . 作法： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁. （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E. （3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F. （4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线. 作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的依据 如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称，其对称轴就是任意一对对称点所连线段的垂直平分线. 找对称点时，一般找图形的顶点或转折点，这样做出的图形更准确. 例2 下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ A B l 作法： （1）找出五角星的一对对称点 A和B，连接AB． （2）作出线段AB的垂直平分线l．则l就是这个五角星的一条对称轴． 用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴． 作轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤 ①找：找到轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对称点； ②连：连接这对对称点； ③作：作出对称点所连线段的垂直平分线. 总结 例3 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴. 解：连接AB'、A'B交于点P，延长AC，A'C'交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l. A B C A ′ B ′ C ′ l P Q 总结 如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线） 相交，那么交点必定在对称轴上. 作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 练一练 小结 线段垂直平分线的有关作图 尺规作图 作对称轴的常见方法 画一个轴对称图形或成轴对称图形的对称轴 (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线 随堂小测 1．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是(　　) A．l是线段EH的垂直平分线 B．l是线段EQ的垂直平分线 C．l是线段FH的垂直平分线 D．EH是l的垂直平分线 A 2．如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以点B和点C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N； ②作直线MN交AC于点D，连接BD.若AC＝6，AD＝2，则BD的长为(　　) A．2　 B．3 C．4　 D．6 C 解：第1个图形、第4个图形有1条对称轴，第2个图形有4条对称轴，第3个图形有2条对称轴．画对称轴略． 3．(用尺规画)如图所示的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们 的对称轴(保留作图痕迹)． 解：如图所示． 4．(用直尺画)如图，下列三个图形都关于某条直线对称，请画出它们的对称轴． 5．两个城镇A，B，两条公路l1，l2的位置如图所示．电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C(不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹)． 解：如图所示． $