精品解析：河北省邯郸市邯郸冀南新区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

八年级阶段评估数学（人教版） 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【详解】解：∵ 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴ 有意义需满足 ， 解不等式得． 2. 若一个正多边形的一个内角是，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案． 【详解】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得 ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，n边形的内角和，由内角和得出方程是解题关键． 3. 点在一次函数的图象上，则的值为（ ） A. 9 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点的横坐标代入解析式即可求出纵坐标的值． 【详解】解：点在一次函数的图象上， ． 4. 在第31个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班的得分分别为：，，，，，，则这组数据的众数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据解答即可． 【详解】解：将数据从小到大排列为：，，，，，． 统计各数值出现的次数：出现1次，出现3次，出现1次，出现1次． 其中8出现的次数最多， 因此这组数据的众数为8． 5. 已知分别是的三个内角所对的边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定，可利用三角形内角和定理，直角三角形定义以及勾股定理的逆定理判断，验证三角形是否存在直角或满足勾股定理的逆定理即可． 【详解】解：对于A选项，∵三角形内角和为，， ∴，解得， ∴是直角三角形，本选项不符合题意； 对于B选项，设，，， ∵，解得， ∴，是直角三角形，本选项不符合题意； 对于C选项，∵，符合勾股定理的逆定理， ∴是直角三角形，本选项不符合题意； 对于D选项，设，，（）， ∵，， ∴，不满足勾股定理的逆定理，不是直角三角形，本选项符合题意； 6. 小伟参加加弈围棋学生社团2026年度校园挑战赛；共进行了12场比赛．积分统计小组根据小伟这12场比赛的得分制作了箱线图如图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是50分 B. 比赛得分的中位数是分 C. 有的比赛得分不高于分 D. 比赛得分的第三四分位数是45分 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由箱线图可知，比赛最高得分是55分，原说法错误，不符合题意； B、由箱线图可知，比赛得分的中位数是45分，原说法错误，不符合题意； C、由箱线图可知，比赛得分的下四分位数为分，故有的比赛得分不高于分，原说法正确，符合题意； D、由箱线图可知，比赛得分的第三四分位数是50分，原说法错误，不符合题意； 7. 如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点（即小正方形的顶点）上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，，再由勾股定理计算得出，从而可得，代入，结合二次根式的乘法法则计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，连接，若，，则正方形的边长为（ ）； A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由四边形是正方形，可得，，由，可得，进而得到，最后利用建立方程即可求出正方形的边长． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 9. 如图1，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图2，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，则图②中的的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆柱体积公式的应用以及利用函数图像分析实际问题，利用匀速注水，通过水面完全淹没几何体的数据求出注水速度，再反推水面高度． 【详解】解：第一阶段（0到18秒），水注入在小圆柱体和容器之间； 第二阶段（18到24秒），水注入在大圆柱体和容器之间； 第三阶段（24到42秒），几何体完全淹没； 第三阶段水面上升高度为：，注水时间为：， 此时注水的体积为：， 则注水速度：， 第一阶段，注水时间为， 则注水体积为：， 由于此时的水在小圆柱体周围注入， 故注水的有效底面积容器底面积小圆柱体底面积， 即， 此时的注水高度：． 10. 如图，在中，，，，动点从出发，以的速度沿向点运动，动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，两个点同时停止．则当的长为时，点的运动时间是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，，作于点，则为等腰直角三角形，求出，过点作于，则四边形为矩形，从而可得，，由勾股定理求出，设点的运动时间是，分两种情况：当点在点右侧时；当点在点左侧时，分别列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， 如图，作于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 过点作于，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 设点的运动时间是， 当点在点右侧时，由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当点在点左侧时，由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∵当点到达点时，两个点同时停止， ∴， ∴此种情况不符合题意，舍去； 综上所述，点的运动时间是． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 为比较甲、乙、丙三名运动员的成绩稳定性，各随机记录10次成绩，计算得到三人的平均成绩相同，方差分别为，由此可知___________运动员发挥更稳定（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】方差用于衡量数据的波动大小，当平均成绩相同时，方差越小，成绩波动越小，稳定性越好，只需比较三名运动员方差的大小即可得到结果； 【详解】解：三名运动员的方差分别为， 比较大小得， 可得甲的方差最小，因此甲运动员发挥更稳定； 12. 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大的正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，利用勾股定理可得，继而得到：正方形的面积是正方形、的面积和，正方形的面积是正方形、的面积和，正方形的面积是正方形、的面积和，由此可得结论． 【详解】解： 如图，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， ∵所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，且正方形，，，的面积分别为，，，， ∴，， ∴， ∴正方形的面积为，即正方形的面积是正方形、的面积和， 按同样的方法可得：正方形的面积是正方形、的面积和，即正方形的面积为：， ∴正方形的面积是正方形、的面积和， 即正方形的面积为：． 13. 如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点D作于G，根据三角形中位线定理，可得，从而得到当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长，在菱形中，得到，则，然后根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点G， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴当最小时，最小，此时点F与点G重合，即的最小值为的长， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 14. 新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）先求出当时，和的值，比较即可得出结果； （2）先求出直线过定点，令，解得，求出当时，，当时，，画出函数图象，结合图象分析即可得出结果． 【详解】解：（1）当时，，， ∵， ∴当时，； （2）∵， ∴直线过定点， 令， 解得， 当时，，此时， 当时，，此时， ∵过定点的直线与函数的图象有两个交点， ∴结合图形可得， 当经过时，，解得，此时直线与函数的图象只有个交点， ∴的取值范围是． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．先计算乘法和除法，再合并即可得． 【详解】解：， ， ． 16. 已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为． （1）求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当自变量时，求出函数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】利用周长公式建立解析式，并用三角形三边关系确定自变量取值范围． 【小问1详解】 解：等腰三角形周长为 ，腰长为 ，底边长为 ， ， ， 三角形两边之和大于第三边， ，即 ， ，​ 又 ，即 ， ， 自变量 的取值范围为 ； 【小问2详解】 解：当  时，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，，平分交于点，且点在线段的垂直平分线上． （1）求的度数； （2）当时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理计算即可得出结果； （2）由直角三角形的性质可得，再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵点在线段的垂直平分线上， ， ， 平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 由（1）可得， ∵， ， 在中，． 18. 在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点．已知点，，，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是________； （2）求关于x的不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式． （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）根据图象找到图象在图象上方所对应的的范围． （3）利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象，与轴交于点， ∴关于的方程的解是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点的坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集是． 【小问3详解】 解：， ， ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平行四边形中，M、N是上两点，，连接、、、，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，，，再证，则四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． （2）证明是等边三角形，得，过点作于点，求出、，再由勾股定理求出的长，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵对角线上的两点M、N满足， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 【答案】（1） （2）购买A型号机器人模型30个时花费最少，最少费用是16800元 【解析】 【分析】（1）根据总费用为两种机器人费用之和，代入数量和单价列出函数关系式，化简即可； （2）先根据B型数量的限制条件列出不等式，求得x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最小花费和对应的购买数量． 【小问1详解】 解：学校购买A型号机器人模型个，则购买B型号机器人模型个． 根据题意，总花费， 化简得， 即与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得． 在函数中，， 因此随的增大而增大， 所以当时，取得最小值， 代入得（元）． 答：购买A型号机器人模型30个时花费最少，最少费用是16800元． 六、（本题满分12分） 21. 某校八年级开展数学知识竞赛，分为甲，乙，丙三个小组，其中甲组30人，乙组25人，丙组25人，对测试成绩进行整理，得到下面统计图表． 八年级数学知识竞赛成绩统计表 组别 平均数 中位数 众数 甲 82 乙 68 79 丙 75 75 （1）表格中的落在________组；（填序号） ①，②，③，④，⑤，⑥． （2）求这80名同学的平均成绩； （3）在本次测试中，乙组张华同学的成绩是70分，丙组王伟同学的成绩是74分，关于两人在各自所在小组中的排名，王伟认为自己比张华更靠前．你认可王伟的说法吗？谈谈你的理由． 【答案】（1）④ （2） （3）不认可王伟的说法，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义，结合甲组成绩分布直方图求解即可； （2）利用加权平均数求解即可； （3）中位数反映了组内成绩的中游水平，利用中位数进行解答即可． 【小问1详解】 解：甲组共30人，中位数是成绩从小到大排列后，第15、16个数据的平均数， 由甲组成绩分布直方图知，有1人，有3人，有6人， 前三组共人，有7人，即第15、16个数据都在内， 故落在④； 【小问2详解】 解： 分 答：这80名同学的平均成绩分； 【小问3详解】 解：不认可王伟的说法，理由如下： 乙组成绩的中位数是68分，张华成绩大于68分，说明张华的成绩在乙组超过一半以上的同学，排名在本组中上游；丙组成绩的中位数是75分，王伟成绩小于75分，说明王伟的成绩在丙组低于一半以上的同学，排名在本组中下游， 因此，张华在本组的排名比王伟更靠前． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，动点P从点B出发，以的速度按的路径移动到点A停止，相对应的的面积与时间的函数图象如图2所示．已知，请仔细观察图象并解答以下问题： （1）的长度是__________ ； （2）求出图2中a、b的值； （3）求当P在线段上运动时，的面积S与t的函数关系式，并确定此时自变量的取值范围． 【答案】（1）8 （2）的值为，b的值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据动点以每秒的速度，从到用的时间为，可以求得的长度； （2）根据三角形的面积等于底乘以高除以2，可以得到的值；根据题意和图形可以得到、、、、的长，从而可以得到的值； （3）设出点在上运动时与的函数关系式为，把，代入即可得到结论． 本题是三角形的综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，动点问题的函数图象，解决问题的关键是深刻理解动点的函数图象所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程，从函数图象中获取相关的信息进行计算． 【小问1详解】 解：由图象可得， 点从点到点运动的时间是，运动的速度是每秒， 故的长度是：， 即长是； 故答案为：8； 【小问2详解】 解：，， ，， ， ， 即图1中的值为； 由题意可得， ， 即的值是； 【小问3详解】 解：设出点在上运动时与的函数关系式为， 把，代入得， ， 出点在上运动时与的函数关系式为． 八、（本题满分14分） 23. 如图，点为正方形边上一动点（不与，重合），连接交于点，经过点，分别交，于点，，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）证明：如图，过点作于点，分别交，于点，， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵是正方形的对角线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明：如图，过点作于点，分别交，于点，，结合正方形的性质证明四边形是矩形，得，证明得，根据三角形内角和定理推出，即可得证； （2）如图，连接，证明得，，推出，根据等角对等边得，即可得证； （3）证明得，继而推出，证明得，结合平行线的性质及正方形的性质进一步推出，，得到，，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级阶段评估数学（人教版） 注意事项： 满分150分，时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次根式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个正多边形的一个内角是，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 3. 点在一次函数的图象上，则的值为（ ） A. 9 B. 1 C. D. 4. 在第31个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班的得分分别为：，，，，，，则这组数据的众数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知分别是的三个内角所对的边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 小伟参加加弈围棋学生社团2026年度校园挑战赛；共进行了12场比赛．积分统计小组根据小伟这12场比赛的得分制作了箱线图如图，下列说法正确的是（ ） A. 比赛最高得分是50分 B. 比赛得分的中位数是分 C. 有的比赛得分不高于分 D. 比赛得分的第三四分位数是45分 7. 如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点（即小正方形的顶点）上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的值为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8. 如图，四边形是一个正方形，是延长线上一点，连接，若，，则正方形的边长为（ ）； A. B. C. D. 9. 如图1，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图2，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，则图②中的的值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在中，，，，动点从出发，以的速度沿向点运动，动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，两个点同时停止．则当的长为时，点的运动时间是（ ） A. B. 或 C. D. 或 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 为比较甲、乙、丙三名运动员的成绩稳定性，各随机记录10次成绩，计算得到三人的平均成绩相同，方差分别为，由此可知___________运动员发挥更稳定（填“甲”“乙”或“丙”）． 12. 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大的正方形的面积为______． 13. 如图，在菱形中，，，是边上任意一点，为边上一动点，连接、，、分别为，的中点，则的最小值是____________． 14. 新定义：对于两个实数，，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时，_______； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 已知等腰三角形的周长为，底边长为，一腰长为． （1）求y关于x的解析式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）当自变量时，求出函数值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在中，，平分交于点，且点在线段的垂直平分线上． （1）求的度数； （2）当时，求的长． 18. 在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中作出了一次函数和的图象（如下图），两直线交于点C，分别与x轴交于A，B两点．已知点，，，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是________； （2）求关于x的不等式的解集； （3）求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在平行四边形中，M、N是上两点，，连接、、、，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 20. 人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近年来得到了迅猛发展，某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买、两种型号的机器人模型共50个，型号、型号机器人模型的单价分别为400元、240元，设学校购买型号机器人模型个，购买这两种型号机器人模型共花费元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若购买型号机器人模型的数量不超过型号机器人模型数量的，问购买型号机器人模型多少个时花费最少？最少费用是多少元？ 六、（本题满分12分） 21. 某校八年级开展数学知识竞赛，分为甲，乙，丙三个小组，其中甲组30人，乙组25人，丙组25人，对测试成绩进行整理，得到下面统计图表． 八年级数学知识竞赛成绩统计表 组别 平均数 中位数 众数 甲 82 乙 68 79 丙 75 75 （1）表格中的落在________组；（填序号） ①，②，③，④，⑤，⑥． （2）求这80名同学的平均成绩； （3）在本次测试中，乙组张华同学的成绩是70分，丙组王伟同学的成绩是74分，关于两人在各自所在小组中的排名，王伟认为自己比张华更靠前．你认可王伟的说法吗？谈谈你的理由． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，动点P从点B出发，以的速度按的路径移动到点A停止，相对应的的面积与时间的函数图象如图2所示．已知，请仔细观察图象并解答以下问题： （1）的长度是__________ ； （2）求出图2中a、b的值； （3）求当P在线段上运动时，的面积S与t的函数关系式，并确定此时自变量的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 如图，点为正方形边上一动点（不与，重合），连接交于点，经过点，分别交，于点，，且． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $