精品解析：河北省邯郸市冀南新区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年八年级第二学期期末考试 数学（人教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列统计量中，能够反映运动员射击成绩稳定性的是（ ） A 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 2. 函数的图象一定经过下列四个点中的(　　) A. 点 B. 点 C. 点) D. 点 3. 如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列化简或计算结果与不相等的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，在中，，，，为边的中点，点与点的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加x(0≤x＜5)，长不变，所得长方形的面积y关于x的表达式为（ ） A. y＝8x B. y＝8x＋24 C. y＝24－x D. y＝8x－24 7. 一组数据，5，3，7，增加一个数据后，众数为7，则增加数据后中位数是（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 7 8. 如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ） A B. C. D. 9. 在中，，利用尺规作矩形．甲、乙两位同学的作法如图4所示，关于两人的作法判断正确的是（ ） 甲：作的垂直平分线交于点O；连接，在射线上截取（A，C不重合），连接，，四边形即为所求． 乙：以B为圆心，长为半径画圆弧；以D为圆心，长为半径画圆弧；两弧在上方交于点C，连接，，四边形即为所求． A. 只有甲的可以 B. 只有乙的可以 C. 甲、乙的都可以 D. 甲、乙的都不可以 10. 在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 11. 如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为（ ） A B. C. D. 12. 甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如图6所示，设购买体育用品的原价总额为x元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：当时，与x之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为100或800 甲店：所有商品按原价八折出售； 乙店：一次性购买商品总额不超过200元时按原价付款；超过200元时，其中200元无优惠，超过200元的部分享受七折优惠 A. 只有结论Ⅰ正确 B. 只有结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D. 结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为________． 14. 若期末体育的综合成绩由平时成绩和期末测试成绩按的比例组成．小佳的平时成绩为90分，期末测试成绩为95分，小佳期末体育的综合成绩为________分． 15. 一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为________． 16. 如图，在正方形中，分别是边，的中点，连接，，分别是，的中点，连接，若，则的长度为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过A，C两点作，，垂足分别M，N，且分别交，于点G，H． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长及的周长． 19. 如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库．从A村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路和，千米，千米，千米． （1）公路是否为村庄A到高速公路的最近道路？请通过计算说明理由； （2）通过无人机测得，求村庄A到县城C的直线距离的长． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点． （1）求函数的解析式，并在如图所示的坐标系中画出函数的图象； （2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由； （3）当时，对于x的每一个值，函数（n为正整数）的值不小于函数的值，直接写出n的值． 21. 某校举行校园安全知识竞赛活动，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了名学生的成绩进行统计分析，绘制了如图1，2所示的统计图和统计表． 样本中学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 中位数 8 b 众数 a 7 （1）根据题目信息填空：________，________，________； （2）若七年级的小宇和八年级的小乐的分数都为8分，请判断小宇、小乐在各自年级的线排名哪位更靠前？请简述你的理由； （3）若该校七年级有个班，每个班有名学生，请估计七年级学生中成绩优秀（9分及9分以上为优秀）的人数． 22. 市政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． （1）前2天乙队平均每天挖管道________米； （2）求段及段所在直线的函数解析式（不写自变量的取值范围）； （3）开始挖掘后，几天时甲、乙两队所挖管道长度相同？ 23. 如图，在四边形中，，，，，．动点M从点B出发沿边以2的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以的速度沿射线运动．当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． （1）求边的长； （2）当以点A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值； （3）当时，直接写出的值． 24. 如图1，图2，在平面直角坐标系中，点B，D的坐标分别为，，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线经过点A和点D． （1）四边形的形状是________； （2）求直线的函数解析式； （3）如图2，将直线沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点C时，停止移动，设平移的时间为t s． ①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年八年级第二学期期末考试 数学（人教版） 本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟． 注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁． 2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列统计量中，能够反映运动员射击成绩稳定性的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用方差判断稳定性，理解各个统计量的特点是解答的关键．根据方差是反映数据的稳定性求解即可． 【详解】解：能够反映运动员射击成绩稳定性的是方差， 故选：D． 2. 函数的图象一定经过下列四个点中的(　　) A. 点 B. 点 C. 点) D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】将各点的横坐标代入，求得函数值，比较即可求解． 【详解】解：A、当，代入得，，故点不在此图象上，故此选项不符合题意； B、当，代入得，，故点不在此图象上，故此选项不符合题意； C、当，代入得，，故点在此图象上，故此选项符合题意； D、当，代入得，，故点，不在此图象上，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 3. 如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等． 根据平行四边的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 故选：A． 4. 下列化简或计算结果与不相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算等知识点，掌握二次根式的相关运算法则成为解题的关键． 根据二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘除运算逐项计算判断即可． 【详解】解: A. ，不符合题意； B. ，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，符合题意． 故选D． 5. 如图，在中，，，，为边的中点，点与点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线定理以及勾股定理逆定理，通过勾股定理的逆定理证明出是直角三角形，再利用斜边中线定理即可求． 【详解】 是直角三角形 是的中点 故选：C． 6. 把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加x(0≤x＜5)，长不变，所得长方形的面积y关于x的表达式为（ ） A. y＝8x B. y＝8x＋24 C. y＝24－x D. y＝8x－24 【答案】B 【解析】 【分析】用代数式表示出变化后长方形的宽，然后根据面积公式即可得到答案． 【详解】解：变化后长方形的宽为（x+3），长为8， 因此面积y=8（x+3）=8x+24， 故选：B． 【点睛】本题考查函数关系式，掌握长方形面积的计算方法是得出答案的前提，用代数式表示变化后长方形的长是解决问题的关键． 7. 一组数据，5，3，7，增加一个数据后，众数为7，则增加数据后中位数是（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的求解，中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数值． 【详解】解：由题意得：增加的数据为7， ∴中位数为5，   故选：A ． 8. 如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 9. 在中，，利用尺规作矩形．甲、乙两位同学的作法如图4所示，关于两人的作法判断正确的是（ ） 甲：作的垂直平分线交于点O；连接，在射线上截取（A，C不重合），连接，，四边形即为所求． 乙：以B为圆心，长为半径画圆弧；以D为圆心，长为半径画圆弧；两弧在上方交于点C，连接，，四边形即为所求． A. 只有甲的可以 B. 只有乙的可以 C. 甲、乙的都可以 D. 甲、乙的都不可以 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． 【详解】解：由甲的做法可知：， 根据对角线互相垂直平分的四边形是矩形，可知四边形是矩形； 由乙的做法可知：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是矩形； 故选：C. 10. 在平面直角坐标系中，直线，直线，若，与y轴围成的三角形的面积为5，则k的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了两直线与y轴围成的图形面积问题．熟练掌握一次函数图象和性质，三角形面积公式，待定系数法求函数解析式，是解题关键． 设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D，求出，，得到，根据，与y轴围成的三角形的面积为5，得到，代入求得，代入，即得． 【详解】解：设交y轴于点A，交y轴于点B，两直线交于点C，过点C作轴于点D， ∵中，时，；中，时，． ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，当时，， ∴， 代入， 得，， 解得，． 故选：D． 11. 如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形以及平行四边形的性质，勾股定理等知识点，连接，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当，即时，最小， 此时，最小值为， 故选：B． 12. 甲、乙两个体育专卖店的优惠活动如图6所示，设购买体育用品的原价总额为x元，甲、乙两个专卖店实际付款分别为元，元．对于结论Ⅰ，Ⅱ，判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：当时，与x之间的函数解析式为； 结论Ⅱ：当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为100或800 甲店：所有商品按原价八折出售； 乙店：一次性购买商品总额不超过200元时按原价付款；超过200元时，其中200元无优惠，超过200元的部分享受七折优惠 A. 只有结论Ⅰ正确 B. 只有结论Ⅱ正确 C. 结论Ⅰ，Ⅱ都正确 D. 结论Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意分别写出与的关系式分别为：；当时；，当时，．由此可得结论Ⅰ正确，然后分两种情况①，②，分别求出x的值，即可判断结论Ⅱ． 本题主要考查了利用一次函数解决实际问题．正确的列出函数关系式以及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 当时，． 故结论Ⅰ正确； 当时，， 故，即， 解得：； 当时，分两种情况： ①若， 则， 解得； ②若， 则， 解得． ∴当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同，且实际付款相差20元时，x的值为100或400或800． 故结论Ⅱ错误． 故选：A 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系，掌握一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 由y值随着x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出，进而得出或，由一次函数的图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图像与系数的关系，可得出，，进而得出，由此可得出该一次函数解析式为：或． 【详解】一次函数的y值随着x的增大而增大， ， 或． 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 或． 故答案为（或）． 14. 若期末体育的综合成绩由平时成绩和期末测试成绩按的比例组成．小佳的平时成绩为90分，期末测试成绩为95分，小佳期末体育的综合成绩为________分． 【答案】93 【解析】 【分析】本题考查了求加权平均数，熟练掌握求加权平均数的公式是解题的关键．根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可． 【详解】解：期末体育的综合成绩由平时成绩和期末测试成绩按的比例组成， 小佳的平时成绩为90分，期末测试成绩为95分， 小佳的体育期末综合成绩为：（分）， 故答案为：93． 15. 一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式可得到结论． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， 剩余木板的面积为：； 故答案为：18． 16. 如图，在正方形中，分别是边，的中点，连接，，分别是，的中点，连接，若，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的中位线等知识，连接并延长交于，连接，根据正方形的性质得到，，，进而证明，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求出，最后利用三角形的中位线定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接并延长交于，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵分别是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算下列各小题． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘除运算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过A，C两点作，，垂足分别为M，N，且分别交，于点G，H． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，，求的长及的周长． 【答案】（1）见解析 （2）11.5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质． （1）根据垂线的定义得，，得，再根据平行四边形的性质证明即可； （2）由（1）中结果得出，根据平行四边形性质得，即可解答；根据平行四边形的性质得，，即可解答． 小问1详解】 证明：，， ，， ． ∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ∵四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，． ， ； O为，的中点， ，， 的周长为． 19. 如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库．从A村修建了两条笔直公路通往高速公路，分别是公路和，千米，千米，千米． （1）公路是否为村庄A到高速公路的最近道路？请通过计算说明理由； （2）通过无人机测得，求村庄A到县城C的直线距离的长． 【答案】（1）公路是村庄A到高速公路的最近道路，理由见解析 （2）千米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握运用勾股定理逆定理判定直角三角形成为解题的关键． （1）先根据勾股定理逆定理说明，说明即可解答； （2）设千米，则千米，在中运用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：公路是村庄A到高速公路的最近道路；理由如下：， 是直角三角形，， ， ∴公路是村庄A到高速公路的最近道路． 【小问2详解】 解：设千米，则千米， 在中，由勾股定理得，， ，解得， 即村庄A到县城C的直线距离的长为千米． 20. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点． （1）求函数的解析式，并在如图所示的坐标系中画出函数的图象； （2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由； （3）当时，对于x的每一个值，函数（n为正整数）的值不小于函数的值，直接写出n的值． 【答案】（1），图见解析 （2）不在，理由见解析 （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，解题的关键是： （1）把A的坐标代入，即可求出B，然后根据列表、描点、连线画图即可； （2）把代入（1）中所求解析式，求出对应的函数值，即可判断； （3）根据题意得：，再由当时，对于x的每一个值，函数的值不小于函数的值，得出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴， 列表： x … 0 1 … … 1 3 … 画图，如下： 【小问2详解】 解：不在； 理由：当时，， ∴点不在该函数的图象上， 【小问3详解】 解：当时，， ∴当经过时，， ∵当时，对于x的每一个值，函数（n为正整数）的值不小于函数的值， ∴， ∴整数n的值为1． 21. 某校举行校园安全知识竞赛活动，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了名学生的成绩进行统计分析，绘制了如图1，2所示的统计图和统计表． 样本中学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 中位数 8 b 众数 a 7 （1）根据题目信息填空：________，________，________； （2）若七年级的小宇和八年级的小乐的分数都为8分，请判断小宇、小乐在各自年级的线排名哪位更靠前？请简述你的理由； （3）若该校七年级有个班，每个班有名学生，请估计七年级学生中成绩优秀（9分及9分以上为优秀）的人数． 【答案】（1） （2）八年级小乐的排名更靠前，理由见解析 （3）八年级小乐的排名更靠前 【解析】 【分析】本题考查了数据统计相关知识点，涉及了扇形统计图和条形统计图、中位数和众数等知识点，旨在考查学生的数据处理能力； （1）由扇形统计图和条形统计图数据即可求解； （2）根据中位数意义即可求解； （3）计算出样本中七年级学生成绩优秀的占比即可求解； 【小问1详解】 解：由七年级学生成绩的扇形统计图可知： 由八年级学生成绩的条形统计图可知： 故答案为： 【小问2详解】 解：八年级小乐的排名更靠前； 理由：∵七年级的中位数是8，八年级的中位数是7， ∴分数都为8分时，小乐的排名更靠前； 【小问3详解】 解：（人）， 答：七年级学生中成绩优秀的约有人． 22. 市政府决定实施“煤改气”供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示． （1）前2天乙队平均每天挖管道________米； （2）求段及段所在直线的函数解析式（不写自变量的取值范围）； （3）开始挖掘后，几天时甲、乙两队所挖管道长度相同？ 【答案】（1）150 （2）；； （3）4天 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用．理解函数图象代表的意义是解决本题的关键，应注意：函数问题也可以用一元一次方程解决． （1）由函数图像可知，乙队2天挖了300米，用即可得出答案． （2）用待定系数法分别求出段及段的解析式即可． （3）当甲、乙两队所挖管道长度相同时，得，解一元一次方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：米， 故答案为：150． 【小问2详解】 设段的函数解析式为， 把点代入得， 解得：， 段的函数解析式为； 设段的函数解析式为（，b为常数，且）． 将和分别代入， 得 解得 段的函数解析式为； 【小问3详解】 当甲、乙两队所挖管道长度相同时， 得， 解得． ∴开始挖掘后，4天时甲、乙两队所挖管道长度相同． 23. 如图，在四边形中，，，，，．动点M从点B出发沿边以2的速度向终点C运动；同时动点N从点D出发，以的速度沿射线运动．当点M到达终点时，点N也随之停止运动，设点M运动的时间为． （1）求边的长； （2）当以点A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，求t的值； （3）当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或5 （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作，垂足为H，先证明四边形为矩形． 再求得，利用含30度角的直角三角形的性质求得即可求解； （2）分当四边形为平行四边形时和当四边形为平行四边形时两种情况，利用平行四边形的对边相等得到t的方程，然后求解即可； （3）先判定点N在的延长线上．作的平分线，交射线于点Q，证明为等边三角形，则，．再证明四边形是平行四边形得到，，进而根据解得，进而得到、即可求解． 【小问1详解】 解：过点A作，垂足为H，则． ，， ， ∴四边形为矩形， ． ，，， ， ， ； 【小问2详解】 解：当四边形为平行四边形时，如图， 此时，，即，解得； 当四边形为平行四边形时，点N在的延长线上，如图， 此时，即，解得； 综上所述，当以点A，B，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，t的值为或5； 【小问3详解】 解：的值为．理由： 在点M，N运动过程中，逐渐变大． 当点N与点A重合时，，此时， ， ， 不是等边三角形， ， 即， ∴点N在的延长线上． 如图，作的平分线，交射线于点Q，则． ， ． ， ， 为等边三角形，则， ，． ， ∴四边形是平行四边形， ，， ，解得， ，， 的值为． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，根据点M、N的运动，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 24. 如图1，图2，在平面直角坐标系中，点B，D的坐标分别为，，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A，直线经过点A和点D． （1）四边形的形状是________； （2）求直线的函数解析式； （3）如图2，将直线沿y轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点C时，停止移动，设平移的时间为t s． ①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）矩形 （2） （3）①5s；② 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、一次函数、矩形的判定、函数图像的平移．对平面直角坐标系、直线解析式以及图形平移等知识的综合运用是解题的关键． （1）根据坐标可判断错四边形形状； （2）利用给定的点D，点A的坐标，代入直线解析式即可； （3）根据平移的特点和条件进行分析计算即可． 【小问1详解】 ∵点B，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为C，A， ∴，，，， ∴四边形的形状是矩形． 【小问2详解】 ∵四边形为矩形， ． ∵点B的坐标为， ，∴点A的坐标为． 将点D，点A分别代入， 得：，解得：， ∴直线的函数解析式为：． 【小问3详解】 ①将直线向下平移，函数解析式为． 直线在四边形内的线段的长度先增加，经过点O时长度最大， ， ∴线段长度开始保持不变，当直线经过点B后，线段长度开始减小． 当经过点O时，，解得，当经过点B时，，解得， ∴线段长度保持不变的时长为； ②四边形内部的整点有6个，分别是，，，，，． 当经过点时，有，解得；当经过点时，有，解得， ∴t的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$