精品解析：山东省菏泽市鄄城县2025－2026学年度下学期七年级期末考试数学试题

初中七年级数学学习素养诊断测试 （时间：120分钟 总分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 人工智能已经成为生活、学习中不可或缺的工具，下列工具图标是轴对称图形的是（ ） A. 豆包 B. 秘塔 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，四个选项中，只有D选项中的图形是轴对称图形，符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法运算法则和幂的乘方、积的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：A、，∴ A错误； B、，∴ B错误； C、，∴ C正确； D、，∴ D错误． 3. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料．石墨烯理论厚度是，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法表示绝对值小于1的数，正确应用科学记数法，需确保在1到10之间，并根据小数点移动方向确定的符号和数值是关键． 科学记数法的形式为，其中，为整数，对于绝对值小于1的数，为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数． 【详解】解：， 故选：A． 4. 的三边长分别是，，，则的周长不可能是（ ） A. 11 B. 12 C. 14 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，进而得到周长的取值范围，即可判断出不可能的周长． 【详解】解：∵的三边长分别是，，， ∴的周长， 由三角形三边的关系可得， ∴， ∴， ∴的周长不可能是19． 5. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 6. 直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】过E作EF∥AB CD,由平行线的质可得∠1=∠3,∠2=∠4, ∠3+∠4=∠1+∠2,根据三角形内角和可得: ∠3+∠4=60°,从而可得: ∠1+∠2=60°,由∠1=20°,可得: ∠2=40°. 【详解】如图,过E作EF∥AB, 则AB∥EF∥CD, ∴∠1=∠3,∠2=∠4, ∵∠3+∠4=60°, ∴∠1+∠2=60°, ∵∠1=20°, ∴∠2=40°, 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是要正确作出辅助线和熟练掌握平行线的性质. 7. 如图，中，，点D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠得到，点F是点A的对应点，与交于点E，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，根据折叠的性质可得，根据全等三角形的性质可得，，，故，根据全等三角形的平时和性质可得，根据三角形内角和可得，，即可得到． 【详解】延长交于点，如图： ∵是沿所在直线折叠得到的 ∴ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 有∵ ∴ 故选项B正确 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 8. 如图，已知中， 厘米， 厘米，点 D 为的中点．如果点 P 在线段 上以 2 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动， 同时，点 Q 在线段 上, 由 C 点向 A 点运动．若点 Q 的运动速度为 v 厘米/ 秒，则当与全等时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 1 或 5 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，此题要分两种情况：①当时，与全等，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：当时，与全等， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1s， ∵， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴运动时间为， ∴， 故选：C． 9. 如图1，点是的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图1（）的边线运动，运动路径为：，相应的的面积关于运动时间的图象如图2．若，有下列结论： ①图1中的长是； ②图2中的表示第4秒时，的值为； ③图2中的点表示第12秒时，的值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据题意得：动点P在GC上运动的时间是2秒，又由动点的速度，可得GC的长，再点是的中点，算出BC的长； ②由（1）可得BC的长，又由AB＝6cm，可以计算出△ABP的面积，即y的值； ③根据图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，即可得出△ABP的面积． 【详解】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了4cm，因而CG＝4cm，BC＝8cm，故正确； ②P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD＝4cm，面积y6×8＝24cm2，故正确； ③图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，△ABP的面积是18cm2，故正确； 则3个结论正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是数形结合，从函数图像中获取信息． 10. 已知，，．通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若，则的值是（ ） ………… 杨辉三角局部图 A. 32 B. 211 C. D. 243 【答案】B 【解析】 【分析】根据杨辉三角得到五次二项式展开的系数规律，将展开得到各系数后，代入所求式子计算即可. 【详解】解：根据杨辉三角的规律，可得， 令，，代入， 得， 化简，得， 对比， 得 ，，，，， ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，为常数，且为恒等式，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，由，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 12. “旭日东升”“刻舟求剑”“拔苗助长”“守株待兔”，以上成语所描述的事件中，属于随机事件的是“__________”． 【答案】守株待兔 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，可能发生，可能不发生的事件是随机事件，进行判断即可． 【详解】解：“旭日东升”是必然事件；“刻舟求剑”是不可能事件；“守株待兔”是随机事件； 故答案为：守株待兔． 13. 某长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系式为_________（不必写出自变量的取值范围） 【答案】 【解析】 【分析】长方形的另一边长为，再根据长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：由题意得，． 14. 如图，直线，，，则____． 【答案】##度 【解析】 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线， 则，， ， ， ， ∵，， ， ． 15. 若规定符号的意义是：，则当时，的值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，熟练掌握整式的运算法则进行化简是解题的关键，根据已知得出，根据整式的运算法则进行化简，再代入求出即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ． 故答案为：9． 16. 如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是__________．（填序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线基本性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，综合程度较大，能够处理好各个角度之间的关系是解题关键． 设与的交点为点，先证得为的垂直平分线，再通过角度的换算和线段的等量关系换算可得到是等边三角形，故③正确；得到，又，可得到，故②错误；在上取P点，使得，证得，再通过线段的等量关系可知①正确；，，可得到，进而，从而故④正确． 【详解】解：设与的交点为点， ∵，， ∴，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形，故③正确； ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图，在上取P点，使得， ∵， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∴故④正确， 故答案为： ①③④． 三、解答题（本题共8题，共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据整式的混合运算化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分． 试说明：． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（_____）， ∴________（________________） ∵平分（已知）， ∴________（角平分线的定义）． 同理，____________． ∴（等量代换）， ∴________（________________）， ∴（________________________）． 【答案】已知；；两直线平行，内错角相等；；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，能正确掌握平行线的判定定理是解此题的关键．根据推理过程逐一填空即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 同理，． ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 20. 如图，在正方形网格上有一个． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积为 ； （3）在直线上找一点P，使的周长值最小． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换、轴对称的性质、勾股定理、求三角形面积等知识，正确理解轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交于点，结合轴对称的性质可知此时的周长，取最小值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； 【小问2详解】 ． 故答案为：； 【小问3详解】 如下图，连接交于点， 由轴对称的性质，可得， ∴的周长， 此时的周长取最小值， ∵，， ∴， ∴的周长取最小值为． 21. 如图，在中，，，，垂足为，在边上取一点，使，平分，连接，． （1）试说明：； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用证明即可； （2）根据三角形内角和定理，求得，根据平分，求得，由可得，最后根据角的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：平分， ． 又，， ； 【小问2详解】 解：在中，，， ， 平分， ， 于点， 在中，， ． 22. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 334 537 670 2010 摸到白球的频率 0.645 0.69 0.668 0.671 0.670 0.670 （1）填空：___________，___________，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为___________．（精确到0.01） （2）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是___________． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5； B．某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． （3）若盒子中一共有100个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏， ①根据试验结果，盒子中最有可能有___________个白球： ②由①的结果，约定游戏规则：拿出17个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】（1）；； （2）A （3）①67； ②不公平，理由如下： 拿出个白球后，盒子里一共有黑球个，盒子里一共有白球个， 则小红胜的概率为，则小亮胜的概率为， ， ∴不公平． 【解析】 【分析】（1）根据频率频数总数可得、的值，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值； （2）求出、、三个选项中事件发生的概率即可得到答案； （3）①利用总数乘以频率即可解答； ②分别计算小红胜和小亮胜的概率，再对比即可． 【小问1详解】 解：； ； 由表格可知，随着试验次数的增加，摸到白球频率逐步稳定在附近， 故从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为； 【小问2详解】 解：掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5的概率为； 某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯的概率为． 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为； 故符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是A； 【小问3详解】 解：①根据试验结果，盒子中最有可能有个白球； ②略 23. 周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发0.8小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是______，因变量是______；小明家到文华公园的路程为______； （2）小明书城停留的时间为______，小明从家出发到达文化公园的平均速度为______； （3）图中的点表示____________________________________； （4）爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离文华公园多远？ 【答案】（1）小明离家的时间，他们离家的路程，30； （2）1.7，7.5； （3）爸爸出发3.5-2.5=1（小时）后到达文华公园，或小明离家3.5小时时，爸爸到达文华公园，或爸爸离家的路程为30km； （4）爸爸驾车经过小时追上小明，此时距离文华公园10km 【解析】 【分析】（1）根据图像进行判断，即可得出自变量与因变量、路程； （2）根据图像中数据进行计算，即可得到时间、速度； （3）根据自变量、因变量表示的意义以及B点坐标即可得到B点坐标表示的意义； （4）根据相应的路程除以时间，即可得出两人速度，再根据追击问题关系式即可解答． 【小问1详解】 解：由图像可得，自变量是小明离家的时间，因变量是他们离家的路程，小明家到文华公园的路程为30km． 故答案为：小明离家的时间，他们离家的路程，30； 【小问2详解】 解：由图像可得，小明在中心书城逗留的时间为2.5-0.8=1.7（h），小明从家出发到达文化公园的平均速度为：30÷4=7.5（km/h）． 故答案为：1.7，7.5； 【小问3详解】 解：由图像可得，B点坐标为（3.5，30），表示爸爸出发3.5-2.5=1（小时）后到达文华公园，或小明离家3.5小时时，爸爸到达文华公园，或爸爸离家的路程为30km． 故答案为：爸爸出发3.5-2.5=1（小时）后到达文华公园，或小明离家3.5小时时，爸爸到达文华公园，或爸爸离家的路程为30km； 【小问4详解】 解：由图像可得，小明从书城到公园的平均速度为（km/h）， 小明爸爸驾车的平均速度为（km/h）， 爸爸驾车经过h追上小明， （km）； 即爸爸驾车经过小时追上小明，此时距离文华公园10km． 【点睛】本题考查了函数的图像，以及行程问题的数量关系的运用，解题关键是正确理解清楚函数图像的意义． 24. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中七年级数学学习素养诊断测试 （时间：120分钟 总分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 人工智能已经成为生活、学习中不可或缺的工具，下列工具图标是轴对称图形的是（ ） A. 豆包 B. 秘塔 C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 石墨烯具有优异的光学、电学、力学特性，在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景，被认为是一种未来革命性的材料．石墨烯理论厚度是，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 的三边长分别是，，，则的周长不可能是（ ） A. 11 B. 12 C. 14 D. 19 5. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 6. 直角三角板和直尺如图放置，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　） A. 60° B. 50° C. 40° D. 30° 7. 如图，中，，点D是边上一点，连接，将沿所在直线折叠得到，点F是点A的对应点，与交于点E，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知中， 厘米， 厘米，点 D 为的中点．如果点 P 在线段 上以 2 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动， 同时，点 Q 在线段 上, 由 C 点向 A 点运动．若点 Q 的运动速度为 v 厘米/ 秒，则当与全等时，的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 1 或 5 9. 如图1，点是的中点，点在上，动点以每秒的速度沿图1（）的边线运动，运动路径为：，相应的的面积关于运动时间的图象如图2．若，有下列结论： ①图1中的长是； ②图2中的表示第4秒时，的值为； ③图2中的点表示第12秒时，的值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 已知，，．通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若，则的值是（ ） ………… 杨辉三角局部图 A. 32 B. 211 C. D. 243 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，为常数，且为恒等式，则________． 12. “旭日东升”“刻舟求剑”“拔苗助长”“守株待兔”，以上成语所描述的事件中，属于随机事件的是“__________”． 13. 某长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则与的关系式为_________（不必写出自变量的取值范围） 14. 如图，直线，，，则____． 15. 若规定符号的意义是：，则当时，的值为_____． 16. 如图，，，，于点D，点F是延长线上一点，点E是线段上一点，，下面的结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确的是__________．（填序号） 三、解答题（本题共8题，共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 科技改变世界，为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线，如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图． 如图②，，平分，平分． 试说明：． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（_____）， ∴________（________________） ∵平分（已知）， ∴________（角平分线的定义）． 同理，____________． ∴（等量代换）， ∴________（________________）， ∴（________________________）． 20. 如图，在正方形网格上有一个． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积为 ； （3）在直线上找一点P，使的周长值最小． 21. 如图，在中，，，，垂足为，在边上取一点，使，平分，连接，． （1）试说明：； （2）求的度数． 22. 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球，这些球除颜色外其余完全相同．小红做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，如表是实验中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数 71 129 334 537 670 2010 摸到白球的频率 0.645 0.69 0.668 0.671 0.670 0.670 （1）填空：___________，___________，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为___________．（精确到0.01） （2）某小组在“用频率估计概率”的试验中，符合（1）中概率估计值结果的试验最有可能的是___________． A．掷一个质地均匀的正六面体骰子（点数分别为），落地时面朝上的点数小于5； B．某东西向的路口信号灯按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的规律循环，不考虑其他因素，一辆汽车随机行驶到该路口时，遇到红灯或黄灯； C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”． （3）若盒子中一共有100个球，小红和小亮用这个盒子来玩游戏， ①根据试验结果，盒子中最有可能有___________个白球： ②由①的结果，约定游戏规则：拿出17个白球，搅匀后再从盒子里随机摸出一只球，摸到白球小红胜，摸到黑球则小亮胜，这个游戏公平吗？请说明理由． 23. 周末，小明坐公交车到文华公园游玩，他从家出发0.8小时后到达书城，停留一段时间后继续坐公交车到文华公园，在小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往文华公园，如图是他们离家的路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是______，因变量是______；小明家到文华公园的路程为______； （2）小明书城停留的时间为______，小明从家出发到达文化公园的平均速度为______； （3）图中的点表示____________________________________； （4）爸爸驾车经过多久追上小明？此时距离文华公园多远？ 24. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $