甘肃陇南市成县第一中学、第二中学、成州中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 这份高一下学期期末数学试卷聚焦向量、复数、概率、立体几何等核心知识，通过安检门检测、商场抽奖等真实情境设计，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的能力，兼具基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量共线、复数象限、条件概率|第6题以安检门误检为情境，考查条件概率计算，体现数学思维的逻辑性| |多选题|3/18|复数性质、数据特征、立体几何线面关系|第11题结合正方体中点，考查线线角与体积，发展空间观念| |填空题|3/15|解三角形、独立事件概率、圆锥内切球|第14题通过圆锥母线与面积，考查空间几何计算，强化几何直观| |解答题|5/77|向量投影、解三角形综合、概率分布列|第19题以商场抽奖为情境，融合分步计数与期望计算，体现数学语言表达现实世界的应用意识|

参考答案 1．答案：D 解析：对于A,模相等且方向相同的向量才是相等向量,模相等的共线向量方向可能相反,故A错误, 对于B,若,则和可以是任意向量,不一定平行,故B错误, 对于C,零向量的方向是任意的,但不是没有方向,故C错误； 对于D,若,由向量相等的定义知一定共线,所以D正确. 2．答案：D 解析：由，得复数z对应的点位于第四象限. 3．答案：A 解析：由向量，，， 可得，， 因为A，B，D三点共线，则存在实数，满足， 即，可得，解得. 故选：A. 4．答案：C 解析：由正弦定理可知, 即, ,. 故选：C. 5．答案：B 解析：对于A，由，故A正确； 对于B，当A，B是相互独立事件时，，故B错误； 对于C，因为A，B是相互独立事件，所以， 则，故C正确； 对于D，因为A，B是互斥事件，所以，则，故D正确. 6．答案：B 解析：设事件A：该观众私自携带应援物品，事件B：安检门亮灯提示，则，，，，所以. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为，所以.故选B. 7．答案：C 解析： 如图,连接,因为点O是线段上靠近点B的三等分点,则, 即,所以,, 又因为,,则, 因为三点共线,设,则, 所以,,且、不共线, 所以,,,故,因此,. 8．答案：B 解析：因为钢球与棱锥的四个面都接触，所以钢球与棱锥的棱相离，而与棱对应的高相切. 所以经过棱锥的一条侧棱和高所作的截面中，球的截面圆与两条高相切，而与棱相离，且与棱锥的高相交，故选B 9．答案：BCD 解析：已知复数，先化简：. A：的虚部为1，不是i，A错误. B：的共轭复数，B正确. C：z对应复平面内点，在第一象限，C正确. D：，，，所以，D正确. 10．答案：AD 解析： 11．答案：AC 解析：A:由正方体的性质可知:平面, 因为平面, 所以,因此直线与直线所成角为90°,所以本选项结论正确; B:由正方体性质可知:,所以有, 因为,所以不成立,因此本选项结论不正确; C:连接,由正方体的性质可得:,, 所以四边形是平行四边形,所以, 又因为平面,平面, 所以直线平面,故本选项结论正确; D:由正方体的性质可得:平面 三棱锥的体积为,故本选项结论不正确; 12．答案：12 解析：由，得， 化简得，解得， 所以. 13．答案：0.8 解析：A,B是两个相互独立的随机事件,且,,则 14．答案： 解析：由题意可知为等边三角形，∴， 取的中点C，则. 连接，由等腰三角形三线合一可知为中边上的高. ∵的面积为，∴. 又垂直于底面，∴由勾股定理可得. 圆锥母线长.圆锥内切球的半径等于其轴截面的内切圆半径， 而圆锥轴截面恰为等边三角形，边长为4，则等边三角形内切圆半径， 因此球的表面积. 15．答案：(1) (2) 解析：(1),, 因为,所以,解得,即, ,因为,所以,即, 解得,即,, 因此在上的投影数量为, 所以在上的投影向量为. (2),, 设与的夹角为,, 因为,所以解得. 16．答案：（1）, （2） （3） 解析：（1）在中,由余弦定理得,即, 化简得,解得或(舍),, , 的面积. （2）, , . （3）在中,由正弦定理得, ,化简得, 由余弦定理得, ,解得（负值舍去）, 所以. 17．答案：(1)20 (2)平均数32.25;第80百分位数37.5 (3) 解析：(1)由题意可知,年龄在内的频率为, 故年龄在内的市民人数为. (2)平均数为; 前三组的频率和为, 第四组的频率为,所以第80百分位数在第四组, 第80百分位数为. (3)易知,第3组的人数,第4组人数都多于20,且频率之比为, 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈, 所以应从第3,4组中分别抽取3人,2人. 记第3组的3名分别为,,,第4组的2名分别为,, 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为,,,,, ,,,,,共有10种. 其中第4组的2名,至少有一名被选中的有：,,,, ,,,共有7种, 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 18．答案：（1）见解析 （2） 解析：（1）如图, 连接,交于点O,连接. 因为底面是正方形,所以是的中点. 又点E为的中点,所以. 因为平面,且平面, 所以平面. （2）设底面正方形的边长为a. 因为平面,平面, 所以为直角三角形. 又,所以. 因为底面为正方形,因此. 由于,且平面,所以平面. 又平面,因此平面平面,且交线为. 过点A作,交于点H,则平面, 又平面,则, 连接,则即为直线与平面所成的角. 易知, ,. 在中,, 所以. 19．答案：(1) (2)①分布列见解析,; ② 解析：(1)记“小明的家长得到2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车”为事件, 则, 所以小明的家长获得2台相同造型摩托车与2台不同造型跑车的概率为. (2)①依题意,X的所有取值为1,2,3,4, ,, X的分布列为: X 1 2 3 4 P 所以数学期望. ②两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车,包括3种情况: (i)第一次交换后小明家是2台摩托车2台跑车, 其概率; (ii)第一次交换后小明家是1台摩托车3台跑车, 其概率; (iii)第一次交换后小明家是3台摩托车1台跑车, 其概率, 因此所求概率. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年成县第一中学、第二中学、成州中学 高一下学期期末考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．下列命题正确的是(      ) A.模相等的两个共线向量是相等向量 B.若,,则 C.零向量没有方向 D.若,则 2．已知复数，则在复平面内z对应的点位于(      ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．已知是，平面内两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则k的值为(      ) A.2 B.-3 C.-2 D.3 4．在中,,则(      ) A.或 B. C. D. 5．设，分别为随机事件A，B的对立事件，已知，，则下列说法不正确的是（    ） A. B. C.若A，B是相互独立事件，则 D.若A，B是互斥事件，则 6．某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为(      ) A. B. C. D. 7．如图,在中,点O是线段上靠近点B的三等分点,过点O的直线分别交直线、于点M、N.设,,则的值为(      ) A.1 B.2 C.3 D.4 8．在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则下列结论正确的有(      ) A.z的虚部是i B.z的共轭复数是 C.z在复平面内对应的点在第一象限 D. 10．一组数据,满足,若去掉后组成一组新数据,则新数据与原数据相比(      ) A.极差变小 B.平均数变小 C.第25百分位数变小 D.方差变小 11．如图,在棱长为2的正方体中,M,N,P分别是,,的中点,则下列结论正确的是(      ) A.直线与直线所成角为90° B. C.直线平面 D.三棱锥的体积为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则_____________. 13．A,B是两个相互独立的随机事件,且,,则________________. 14．已知圆锥的底面半径为2，O为底面圆心，，为圆锥的母线，.若的面积等于，则该圆锥内切球的表面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（15分）已知平面向量,,,且, (1)求在方向上的投影向量； (2)求与的夹角. 16．（15分）在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. （1）若,求a的值和的面积; （2）在（1）的条件下,求的值; （3）若,求a的值. 17．（15分）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度,随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为,,,,,）. (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)利用频率分布直方图,估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人在座谈会中作重点发言,求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率. 18．（16分）如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,点E为的中点. （1）证明:平面; （2）若,求直线与平面所成角的正切值. 19．（16分）六一儿童节,某商场为了刺激消费提升营业额,推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动,奖品是4款不同造型的玩具摩托车与4款不同造型的玩具跑车(每款车的数量都充足),主办方将大小相同的8个乒乓球上分别标注1,2,3,4,5,6,7,8,其中标注数字1,2,3,4的乒乓球分别代表4款不同造型的摩托车,5,6,7,8的乒乓球分别代表4款不同造型的跑车,并将这8个乒乓球放在一个不透明箱子内.活动规定:儿童节当天在该商场消费满100元的消费者可从摸奖箱内摸出1个乒乓球,然后再放回箱内;消费满200元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球,放回后再从中摸出1个乒乓球,然后再放回箱内;消费满300元可先从摸奖箱内摸出1个乒乓球,放回后再从中摸出1个乒乓球,放回后再从中摸出1个乒乓球,然后再放回箱内;,依此类推,消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品. (1)若小明的家长当天在该商场消费恰好满400元,求这位家长能获得2款相同造型摩托车与2款不同造型跑车的概率; (2)若本次活动小明家获得的奖品是2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车,小英家也获得2台不同造型的摩托车和2台不同造型的跑车. ①从他们两家获得的这8台车中随机抽取5台,如果抽出的5台车中有X台摩托车,求X的分布列和数学期望; ②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换,第一次交换的奖品也可以参加第二次交换,求两次交换后小明家仍有2台摩托车和2台跑车的概率. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $