精品解析：甘肃武威第六中学2025-2026学年高一下学期期末数学试题

甘肃武威第六中学2025-2026学年高一下学期期末数学试题 一.选择题（下列各题的备选答案中只有一个选项是正确的，请把正确答案写在括号中．每小题5分，共8小题，共计40分.） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的坐标运算可得A错误；当时可得B错误；由模长的运算和数量积的运算律可得C正确；由数量积的定义结合数乘向量定义可得D错误. 【详解】A：设，则，且， 但，故A错误； B：当时，由于零向量与任意向量都共线，所以与不一定平行，故B错误； C：因为，所以， 所以，所以，故C正确； D：由数量积的运算可得与共线，与共线， 由于不知道间关系，所以原式不一定相等，故D错误； 故选：C. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式计算即可. 【详解】由余弦的二倍角公式知. 故选：B 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高. 【详解】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， 则有， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 4. 已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，根据线面垂直的判定定理可得平面，则为二面角的平面角，设正方形的边长为，利用锐角三角函数求出，即可求出，，再设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，利用勾股定理求出，最后再由球的表面积公式计算可得. 【详解】设正方形中心为，取中点，连接、、， 则平面，得平面， 所以为二面角的平面角，即， 设正方形的边长为，则， 又，，由， 即，解得（负值已舍去）， 则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为， 则，解得， 所以外接球的表面积. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再由正四棱锥的性质确定球心在上. 5. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得，利用投影向量的定义即可求解. 【详解】因为单位向量，满足，所以， 化简得：，即或(舍去)， 所以在上的投影向量为， 故选：D 6. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算量，结合即可求解. 【详解】取中点为，连接，显然， 则 . 故选：A. 7. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又，分别为、中点， ，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D． 解法二: 设，分别为中点， ，且，为边长为2的等边三角形， 又 中余弦定理，作于，， 为中点，，， ，，又，两两垂直，，，，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 8. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两边平方结合二倍角公式可得，由正弦定理将边转化为角可计算出，由为锐角三角形可得，结合正弦定理得，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 由正弦定理得，即， 所以， 所以，即， 所以或（舍去）， 则， 因为三角形为锐角三角形， 则，所以， 解得，所以， 因为 ， 所以的取值范围为. 故选：D. 二.多选题：（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知复数z，下列说法正确的是（ ） A. 若，则z为实数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则z为纯虚数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算以及其几何意义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，则， 若，即，即，则z为实数，故A正确； 若，即， 化简可得，即，即， 当时，，，此时不一定满足， 当时，，，此时不一定满足，故B错误； 若，即， 所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点， 且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确； 若，即， ，即， 化简可得，则且， 此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误； 故选：AC 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，，且与夹角为锐角，则 B. 中，若，，且有两解，则的取值范围为 C. 若，且，则外接圆半径 D. 中，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】注意到当时，两个向量相等，其夹角为，但不是锐角，故A错；根据有两解的条件判断B；利用（为外接圆半径）判断C；由余弦定理结合三角形面积公式判断D. 【详解】对A选项：因为与夹角为锐角，所以且，故A错； 对B选项：因为由两解，所以，故B正确； 对C选项：在，，所以，所以其外接圆半径为：，故C正确； 对D选项：由余弦定理：， 又， 所以，又为三角形内角，所以，故D正确. 故选：BCD 11. 已知正方体的棱长为3，在棱上，，，则（ ） A. 当时，到平面的距离为 B. 当时， C. 三棱锥的体积不为定值 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，当时与重合，结合正三棱锥顶点在底面的投影，求到平面的距离；B选项，当时与重合，通过证明平面，证得；C选项，等体积法由证明三棱锥的体积为定值；D选项，由的范围，结合三棱锥的体积，求出点到平面的距离的限值范围，即可求出与平面所成角的正弦值的取值范围. 【详解】当时与重合，则为正三棱锥，， 设在平面内的投影为，则为的中心， 则， 所以，即当时，点到平面的距离为，故正确； 当时与重合， 正方体中，平面，平面，， 正方形中，， ，平面，所以平面， 平面，可得，即，B正确； 当运动时，到平面的距离保持不变为3，又， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，故错误； 由可知，三棱锥的体积为定值， 设点到平面的距离为，与平面所成角为，所以， 当时与重合，点到直线距离最远， 的面积最大为，则， 此时与平面所成角正弦值， 当时与重合，点到直线距离最近， 的面积最小为，则， 此时与平面所成角正弦值， 所以与平面所成角正弦值的取值范围是，故正确． 故选：ABD． 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 随机事件A，B相互独立，且，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据独立事件结合概率运算的性质，直接计算即可. 【详解】因为，所以. 又因为，相互独立，所以. 故答案为： 13. 四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设，则，， 由题意设，则， 由得， 则，故， 即， 故答案为： 14. 的内角的对边分别为，已知，则的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由余弦定理得①，② 由①②得， 因为，所以， 由正弦定理得， 即， 所以， 则， 因为在中，不同时为，，故， 所以， 又，所以，则，故，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 四.解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，． （1）若中点为，求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证线面平行，再由面面平行的判定定理得证； （2）根据等体积法求点到面的距离即可得解. 【小问1详解】 ∵为的中点，是的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， ∵是的中点，为的中点，∴， ∵，， ∵平面，，平面，∴平面， ∵，平面，，∴平面平面 【小问2详解】 根据题意可得， ∴， ， 设点到面的距离为， 根据等体积法可得， ∴，解得， ∴点到平面的距离为 16. 某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示. （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）估计测评成绩的第分位数； （3）已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立?请证明你的结论. 【答案】（1） （2） （3）不相互独立，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由对立事件结合频率分布直方图先得出数不小于60的频率，即可得出分数小于60的频率，从而得解； （2）先判断测评成绩的第分位数所在区间，再利用百分位数的计算方法求解即可； （3）依题意分别求得这两事件与交事件的概率，再利用独立事件的概率公式判断即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得分数不小于60的频率为：， 则分数小于60的频率为：， 故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为； 【小问2详解】 由频率分布直方图易得分数小于70的频率为，分数小于80的频率为， 则测评成绩的第分位数落在区间上， 所以测评成绩的第分位数为； 【小问3详解】 依题意，记事件 “抽到的学生分数小于30”，事件 “抽到的学生是男生”， 因为分数小于40的学生有5人，其中3名男生； 所以“抽到的学生是男生”的概率为， 因为分数小于30的学生有2人，其中1名男生， 所以“抽到的学生分数小于30” 的概率为， 因为事件表示“抽到的学生分数小于30且为男生”，满足条件的只有1名男生， 所以， 因为， 所以这两个事件不相互独立. 17. 如图，在菱形中，分别是边的中点，与交于点，设． （1）用表示； （2）求的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用向量加法的三角形法则，即可求出结果； （2）利用，分别求出，，再利用数量积的定义，即可求出结果. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 根据题意，由（1）可得， 在平行四边形中，，即为等边三角形，所以，则，即， 则 ， 因为， ， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判断定理证明即可； （2）先应用二面角余弦值求出,再求异面直线所成角的正切即得. 【小问1详解】 在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面，平面， 得平面， 又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又，平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 如图， 在正三角形内，过点作，垂足为，∴， ∵，侧面底面，面面，面， ∴底面，底面，则， 过作，垂足为，连接，， ，平面，则平面，而平面，∴， 则即为二面角的平面角，即 ∴， ∴ 在中，，∴， 由，，得四边形为平行四边形，∴， 由，得为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为． 19. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）延长交于，延长交于，则，设，且，分别求出，再根据三角恒等变换化一，结合正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以， 由正弦定理得， 则， 因为，所以； 【小问2详解】 延长交于，延长交于， 根据题意可得．因为，所以， 设，且， 则， 同理可得， 则 ， 因为，所以， 又， 所以， 所以的取值范围是． 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃武威第六中学2025-2026学年高一下学期期末数学试题 一.选择题（下列各题的备选答案中只有一个选项是正确的，请把正确答案写在括号中．每小题5分，共8小题，共计40分.） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧（含端点）上的一点，则的范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 8. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.多选题：（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9. 已知复数z，下列说法正确的是（ ） A. 若，则z为实数 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 若，则z为纯虚数 10. 下列说法中正确的为（ ） A. 已知，，且与夹角为锐角，则 B. 中，若，，且有两解，则的取值范围为 C. 若，且，则外接圆半径 D. 中，若，则 11. 已知正方体的棱长为3，在棱上，，，则（ ） A. 当时，到平面的距离为 B. 当时， C. 三棱锥的体积不为定值 D. 与平面所成角的正弦值的取值范围是 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 随机事件A，B相互独立，且，，则______． 13. 四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围______． 14. 的内角的对边分别为，已知，则的最大值为_________． 四.解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明.证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正方体中，，分别是，的中点，． （1）若中点为，求证：平面平面； （2）求点到平面的距离． 16. 某高中高一500名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图如图所示. （1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率； （2）估计测评成绩的第分位数； （3）已知样本中分数小于40的学生有5人，其中3名男生；分数小于30的学生有2人，其中1名男生.从样本中分数小于40的学生中随机抽取一人，则“抽到的学生分数小于30”与“抽到的学生是男生”这两个事件是否独立?请证明你的结论. 17. 如图，在菱形中，分别是边的中点，与交于点，设． （1）用表示； （2）求的余弦值． 18. 如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，． （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 19. 在中，内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $