甘肃古浪县第三中学等校2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试卷

2025~2026学年度第二学期期末考试·高一数学 参考答案、提示及评分细则 1.A因为复数之=2十=2一i,所以=2十i.所以乏对应的点位于第一象限.故选A. 2.D由A和C对立，可得P(A)十P(C)=1,解得P(A)=0.2, 又由随机事件A和B互斥可知P(AB)=0, P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB), 将P(A)=0.2,P(B)=0.3代入计算可得P(AUB)=0.5.故选D. 3.B由a=(6,0),b=(-1,1),得a·b=6×(-1)十0×1=-6，又|b|=(-1)+1严=√2，所以向量a 在向量B上的投影向量为品·一号6=一3汤 4.C对A,若a⊥3，m∥a,n∥B,则m与n也可能平行，故A错误； 对B,若m∥B,a⊥3，则mCa或m∥a或m与a相交，故B错误； 对C,若m∥α，根据线面平行的性质，可知a内必有一直线与m平行，由m⊥β知，α内这一直线与B垂直，由 面面垂直的判定定理知α⊥B,故C正确； 对D,若m⊥nnCa,可能直线m与平面斜交，也可能在平面内，故D错误.故选C. 0,故选D. 5.D依题意na=-告esa=是，所以cos(。+子)-号(cosa一sn0= 6.D取DD1的中点为F,连接EF,AF,CF,因为点E为AA:的中点，所以EF∥ AD,且EF=AD,又因为AD∥BC,AD=BC,所以EF∥BC,且EF=BC,即四边形 B EFCB为平行四边形，所以BE∥CF,则∠ACF或其补角即为异面直线BE和AC 所成的角.设正方体的棱长为2，则AC=2√2，CF=AF=√5，所以cos∠ACF= 4CCCA=82四故选D 2AC·CF 2X2√2X5 1.Ch5asB=25可得B=2×分amB.解得mB-5,因为0长B<,所以片号义mA:s如C =sinB,得ac=b.由余弦定理得=a+d-2acos号，所以6=a2十d-ac,因为ac=,所以(a-)=0, 解得a=c,则=ac=a2,可得b=a,所以a=c=b,所以△ABC为等边三角形.故选C 8.A因为0<a<受，0<<受，cos(a+D=-亭，sim(B-平)=音 所以cos(a+平）=cos[(a+)-(g平)门-cos(a+mcos(g子)十sin(a+)sim(g于)， 其中0<a十，cos(a十B)=-号，所以sin(a十B)=, 牙<g至<平，sin(p平)=最所以0<g<平，所以cos(g平)=号， 所以m(。+）=子×号告×是=3 因为0<a<受os(。+子)=-需所以a+子∈（受）sin(e+子)-器 cosa=cos(a+平-平）=cos(e+牙)os至十sin(a+平)sin哥 =品×号+器×号-故选A 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 9.BD因为1=1十2i的共轭复数为=1-2i,所以A不正确： 因为x=√十2=5，x2=√2+(-1)=√5，所以B正确； 因为1十2=1十2i十2-i=3十i,所以C不正确； 因为·2=(1十2i)(2一i)=4十3i,点的坐标(4,3)在第一象限，所以D正确.故选BD 10.BCD设2个白球为a1,a2,2个黑球为b,b2, 则样本空间为：2={(a1,ag),(a1,b),(a1,b2),(a2,a1),(a2,b),(a2,b),(b1,a1),(b,a), (b,b2),(b,a1),(b2,a2),(b,b1)},共12个基本事件. 事件A={(a1,a2),(a2,a1),(bi,b2),(b,b)},共4个基本事件； 事件B={(a1a2),(a1,b),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(a2,b2)},共6个基本事件； 事件C={(a1,a2),(a2,a1),(b,a1),(b,a2),(b2,a1),(b,a2)},共6个基本事件； 事件D={(a1,b),(a1b2),(a2,b),(a2,b2),(b,a1),(b,a2),(b,a1),(b2,a2)},共8个基本事件， 对于A,由P(C)=是=合，故A错误： 对于B因为P(A)=是=子，P(B)-是-号，P(AB)=, 则P(AB)=P(A)·P(B),故事件A与B相互独立，故B正确； 对于C.由PAC)=。-PAP(C,放事件A与C相互独立，故C正确： 对于D,因为A∩D=,AUD=2,所以事件A与D互为对立，有P(A)十P(D)=1,故D正确.故选BCD. 1.AC对于A,因为点M,N分别为BB1,BC的中点，所以MN∥AD,且MN=号AD,所以四边形ADNM 是等腰梯形，所以延长A:M与DN必然相交，设交点为O,则点O既在平面A1ABB:内，又在平面ABCD 内，平面AABB∩平面ABCD=AB,所以O∈AB,即延长AM,DN,AB相交于一点，所以几何体NBM- DAA!是三棱台，所以A正确； 对于B,如图1，连接BC,CG,则B,C∥MN,CG∥AM,且BC∩CG=C,所以平面B,CG∥平面A1DNM, 又因为BGC平面B1CG,所以B,G∥平面A,DNM,所以B错误； D D B 图1 图2 图3 对于C,如图2，过点A作AE⊥DN,垂足为E,连接AE,AN,因为AA1⊥平面ABCD,DNC平面ABCD,所 以DN⊥AA1,又因为AA1∩AE=A,所以DN⊥平面A1AE,又因为A:EC平面A1AE,所以DN⊥A1E,则 ∠AEA即为二面角A1-DN-A的平面角，设正方体的棱长为2，则AN=ND=√5，由5·AE=2×2,所 以AE后则a∠AEA--是-气 Ae 4 ,所以C正确： √5 对于D,如图3，过点P作PF⊥平面A,DNM,垂足为F,连接NF,则∠PNF即为PN与平面A1DNM所成 的角，则sn∠PNF=S,因为BG∥平面ADNM,所以点P到平面ADNM的距离为定值，即PF为定 值，所以当PN最小时，sn∠PNF=S取最大值，点P到平面ADNM的距离等于点B,到平面ADNM 的距离，设点B1到平面MND的距离为d,正方体的棱长为2，则MN=√2，A1D=2√E,DN=A1M=√5，所 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 以等腰梯形ADNM的商6=√6一(2-2由V=v,w,所以×吉X反×3要。 d=子×子×1X1X2,解得d=号即PF=是在△BNG中，B,N=后，GN=5,BG=3,os∠BNG= 5+6-9 ,所以sin∠BNG=厘，当PNLBGB时，B,G,PN=B,N·NG·sin∠B,NG,即3PN 1 2X√5X√6√/3 √30 -5×,后×严所以PN-图，即PN的最小值为俨，PN与平面A:DNM所成角的正弦值的最大 /30 值为：∠PNF-票- 32√/29 29 =29,所以D错误.综上，故选AC. 3 12.号 从2,4,5,7这4个数中一次随机抽取两个数的所有基本事件有(2,4)，(2,5)，(2,7)，(4,5)，(4,7)，(5,7)， 共6个，所取2个数之和为9的基本事件有2,1，(4,5》，共2个，故所求概率P=号-子 18.2反因为n号=号所以m。 2an号 =2/2. 1-tam号1-多 14.√3因为acos B十√3 asin B-b-c=0,由正弦定理，得sin Acos B十√3 sin Asin B-sinB-sinC=0,因为 C=π-(A十B),所以sinC=sin(A+B),则sin Acos B十√3 sin Asin B-sinB-sin(A十B)=0,所以 sin Acos B3 sin Asin B-sin B-sin Acos B-cos Asin B=0,3 sin Asin B-sin B-cos Asin B=0, 因为snB>0,所以snA-1-c0sA=0,即sim(A-若)=子，因为0<A<,所以-吾<A-吾<号， 则A-吾=看，所以A=号，因为△ABC的面积为5，所以2 besin A=尽，即5bc=,所以k=4:因为 M为BC的中点，所以A应=之(A店+AC,所以A亦=(A成+AC+2A方·AC)=(B+c+b加)≥ 子(2hc+bc)=子bc=3,所以AM≥F,当且仅当=c时取等号，所以AM的最小值为5， 15.解：m=(-1,3)-k(2,-4)=(-2k-1,4k十3)，…3分 n=(k-1)(-1,3)-2(2,-4)=(-k-3,3k十5)，……6分 (1)若m∥n,有(-2k-1)(3k十5)=(-k-3)(4k十3)，整理为k2-k-2=0,…7分 解得k=一1或2；……………………8分 (2)若m⊥n,有(-2k-1)(-k-3)+(4k+3)(3k十5)=0，整理为7k2十18k十9=0，……11分 解得：k=一9±3 7 ,…13分 16.解：(1)由正弦定理a。 i0A=s25得，2 sin Asin B-3 sin Beos A=sin Bsin A,…,2 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以2sinA=√3cosA十sinA,…3分 整理得sinA=5cosA,tanA=加A=3,…5分 cos A 因为A∈(0，元)，所以A=；…………7分 (2)由△ABC的面积为23，得7 -bcsin A=23,所以bc=8,………9分 又c=2b,则b=2,0=4,所以b十℃=6，………………………………………11分 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 由余弦定理得a2=c2十b2-2bcc0sA=4十16-8=12，解得a=2√3，…………13分 所以△ABC的周长为23十6.…………………15分 17.解：(1)因为π<a<2,cosQ= .3π , …2分 所以sina=-√/1-cos2a= 4)2=-3 ，……………………4分 所以sin(a十2妥)=sin acos …………7分 3 2 10 (2)由三角函数的定义可得mg=多，又ana=&子 cosa4’ …………………………………9分 2X3 由倍角公式可得an2a一一am。1-(一 2tan a 4 24 12分 a2a-0-甲2品 147 1+学×号 15分 18.解：(1)记“甲队总得分为1分”为事件A,甲队得1分，则一人回答正确，另一人回答错误， P(A=×(1-号)+(1-)×3=2： …6分 (2)甲队积0分，1分，2分的概率分别为，立，车 111 9分 乙队积0分1分2分的版*分别为号号号， 12分 记两队积分同为0分，1分，2分的概率分别为事件B,C,D, .两队得分相互独立，互不影响， PB=}X号-gPC0=7×号-PD)=×号-0： 15分 两队积分相同的概率为P(BUCU D)=P(B)+P(C十P(D)= …17分 19.解：(1)连接AC,交AC于点D,连接PD,则D为AC1的中点， 且平面ACP门平面ABC=PD,……… 2分 AB∥平面ACP,ABC平面ABC,.AB∥PD, 4分 心卫为BC的中点，即实数入的值为号：…………………6分 (2)在直三棱柱ABC-A1BC1中，CC⊥平面A1BC,AC1C平面A1BC1, ∴.CC⊥AC,.AC⊥BC,AC∥AC,∴.A1C⊥BC, 又CC∩CB=C,CC1,CBC平面CBBC,.AC1⊥平面CBBC1,∴.AC⊥CP,…9分 过点C作CP⊥BC于点P,.AC⊥CP, AC⊥CP,CP⊥平面A1CP,.平面A1CP⊥平面ACP, ……………………11分 延长CP交BB:于点E,BE=号，过点C作CF⊥AB交AB于点F,过点F作FHLAE于点H, ·∠CHF是平面ACP与平面ABBA所成锐二面角的平面角（∠CHF<受），…14分 CR-9,FH=5,t/CHF=-需-9×=，∴os∠CHF= 5 5/42 34 FH 2 5 /42 421 平面ACP与平面ABBA所成锐二面角的余弦值为5Y 42 ………………17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】20252026学年度第二学期期末考试 高一数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 4.本卷主要命题范围：湘教版必修第二册第1章~第5章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知复数之=2+的，则在复平面内z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P(C)=0.8,P(B)=0.3,则P(AUB)= A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 3.已知向量a=(6,0),b=(一1,1)，则向量a在向量b上的投影向量为 A.ga B.-3b C.3b D.- 6a 4.已知，n是两条不同的直线，a,3是两个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若&⊥B,m∥a,n∥B,则m⊥n B.若m∥3，a⊥B,则m⊥c C.若m⊥3，m∥a,则a⊥3 D.若m⊥n,nCa,则m⊥a 5.已知a为第四象限角，tana=- 青，则os(a+)= A.-72 10 c号 D.72 10 6.如图，在正方体ABCD-A1B,C1D1中，E为AA1的中点，则异面直线 D C B BE与AC所成角的余弦值为 15 B C.2 D.10 B 5 【高一数学第1页（共4页）】 7.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA·sinC=sinB,设△ABC的面积为S, 若3 accos B=2S,则△ABC的形状为 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 8.若0<a<受0gK径6osa+8m=一是sin(g-子）=意则casa A轻器 B部 c器 D.33V2 65 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知i为虚数单位，复数1=1十2i,2=2一i,则 A.1的共轭复数为一1+2i B.之1=之2 C.1十2为实数 D.之1·2在复平面内对应的点在第一象限 10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件A =“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白球”， 事件D=“取出的两球不同色”，则 A.P(C)=3 B.A与B相互独立 C.A与C相互独立 D.P(A)+P(D)=1 11.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N,G分别为BB1,BC,DD1的中点，点P为线段 B,G上的动点，则下列说法正确的是 A.几何体NBM-DAA1是三棱台 B.直线B,G与平面A,DVM相交 C.二面角A,-DN-A的平面角的正切值为5 D.直线PV与平面A,DNM所成角的正弦值的最大值为 29 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.从2,4,5,7这4个数中一次随机抽取两个数，则所取两个数之和为9的概率是 18已知an号-号，侧ama 14.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且acos B十√3 asin B-b-c=0,△ABC 的面积为√，M为BC的中点，则AM的最小值为 【高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知a=(-1,3),b=（2,一4)，m=a一b,n=(k一1)a-2b.当k为何值时： (1)m∥n; (2)m⊥n. 16.（本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2 asin B-√3 bcos A=bsin A. (1)求角A的大小： (2)若c=2b,△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长. 17.(本小题满分15分) 已知<6<经c0sa=一青，角B的终边过点P(7,3). (1)求sin(a+ 学的值： (2)求tan(2a-B)的值. 【高一数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分)》 举办网络安全宣传周、提升全民网络安全意识和技能，是国家网络安全工作的重要内容.为 提高广大学生的网络安全意识，某校举办了网络安全知识竞赛，比赛采用积分制，规定每队 2人，每人回答一个问题，回答正确积1分，回答错误积0分.甲、乙两个班级的代表队在决 赛相遇，假设甲队每人回答问题正确的概率均为？，乙队两人回答问题正确的概率分别为 冬，，且两队每个人回答何题正确的概率相互独立。 (1)求甲队总得分为1分的概率； (2)求两队积分相同的概率. 19.(本小题满分17分) 如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC,且CC1=2CA=2CB=2,点P在线段 BC,(含端点)上运动，设入= BP (1)当AB∥平面A,CP时，求实数入的值； (2)当平面A1CP⊥平面A1C1P时，求平面A,CP与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值. 【高一数学第4页（共4页）】