精品解析：广东深圳市龙岗区2025-2026学年下学期八 年级数学 期末试卷

龙岗区2025-2026学年第二学期学科素养调研 八年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、考号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 未来将是一个可以预见的时代，以下是四个人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，天平左边的苹果质量为克，右边的砝码质量为200克，则的取值范围可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一把三角结构的实木餐椅，其侧面椅腿可抽象成，点，点分别为边，的中点，若椅腿张开的水平距离，则椅腿横梁的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知屋顶的主桁架是等腰三角形，，，点是桁架边上的一点，为了加固屋檐，延长至点，使得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 正八边形受力均匀、结构稳固，还兼具良好的对称美感，常被用于数码产品外观设计．如图，某品牌手机后置镜头外沿设计为正八边形，则该正八边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（ ） A. 15 B. 30 C. 60 D. 120 7. 深圳龙岗大运片区绿色出行普及度高，某新能源电动车专卖店计划采购甲、乙两种型号电动车．已知乙型电动车的单价比甲型的单价多0.2万元，用12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等．设甲型电动车的单价为万元，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 将一副直角三角板如图放置，，，作的平分线交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：______． 10. 若分式的值为零，则x的值是______． 11. 如图，是的外角，则的值为_________． 12. 如图，一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为______． 13. 如图，在梯形中，，，的垂直平分线分别交，于点和点，若，，则的长为______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到对应的，请画出平移后的； （2）将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是____________． 17. 如图，在中，点，点在对角线上，连接，，，． （1）请你在以下选项中选择一个条件，使得四边形是平行四边形，并写出证明过程； ①； ②； ③． （2）若，，，求对角线的长． 18. 综合与实践 如何安排工程队的施工任务 素材1 龙岗河是龙岗区的“母亲河”，全长约二十公里，它亲历了龙岗区发展成城市东部核心的点滴蜕变，见证了一代代龙岗人的青春年华．为了治理污水，提升河道生态功能，某改造项目组决定铺设一段全长3000米的污水排放管道，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队共同完成此任务． 素材2 乙工程队每天的工作效率是甲工程队的倍，甲工程队单独完成铺设管道所需的天数比乙工程队单独完成所需天数多30天． 素材3 改造项目组要求铺设污水排放管道的总费用不超过320万元，甲、乙两个工程队每天的工程费分别为2万元和3万元． 问题解决 （1）任务1：分析效率： 甲、乙两个工程队每天铺设管道的长度分别是多少米？ （2）任务2：分析任务量： 最多可安排乙工程队工作多少天？ 19. 若一个自然数能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”． 例如：，因此3是一个“智慧数”．某数学学习小组对“智慧数”做了如下探究： 【初步感知】寻找“智慧数” 小深的枚举法 ； ； ； ； ； ； ； … 小圳的代数推理法 通过观察发现0，4，8是“智慧数”，因此他猜想4的倍数都是“智慧数”，并给出如下证明： 设是自然数，则 表示自然数中所有4的倍数，因此4的倍数都是“智慧数”． （1）下列自然数中， 是“智慧数”（填序号）； 【猜想验证】 （2）小圳通过观察小深的枚举法，猜想自然数中所有的奇数都是“智慧数”，请你参考小圳的方法证明他的猜想． 【迁移应用】 （3）某数学社团为了筹备成果展，要在一块正方形空地右上角布置一个正方形舞台（如阴影所示），剩下L型区域作为观展走廊．如图，现社团采购了一块长为米，宽为米的地胶（其中，为自然数），通过裁切，恰好能铺满这条L型走廊．请问这条L型走廊的面积是“智慧数”吗？请说明理由，并求出舞台的边长． 20. 综合与探究 【定义】我们将有一组邻边相等且有两个邻角为直角的四边形称为“邻等双直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，若，，则四边形是“邻等双直四边形”． （1）用分别含有或的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中有一个不是“邻等双直四边形”，则这个图形是 （填序号）； 【问题解决】 （2）如图1，在“邻等双直四边形”中，，，连接．求证：平分； （3）如图2，已知，，在射线上作出点，使得四边形是“邻等双直四边形”，且对角线是其一内角的角平分线； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【联系拓广】 （4）如图3，在中，，，点是内部一点且满足，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，，当四边形为“邻等双直四边形”时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岗区2025-2026学年第二学期学科素养调研 八年级数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、考号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 未来将是一个可以预见的时代，以下是四个人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据逐项判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故A符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是中心对称图形，故D不符合题意． 2. 如图，天平左边的苹果质量为克，右边的砝码质量为200克，则的取值范围可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据天平向左倾斜列不等式即可． 【详解】解：∵天平向左倾斜， ∴苹果质量为克大于200克，即． 3. 如图是一把三角结构的实木餐椅，其侧面椅腿可抽象成，点，点分别为边，的中点，若椅腿张开的水平距离，则椅腿横梁的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点，点分别为边，的中点， ∴． 4. 如图，已知屋顶的主桁架是等腰三角形，，，点是桁架边上的一点，为了加固屋檐，延长至点，使得，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边对等角可得、，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 5. 正八边形受力均匀、结构稳固，还兼具良好的对称美感，常被用于数码产品外观设计．如图，某品牌手机后置镜头外沿设计为正八边形，则该正八边形的内角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：该正八边形的内角和是． 6. 如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为（ ） A. 15 B. 30 C. 60 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6， 则a2b+ab2＝ab（a+b）＝30． 故选B． 【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力． 7. 深圳龙岗大运片区绿色出行普及度高，某新能源电动车专卖店计划采购甲、乙两种型号电动车．已知乙型电动车的单价比甲型的单价多0.2万元，用12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等．设甲型电动车的单价为万元，由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件表示出乙型电动车的单价，再根据“数量=总价÷单价”表示两种车型的购进数量，利用购进数量相等的关系列方程． 【详解】解：∵设甲型电动车单价为万元，乙型电动车的单价比甲型多万元， ∴乙型电动车单价为万元， ∵总价除以单价等于购进数量，且题目中12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等， ∴甲型电动车购进数量为，乙型电动车购进数量为， 因此可列方程． 8. 将一副直角三角板如图放置，，，作的平分线交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角板可知：，，利用勾股定理可得，易得；利用角平分线的定义可得，根据含30度直角三角形的性质可得，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由三角板可知：，， ∵， ∴，解得：， ∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴，解得：． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键；原多项式根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 若分式的值为零，则x的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴且， 解得． 11. 如图，是的外角，则的值为_________． 【答案】360 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，则， ，进而可得． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ， ∴， 故答案为：． 12. 如图，一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】确定两个函数图象交点的位置，观察图象即可得到答案． 【详解】解：由图可知：一次函数和的图象交于点， 若， 由图可知：． 13. 如图，在梯形中，，，的垂直平分线分别交，于点和点，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，设，根据以及勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图：连接，设， ∵垂直平分， ∴，即：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：，即：的长为：． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到和，然后根据“同大取大”确定不等式组的解集． 【详解】 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集是． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）将先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到对应的，请画出平移后的； （2）将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标是____________． 【答案】（1）解：如图，即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移的定义分别画出点，再顺次连接即可； （2）根据旋转的定义画出线段，根据点的位置写出它的坐标即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：将线段绕着点顺时针旋转得到线段，如图所示： 则点的坐标是． 17. 如图，在中，点，点在对角线上，连接，，，． （1）请你在以下选项中选择一个条件，使得四边形是平行四边形，并写出证明过程； ①； ②； ③． （2）若，，，求对角线的长． 【答案】（1）选择①，理由如下： ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形 方法2：选择②，理由如下： 连接，与交于点 ，即， 四边形是平行四边形， ，， ，即， 四边形是平行四边形； （2）10 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定解答即可； （2）如图：连接，与交于点，由平行四边形的性质可得、，再运用勾股定理求得，最后根据平行四边形对角线相互平分即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：连接，与交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 18. 综合与实践 如何安排工程队的施工任务 素材1 龙岗河是龙岗区的“母亲河”，全长约二十公里，它亲历了龙岗区发展成城市东部核心的点滴蜕变，见证了一代代龙岗人的青春年华．为了治理污水，提升河道生态功能，某改造项目组决定铺设一段全长3000米的污水排放管道，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队共同完成此任务． 素材2 乙工程队每天的工作效率是甲工程队的倍，甲工程队单独完成铺设管道所需的天数比乙工程队单独完成所需天数多30天． 素材3 改造项目组要求铺设污水排放管道的总费用不超过320万元，甲、乙两个工程队每天的工程费分别为2万元和3万元． 问题解决 （1）任务1：分析效率： 甲、乙两个工程队每天铺设管道的长度分别是多少米？ （2）任务2：分析任务量： 最多可安排乙工程队工作多少天？ 【答案】（1）甲工程队每天铺设管道20米，乙工程队每天铺设25米 （2）最多可安排乙工程队工作40天 【解析】 【分析】（1）设甲工程队每天铺设米，则乙工程队每天能铺设米，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设安排乙工程队工作天，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设甲工程队每天铺设米，则乙工程队每天能铺设米， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的根， 乙工程队每天能铺设：（米）， 答：甲工程队每天铺设管道20米，乙工程队每天铺设25米． 【小问2详解】 解：设安排乙工程队工作天， 根据题意，得，解得． 答：最多可安排乙工程队工作40天． 19. 若一个自然数能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”． 例如：，因此3是一个“智慧数”．某数学学习小组对“智慧数”做了如下探究： 【初步感知】寻找“智慧数” 小深的枚举法 ； ； ； ； ； ； ； … 小圳的代数推理法 通过观察发现0，4，8是“智慧数”，因此他猜想4的倍数都是“智慧数”，并给出如下证明： 设是自然数，则 表示自然数中所有4的倍数，因此4的倍数都是“智慧数”． （1）下列自然数中， 是“智慧数”（填序号）； 【猜想验证】 （2）小圳通过观察小深的枚举法，猜想自然数中所有的奇数都是“智慧数”，请你参考小圳的方法证明他的猜想． 【迁移应用】 （3）某数学社团为了筹备成果展，要在一块正方形空地右上角布置一个正方形舞台（如阴影所示），剩下L型区域作为观展走廊．如图，现社团采购了一块长为米，宽为米的地胶（其中，为自然数），通过裁切，恰好能铺满这条L型走廊．请问这条L型走廊的面积是“智慧数”吗？请说明理由，并求出舞台的边长． 【答案】（1）①③ （2）证明：设是自然数， 表示自然数中所有的奇数， 自然数中所有的奇数都是“智慧数” （3）舞台的边长为5米，走廊的面积是“智慧数”，理由如下： 【解析】 【分析】（1）通过尝试法或观察规律(奇数和4的倍数通常是智慧数)来解决． （2）利用平方差公式的逆运算，构造出两个连续自然数的平方差等于奇数． （3）根据图形特征(L型走廊)和地胶尺寸，计算面积并判断． 【小问1详解】 解：，所以9是“智慧数”； ，， ，，无法找到两个自然数的平方差是，所以不是“智慧数”； ，根据小圳的结论，4的倍数都是“智慧数”．验证：，所以是“智慧数”； 是偶数，但不是4的倍数， ，，无法找到两个自然数的平方差是，所以不是“智慧数”． 【小问2详解】 证明见答案 【小问3详解】 解析见答案 20. 综合与探究 【定义】我们将有一组邻边相等且有两个邻角为直角的四边形称为“邻等双直四边形”． 【示例】如图1，在四边形中，若，，则四边形是“邻等双直四边形”． （1）用分别含有或的直角三角形纸板拼出下面3个四边形，其中有一个不是“邻等双直四边形”，则这个图形是 （填序号）； 【问题解决】 （2）如图1，在“邻等双直四边形”中，，，连接．求证：平分； （3）如图2，已知，，在射线上作出点，使得四边形是“邻等双直四边形”，且对角线是其一内角的角平分线； （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【联系拓广】 （4）如图3，在中，，，点是内部一点且满足，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，，当四边形为“邻等双直四边形”时，求的值． 【答案】（1）③ （2）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （3）如图，点就是所要作的点， （4）的值为或 【解析】 【分析】（1）根据“邻等双直四边形”的定义进行判定； （2）根据等边对等角以及两直线平行内错角相等得出结论； （3）根据垂直平分线的性质得到一组邻边相等，再根据等边对等角以及两直线平行内错角相等得出角平分线； （4）根据定义进行分类讨论，利用全等三角形性质和判定，正方形性质和判定，30°角所对直角边是斜边的一半，求出的值． 【小问1详解】 解：图①是由两个含有的直角三角形纸板拼出的四边形， ∵， ∴，， ∴，且， ∴四边形满足“有一组邻边相等且有两个邻角为直角”， 所以是“邻等双直四边形”； 图②是由两个含有的直角三角形纸板拼出的四边形， ∵， ∴，， ∴，且， ∴四边形满足“有一组邻边相等且有两个邻角为直角”，所以是“邻等双直四边形”； 图③是由一个含有和一个含有的直角三角形纸板拼出的四边形， ∵，，， ∴，，， ∴四边形不满足“有两个邻角为直角”，所以不是“邻等双直四边形”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 作线段的垂直平分线交射线于点，连接， ∵作线段的垂直平分线交射线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【小问4详解】 解：∵， ∴设，， 线段绕点顺时针旋转得到， ，， 又， ， ， ， ①当时，，，四边形为“邻等双直四边形”， 延长与交于点， ， ， ， 四边形为矩形， ， 矩形为正方形， ，， ∴， 在中，， ， ， ， ②当时，，，四边形为“邻等双直四边形”， 过点作于点，在上取中点F，连接． ，点F是的中点， ， ，， ， ∵点F是的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，，，根据勾股定理得，， ， ， 的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $