精品解析：广东省深圳市龙岗区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

龙岗区2024-2025学年第二学期期末质量监测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共两部分，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 4．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 新能源汽车作为强势崛起的一股汽车产业新势力，正在持续迈入新的发展阶段，对行业内外产生着深远影响．下列新能源汽车标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x（克） 邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60 某人投寄一封平信花费2.40元，则此平信的质量可能为（ ） A. 10克 B. 39克 C. 20克 D. 52克 3. 如图，如果绕点C逆时针旋转后能与重合，那么旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点距离相等，凉亭应选的位置是（ ）． A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 5. 某平板电脑支架如图所示，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若，则的长度为（ ） A. 12 B. 18 C. D. 15 6. 青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形，连接，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2400元，标价为2800元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，最低可打几折（ ） A. 9折 B. 8.5折 C. 8折 D. 7.5折 8. 如图，在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则 D. 若，则 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：_______． 10. 当_________时，分式的值为0． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段向右平移4个单位到线段，线段与轴交于点，若图中的面积为4，则点坐标为_______． 12. 如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A−B−C−D，∠C=60°，连接BD，∠CBD=80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交于点E，当∠ABC为______度时，△BDE是等腰三角形． 13. 如图，在边长为6的等边三角形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得到，延长交线段于点．若，则的长为_____． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 用无刻度直尺和圆规作图：如图，已知，求作：边上高．小明的作图步骤如下，请补全作图步骤，并按照步骤作图．（注：作图时先用铅笔作图，再用黑笔描黑．） 步骤1：延长，任取一点，使点与点在延长线的两旁； 步骤2：以的长为半径作弧，交延长线于点和点； 步骤3：分别以_____，_____为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点（不与点重合）； 步骤4：连接，交的延长线于点，即为所求． 17. 深圳市高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的倍，通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时． （1）求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车？ （2）如果高速收费站一共有10条收费通道，请问至少要开通多少条通道才能在早高峰2个小时的时间段内通过5000辆车？ 18. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． （1）下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． （2）请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 19. 如图1，在四边形中，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）在（1）的条件下，如图2，若为边上一点，为边上的中点，连结，，，若，证明． （3）在（1）的条件下，若为边上的中点，为边上的一点，连结，，，若，请直接写出线段，，之间的数量关系． 20. 如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点． 【问题解决】 （1）若，，则_____． 【猜想证明】 （2）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论?（用含有式子表示） 【拓展提高】 （3）若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岗区2024-2025学年第二学期期末质量监测试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共两部分，满分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，请将学校、班级、姓名和考号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效．答题卡必须保持清洁，不能折叠． 4．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题答案必须用规定的笔，按作答题目的序号，写在答题卡非选择题答题区内． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 新能源汽车作为强势崛起的一股汽车产业新势力，正在持续迈入新的发展阶段，对行业内外产生着深远影响．下列新能源汽车标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据中心对称与轴对称的定义进行判断即可． 【详解】解：A．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 在国内投寄平信应付邮资如下表： 信件质量x（克） 邮资y（元/封） 1.20 2.40 3.60 某人投寄一封平信花费2.40元，则此平信的质量可能为（ ） A. 10克 B. 39克 C. 20克 D. 52克 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，根据邮资表，确定邮资为2.40元对应的信件质量的范围，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，当信件质量满足（克）时，邮资为2.40元． 选项A：10克属于，对应邮资1.20元，不符合题意． 选项B：39克属于，对应邮资2.40元，符合题意． 选项C：20克属于的右端点，对应邮资1.20元，不符合题意． 选项D：52克属于，对应邮资3.60元，不符合题意． 故选：B． 3. 如图，如果绕点C逆时针旋转后能与重合，那么旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得，根据旋转角的定义，得，解答即可． 本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 根据旋转角的定义，得， 故选：C． 4. 现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）． A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条高所在直线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． 故选：C． 5. 某平板电脑支架如图所示，，为了使用的舒适性，可调整的大小．若，则的长度为（ ） A. 12 B. 18 C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质． 过E作于H，由等腰三角形的性质推出，，求出，由含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，即可得到的长度． 【详解】解：过E作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 青铜镜，古称“鉴”或“照子”．图2是从八角形铜镜（图1）底部抽象出的正八边形，连接，则的度数为（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质．利用多边形的内角和及正多边形的性质求得的度数，再利用正八边形的对称性即可求得答案． 【详解】解：八边形是正八边形， ， 由对称性可知， 故选：D． 7. 某厂商为中小学智慧课堂提供学生平板，成本为2400元，标价为2800元，如果厂商要以利润不低于的售价打折出售，最低可打几折（ ） A. 9折 B. 8.5折 C. 8折 D. 7.5折 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．设打x折，利用销售价减进价等于利润得到，然后解不等式求出x的范围，从而得到x的最小值即可． 【详解】解：设打x折， 根据题意得， 解得． 所以最低可打9折． 故选：A． 8. 如图，在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求不等式的解集．根据一次函数的增减性可判断A和B，把代入，求出k与b的关系，解不等式可判断C与D． 【详解】解：∵点在第一象限内且满足， ∴点P在线段（不包括端点）上． ∵一次函数图象经过，， ∴y随x的增大而增大． A． ∵当时，， ∴当时，，故A错误； B．∵当时，， ∴当时，，故B正确； C．把代入，得 ， ∴． 若， 则， 解得，故C错误； D．把代入，得 ， ∴． 若， 则， 解得，故D错误． 故选B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与平方差公式法分解因式． 先提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 当_________时，分式的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为0的条件：①分子；②分母．结合题目所给分式分别满足这两个条件列出相关方程和不等式，求解即可． 【详解】解： 分式的值为0， ，由可得： ；由可得：， 综上可知，， 故答案为． 【点睛】本题考查分式值为0的条件，该题型比较容易漏掉分母不为0的条件．根据分式值为0的条件，准确求解相关方程与不等式是解决问题的关键． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，线段向右平移4个单位到线段，线段与轴交于点，若图中的面积为4，则点坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移，解题关键是根据平移得到，再根据的面积为4，可求出，即可求出点坐标． 【详解】解：∵线段向右平移4个单位到线段， ∴， ， ∵， ∴ ， ， ∵在轴正半轴， ∴， 故答案为：． 12. 如图是一款折叠式台灯，其侧面示意图为折线A−B−C−D，∠C=60°，连接BD，∠CBD=80°，线段AB绕点B旋转，AB的延长线与射线CD相交于点E，当∠ABC为______度时，△BDE是等腰三角形． 【答案】80或140或170 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求得∠CDB=40°，分三种情况讨论，画出图形，利用等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：当点E在CD延长线上时，如图， ∵∠C=60°，∠CBD=80°， ∴∠CDB=180°-∠C+∠CBD=40°， ∵△BDE是等腰三角形，即BD=DE， ∴∠BDE=∠BED=∠CDB=20°， ∴∠ABC=∠C+∠BED=60°+20°=80°． 当点E在线段CD上，且BE=DE时，如图， ∴∠BDE=∠EBD=40°， ∴∠CBE=80°-∠EBD=40°， ∴∠ABC=180°-∠CBE =140°． 当点E在线段CD上，且DB=DE时，如图， ∴∠DBE=∠EBD==70°， ∴∠CBE=80°-∠EBD=10°， ∴∠ABC=180°-∠CBE =170°． 故答案为：80或140或170． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和． 13. 如图，在边长为6的等边三角形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得到，延长交线段于点．若，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先由垂线可得若干直角三角形，即，，，，，利用特殊角，以及勾股定理可求解每个直角三角形中的边长，再设出未知数，在中使用勾股定理建立等式即可求解． 【详解】解：连接，过点D作于点O，过点G作于点K，过点G作于点H，如图： 因为是等边三角形，边长为6，D是中点， 所以，， 在中，，， ∴ 所以，， 在中，，， 所以同理，， 在中，，， 由勾股定理可得， 又因为沿翻折得到， 所以，，， 在中，，， 在中，，， 由勾股定理可得， 所以， 设， 则有， 则， 在中，，，， 由勾股定理可知，，即， 整理得， 即，解得， 即． 故答案：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、图形的翻折以及勾股定理，需注意图形在翻折的过程中，边的长度与角的大小折叠前后都不变，通过作辅助线得到若干直角三角形，再根据勾股定理将各边长计算出来，设出未知数在直角三角形中建立等式是解决本题的关键． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，不等式的所有整数解为0，1，2，3 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，先分别算出每个不等式解集，再求出它们公共部分的解集，最后写出它的所有整数解，即可作答． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 则不等式的所有整数解为0，1，2，3． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先算括号里的，再算除法，最后把代入进行求解即可得． 【详解】解： 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题的关键是正确化简分式． 16. 用无刻度直尺和圆规作图：如图，已知，求作：边上的高．小明的作图步骤如下，请补全作图步骤，并按照步骤作图．（注：作图时先用铅笔作图，再用黑笔描黑．） 步骤1：延长，任取一点，使点与点在延长线的两旁； 步骤2：以的长为半径作弧，交延长线于点和点； 步骤3：分别以_____，_____为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点（不与点重合）； 步骤4：连接，交的延长线于点，即为所求． 【答案】点P，点Q，图见解析 【解析】 【分析】此题考查了垂线的作图，熟练掌握作图方法是关键．根据过直线外一点作直线的垂线的方法进行作图即可． 【详解】解：步骤1：延长，任取一点，使点与点在延长线的两旁； 步骤2：以的长为半径作弧，交延长线于点和点； 步骤3：分别以点P，点Q为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点（不与点重合）； 步骤4：连接，交的延长线于点，即为所求． 17. 深圳市高速公路收费站在早高峰期间，人工收费通道和通道同时开放．已知通道每小时通过的车辆数是人工收费通道的倍，通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时． （1）求人工收费通道和通道每小时分别通过多少辆车？ （2）如果高速收费站一共有10条收费通道，请问至少要开通多少条通道才能在早高峰2个小时的时间段内通过5000辆车？ 【答案】（1）人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． （2）至少要开通8条通道 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车，根据通过600辆车时，通道比人工收费通道少用3小时建立方程求解即可； （2）设开条通道，则开条人工收费通道，根据2个小时的时间段内要至少通过5000辆车建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设人工收费通道每小时通过辆车，则通道每小时通过辆车． 根据题意得：， 解得：， 经检验：是分式方程的根，且符合题意， ∴， 答：人工收费通道每小时通过120辆车，通道每小时通过300辆车． 【小问2详解】 解：设开条通道，则开条人工收费通道． 根据题意得： 解得：． ∵为整数， ∴的最小值是8． 答：至少要开通8条通道． 18. 先阅读下列材料，再解答下列问题： 因式分解：． 解：将“”看成整体，设，则原式． 再将代入，得原式． 归纳总结：把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． （1）下面是小明同学用“换元法”对多项式进行因式分解的过程，请将分解过程补充完整． 解：设． 原式=（_______）（_______） 将代入，得原式_____． （2）请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】（1），；；； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了换元法因式分解，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练掌握换元思想是解题的关键． （）设，然后代入通过因式分解即可求解； （）设，则，然后代入即可求解． 【小问1详解】 解：设， 原式 将代入， 得原式， 故答案为：，；；； 【小问2详解】 解：设， 原式 ， 将代入， 得原式 ． 19. 如图1，在四边形中，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）在（1）的条件下，如图2，若为边上一点，为边上的中点，连结，，，若，证明． （3）在（1）的条件下，若为边上的中点，为边上的一点，连结，，，若，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，等量代换，得到，进而得到，即可得证； （2）延长，，交于点，证明，得到，，进而得到垂直平分，得到，再根据线段的和差关系即可得出结论； （3）延长，，交于点，证明，得到，，证明垂直平分，再根据线段的和差关系即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 延长，，交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴． 【小问3详解】 延长，，交于点， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴． 20. 如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点． 【问题解决】 （1）若，，则_____． 【猜想证明】 （2）当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论?（用含有的式子表示） 【拓展提高】 （3）若把截去，得到四边形，如图②，猜想、、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）不变化， （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和，以及三角形的外角和的性质，熟练掌握三角形的内角和可用于计算未知角的度数，根据得到的相关角的数量关系是推导角度等式的基础． （1）根据角平分线的性质可得与，再根据三角形的外角和即可求解． （2）根据角平分线性质可得与，再根据三角形的外角和即可求解． （3）先由三角形的内角和可得与和的数量关系，再由第二问的结论，等量代换可得、、的数量关系． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ， 平分，平分， ，， ． 【小问2详解】 解：不变化 理由如下： 平分，， 平分，， ， 即． 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图，延长、交于点A， ， ， 由（2）可得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $