小小设计师（导学案）2026-2027学年五年级上册数学北师大版

该小学数学导学案围绕“密铺”展开，引导学生理解密铺“无空隙、不重叠”的含义，通过欣赏埃舍尔艺术作品联系生活实例，从观察发现到探究三角形、四边形密铺原理，搭建从生活到数学的学习支架。 以艺术情境激发兴趣，融合数学与审美，通过动手拼接、切割平移实践，培养几何直观与空间观念，评价量规与分享交流促进合作反思，发展创新意识与应用能力，助力学生用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界。

综合与实践 · 小小设计师 导学案 一、学习目标 1. 【数学眼光】理解"密铺"的含义——无空隙、不重叠；能判断基本图形能否密铺。 2. 【数学思维】探索三角形、四边形密铺的数学原理——拼接点内角之和等于360°。 3. 【数学实践】模仿埃舍尔的设计方法，运用切割、平移等图形变换设计密铺作品。 4. 【审美创造】感受密铺的数学之美与艺术之美，在展示交流中学会欣赏与改进。 二、学习重难点 教学重点 ① 理解"密铺"的基本含义，能列举生活中的密铺实例； ② 探索能密铺的图形特征——拼接点内角和=360°； ③ 运用切割平移法设计简单的密铺图案。 教学难点 ① 理解"正五边形不能密铺"的数学原因（108°×3≠360°）； ② 将基本图形通过切割、平移变换成能密铺的新图形； ③ 在实践中确保每次图形变换的一致性。 三、欣赏与发现（P31） 【知识链接】荷兰艺术家 M.C.埃舍尔以数学般的精确刻画了飞马、鱼、鸟等密铺图案，被称为"数学的艺术"。 1. 阅读课本第31页，什么是"密铺"？ 密铺是指：用相同或不同的图形铺满一个平面，图形之间______、______。 2. 观察埃舍尔的飞马密铺作品，你发现了什么规律？ ① 飞马之间是否留有空隙？______ ② 飞马是否重叠？______ ③ 这些飞马的形状完全相同吗？______ 3. 想一想：生活中哪些地方用到了密铺？请写出至少3个例子。 ① ________________ ② ________________ ③ ________________ 四、探究活动一：寻找密铺图形（P32） 【核心问题】哪些图形可以密铺？为什么？ 1. 三角形能密铺吗？ 用手中的等边三角形纸片或在下面的方格纸上尝试密铺。 观察拼接点：几个三角形拼于一点？这些角的和是多少度？ 拼接点处有______个角，角的总和 = ______° 结论：三角形______密铺。（能/不能） 2. 四边形能密铺吗？ 用手中的四边形纸片或在下面方格纸上试拼。把四个角标上序号 ∠1-∠4。 拼在一起的四个角分别是：______° + ______° + ______° + ______° 和 = ______° 结论：四边形______密铺。（能/不能） 3. 正五边形能密铺吗？ (1) 正五边形每个内角 = ______° (2) 拼于一点：______° × ______ = ______° (3) 这个和等于360°吗？______ 结论：正五边形______密铺。（能/不能） 4. ★ 我的发现——密铺的数学原理 拼接点处各内角之和 = ______°即可密铺。 五、探究活动二：飞马图形切割平移法（P31/P33） 1. 课本中飞马的制作步骤填空： 步骤一：把一个______（或其他能密铺的基本图形）画在纸上。 步骤二：从图形的一边"切割"出一个形状。 步骤三：把切出的部分______到对边。 步骤四：在上边切一个形状，______到下边。 步骤五：在上一步得到的图形上添加细节，就变成了飞马。 2. 为什么"每次变换要一样"？（在下面方格纸上试一试两种不同变换的效果） 六、动手设计——我是小小设计师（P33） 现在轮到你了！请按照步骤在下面的方格纸上设计一幅属于自己的密铺作品。 【第1步】选择基本图形（在□里打✓） □ 正方形 □ 长方形 □ 三角形 □ 平行四边形 □ 自己选：______ 【第2步】设计图形变换方案（填空） 我的基本图形是：____________ 我切割的方向（上/下/左/右）：____________ 平移到对边：____________ → ____________ 另一组对边是否做变换？____________ 【第3步】在下面的方格纸上设计密铺图案 【第4步】给作品添加创意细节 我的基本图形经过变换后像什么？____________________ 我给它取的名字：____________________ 【备用方格纸——可用于重新设计或测试另一种方案】 七、分享与评价（P34） 作品完成后，在小组内展示交流，完成以下评价量规。 【评价量规】请根据实际情况给自己打★（1-5颗★） 评价维度 评价标准 自评 探索密铺 能理解密铺的含义与数学原理 ★★★★★ 图形知识 能用切割平移法设计变换方案 ★★★★★ 模仿设计 能模仿埃舍尔方法完成作品 ★★★★★ 合作交流 能与同学分享思路并听取建议 ★★★★★ 吸收改进 能根据评价改进作品 ★★★★★ 【交流讨论】 1. 你最欣赏小组内谁的什么作品？为什么？ 2. 你的作品是通过怎样的图形变换得到密铺的？ 3. 你的作品还有哪些可以改进的地方？ 八、拓展延伸 1. 蜂巢六边形——正六边形能密铺吗？ 正六边形每个内角 = ______° 计算：______° × ______ = ______°，等于360°吗？______ 结论：正六边形______密铺。（能/不能） 2. 你还想研究什么问题？写下来。 参考答案 P31 欣赏与发现 1. 无空隙、不重叠 2. ①无空隙 ②不重叠 ③完全相同（形状大小相同） 3. 示例：地板砖、墙纸、蜂巢、马赛克、棋盘格、地砖 P32 寻找密铺图形 1. 三角形能密铺。拼接点6个角，角总和=180°×2=360° 2. 四边形能密铺。四内角和=360°。任意四边形都能密铺。 3. 正五边形每个内角=108°，108°×3=324°≠360°，不能密铺 4. 密铺原理：拼接点处各内角之和=360° P31/P33 飞马切割平移法 1. 步骤一：正方形；步骤三：平移；步骤四：平移 拓展延伸 1. 正六边形内角=120°，120°×3=360°=360°，能密铺 2-3. 开放性答案 学科网（北京）股份有限公司 $