综合实践 小小设计师 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学北师大版五年级上册（新教材）

综合实践 小小设计师 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、密铺的定义与核心原理 1 1. 什么是密铺 1 2. 密铺的核心原理 1 3. 密铺的边长要求 1 二、常见平面图形的密铺情况 2 1. 单独一种正多边形的密铺 2 2. 任意三角形与四边形的密铺 2 3. 组合图形的密铺 2 三、易错点总结 2 考点讲练 3 考点一：图形的密铺 3 综合训练 6 知识梳理 一、密铺的定义与核心原理 1. 什么是密铺 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的密铺，也称为平面图形的镶嵌。 两个关键特征：无空隙、不重叠，二者缺一不可。 生活中的密铺：地砖、墙面瓷砖、蜂巢等都是密铺在生活中的实际应用。 2. 密铺的核心原理 图形能够密铺的本质条件：在拼接点处，几个图形的内角加起来的和正好等于 360°（一个周角）。 原理说明：只有拼接点处角度和恰好为 360°，才能保证既不会出现空隙，也不会发生重叠，进而铺满整个平面。 3. 密铺的边长要求 参与密铺的图形，相邻拼接的边长度必须相等，才能保证边与边完全对齐，实现无缝拼接。 二、常见平面图形的密铺情况 1. 单独一种正多边形的密铺 正多边形所有内角都相等，只有当单个内角度数能整除 360° 时，才能单独完成密铺。 正三角形：每个内角 60°，，6 个正三角形可以在一个拼接点处拼满 360°，可以单独密铺。 正方形：每个内角 90°，，4 个正方形可以在一个拼接点处拼满 360°，可以单独密铺。 正六边形：每个内角 120°，，3 个正六边形可以在一个拼接点处拼满 360°，可以单独密铺。 正五边形：每个内角 108°，不能得到整数，3 个正五边形拼起来是 324°，有空隙；4 个拼起来是 432°，会重叠，不能单独密铺。 结论：只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形可以单独密铺。 2. 任意三角形与四边形的密铺 任意三角形：三角形内角和为 180°，把 6 个完全相同的三角形的不同内角拼在同一个点，角度和为，因此所有形状、大小相同的三角形都可以密铺。 任意四边形：四边形内角和为 360°，把 4 个完全相同的四边形的不同内角拼在同一个点，角度和正好是 360°，因此所有形状、大小相同的四边形都可以密铺（包括梯形、平行四边形等）。 3. 组合图形的密铺 用两种或多种不同的平面图形组合，只要满足拼接点处所有内角的和等于 360°，也可以实现密铺。 常见组合：正三角形与正方形组合、正八边形与正方形组合、正三角形与正六边形组合等。 示例：正八边形每个内角 135°，两个正八边形的内角加一个正方形的内角：，因此正八边形和正方形可以组合密铺。 三、易错点总结 误认为所有正多边形都能单独密铺，只有正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺，正五边形等都不行。 误以为只有正多边形才能密铺，任意完全相同的三角形、四边形都可以密铺。 混淆密铺的判断标准：不是看图形内角和，而是看拼接点处的内角和是否为 360°。 判断组合密铺时，只关注图形形状，忽略计算拼接点的角度总和，导致判断错误。 误认为圆可以密铺：圆是曲线图形，拼接时必然有空隙，不能密铺。 考点讲练 考点一：图形的密铺 【典例精讲】仔细观察如图的图案，它是由( )、( )、( )拼接组成的；它们组合到一起能否继续密铺下去？( )（填“能”或“否”） 【答案】 等边三角形 正方形 正六边形 能 【分析】等边三角形：三条边都相等，三个角都相等；正方形：四条边都相等，四个角都是直角；正六边形：六条边都相等，六个角都相等。图形之间没有缝隙也不重复，叫做密铺，依此解答。 【详解】仔细观察如图的图案，它是由等边三角形、正方形、正六边形拼接组成的（先后顺序不唯一）；它们组合到一起能否继续密铺下去？能。 【变式训练】同一种图形拼在一起，是密铺的在方框里画“√”，不是的画“×”。 ( )           ( )           ( )            ( ) 【答案】 √ × √ × 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种图形，在平面上没有空隙，又不重叠地满铺。 【详解】通过观察： 图①中的各个六边形之间没有空隙，又不重叠，是密铺； 图②中的五边形之间不重叠，但有空隙，所以不是密铺； 图③中的每个平行四边形之间没有空隙，也不重叠，所以是密铺； 图④中的每个圆之间不重叠，但有空隙，所以不是密铺。 所以①√；②×；③√；④× 【变式训练】下面哪些图形可以密铺平面？在能密铺的图形下面的括号里打“√”。 【答案】 【解析】略 【变式训练】淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 【答案】（1）剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张 （2）锐角；钝角；直角 （3）两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【分析】（1）等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺，再根据第三步下面的图，提出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形能否密铺呢，剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 （2）通过观察第三步的图可知，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形都能密铺。 （3）结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【详解】淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），因此，任意三角形同样具备密铺的能力。 综合训练 1．下面哪个图形不能密铺？（    ） A．长方形 B．正方形 C．梯形 D．正五边形 【答案】D 【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌。 【详解】A．长方形的每个内角都是90°，能整除360°，能密铺； B．正方形同长方形； C．两个相同的梯形4个内角围成360°的角，能密铺； D．正五边形每个内角是180°－360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺。 故答案为：D 【点睛】本题是考查图形的密铺，在平面镶嵌时必须满足密铺，即几个内角合起来必须为360°，而正多边形的每个内角相等，所以必须满足正多边形的一个内角能整除360°。经常见到的图形圆、正五边形不具备这一特征，不能密铺。 2．下面的图形能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成－个周角。360°为正多边形一个内角的整数倍才能单独镶嵌，据此选择。 【详解】 A. ，圆形不能密铺。     B.     ，正五边形每个内角是180°，360°÷5＝108°，不能整除360°，不能密铺； C.     ，四个内角之和是360°，可以密铺。 D． ，正八边形每个内角是135°，360不是135的整倍数，不能密铺。 故选择：C 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案。 3．密铺平面是由（       ）种多边形组成的． A．1 B．2 C．3 D．一种或一种以上 【答案】D 【详解】略 4．下面不能密铺的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片． 能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合．圆、正五边形等就不具备这样的特点。 【详解】根据密铺的特点，在平行四边形、三角形、正六边形和圆中，圆不能密铺。 故答案为：D 【点睛】此题考查了平面镶嵌（密铺）问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）。 5．完全一样的图形不能密铺的是（    ）。 A．正三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】几何图形密铺的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角；因此，一个多边形的内角和能够整除360°或是被360°整除，这样的多边形才能密铺。利用内角和公式＝（边长－2）×180°，求出内角和，再进行判断即可。 【详解】A．正三角形内角和是180°，能被360°整除，可以密铺。 B．（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 平行四边形可以密铺。 C．（5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 540°不是360°的整数倍，正五边形不能密铺。 D．（6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 720°是360°的整数倍，正六边形能密铺。 完全一样的图形不能密铺的是正五边形。 故答案为：C 6．下面平面图形中，能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密铺的关键是：围绕一点拼在一起的多边形内角和加在一起正好是一个周角，1周角＝360°。 A．根据多边形内角和＝180°×（多边形的边数－2），计算出这个五边形的内角和，再用内角和除以360，若无余数，则可以密铺，否则不能密铺。 B．几个拼在一起，中间有间隙，所以不能密铺。 C．根据多边形内角和的公式，代入数据，计算出内角和，再用这个和除以360，若无余数，则可以密铺，否则不能密铺。 D．将几个拼在一起，图形上面曲线部分会有空隙，所以不能密铺。 【详解】 A．5－2＝3，180°×3＝540°，540°÷360°＝1……180°，，不能密铺； B．，不能密铺； C．4－2＝2，180°×2＝360°，360°÷360°＝1，能密铺； D．，不能密铺； 故答案为：C 7．奇思家装修厨房，计划用同一种形状的瓷砖铺地面。下列图形中不能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺。常见的可单独密铺的图形有： 1、任意三角形、任意四边形都可以密铺。 2、正三角形、正四边形、正六边形可以单独用于平移密铺。 3、三对对应边平行的六边形可以单独密铺。 【详解】根据密铺的特点及常见的可密铺的图形可知，正五边形不能密铺。 故答案为：B 8．图形之间没有( )，也不( )，是密铺。 【答案】 空隙 重叠 【分析】密铺的概念：用一种或几种图形覆盖平面，图形之间既没有空隙，也不重叠。 【详解】图形之间没有空隙，也不重叠，是密铺。 9．下图中有( )个图形可以密铺。 【答案】4 【分析】平面图形密铺的要求是：拼接处的内角和恰好等于360°，且拼接后不留空隙、不重叠，逐个判断即可。 【详解】长方形：每个内角为 90°，4个内角和刚好为360°，可以密铺； 梯形：属于四边形，四边形内角和为360°，可以密铺； 正六边形：每个内角为120°，3个内角和刚好为360°，可以密铺； 正三角形：每个内角为 60°，6个内角和刚好为360°，可以密铺； 正五边形：每个内角为108°，无论几个都无法凑出 360° ，不能密铺； 圆形：拼接后会有空隙，不能密铺。 综上，一共有4个图形可以密铺。 10．下面图形可以密铺吗？可以的在括号里画“√”，不可以的在括号里画“×”。 ( )  ( )  ( )  ( ) 【答案】 √ √ √ × 【分析】平面图形能密铺的条件是：围绕一点拼在一起的多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角。由此可知，判断图形能否密铺，看图形的内角和是否是360°；单一正多边形密铺，需满足正多边形的单个内角能整除 360°。 【详解】 等边三角形的每个内角都是60°，360°÷60°＝6，能整除，可以密铺； 平行四边形的内角和是360°，可以密铺； 长方形的内角和是360°，可以密铺； 正八边形的内角和是（8－2）×180°＝6×180°＝1080°，每个内角是1080°÷8＝135°，360°÷135°≈2.7，不能整除，所以不能密铺。 填空如下： 11．下面哪些是密铺？画“√”。 （    ）        （    ）     （    ）      （    ）      （    ）     （    ） 从上面可以看出：相同的（    ）、（    ）、（    ）和（    ）能密铺，密铺拼接处的角的度数和是（    ）°，（    ）和（    ）不能密铺。 【答案】（√）（√）（    ）（√）（√）（    ）； 平行四边形；梯形；正六边形；三角形；360；正五边形；圆 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断图形能否密铺，关键看拼接处几个角的度数和是否为360°。 【详解】平行四边形：内角和为360°，每个内角可通过拼接使和为360°，能密铺。   梯形：内角和为360°，同样可通过拼接满足密铺条件，能密铺。   正五边形：每个内角约108°，，，无法拼成360°，不能密铺。   正六边形：每个内角为120°，3个120°相加为360°（），能密铺。    三角形：内角和180°，6个三角形的6个内角可拼成360°，能密铺。    圆：边缘是曲线，拼接时会有空隙，不能密铺。     答：根据密铺的定义和上述分析，①、②、④、⑤能密铺。 从上面可以看出：相同的平行四边形、梯形、正六边形和三角形能密铺，密铺拼接处的角的度数和是360°，正五边形和圆不能密铺。 12．密铺。 (1)如图，正五边形( )密铺。（填“能”或“不能”） (2)因为正五边形每个内角是108°，108°×3＝324°，拼接处不是( )°。 【答案】(1)不能 (2)360 【分析】根据密铺的知识，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。 密铺的图形公共顶点处所有角的度数合起来正好是360° 【详解】（1）根据图形可以发现，图形拼接处有空隙，正五边形不能密铺。 （2）108°×3＝324°，拼接处不是360°，所以不能密铺。 【点睛】本题考查平面密铺的知识，注意掌握只用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案。任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°。 13．三角形( )密铺，正五边形( )密铺。（填“能”或者“不能”） 【答案】 能 不能 【分析】密铺是指：一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，密铺的图形的公共顶点处的角的度数之和正好是360°；据此解答。 【详解】根据分析，三角形的内角和是180°，因此，若干个完全相同的三角形的某个角拼在一起，可以是360°，能密铺；正五边形的每个内角都是108°，而360°不是108°的整数倍，在每个拼接点处的内角不能保证没有空隙或没有重叠现象，所以不能密铺。 【点睛】本题考查的是平面密铺的知识，正三角形、正四边形、正六边形可以单独用于平移密铺，除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不能密铺。 14．下图是由正六边形密铺而成的，黑色正六边形周围第一层有6个白色正六边形，第二层有( )个正六边形，第十二层有( )个正六边形。 【答案】 12 72 【分析】通过观察可知，黑色正六边形周围第一层有6×1＝6个白色正六边形，第二层有6×2＝12个白色正六边形，第三层有6×3＝18个白色正六边形，……，第n层有6×n＝6n个白色正六边形。 【详解】6×2＝12（个） 6×12＝72（个） 【点睛】本题主要考查学生的观察和分析能力，找出白色正六边形个数与层数的关系是解答本题的关键。 15．请你数一数在图中空白处一共少了____个六边形。 【答案】11 【分析】根据图形的排列规律，画一画，数一数，即可得出结论。 【详解】如图： 4＋4＋3 ＝8＋3 ＝11（个） 【点睛】本题主要考查图形的拼组，关键培养学生的动手操作能力和观察能力，解答此题应按一定的顺序进行数，做到不重复、不遗漏。 16．下列图形可以密铺的有( )。 【答案】①、④、⑤ 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角和除以360°没有余数或者360°除以一个多边形的内角和没有余数，这样的多边形能密铺。 【详解】①长方形的内角和是360°，360°÷360°＝1，长方形可以密铺。 ②圆不能密铺。 ③正五边形的内角和是540°，540°÷360°＝1……180°，正五边形不能密铺。 ④正六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，正六边形不能密铺。 ⑤平行四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，正六边形能密铺。 下列图形可以密铺的有①、④、⑤。 17．给出下列四种图形：矩形、线段、正五边形、正六边形．从对称性角度分析，其中与众不同的一种图形是( )，不能单独密铺地面的多边形是( )． 【答案】 正五边形 正五边形 【详解】略 18．如图是一个4×4的方格，能否用4个形方块（可以旋转）恰好覆盖？    【答案】能，图见详解 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。据此并结合图进行填补即可。 【详解】    一个4×4的方格，用4个形方块（可以旋转）恰好覆盖。 【点睛】此题考查的是图形的密铺。 19．如图的正方形是由4个完全相同的图形密铺成的，请你画一画，看你能画出多少种情况。 【答案】见详解 【分析】（1）可以有4个相同的正方形密铺； （2）可以用4个相同的长方形密铺； （3）可用4个相同的三角形密铺； （4）可用4个相同的梯形密铺。 【详解】根据分析画图如下： 【点睛】像这样把一种或几种平面图形既无空隙，又不重叠地铺在平面上，这种铺法，数学上称它为“密”。 20．请你设计一种图形，使它们能够密铺平面。 【答案】见详解 【分析】密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。 【详解】 【点睛】熟练掌握密铺的定义是解题关键。 21．下图是正五边形，每个内角都是108°，它可以密铺吗？请说明理由。 【答案】不可以密铺。理由：不存在整数个相加恰好等于，拼接时会出现空隙或重叠，正五边形不能密铺。 【分析】根据密铺的知识，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。在拼接的公共顶点处，若干个图形内角相加的和必须恰好等于。若无法凑出，则该图形不能单独密铺。 已知正五边形每个内角为，我们只需看几个相加能刚好等于，即可判断能否密铺。 【详解】密铺要求拼接点处内角总和为。 , 不存在整数个相加恰好等于，拼接时会出现空隙或重叠，正五边形不能密铺。 22．下面的两幅图，哪一幅是密铺？为什么？ ‍        ‍ 【答案】第一幅是密铺，第二幅不是密铺。理由见详解 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。据此解答。 【详解】第一幅是密铺，第二幅不是密铺。理由：因为第一幅图中图形之间既不留空隙，也不重叠地铺满，而第二副图中，图形之间重叠，不是密铺。 【点睛】本题考查平面图形密铺的特点，需熟练掌握。 23．笑笑同学设计了如下四种形状的地砖。 A． B． C． D． （1）能够进行密铺的地砖形状是（ ）。 （2）请你将密铺后的示意图画在右边方框里。 【答案】（1）A、C、D； （2）见详解 【分析】（1）用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。任何弧线图形不能密铺；除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不可以密铺平面；所有任意三角形与任意四边形都可以密铺。 （2）观察地砖的形状，先铺一铺，看平铺时砖块之间是否有空隙或砖块是否重叠，把密铺后的图形画在方框里即可。 【详解】（1）能够进行密铺的地砖形状是（A、C、D）。 （2）如图： 【点睛】本题考查平面图形的密铺。根据密铺的意义，掌握常见的密铺图形和不能密铺的图形种类是解题的关键。 24．在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角，它们与这种四边形的内角又有什么关系？ 【答案】每个拼接点处有4个角。它们几个角之和等于四边形的内角和360°。 【解析】略 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合实践 小小设计师 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、密铺的定义与核心原理 1 1. 什么是密铺 1 2. 密铺的核心原理 1 3. 密铺的边长要求 2 二、常见平面图形的密铺情况 2 1. 单独一种正多边形的密铺 2 2. 任意三角形与四边形的密铺 2 3. 组合图形的密铺 2 三、易错点总结 3 考点讲练 3 考点一：图形的密铺 3 综合训练 4 知识梳理 一、密铺的定义与核心原理 1. 什么是密铺 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫做平面图形的密铺，也称为平面图形的镶嵌。 两个关键特征：无空隙、不重叠，二者缺一不可。 生活中的密铺：地砖、墙面瓷砖、蜂巢等都是密铺在生活中的实际应用。 2. 密铺的核心原理 图形能够密铺的本质条件：在拼接点处，几个图形的内角加起来的和正好等于 360°（一个周角）。 原理说明：只有拼接点处角度和恰好为 360°，才能保证既不会出现空隙，也不会发生重叠，进而铺满整个平面。 3. 密铺的边长要求 参与密铺的图形，相邻拼接的边长度必须相等，才能保证边与边完全对齐，实现无缝拼接。 二、常见平面图形的密铺情况 1. 单独一种正多边形的密铺 正多边形所有内角都相等，只有当单个内角度数能整除 360° 时，才能单独完成密铺。 正三角形：每个内角 60°，，6 个正三角形可以在一个拼接点处拼满 360°，可以单独密铺。 正方形：每个内角 90°，，4 个正方形可以在一个拼接点处拼满 360°，可以单独密铺。 正六边形：每个内角 120°，，3 个正六边形可以在一个拼接点处拼满 360°，可以单独密铺。 正五边形：每个内角 108°，不能得到整数，3 个正五边形拼起来是 324°，有空隙；4 个拼起来是 432°，会重叠，不能单独密铺。 结论：只有正三角形、正方形、正六边形这三种正多边形可以单独密铺。 2. 任意三角形与四边形的密铺 任意三角形：三角形内角和为 180°，把 6 个完全相同的三角形的不同内角拼在同一个点，角度和为，因此所有形状、大小相同的三角形都可以密铺。 任意四边形：四边形内角和为 360°，把 4 个完全相同的四边形的不同内角拼在同一个点，角度和正好是 360°，因此所有形状、大小相同的四边形都可以密铺（包括梯形、平行四边形等）。 3. 组合图形的密铺 用两种或多种不同的平面图形组合，只要满足拼接点处所有内角的和等于 360°，也可以实现密铺。 常见组合：正三角形与正方形组合、正八边形与正方形组合、正三角形与正六边形组合等。 示例：正八边形每个内角 135°，两个正八边形的内角加一个正方形的内角：，因此正八边形和正方形可以组合密铺。 三、易错点总结 误认为所有正多边形都能单独密铺，只有正三角形、正方形、正六边形可以单独密铺，正五边形等都不行。 误以为只有正多边形才能密铺，任意完全相同的三角形、四边形都可以密铺。 混淆密铺的判断标准：不是看图形内角和，而是看拼接点处的内角和是否为 360°。 判断组合密铺时，只关注图形形状，忽略计算拼接点的角度总和，导致判断错误。 误认为圆可以密铺：圆是曲线图形，拼接时必然有空隙，不能密铺。 考点讲练 考点一：图形的密铺 【典例精讲】仔细观察如图的图案，它是由( )、( )、( )拼接组成的；它们组合到一起能否继续密铺下去？( )（填“能”或“否”） 【变式训练】同一种图形拼在一起，是密铺的在方框里画“√”，不是的画“×”。 ( )           ( )           ( )            ( ) 【变式训练】下面哪些图形可以密铺平面？在能密铺的图形下面的括号里打“√”。 【变式训练】淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 综合训练 1．下面哪个图形不能密铺？（    ） A．长方形 B．正方形 C．梯形 D．正五边形 2．下面的图形能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 3．密铺平面是由（       ）种多边形组成的． A．1 B．2 C．3 D．一种或一种以上 4．下面不能密铺的图形是（    ）。 A． B． C． D． 5．完全一样的图形不能密铺的是（    ）。 A．正三角形 B．平行四边形 C．正五边形 D．正六边形 6．下面平面图形中，能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 7．奇思家装修厨房，计划用同一种形状的瓷砖铺地面。下列图形中不能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 8．图形之间没有( )，也不( )，是密铺。 9．下图中有( )个图形可以密铺。 10．下面图形可以密铺吗？可以的在括号里画“√”，不可以的在括号里画“×”。 ( )  ( )  ( )  ( ) 11．下面哪些是密铺？画“√”。 （    ）        （    ）     （    ）      （    ）      （    ）     （    ） 从上面可以看出：相同的（    ）、（    ）、（    ）和（    ）能密铺，密铺拼接处的角的度数和是（    ）°，（    ）和（    ）不能密铺。 12．密铺。 (1)如图，正五边形( )密铺。（填“能”或“不能”） (2)因为正五边形每个内角是108°，108°×3＝324°，拼接处不是( )°。 13．三角形( )密铺，正五边形( )密铺。（填“能”或者“不能”） 14．下图是由正六边形密铺而成的，黑色正六边形周围第一层有6个白色正六边形，第二层有( )个正六边形，第十二层有( )个正六边形。 15．请你数一数在图中空白处一共少了____个六边形。 16．下列图形可以密铺的有( )。 17．给出下列四种图形：矩形、线段、正五边形、正六边形．从对称性角度分析，其中与众不同的一种图形是( )，不能单独密铺地面的多边形是( )． 18．如图是一个4×4的方格，能否用4个形方块（可以旋转）恰好覆盖？    19．如图的正方形是由4个完全相同的图形密铺成的，请你画一画，看你能画出多少种情况。 20．请你设计一种图形，使它们能够密铺平面。 21．下图是正五边形，每个内角都是108°，它可以密铺吗？请说明理由。 22．下面的两幅图，哪一幅是密铺？为什么？ ‍        ‍ 23．笑笑同学设计了如下四种形状的地砖。 A． B． C． D． （1）能够进行密铺的地砖形状是（ ）。 （2）请你将密铺后的示意图画在右边方框里。 24．在用四边形密铺的图案中，观察每个拼接点处有几个角，它们与这种四边形的内角又有什么关系？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $