甘肃陇南市成县第一中学、第二中学、成州中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年成县三校高二期末数学试卷，以“和谐集”抽象概念、“等腰四面体”空间几何等创新情境，融合集合、向量、概率统计等知识，考查数学抽象、空间观念与数据意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合新定义、向量共线、复数|以“和谐集”考查抽象能力，基础与创新结合| |多选题|3/18|统计量、抛物线与圆、双曲线|结合圆与抛物线位置关系，体现逻辑推理| |填空题|3/15|抛物线准线、函数图像、传球概率|传球概率问题渗透数据观念| |解答题|5/77|解三角形、立体几何、概率分布、函数切线|“等腰四面体”综合考查空间想象与论证，家庭套餐概率体现应用意识|

参考答案 1．答案：C 解析：对于①，存在，满足是有限集，也满足是“和谐集”，故①是真命题； 对于②，当时，对于，，，，总有，，，，所以且，即满足“和谐集”，故②是真命题； 对于③，若，都是“和谐集”，则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③是真命题； 对于④，存在“和谐集”，，此时，故④是假命题.故选C. 2．答案：A 解析：由向量，，， 可得，， 因为A，B，D三点共线，则存在实数，满足， 即，可得，解得. 故选：A. 3．答案：B 解析：首先根据共轭复数的定义，可得， ， 因为该复数为实数，故其虚部为0，且恒成立， 因此，解得. 故选：B. 4．答案：C 解析：因为数列是等差数列，所以， 所以. 5．答案：C 解析：绕较长的底旋转一周得到的几何体是粮仓形，下面是底面半径为4，高为2的圆柱，上面是底面半径为4，高为3的圆锥， 所以，所得几何体的体积为. 6．答案：D 解析：若5个花池栽了5种颜色的花卉，则栽种方案有种.若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2，4两个花池或3，5两个花池栽同一种颜色的花，栽种方案有种.若5个花池栽了3种颜色的花卉，则栽种方案有种.综上，不同的栽种方案有（种）.故选D. 7．答案：C 解析：函数的定义域为, 则对任意的恒成立, 所以,函数在上为增函数, 由可得,解得或, 因此,不等式的解集为. 8．答案：C 解析：因为， 所以， 所以. 9．答案：AB 解析：由题知,该组样本数据的极差为,A正确; 平均数为,B正确; 因为,故第60百分位数为第4个数据8,C错误; 方差:, 标准差:,D错误. 10．答案：BCD 解析：A选项,由,故圆心为,A错误； B选项,联立抛物线与圆消去y得, 解得或1,当时,,不合要求,舍去； 当时,,解得,即,则,B正确； C选项,抛物线的准线为,圆心到的距离为2,等于圆的半径, 故抛物线的准线与圆相切,C正确； D选项,抛物线焦点坐标为,此时直线过圆的圆心,则与圆一定相交,D正确. 11．答案：ACD 解析：如图,连接, 由题意知直线l的方程为,即, 直线l与双曲线C的渐近线平行, 所以, 则,, 联立方程,解得,即, 对于A,因为以为直径的圆经过点Q,则, 因为,, 所以, 解得,则C的离心率,所以A正确； 对于B,因为以为直径的圆经过点, 则,则,, 所以由双曲线的定义知,可得, 所以C的离心率,所以B不正确； 对于C,若,则为线段的中点,所以, 于是由在双曲线C上,得,即, 解得,所以, 则C的渐近线方程为,所以C正确； 对于D,因为,所以, 由余弦定理的推论得, 即, 解得,因为点不在圆外, 所以,即,解得, 所以C的渐近线的斜率的绝对值不大于1,所以D正确． 故选：ACD． 12．答案：4 解析： 已知抛物线的准线为l，则l的方程为：， 已知点在C上，则， 以P为圆心的圆与l相切，设圆的半径为r，则， 又圆与l相切且截y轴所得的弦长为， ，解得，即， ，解得. 13．答案： 解析：由图可知，函数的单调递增区间为：，，单调递减区间为：，即或；， 又不等式等价为：或， 得或， 所以不等式的解集为. 14．答案： 解析：设n次传球后球在乙手中的概率为，则有， 必有， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， ， 故次传球后球在乙手中的概率为. 15．答案：(1) (2) 解析：(1)在中，由及正弦定理， 得， 则， 而，因此，即，又， 所以. (2)由(1)知，而，由余弦定理， 得，则，当且仅当时取等号， ， 所以的面积S的最大值为. 16．答案：(1)证明见解析(2) 解析：(1)取的中点N,的中点M,连接、, 与为等腰直角三角形且,, 不妨设,.. E、F分别为、的中点, ,,且,. ,,, ,∴四边形为平行四边形, , 平面,平面,平面; (2)平面,以A为原点,、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设,则,,,,, ,,, 设平面的一个法向量为, ,, 取,,,. 设与平面所成角为θ, 则, 即与平面所成角的正弦值为. 17．答案：(1) (2)； (3)有2家选择B产品的概率最大,最大概率为 解析：(1)设“第i次购买A产品”,（）,则“第i次购买B产品”, 由题意, 又为对立事件, 故 ； (2)每家购买A产品概率均为,故, 分布列为 ； (3)设有Y家选择B产品,则,设有k家选择B产品的概率最大, 则, 故可列 即 整理得,又,故,此时= 故有2家选择B产品的概率最大,最大概率为. 18．答案：(1)证明见解析 (2) (3) 解析：(1)连接，，，， 因为，，， 所以，，四边形为平行四边形. 又，，，所以， 所以四边形为菱形，所以. 同理，四边形为菱形，， 又因为四边形为菱形，交于一点， 所以平面. (2)如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系， 设，，，， 由于，，，则 联立三式，可解得：， 已知，，设和形成的夹角为θ，则异面直线和所成角的余弦值等于它们方向向量夹角余弦的绝对值： . 因此异面直线和所成角的余弦值为. (3)由(2)知可将补成长方体，设长宽高分别设为a，b，c， 则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，即， ，，，， 则. 在平面内设，,由，得， 显然， ，, 于是， 所以. 在中，，则为锐角， 因此，即， ， 解得，又， 不妨令，则， ，所以. 因此外接球表面积S的取值范围为. 19．答案：(1)见解析 (2) 解析：(1)证明：，，，， 直线的方程为， 直线的方程为， 联立，解得， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 当时，，所以，又，所以， 所以当时，与的交点位于y轴右侧； (2)由题可知，，，， 则，， 若，则，解得， 设，，则， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以当时，，，当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以b的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2025-2026学年成县第一中学、第二中学、成州中学 高二下学期期末考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1．设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的（a与b可以相等，也可以不相等），且，则称S是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题的个数为(      ) ①存在一个集合S，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A.1 B.2 C.3 D.4 2．已知是，平面内两个不共线向量，，，，若A，B，D三点共线，则k的值为(      ) A.2 B.-3 C.-2 D.3 3．设，，若为实数，则m的值为(      ) A. B. C.2 D.-2 4．已知等差数列的前n项和为，若，则(      ) A.-13 B.-1 C.1 D.13 5．一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为（   ） A. B. C. D. 6．如图，某花坛内有5个花池，现有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两个花池的花色不同，则不同的栽种方案种数为(      ) A.180 B.240 C.360 D.420 7．已知函数,则的解集为(      ) A. B. C. D. 8．已知，则(      ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知一组样本数据:4,5,6,8,9,10,则下列说法正确的是(      ) A.该组样本数据的极差为6 B.该组样本数据的平均数为7 C.该组样本数据的第60百分位数为7 D.该组样本数据的标准差为 10．已知抛物线与圆交于两点,则下列说法正确的是(      ) A.圆心坐标为 B. C.抛物线的准线与圆相切 D.过抛物线焦点的直线与圆相交 11．已知双曲线的左、右焦点分别为,,且,过点且斜率为的直线l交C于点,交C的一条渐近线于点Q,则(      ) A.若以为直径的圆经过点Q,则C的离心率为2 B.若以为直径的圆经过点,则C的离心率为 C.若,则C的渐近线方程为 D.若点不在圆外,则C的渐近线的斜率的绝对值不大于1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线为l，点在C上，以P为圆心的圆与l相切且截y轴所得的弦长为，则____________. 13．已知定义在R上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________. 14．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在乙手中的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（14分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求角C的大小； (2)若边，求的面积S的最大值. 16．（14分）如图,在四棱锥中,与均为等腰直角三角形,,,E为的中点. (1)若F,G分别为,的中点,求证:平面; (2)若平面,,求直线与平面所成角的正弦值. 17．（14分）某儿童乐园提供两种家庭套餐服务产品,人们购买时每次只买其中一种服务,他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为,购买B的概率为.第一次购买A产品的人第二次购买A产品的概率为,购买B产品的概率为.第一次购买B产品的人第二次购买A产品的概率为,购买B产品的概率也是. (1)求某家庭第二次来,购买的是A产品的概率； (2)记第二次来购买产品的6家中有X家购买A产品,求X的分布列,均值和方差. (3)第(2)中的6个家庭中有多少家选择B产品的概率最大,最大概率是多少? 18．（20分）若一个四面体三组对棱分别相等，我们称为 “等腰四面体”. 已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示. (1)求证：平面 ； (2)若，，，求异面直线与所成的角的余弦值； (3)在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线 与H交于M，N两点. P为空间中一点，若四面体为等腰四面体，求其外接球表面积的取值范围. 19．（15分）已知函数，，当时，曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为. (1)当时，求证：与的交点位于y轴右侧； (2)已知，与y轴交于点A，与x轴交于点B，若存在（为自然对数的底数），使得，求b的最大值. ( 第 1 页 共 3 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $