第十二课时-奇偶性-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一

**基本信息** 以“概念理解-性质应用-综合迁移”为路径，通过基础判断、性质应用、综合探究三层设计，系统覆盖奇偶性核心考点，培养数学推理与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|偶函数、奇函数定义及判定|选择题1-4直接考查定义域对称性与f(-x)关系，如判断y=x²奇偶性| |进阶层|奇偶性性质及简单应用|填空题10-12结合参数求解（如f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数求a），渗透性质法| |综合层|奇偶性与单调性综合应用|解答题15需推导分段函数解析式并证明单调性，体现知识迁移能力|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第十二课时 奇偶性 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 偶函数 一般地，设函数 f(x) 的定义域为 D，如果对于 D 中任意一个 x，都有 －x ∈ D，且 f(－x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数（even function）。偶函数的图象关于 y 轴对称。需要注意的是，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。如果函数的定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。常见的偶函数有：y ＝ x²，y ＝ |x|，y ＝ cosx 等。偶函数的判定步骤：①先看定义域是否关于原点对称；②计算 f(－x) 并与 f(x) 比较；③若 f(－x) ＝ f(x) 恒成立，则为偶函数。 考点二 奇函数 一般地，设函数 f(x) 的定义域为 D，如果对于 D 中任意一个 x，都有 －x ∈ D，且 f(－x) ＝ －f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数（odd function）。奇函数的图象关于原点对称。特别地，如果奇函数 f(x) 在 x ＝ 0 处有定义，那么 f(0) ＝ 0。这是因为 f(－0) ＝ －f(0)，即 f(0) ＝ －f(0)，故 f(0) ＝ 0。常见的奇函数有：y ＝ x，y ＝ x³，y ＝ 1/x，y ＝ sinx 等。奇函数的判定步骤与偶函数类似：①先看定义域是否关于原点对称；②计算 f(－x) 并与 －f(x) 比较；③若 f(－x) ＝ －f(x) 恒成立，则为奇函数。 考点三 奇偶性的判定方法 判断函数奇偶性的常用方法有：①定义法，先判断定义域是否关于原点对称，再计算 f(－x) 与 f(x) 或 －f(x) 的关系；②图象法，观察函数图象是否关于 y 轴或原点对称；③性质法，利用已知函数的奇偶性和运算性质判断。需要注意的是：①定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；②若 f(－x) ＝ f(x) 且 f(－x) ＝ －f(x) 同时成立，则 f(x) ＝ 0，此时函数既奇又偶；③既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数；④分段函数的奇偶性需分段验证。 考点四 奇偶性的性质 奇偶性的重要性质包括：①奇函数 ＋ 奇函数 ＝ 奇函数；②偶函数 ＋ 偶函数 ＝ 偶函数；③奇函数 × 奇函数 ＝ 偶函数；④偶函数 × 偶函数 ＝ 偶函数；⑤奇函数 × 偶函数 ＝ 奇函数。这些性质可以简化奇偶性的判断。此外，奇偶性与单调性的关系：①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同（同增或同减）；②偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反（一增一减）。这些性质在解决综合问题时非常有用。 考点五 奇偶性的综合应用 奇偶性的综合应用主要包括：①已知奇偶性求函数解析式，利用 f(－x) ＝ f(x) 或 f(－x) ＝ －f(x) 的关系，由已知区间的解析式求对称区间的解析式；②已知奇偶性求参数值，利用 f(－x) ＝ f(x) 或 f(－x) ＝ －f(x) 恒成立，比较系数确定参数；③奇偶性与单调性结合，利用奇偶性将问题转化到已知单调性的区间上解决；④利用 f(0) ＝ 0 求奇函数中的参数。解题时需注意：①先判断定义域是否关于原点对称；②分段函数需分段讨论；③等号成立的条件需验证。 知识结构思维导图 图1 奇偶性知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列函数中是偶函数的是（ ） A．y ＝ x B．y ＝ x² C．y ＝ 1/x D．y ＝ x³ 2．下列函数中是奇函数的是（ ） A．y ＝ x² B．y ＝ |x| C．y ＝ x ＋ 1 D．y ＝ 1/x 3．函数 f(x) ＝ x³ ＋ x 的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶 D．非奇非偶 4．函数 f(x) ＝ x² ＋ 1（x ∈ [－1, 2]）的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶 D．非奇非偶 5．若 f(x) 是奇函数，且 f(2) ＝ 3，则 f(－2) ＝ （ ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 6．若 f(x) 是偶函数，且 f(－1) ＝ 5，则 f(1) ＝ （ ） A．5 B．－5 C．1 D．－1 7．已知 f(x) ＝ ax³ ＋ bx ＋ 2，f(2) ＝ 10，则 f(－2) ＝ （ ） A．10 B．－10 C．－6 D．6 8．下列函数中，既是奇函数又在(0, ＋∞)上单调递增的是（ ） A．y ＝ x² B．y ＝ 1/x C．y ＝ x³ D．y ＝ －x 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．函数 f(x) ＝ x⁴ ＋ x² 的奇偶性为 ____________。 10．若 f(x) ＝ (x ＋ 1)(x ＋ a) 是偶函数，则实数 a ＝ ____________。 11．已知 f(x) 是奇函数，当 x ＞ 0 时 f(x) ＝ x² ＋ 1，则当 x ＜ 0 时 f(x) ＝ ____________。 12．已知 f(x) ＝ x² ＋ |x ＋ a| 是偶函数，则实数 a ＝ ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）判断下列函数的奇偶性： （1）f(x) ＝ x² ＋ |x|； （2）f(x) ＝ x³ － x； （3）f(x) ＝ x² ＋ x。 14．（14分）已知函数 f(x) ＝ x² ＋ ax ＋ b（a, b ∈ R）。 （1）若 f(x) 是偶函数，求 a 的值； （2）若 f(x) 是偶函数，且 f(1) ＝ 2，求 f(x) 的解析式； （3）在（2）的条件下，求 f(x) 在[－2, 2]上的最大值和最小值。 15．（14分）已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时，f(x) ＝ x² ＋ 2x。 （1）求 f(x) 的解析式； （2）证明 f(x) 在 R 上单调递增； （3）若 f(a) ＞ f(1)，求实数 a 的取值范围。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． D 3． A 4． D 5． B 6． A 7． C 8． C 9． 偶函数 10． －1 11． －x² － 1 12． 0 ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】偶函数满足f(－x) ＝ f(x)。选项A：y ＝ x，f(－x) ＝ －x ＝ －f(x)，是奇函数；选项B：y ＝ x²，f(－x) ＝ (－x)² ＝ x² ＝ f(x)，是偶函数；选项C：y ＝ 1/x，f(－x) ＝ －1/x ＝ －f(x)，是奇函数；选项D：y ＝ x³，f(－x) ＝ －x³ ＝ －f(x)，是奇函数。故选B。 2．【答案】D 【解析】奇函数满足f(－x) ＝ －f(x)。选项A：y ＝ x²，f(－x) ＝ x² ＝ f(x)，是偶函数；选项B：y ＝ |x|，f(－x) ＝ |－x| ＝ |x| ＝ f(x)，是偶函数；选项C：y ＝ x ＋ 1，f(－x) ＝ －x ＋ 1 ≠ －f(x) ＝ －x － 1，非奇非偶；选项D：y ＝ 1/x，f(－x) ＝ －1/x ＝ －f(x)，是奇函数。故选D。 3．【答案】A 【解析】f(x) ＝ x³ ＋ x，定义域为R（关于原点对称）。f(－x) ＝ (－x)³ ＋ (－x) ＝ －x³ － x ＝ －(x³ ＋ x) ＝ －f(x)，故f(x)是奇函数，选A。 4．【答案】D 【解析】f(x) ＝ x² ＋ 1的定义域为[－1, 2]，不关于原点对称（如x ＝ 2在定义域内但x ＝ －2不在），故f(x)既不是奇函数也不是偶函数，即非奇非偶，选D。本题关键：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提。 5．【答案】B 【解析】由f(x)是奇函数，f(－x) ＝ －f(x)。故f(－2) ＝ －f(2) ＝ －3，选B。 6．【答案】A 【解析】由f(x)是偶函数，f(－x) ＝ f(x)。故f(1) ＝ f(－1) ＝ 5，选A。 7．【答案】C 【解析】设g(x) ＝ ax³ ＋ bx，则g(－x) ＝ －ax³ － bx ＝ －g(x)，故g(x)是奇函数。f(x) ＝ g(x) ＋ 2，f(－x) ＝ g(－x) ＋ 2 ＝ －g(x) ＋ 2。由f(2) ＝ 8a ＋ 2b ＋ 2 ＝ 10，得8a ＋ 2b ＝ 8，即g(2) ＝ 8。故g(－2) ＝ －g(2) ＝ －8。f(－2) ＝ g(－2) ＋ 2 ＝ －8 ＋ 2 ＝ －6，选C。 8．【答案】C 【解析】选项A：y ＝ x²是偶函数，不是奇函数；选项B：y ＝ 1/x是奇函数，但在(0, ＋∞)上单调递减；选项C：y ＝ x³是奇函数（f(－x) ＝ －x³ ＝ －f(x)），且在(0, ＋∞)上单调递增，正确；选项D：y ＝ －x是奇函数，但在(0, ＋∞)上单调递减。故选C。 ■ 填空题解析 9．【答案】偶函数 【解析】f(x) ＝ x⁴ ＋ x²，定义域为R。f(－x) ＝ (－x)⁴ ＋ (－x)² ＝ x⁴ ＋ x² ＝ f(x)，故f(x)是偶函数。 10．【答案】－1 【解析】f(x) ＝ (x ＋ 1)(x ＋ a) ＝ x² ＋ (a ＋ 1)x ＋ a。若f(x)是偶函数，则f(－x) ＝ f(x)，即一次项系数为0，故a ＋ 1 ＝ 0，a ＝ －1。验证：当a ＝ －1时f(x) ＝ x² － 1，f(－x) ＝ x² － 1 ＝ f(x)，是偶函数。 11．【答案】－x² － 1 【解析】由f(x)是奇函数，当x ＜ 0时，－x ＞ 0，f(－x) ＝ (－x)² ＋ 1 ＝ x² ＋ 1。由f(－x) ＝ －f(x)，得f(x) ＝ －f(－x) ＝ －(x² ＋ 1) ＝ －x² － 1。故当x ＜ 0时f(x) ＝ －x² － 1。 12．【答案】0 【解析】f(x) ＝ x² ＋ |x ＋ a|是偶函数，需f(－x) ＝ f(x)。f(－x) ＝ x² ＋ |－x ＋ a| ＝ x² ＋ |x － a|。由f(－x) ＝ f(x)得|x － a| ＝ |x ＋ a|对任意x成立。平方后(x － a)² ＝ (x ＋ a)²，即－2ax ＝ 2ax，故4ax ＝ 0对任意x成立，故a ＝ 0。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）偶函数；（2）奇函数；（3）非奇非偶 【解析】（1）f(x) ＝ x² ＋ |x|，定义域为R（关于原点对称）。 f(－x) ＝ (－x)² ＋ |－x| ＝ x² ＋ |x| ＝ f(x)，故f(x)是偶函数。 （2）f(x) ＝ x³ － x，定义域为R（关于原点对称）。 f(－x) ＝ (－x)³ － (－x) ＝ －x³ ＋ x ＝ －(x³ － x) ＝ －f(x)，故f(x)是奇函数。 （3）f(x) ＝ x² ＋ x，定义域为R（关于原点对称）。 f(－x) ＝ (－x)² ＋ (－x) ＝ x² － x。 f(－x) ≠ f(x)（因x² － x ≠ x² ＋ x），f(－x) ≠ －f(x)（因x² － x ≠ －x² － x）。 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数，即非奇非偶。 本题关键：先判断定义域是否关于原点对称，再计算f(－x)与f(x)、－f(x)比较。 14．【答案】（1）a ＝ 0；（2）f(x) ＝ x² ＋ 1；（3）最大值5，最小值1 【解析】（1）f(x) ＝ x² ＋ ax ＋ b是偶函数，需f(－x) ＝ f(x)。 f(－x) ＝ x² － ax ＋ b，由f(－x) ＝ f(x)得x² － ax ＋ b ＝ x² ＋ ax ＋ b，即－2ax ＝ 0对任意x成立，故a ＝ 0。 （2）由（1）知a ＝ 0，f(x) ＝ x² ＋ b。由f(1) ＝ 1 ＋ b ＝ 2，得b ＝ 1。 故f(x) ＝ x² ＋ 1。 （3）f(x) ＝ x² ＋ 1在[－2, 2]上，开口向上，对称轴x ＝ 0。 当x ＝ 0时取最小值f(0) ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1。 当x ＝ ±2时取最大值f(±2) ＝ 4 ＋ 1 ＝ 5。 故f(x)在[－2, 2]上的最大值为5，最小值为1。 本题关键：偶函数的一次项系数为0，利用f(1) ＝ 2求b，再利用二次函数性质求最值。 15．【答案】（1）f(x) ＝ x² ＋ 2x（x ≥ 0），－x² ＋ 2x（x ＜ 0）；（2）证明见解析；（3）a ＞ 1 【解析】（1）f(x)是奇函数，当x ＜ 0时，－x ＞ 0，f(－x) ＝ (－x)² ＋ 2(－x) ＝ x² － 2x。 由f(－x) ＝ －f(x)，得f(x) ＝ －f(－x) ＝ －(x² － 2x) ＝ －x² ＋ 2x。 又f(0) ＝ 0（奇函数在x ＝ 0处有定义时f(0) ＝ 0），验证：x ＝ 0时x² ＋ 2x ＝ 0，符合。 故f(x) ＝ {x² ＋ 2x, x ≥ 0; －x² ＋ 2x, x ＜ 0}。 （2）证明f(x)在R上单调递增： 当x ≥ 0时，f(x) ＝ x² ＋ 2x ＝ (x ＋ 1)² － 1，开口向上，对称轴x ＝ －1。 在[0, ＋∞)上，对称轴x ＝ －1在区间左侧，故f(x)在[0, ＋∞)上单调递增。 当x ＜ 0时，f(x) ＝ －x² ＋ 2x ＝ －(x － 1)² ＋ 1，开口向下，对称轴x ＝ 1。 在(－∞, 0)上，对称轴x ＝ 1在区间右侧，故f(x)在(－∞, 0)上单调递增。 又f(0) ＝ 0，当x → 0⁻时f(x) → 0，故f(x)在R上连续且单调递增。 （3）由（2）知f(x)在R上单调递增。 由f(a) ＞ f(1)且f(x)单调递增，得a ＞ 1。 验证：f(1) ＝ 1 ＋ 2 ＝ 3，当a ＞ 1时f(a) ＞ f(1) ＝ 3成立。 故a的取值范围为a ＞ 1。 本题关键：利用奇函数性质求解析式，利用单调性解不等式。 高一数学必修一 · 第十二课时 奇偶性 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $