第十二课时-奇偶性-同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一

高一数学必修一 · 课时同步训练

第十二课时  奇偶性

 

姓名：______________   班级：______________   得分：______________   用时：______ 分钟

【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。

核心考点清单

考点一  偶函数

一般地，设函数 f(x) 的定义域为 D，如果对于 D 中任意一个 x，都有 －x ∈ D，且 f(－x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数（even function）。偶函数的图象关于 y 轴对称。需要注意的是，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件。如果函数的定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数。常见的偶函数有：y ＝ x²，y ＝ |x|，y ＝ cosx 等。偶函数的判定步骤：①先看定义域是否关于原点对称；②计算 f(－x) 并与 f(x) 比较；③若 f(－x) ＝ f(x) 恒成立，则为偶函数。

考点二  奇函数

一般地，设函数 f(x) 的定义域为 D，如果对于 D 中任意一个 x，都有 －x ∈ D，且 f(－x) ＝ －f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数（odd function）。奇函数的图象关于原点对称。特别地，如果奇函数 f(x) 在 x ＝ 0 处有定义，那么 f(0) ＝ 0。这是因为 f(－0) ＝ －f(0)，即 f(0) ＝ －f(0)，故 f(0) ＝ 0。常见的奇函数有：y ＝ x，y ＝ x³，y ＝ 1/x，y ＝ sinx 等。奇函数的判定步骤与偶函数类似：①先看定义域是否关于原点对称；②计算 f(－x) 并与 －f(x) 比较；③若 f(－x) ＝ －f(x) 恒成立，则为奇函数。

考点三  奇偶性的判定方法

判断函数奇偶性的常用方法有：①定义法，先判断定义域是否关于原点对称，再计算 f(－x) 与 f(x) 或 －f(x) 的关系；②图象法，观察函数图象是否关于 y 轴或原点对称；③性质法，利用已知函数的奇偶性和运算性质判断。需要注意的是：①定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；②若 f(－x) ＝ f(x) 且 f(－x) ＝ －f(x) 同时成立，则 f(x) ＝ 0，此时函数既奇又偶；③既不是奇函数也不是偶函数的函数称为非奇非偶函数；④分段函数的奇偶性需分段验证。

考点四  奇偶性的性质

奇偶性的重要性质包括：①奇函数 ＋ 奇函数 ＝ 奇函数；②偶函数 ＋ 偶函数 ＝ 偶函数；③奇函数 × 奇函数 ＝ 偶函数；④偶函数 × 偶函数 ＝ 偶函数；⑤奇函数 × 偶函数 ＝ 奇函数。这些性

质可以简化奇偶性的判断。此外，奇偶性与单调性的关系：①奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同（同增或同减）；②偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反（一增一减）。这些性质在解决综合问题时非常有用。

考点五  奇偶性的综合应用

奇偶性的综合应用主要包括：①已知奇偶性求函数解析式，利用 f(－x) ＝ f(x) 或 f(－x) ＝ －f(x) 的关系，由已知区间的解析式求对称区间的解析式；②已知奇偶性求参数值，利用 f(－x) ＝ f(x) 或 f(－x) ＝ －f(x) 恒成立，比较系数确定参数；③奇偶性与单调性结合，利用奇偶性将问题转化到已知单调性的区间上解决；④利用 f(0) ＝ 0 求奇函数中的参数。解题时需注意：①先判断定义域是否关于原点对称；②分段函数需分段讨论；③等号成立的条件需验证。

  知识结构思维导图

图1  奇偶性知识结构图

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．下列函数中是偶函数的是（    ）

A．y ＝ x

B．y ＝

	x²
C．y ＝ 1/x	D．y ＝ x³

2．下列函数中是奇函数的是（    ）

A．y ＝ x²	B．y ＝ |x|
C．y ＝ x ＋ 1	D．y ＝ 1/x

3．函数 f(x) ＝ x³ ＋ x 的奇偶性为（    ）

A．奇函数	B．偶函数
C．既奇	D．非奇