第十一课时 单调性与最大（小）值 同步训练----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础-技能-综合三级分层设计，以单调性与最值为核心，从概念理解到综合应用递进，强化抽象能力、推理意识与逻辑思维，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念|单调性定义、简单函数最值|选择题1-3直接考查定义判断，填空题9-10聚焦单一函数最值计算，培养抽象能力| |技能应用|单调区间、二次函数值域|选择题4-8结合具体函数（二次、绝对值）分析单调性，填空题11-12求区间值域，发展几何直观| |综合探究|定义法证明、含参函数分析|解答题13严格证明单调性，14-15综合考查单调性与最值应用，完整推理过程提升逻辑思维|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第十一课时 单调性与最大（小）值 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 单调性的概念 一般地，设函数 f(x) 的定义域为 D，区间 I 是 D 的子集。如果对于任意 x₁, x₂ ∈ I，当 x₁ ＜ x₂ 时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)，那么就称函数 f(x) 在区间 I 上单调递增（increasing）。特别地，当 I 是函数 f(x) 的定义域时，称 f(x) 是增函数。如果对于任意 x₁, x₂ ∈ I，当 x₁ ＜ x₂ 时，都有 f(x₁) ＞ f(x₂)，那么就称函数 f(x) 在区间 I 上单调递减（decreasing）。特别地，当 I 是函数 f(x) 的定义域时，称 f(x) 是减函数。单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间。从图象上看，增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。需要注意，单调性是函数的局部性质，一个函数在不同区间可能有不同的单调性。 考点二 单调性的证明 用定义法证明函数单调性的一般步骤为：①取值，即任取 x₁, x₂ ∈ I，且 x₁ ＜ x₂（注意"任取"和"设 x₁ ＜ x₂"是关键）；②作差，即计算 f(x₁) － f(x₂)；③变形，即将差式因式分解或配方，化为便于判断符号的形式；④定号，即判断 f(x₁) － f(x₂) 的符号（正或负）；⑤结论，即根据定义得出函数的单调性。其中变形是关键步骤，常用的变形方法有因式分解、配凑、通分等。需要注意的是，作差后必须判断出差的符号，不能只判断差的绝对值。另外，作商法也是判断单调性的方法，即计算 f(x₁)/f(x₂) 与 1 的大小关系，但要求 f(x) 不变号。 考点三 函数的最大（小）值 一般地，设函数 y ＝ f(x) 的定义域为 D，如果存在实数 M 满足：①对于任意的 x ∈ D，都有 f(x) ≤ M；②存在 x₀ ∈ D，使得 f(x₀) ＝ M。那么，我们称 M 是函数 y ＝ f(x) 的最大值（maximum value）。类似地，如果存在实数 M 满足：①对于任意的 x ∈ D，都有 f(x) ≥ M；②存在 x₀ ∈ D，使得 f(x₀) ＝ M。那么，我们称 M 是函数 y ＝ f(x) 的最小值（minimum value）。求函数最大（小）值的常用方法有：①利用单调性，若函数在闭区间上单调，则端点值即为最值；②利用图象，通过观察图象的最高点和最低点；③利用基本不等式；④配方法，对于二次函数通过配方求最值。需要注意，最值必须在定义域内取到。 考点四 单调性的常用结论 函数单调性有以下常用结论：①若 f(x) 在区间 I 上单调递增，则 f(x) ＋ c（c 为常数）在 I 上也单调递增，kf(x)（k ＞ 0）在 I 上单调递增，kf(x)（k ＜ 0）在 I 上单调递减；②若 f(x) 和 g(x) 在区间 I 上都单调递增，则 f(x) ＋ g(x) 在 I 上单调递增；③若 f(x) 在区间 I 上单调递增且恒为正，则 1/f(x) 在 I 上单调递减；④复合函数 f(g(x)) 的单调性遵循"同增异减"原则，即 f 和 g 同为增或同为减时复合函数为增，一增一减时为减。这些结论可以简化单调性的判断过程，但使用时需注意条件是否满足。 考点五 单调性与最值的综合应用 单调性与最值的综合应用主要包括：①求函数的单调区间，利用图象或定义法判断；②证明函数的单调性，用定义法严格证明；③求函数的最值，利用单调性或配方法；④已知单调性求参数范围，利用单调性定义建立不等式；⑤比较函数值大小，利用单调性将自变量大小关系转化为函数值大小关系。解题时需注意：单调区间不能用"∪"连接，应分别写出；求最值时要注意定义域的限制；含参数的单调性问题需对参数进行分类讨论。 知识结构思维导图 图1 单调性与最大（小）值知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数 f(x) ＝ x² 在区间(－∞, 0]上的单调性为（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 2．函数 f(x) ＝ －2x ＋ 1 在 R 上的单调性为（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．不单调 D．无法确定 3．函数 f(x) ＝ 1/x 在区间(0, ＋∞)上的单调性为（ ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 4．函数 f(x) ＝ x² － 4x ＋ 3 的单调递增区间为（ ） A．(－∞, 2] B．[2, ＋∞) C．(－∞, ＋∞) D．[0, ＋∞) 5．函数 f(x) ＝ x² － 2x ＋ 2 在区间[0, 3]上的最小值为（ ） A．1 B．2 C．5 D．0 6．函数 f(x) ＝ －x² ＋ 4x ＋ 1 的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．下列函数在(0, ＋∞)上单调递增的是（ ） A．y ＝ 1/x B．y ＝ －x C．y ＝ x² D．y ＝ －x² 8．函数 f(x) ＝ |x| 在区间[－2, 3]上的最大值为（ ） A．2 B．3 C．5 D．6 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．函数 f(x) ＝ x² ＋ 1 在区间[－1, 2]上的最小值为 ____________。 10．函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1 在区间[1, 3]上的最大值为 ____________。 11．函数 f(x) ＝ －x² ＋ 2x ＋ 3 的单调递增区间为 ____________。 12．函数 f(x) ＝ x² － 4x ＋ 5 在区间[1, 4]上的值域为 ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）用定义法证明： （1）f(x) ＝ x² 在(0, ＋∞)上单调递增； （2）f(x) ＝ －1/x 在(0, ＋∞)上单调递增。 14．（14分）已知函数 f(x) ＝ x² ＋ ax ＋ b（a, b ∈ R），f(0) ＝ 3，f(1) ＝ 0。 （1）求 a, b 的值； （2）求 f(x) 的单调区间； （3）求 f(x) 在区间[0, 3]上的最大值和最小值。 15．（14分）已知函数 f(x) ＝ (x ＋ 1)/(x － 1)（x ≠ 1）。 （1）用定义法证明 f(x) 在(1, ＋∞)上单调递减； （2）求 f(x) 在区间[2, 4]上的最大值和最小值。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． B 3． B 4． B 5． A 6． C 7． C 8． B 9． 1 10． 7 11． (－∞, 1] 12． [1, 5] ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】f(x) ＝ x²是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝ 0。在(－∞, 0]上，x增大时f(x)减小（图象从左到右下降），故f(x)在(－∞, 0]上单调递减，选B。 2．【答案】B 【解析】f(x) ＝ －2x ＋ 1是一次函数，k ＝ －2 ＜ 0，故f(x)在R上单调递减，选B。一次函数y ＝ kx ＋ b当k ＞ 0时单调递增，k ＜ 0时单调递减。 3．【答案】B 【解析】f(x) ＝ 1/x是反比例函数。在(0, ＋∞)上，x增大时1/x减小（如x ＝ 1时f(1) ＝ 1，x ＝ 2时f(2) ＝ 1/2），故f(x)在(0, ＋∞)上单调递减，选B。 4．【答案】B 【解析】f(x) ＝ x² － 4x ＋ 3 ＝ (x － 2)² － 1，开口向上，对称轴x ＝ 2。在对称轴右侧[2, ＋∞)上单调递增，选B。二次函数y ＝ ax² ＋ bx ＋ c（a ＞ 0）在[－b/(2a), ＋∞)上单调递增。 5．【答案】A 【解析】f(x) ＝ x² － 2x ＋ 2 ＝ (x － 1)² ＋ 1，开口向上，对称轴x ＝ 1。在[0, 3]上，x ＝ 1时取最小值f(1) ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1；端点f(0) ＝ 0 － 0 ＋ 2 ＝ 2，f(3) ＝ 9 － 6 ＋ 2 ＝ 5。故最小值为1，选A。 6．【答案】C 【解析】f(x) ＝ －x² ＋ 4x ＋ 1 ＝ －(x² － 4x) ＋ 1 ＝ －(x － 2)² ＋ 4 ＋ 1 ＝ －(x － 2)² ＋ 5。开口向下，对称轴x ＝ 2，当x ＝ 2时取最大值f(2) ＝ 0 ＋ 5 ＝ 5，选C。 7．【答案】C 【解析】选项A：y ＝ 1/x在(0, ＋∞)上单调递减；选项B：y ＝ －x在(0, ＋∞)上单调递减；选项C：y ＝ x²在(0, ＋∞)上单调递增（开口向上，对称轴x ＝ 0，右侧递增）；选项D：y ＝ －x²在(0, ＋∞)上单调递减。故选C。 8．【答案】B 【解析】f(x) ＝ |x|在[－2, 3]上，当x ＝ 0时取最小值f(0) ＝ 0；端点f(－2) ＝ 2，f(3) ＝ 3。故最大值为f(3) ＝ 3，选B。 ■ 填空题解析 9．【答案】1 【解析】f(x) ＝ x² ＋ 1开口向上，对称轴x ＝ 0。在[－1, 2]上，x ＝ 0时取最小值f(0) ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1；端点f(－1) ＝ 1 ＋ 1 ＝ 2，f(2) ＝ 4 ＋ 1 ＝ 5。故最小值为1。 10．【答案】7 【解析】f(x) ＝ 2x ＋ 1在[1, 3]上单调递增（k ＝ 2 ＞ 0），故最大值在右端点取得，f(3) ＝ 2×3 ＋ 1 ＝ 7。 11．【答案】(－∞, 1] 【解析】f(x) ＝ －x² ＋ 2x ＋ 3 ＝ －(x² － 2x) ＋ 3 ＝ －(x － 1)² ＋ 1 ＋ 3 ＝ －(x － 1)² ＋ 4。开口向下，对称轴x ＝ 1，在对称轴左侧(－∞, 1]上单调递增。 12．【答案】[1, 5] 【解析】f(x) ＝ x² － 4x ＋ 5 ＝ (x － 2)² ＋ 1，开口向上，对称轴x ＝ 2。在[1, 4]上，x ＝ 2时取最小值f(2) ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1；端点f(1) ＝ 1 － 4 ＋ 5 ＝ 2，f(4) ＝ 16 － 16 ＋ 5 ＝ 5。故值域为[1, 5]。 ■ 解答题解析 13．【答案】证明见解析 【解析】（1）证明f(x) ＝ x²在(0, ＋∞)上单调递增： 任取x₁, x₂ ∈ (0, ＋∞)，设x₁ ＜ x₂。 f(x₁) － f(x₂) ＝ x₁² － x₂² ＝ (x₁ ＋ x₂)(x₁ － x₂)。 由x₁, x₂ ∈ (0, ＋∞)得x₁ ＋ x₂ ＞ 0；由x₁ ＜ x₂得x₁ － x₂ ＜ 0。 故f(x₁) － f(x₂) ＝ (x₁ ＋ x₂)(x₁ － x₂) ＜ 0，即f(x₁) ＜ f(x₂)。 故f(x) ＝ x²在(0, ＋∞)上单调递增。 （2）证明f(x) ＝ －1/x在(0, ＋∞)上单调递增： 任取x₁, x₂ ∈ (0, ＋∞)，设x₁ ＜ x₂。 f(x₁) － f(x₂) ＝ (－1/x₁) － (－1/x₂) ＝ 1/x₂ － 1/x₁ ＝ (x₁ － x₂)/(x₁x₂)。 由x₁, x₂ ∈ (0, ＋∞)得x₁x₂ ＞ 0；由x₁ ＜ x₂得x₁ － x₂ ＜ 0。 故f(x₁) － f(x₂) ＝ (x₁ － x₂)/(x₁x₂) ＜ 0，即f(x₁) ＜ f(x₂)。 故f(x) ＝ －1/x在(0, ＋∞)上单调递增。 本题关键：定义法证明单调性的五步骤——取值、作差、变形、定号、结论。 14．【答案】（1）a ＝ －4, b ＝ 3；（2）单调递减区间(－∞, 2]，单调递增区间[2, ＋∞)；（3）最大值3，最小值－1 【解析】（1）由f(0) ＝ 3，得0 ＋ 0 ＋ b ＝ 3，b ＝ 3。 由f(1) ＝ 0，得1 ＋ a ＋ 3 ＝ 0，a ＝ －4。 故a ＝ －4, b ＝ 3，f(x) ＝ x² － 4x ＋ 3。 （2）f(x) ＝ x² － 4x ＋ 3 ＝ (x － 2)² － 1，开口向上，对称轴x ＝ 2。 故f(x)的单调递减区间为(－∞, 2]，单调递增区间为[2, ＋∞)。 （3）在[0, 3]上，对称轴x ＝ 2 ∈ [0, 3]。 f(x) ＝ (x － 2)² － 1，f(2) ＝ 0 － 1 ＝ －1（最小值）。 f(0) ＝ (0 － 2)² － 1 ＝ 4 － 1 ＝ 3；f(3) ＝ (3 － 2)² － 1 ＝ 1 － 1 ＝ 0。 比较端点值：f(0) ＝ 3 ＞ f(3) ＝ 0，故最大值为f(0) ＝ 3。 故f(x)在[0, 3]上的最大值为3，最小值为－1。 本题关键：二次函数在闭区间上的最值在顶点或端点处取得。 15．【答案】（1）证明见解析；（2）最大值3，最小值5/3 【解析】（1）证明f(x) ＝ (x ＋ 1)/(x － 1)在(1, ＋∞)上单调递减： 任取x₁, x₂ ∈ (1, ＋∞)，设1 ＜ x₁ ＜ x₂。 f(x₁) － f(x₂) ＝ (x₁ ＋ 1)/(x₁ － 1) － (x₂ ＋ 1)/(x₂ － 1) ＝ [(x₁ ＋ 1)(x₂ － 1) － (x₂ ＋ 1)(x₁ － 1)] / [(x₁ － 1)(x₂ － 1)] 分子展开：(x₁x₂ － x₁ ＋ x₂ － 1) － (x₁x₂ － x₂ ＋ x₁ － 1) ＝ －x₁ ＋ x₂ ＋ x₂ － x₁ ＝ 2(x₂ － x₁)。 故f(x₁) － f(x₂) ＝ 2(x₂ － x₁) / [(x₁ － 1)(x₂ － 1)]。 由x₁ ＜ x₂得x₂ － x₁ ＞ 0；由x₁, x₂ ＞ 1得x₁ － 1 ＞ 0, x₂ － 1 ＞ 0。 故f(x₁) － f(x₂) ＝ 2(x₂ － x₁) / [(x₁ － 1)(x₂ － 1)] ＞ 0，即f(x₁) ＞ f(x₂)。 故f(x)在(1, ＋∞)上单调递减。 （2）由（1）知f(x)在[2, 4] ⊆ (1, ＋∞)上单调递减。 故最大值在左端点x ＝ 2处取得：f(2) ＝ (2 ＋ 1)/(2 － 1) ＝ 3/1 ＝ 3。 最小值在右端点x ＝ 4处取得：f(4) ＝ (4 ＋ 1)/(4 － 1) ＝ 5/3。 故f(x)在[2, 4]上的最大值为3，最小值为5/3。 本题关键：分式函数作差后通分，判断分子分母的符号确定差的符号。 高一数学必修一 · 第十一课时 单调性与最大（小）值 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $