3.2.1　第1课时　函数的单调性 同步练习 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修 第一册

**基本信息** 本同步练习围绕函数单调性，通过基础辨析、中档应用、提升拓展三层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-6题）|单调性定义辨析、简单函数单调区间判断|通过真假命题（题1）、单选多选结合，强化概念本质理解，体现数学思维的推理意识| |中档层（7-12题）|复合函数/分段函数单调性、单调性应用（解不等式）|结合图象（题7、8）分析单调区间，考查几何直观，培养数学眼光的空间观念| |提升层（13-16题）|含参函数单调性、抽象函数性质证明与应用|通过参数范围讨论（题13）、抽象函数不等式（题16），发展逻辑推理与数学语言表达能力|

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大（小）值 第1课时　函数的单调性 1.下列命题为真命题的是（　　） A.定义在（a，b）上的函数f（x），如果∃x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上是增函数 B.如果函数f（x）在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f（x）在区间I1∪I2上就一定单调递减 C.定义在（a，b）上的函数f（x），若有无穷多对x1，x2∈（a，b），当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2），那么f（x）在（a，b）上是增函数 D.∃x1，x2∈（a，b），且x1＜x2，f（x1）≥f（x2）成立，则函数f（x）在（a，b）上不是单调递增的 2.函数y＝的单调递增区间是（　　） A.（－∞，－3] B. C.（－∞，1） D.[－1，＋∞） 3.函数f（x）＝1＋（　　） A.在（－1，＋∞）上单调递增 B.在（1，＋∞）上单调递增 C.在（－1，＋∞）上单调递减 D.在（1，＋∞）上单调递减 4.已知定义在[0，＋∞）上的减函数f（x），若f（2a－1）＞f，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 5.（多选）下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递增的是（　　） A.y＝2x＋1 B.y＝3x2＋1 C.y＝ D.y＝｜x｜ 6.（多选）如果函数f（x）在区间[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），下列结论中正确的是（　　） A.＞0 B.（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0 C.若x1＜x2，则f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（b） D.＜0 7.已知函数y＝f（x）（x∈[－2，6]）的图象如图所示.根据图象写出y＝f（x）的单调递增区间为　　　　. 8.函数y＝｜x2－2x－3｜的单调递增区间是　　　　. 9.已知二次函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在[0，＋∞）上单调递增，则f（0），f（3），f（－4）的大小关系为　　　　　　　. 10.已知函数f（x）＝ （1）画出函数f（x）的大致图象； （2）写出函数f（x）的单调递减区间. 11.若函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，且f（2）＝－1，则满足f（2x－4）＞－1的实数x的取值范围是（　　） A.（3，＋∞） B.（－∞，3） C.[2，3） D.[0，3） 12.已知f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列不等式中正确的是（　　） A.f（a）＋f（b）≤－f（a）＋f（b） B.f（a）＋f（b）≤f（－a）＋f（－b） C.f（a）＋f（b）≥－f（a）＋f（b） D.f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b） 13.若函数f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1在（－1，＋∞）上单调递减，则实数a的取值范围是　　　　. 14.已知函数f（x）＝. （1）判断并证明函数f（x）在（－2，＋∞）上的单调性； （2）若函数f（x）的定义域为（－2，2），且满足f（－2m＋3）＞f（m2），求m的取值范围. 15.若函数f（x）＝在（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（　　） A.[2，＋∞） B.[－2，＋∞） C.[0，2] D.[－2，0] 16.若f（x）是定义在（0，＋∞）上的函数，且满足f（）＝f（x）－f（y），当x＞1时，f（x）＞0. （1）判断并证明函数的单调性； （2）若f（2）＝1，解不等式f（x＋3）－f（）＜2. 第1课时　函数的单调性 1.D　A、C是假命题，“存在”“无穷多”不能代表“所有”“任意”；由f（x）＝，可知B是假命题；若要说明函数f（x）在某个区间上不是单调递增（减）的，只需在该区间上找到两个值x1，x2，证明当x1＜x2时，f（x1）≥f（x2）（f（x1）≤f（x2））成立即可，故D是真命题. 2.B　由2x－3≥0，得x≥.又因为t＝2x－3在（－∞，＋∞）上是增函数，y＝在定义域上是增函数，所以y＝的单调递增区间是. 3.D　函数f（x）＝1＋，其图象可以由基本的反比例函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，结合图象知，函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减. 4.D　根据题意，f（x）是定义在[0，＋∞）上的减函数，若f（2a－1）＞f，则有0≤2a－1＜，解得≤a＜，即a的取值范围为，故选D. 5.ABD　借助函数图象可知，y＝2x＋1，y＝3x2＋1，y＝｜x｜在（0，＋∞）上都单调递增，y＝在（0，＋∞）上单调递减. 6.AB　因为f（x）在[a，b]上单调递增，所以对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），x1－x2与f（x1）－f（x2）的符号相同，故A、B正确，D不正确；C中，若x1＜x2，则f（a）≤f（x1）＜f（x2）≤f（b），所以C不正确，故选A、B. 7.[－2，－1]和[2，6]　解析：由题图可知f（x）在[－2，－1]和[2，6]上单调递增，则y＝f（x）在[－2，6]上的单调递增区间为[－2，－1]和[2，6]. 8.[－1，1]和[3，＋∞）　解析：y＝｜x2－2x－3｜＝｜（x－1）2－4｜，作出该函数的图象，如图.由图象可知，其单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞）. 9.f（0）＜f（3）＜f（－4）　解析：因为二次函数f（x）的图象关于y轴对称，所以f（－4）＝f（4），又二次函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，所以f（0）＜f（3）＜f（4），即f（0）＜f（3）＜f（－4）. 10.解：（1）函数f（x）的大致图象如图所示. （2）由函数f（x）的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4]. 11.C　∵f（2）＝－1，f（2x－4）＞－1，∴f（2x－4）＞f（2），又∵f（x）在[0，＋∞）上单调递减，∴即2≤x＜3. 12.B　由a＋b≤0，可得a≤－b且b≤－a，又函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，所以f（a）≤f（－b）且f（b）≤f（－a），所以f（a）＋f（b）≤f（－a）＋f（－b）.故选B. 13.[－3，0]　解析：①a＝0时，f（x）＝－3x＋1在R上是减函数，∴a＝0满足条件；②a≠0时，f（x）＝ax2＋（a－3）x＋1，对称轴为x＝－，∴解得－3≤a＜0.由①②得－3≤a≤0，故a的取值范围是[－3，0]. 14.解：（1）f（x）＝＝3＋，f（x）在（－2，＋∞）上单调递减，证明如下：设x1＞x2＞－2， 则f（x1）－f（x2）＝－＝，因为x1＞x2＞－2， 所以x1＋2＞0，x2＋2＞0，x2－x1＜0， 所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（－2，＋∞）上单调递减. （2）由（1）可知，当x∈（－2，2）时，函数f（x）是减函数，所以由f（－2m＋3）＞f（m2）得， 解得1＜m＜， 所以m的取值范围为（1，）. 15.D　函数f（x）＝根据反比例函数的性质可得y＝在区间（－∞，0）上单调递减，要使函数f（x）在区间（－∞，a）上单调递减，则a≤0.由f（x）＝｜x＋2｜在（a，＋∞）上单调递增，得a＋2≥0，解得a≥－2.故实数a的取值范围是[－2，0].故选D. 16.解：（1）f（x）在（0，＋∞）上是增函数.证明如下： 任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＞x2，则＞1. ∵f（）＝f（x）－f（y），当x＞1时，f（x）＞0， ∴f（）＝f（x1）－f（x2）＞0， ∴f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数. （2）∵f（2）＝1， ∴f（）＝f（4）－f（2）＝f（4）－1＝1， ∴f（4）＝2， ∴f（x＋3）－f（）＜2，即f[x（x＋3）]＜f（4）， 又f（x）的定义域为（0，＋∞），且f（x）为增函数， ∴解得0＜x＜1. ∴原不等式的解集为（0，1）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $