（预习篇）第九讲 圆单元培优复习【思维导图+识卡片+新知总结+十六大考点讲练+难度分层练 共52题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五升六年级暑假衔接金牌讲义

null2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 暑假衔接 第九讲圆（单元培优复习） 思维导图+新知学习+十六大考点讲练+难度分层练 (共52题) 【原卷版】 思维导图 浏览知识 知晓考点 新知学习 知识梳理 方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 分层训练 真题汇编闯关达标 小学数学 六年级/上册（新教材） 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以预习北师大版数学新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导 图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充 分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清 晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学 得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人 教版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 思维导图考点指引 圆面积的计算公式的推导 圆面积的探索 推导思路：通过转化，发现圆面积与半径的关系。 公式中各量的意义 。1.圆的面积（一） 等分 拼成近似长方形 感来摇近长方形 S:圆的面积 探究方法：把圆转化成学过的图形。 r:园的半径 转化成长方形（近似） 转化成格子图（近制） 等分的份 π：圆周率(=3.14 越多，拼成的 8等分 图形越接近 平行四边形的面积=底×高 16等分 AALL 一哑 长方形。 S■axh 32等分 ↓ 。2.圆的面积（二） 长方形的长=(半圆周长的一半) 宽=T 园的面积公式 图的面积S=πr2 圈的面积=长×宽=πr×r=πr S=πr2 的面积。 实际应用 S=πr 1.喷水管洒水问题 北师大版·六年级上册 水是3 喷水头转动一周 圆面积的意义与联系 第二单元《圆》 能洗准多大面积的衣田？ 5=3.14×32=28.26(m2) 1,圆面积的意义 圆的面积 圆所图成的平面图形的大小，叫作图的面积 2.羊图围栏问题 第4节 量得图形举圆的周长是125,6m,求半径和面积。 2.圆与平行四边形的联系 r=125.6+3.14+2=20(m) s=3.14×202=1256(m2 3.解决实际问题的策略 3.圆面积与半径的关系 图形中的圆面积问题（综合提升）】 根据实际情况，选择合适的方案 圆的面积与半径的平方成正比例 运用圆的面积公式解决问题。 半径越大，面积越大。 1.杯垫问题 2.园林曼观问颗 3.运动烯跑道问题 4.图环面积问酒 公式的记忆与应用小提示 一个园影杯垫的半程是4cm, 天坛公园的回音提是围形围增 运动场胞道形状如图 下图中大系半经等子小圆率扫 它的面职是多少平方爱米？ 周长的204.1m,围职约 两边是半墨形，中问是长方形 的2倍，求朋影部分的置积 学习小结 ★公式：S=πr2 是多少平方米？ 占地面积是多少平方来？ 5=3.14×42=50.24(cm2) 掌握圆的面积公式5=π ★要点：记住半径r r=204.1+3.14+2=32.5(m 5=3.14×32.53= 20m 4.cm 2.理解公式的推导过程和各量的意义 套用公式不出错。 317.49(m2 3,能运用公式解决生活中的实际问题 ★单位：面积单位要统一 =50m ★方法：转化思想是关键， S=2×(3×3.14x20）+50×203=元(82-4)=3.14×(64-16 转化思想巧运用，圆的面积轻松求！ 实际问题灵活用 =3.14×200+1000=1628(m =150.72(cm2) 第2页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 新知总结技巧点拨 知识点一圆的认识 1.圆的定义：一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2.圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母0表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条 直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴：直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二圆的周长 1.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫 做圆周率，用字母表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆 周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3.圆的周长公式。 C=πd或C=2πr 圆周长=π×直径，圆周长=πX半径X2 知识点三圆的面积 1.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 第3页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 2.圆的面积公式：S=πr2或者S=π(d÷2)2或者S=π(C÷π÷2)2 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R,内圆的半径是，它的面积是S=元R2-π2 或S=π(R-r)。(其中R=r十环的宽度) 6.半圆周长=圆的周长的一半+半径×2 公式为：C=r+2r 半圆面积=圆的面积÷2 公式为：S=r2÷2 7.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上 倍数的平方倍。 8.当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9.当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米： 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加ra厘米。 知识点四扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几：所对的弧就占圆周长 的几分之几。 优选题型考点讲练 考点一圆的概念及特点 【典例精讲】(25-26六年级下·江苏徐州·期末)小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和 一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去， 则圆孔的直径至少为( )厘米。 4厘米 5厘米 3厘米 第4页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练】(25-26六年级下·江苏准安·期末)下图中，每个小正方形的边长都是1厘米。请按要求 作答。 11 10 9 8 6 5 4 3 012345678910111213141516171819 (1)如图，以点A为圆心画了一个圆，这个圆的半径是( )厘米。 (2)在图中画出点B(8,3),点C(12,3),点D(12,6),连接B、C、D三个点，要求在图中画出这个 三角形。 (3)将三角形BCD向右平移5格，画出平移后的图形。 考点二画圆 【典例精讲】(25-26六年级下·河北廊坊·期末)图中每个小正方形的边长都是1厘米。 10 北 9 8 6 5 4 2 0123456789101112 (1)0点的位置用数对表示是( )。 (2)画一个以0点为圆心，半径为4厘米的圆。 (3)点A在点0的正西方向4厘米处，点B在点0的正北方向4厘米处，在图中标出AB两点。 (4)点B在点A的( )偏北( )。方向上。 (5)依次连接点AOB,你会发现图形AOB是一个( )形。 【变式训川练】(24-25六年级下·广东韶关·期末)(1)过三角形顶点A画线段BC的高。 (2)以三角形顶点A为圆心，以线段AB的长为半径画一个圆。 第5页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 考点三与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】(23-24六年级上·陕西西安·期中)分别画出下图的对称轴。 【变式训练】(23-24六年级上·陕西咸阳·期中)如图，每个小方格的边长表示1厘米。 (1)画出一个圆，使得这个圆的半径是如图中圆的直径。 (2)若在一张正方形纸中剪下的一个最大的圆，这个圆是(1)中所画的圆，请在图中画出这张正方形纸 的大小。 (3)画出(2)中图形的所有对称轴。 考点四欣赏与设计 【典例精讲】(23-24六年级上·辽宁·随堂练习)先说一说下面的图案是怎样形成的，再画一画。 、1) (2) 第6页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练】.(23-24五年级下·辽宁·暑假作业)在下边的方格图中仿照左边的图案画一画。 考点五圆的周长 【典例精讲】(24-25六年级下·广东深圳·期末)圆的周长。鹏鹏在课堂测量圆的周长时，采用了滚动 法：把圆上点A对准刻度0，圆向右滚动一圈。则点A将落在直尺刻度上的( 2cm mwwwwmmmmmmmmmmmm 0 12 3 567 8910cm A.2cm4cm之间 B.4cm`6cm之间 C.6cm8cm之间 D.8cm10cm之间 【变式训练】(24-25六年级下·广东深圳·期末)三只蚂蚁分别沿图形爬一周，比较它们所走的路程， 说法正确的是( )o 甲 cm 1cm 2cm 1cm 1cm 1cm 2cm A.甲的路程=丙的路程 B.甲的路程<乙的路程 C.乙的路程>丙的路程 D.甲的路程>丙的路程 考点六半圆的周长 31.(24-25六年级下·河北唐山·期末)由A地到B地有两条路，路径①和路径②。路径①的长度( 路径②的长度（填“>”“=”或“<”）。已知0点到C点的距离是20米，路径①的长是( )米。 ② 第7页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练】(24-25六年级下·甘肃定西·期末)如图是学校劳动实践基地一块空地示意图的一部分， 请按要求作图。 (1)在如图空白处把长方形空地的边补充完整。 30m 20m (2)学校为了美化这块空地，想要在这块长方形空地里用篱笆围一个最大的半圆形花园，在里面种上月季花 和牡丹。请你设计并画出最大的花卉种植面积，并计算至少需要( )米篱笆。 考点七圆的周长的应用 【典例精讲】(25-26六年级下·福建龙岩·期末)聪聪用硬纸剪了一个外圆半径为6cm,内圆半径为2cm 的圆环。按照研究圆的方法，她把圆环分成16等份并剪开，用这些近似的等腰梯形小纸片拼成一个近似的 平行四边形，（如图)。这个近似的平行四边形的周长是( ）cm。 【变式训川练】(25-26六年级下·山东聊城·期末)聊城摩天轮“水城之眼”的直径为110米，旋转一周 约需30分钟。明明坐在观光舱内，经过15分钟，他移动了大约( )米。 A.55π B.110T C.55 D.110 考点八含圆的组合图形的周长 【典例精讲】(24-25六年级下·安徽阜阳·期末)已知空白部分小半圆的直径是4Cm,求涂色部分的周 长。 4cm O 第8页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练】(25-26六年级上·广西桂林·期末)篮球场上的三分线是由两条平行的线段和一个半圆弧 组成的（如图，单位：米)。这个篮球场的三分线有( )米。（π值取3） 三分线 6.75 1.575 1.575 考点九圆周率的历史 【典例精讲】(23-24六年级上·安徽阜阳·期中)下面正确的描述是( A.一个圆的周长一定是半径的π倍 B.大圆的周长除以直径比小圆的周长除以直径，所得的商要大 C.任何一个圆的周长除以这个圆的直径都是一个固定值 D.圆周率是一个固定值，等于3.14 【变式训练】关于圆周率，下面说法正确的有( )句。 (1)圆周率是一个无限不循环小数： (2)圆周率是圆的周长和直径的比值： (3)大圆的圆周率大，小圆的圆周率小；(4)圆周率大于3.14。 A.1 B.2 C.3 D.4 考点十圆的面积 【典例精讲】(2026·福建福州·小升初真题)如图所示，直角梯形ABCD的面积是24cm,求圆的面积。 B 【变式训练】(24-25六年级下·河南·期末)求阴影部分的面积。（单位：cm) 4c 4cm ①4cm ② 4cm 第9页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 考点十一圆的面积的应用 【典例精讲】(24-25六年级下·河北衡水·期末)求出如图中阴影部分的面积。 4cm 7cm 【变式训练】(2025·湖南长沙·小升初真题)一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 5m (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 考点十二圆环的面积 【典例精讲】(24-25六年级下·陕西商洛·期末)某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆 形花坛（如图），在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路（阴影部分），如果铺每平方米鹅卵石路需 要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 鹅卵石路 5m m 第10页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练】(25-26六年级下·河北邢台·期末)求阴影部分的面积。 2cm 8cm 2cm 考点十三求最大面积 【典例精讲】周长相等的长方形、正方形、圆，( )的面积最大。面积相等的长方形、正方形、圆， )的周长最小。 【变式训练】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是 )平方厘米。 考点十四含圆的组合图形的面积 【典例精讲】(24-25六年级下·辽宁大连·期末)求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 10 【变式训练】(25-26六年级下·陕西西安·期末)求阴影部分的面积。（单位：cm) 45° 第11页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 考点十五方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】.(2026·四川成都·小升初真题)一个圆形盘子里面内接了一个最大的正方形，阴影部分 的面积是 平方厘米。 12cm 【变式训练】(24-25六年级下·湖南永州·期末)一个正方形时钟（如下图）边长为20cm,分针长10cm (忽略分针针尖与时钟的接触)。从中午12时整到12时45分，分针针尖走了( )cm;如果分针走 了一小时，那么时钟未被分针扫到部分的面积是( ）cm2。 10cm 考点十六用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】(2026·贵州黔东南·小升初模拟)计算下面图形阴影部分的面积。 6dm 【变式训练】(25-26六年级下·全国·小升初复习)如图，图A与图B相比，图A的面积( 图B的面积，图A的周长( )图B的周长。正确的选项是( ）。 2 cm -4 cm- A B A.等于；小于 B.大于；小于 C.小于；大于 第12页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 真题汇编能力强化 【基础通关能力提升】 1.(25-26六年级下·广东东莞期末)丽丽把圆规的两脚张开5厘米画一个圆，她画的圆的周长是( 厘米。 A.10 B.15.7 C.31.4 D.50.24 2.（25-26六年级下·广东汕头·期末)钟表分针长10厘米，分针走一圈扫过的图形的面积是( 平方厘米。 A.10T B.20元 C.100π D.100 3.(25-26六年级上·浙江金华·期末)草地上王叔叔用一根长3米的绳子在木桩上拴了一只羊。绳长是 圆的( ),羊能吃到草的区域是圆的( )。 4.(24-25六年级下·广东广州·期末)用一条长为100cm的铁丝围成一个圆，面积是( ）cm2。(用 含π的式子表示面积最简结果) 5.(24-25六年级下·广东湛江·期末)如图，求阴影部分面积。 4m 3m 6m 6.(24-25六年级下·河北张家口·期末)从下面任选一个图，求出画线部分的面积。（单位：厘米） a=10 a=20 a=30 第13页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 7.(24-25六年级下·山东临沂·期末)如图是由两个相同的半圆叠拼成的。三角形ABC是一个等腰直角 三角形，AB=BC=8cm,图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3） 8.(2026·山东青岛·小升初真题)学校多功能厅原有一个直径为8米的半圆形舞台。计划将舞台半径增 加2米。（如图） (1)扩建后舞台的面积增加了多少平方米？ (2)扩建完成后，在新舞台的外围边缘上等距离摆放花盆，每隔3.14米摆一盆，舞台的两端都不摆放花盆 一共需要摆放多少盆花？ 9.(25-26六年级下·陕西渭南·期末)中国古钱币是文化艺术宝库中的珍宝，现在人们运用它的造型创 作了许多精美的饰品。如图所示，这个古钱币外形是直径为6厘米的圆，内部是一个边长为0.8厘米的正 方形，则正方形与圆之间（阴影部分）的面积是多少平方厘米？ 0.8cm 第14页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 10.(24-25六年级下·河北保定·期末)小学里我们用转化的方法解决了很多问题，如图是把一个圆分成 若干等份，将每份按下面的方法拼起来，用这种方法推导出了圆的面积公式。 (1)在上面的转化过程中，这两个图形间有怎样的关系？请你至少写出两条。 (2)如果上图中长方形的宽是2厘米，你能解决哪些问题？ 我要解决的问题（写出一个）。 我的解答： (3)你学哪些知识时，也用到了转化的方法？请举一个例子。 【思维拓展拔尖训练】 1.(25-26六年级下·广东东莞·期末)下面的轴对称图形中，只有一条对称轴的是( )。 A 2.(25-26六年级下·广东湛江·期末)在古代，我国数学史上关于圆的研究记载着不同的说法，下面说 法中，描述圆心到圆上的距离一样长的是( )0 A.“没有规矩不成方圆” B.“径一而周三” C.“圆一中同长也” D.“圆出于方，方出于矩” 3.(25-26六年级下·湖北鄂州·期末)小动物绕图形边线爬行一周，甲蚂蚁沿边长2km的正方形爬行， 乙蜗牛沿半径1km的圆形爬行，丙瓢虫沿边长1km小正方形拼成的L形图形爬行，三只小动物各自爬行一 周，下面路程说法正确的是( )。 甲 km km A.甲的路程=乙的路程 B.乙的路程=丙的路程 C.甲的路程>乙的路程 D.三只动物爬行路程都相等 第15页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 4.(24-25六年级下·福建厦门·期末)如图，这是一个正方形和一个半圆所组成的图形，其中P为半圆 周的中点，Q为正方形一边上的中点，那么涂色部分的面积为( )cm2。 8cm D B 5. (25-26六年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)下图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积 是( ）cm。(π取3.14) 20cm 6.(25-26六年级上·湖北宜昌·期末)求图中阴影部分的面积。 5cm 7.(25-26六年级下·江苏准安·期末)学校有一个花坛（如图），花坛中有一个正方形，边长是3米， 正方形的顶点是4个扇形的圆心，每个扇形的半径都是1米。 (1)小明通过观察和思考想到，可以先把这4个扇形的面积转化成( )个圆的面积。 (②)请你帮小明算出花坛的总面积是多少平方米。 第16页共17页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 8.(24-25六年级下·陕西咸阳·期末)在一场热闹非凡的街头艺术表演活动中，为了给观众带来惊喜和 震撼，杂技演员决定挑战高难度项目一一独轮车走钢丝，已知车轮的直径是20厘米，要骑过一根15.7米 长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 9.(24-25六年级下·四川巴中·期末)如图：已知阴影部分的面积是15平方厘米，求圆的面积。 10.(24-25六年级下·陕西咸阳·期中)让我们一起探索图形运动产生的数学奥秘吧！如图（单位：厘米）， 数轴上的长方形长8厘米，宽4厘米，圆的直径是4厘米，长方形以1厘米/秒的速度向右平移。 2 46810121416182022 (1)当长方形运动6秒时，与圆的重叠面积为( )平方厘米。 (2)当长方形刚好完全穿过圆时，长方形运动了多少秒？ (3)当长方形运动多少秒时，与圆的重叠面积为6.28平方厘米？ 第17页共17页2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 六年级/上册（新教材） 小学数学 思维导图+新知学习+十六大考点讲练+难度分层练 （共52题） 【解析版】 第九讲 圆（单元培优复习） 北师大版 分层训练 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 思维导图 新知学习 真题汇编 闯关达标 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以预习北师大版数学新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】（25-26六年级下·江苏徐州·期末）小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为( )厘米。 【答案】2.4/ 【思路引导】只要直角三角形最短的高比空心圆孔的直径小，那么直角三角形塑料片就能从空心圆孔中穿过去。最短的高是斜边上的高，可以通过两条直角边的长算出三角形的面积，再求出斜边上的高，即可得到答案。 【规范解答】直角三角形的面积为4×3÷2＝6（平方厘米） 由三角形的面积求斜边上的高，高＝三角形的面积×2÷底 6×2÷5＝12÷5＝2.4（厘米） 圆孔直径至少等于三角形最短的高2.4厘米。 【变式训练】（25-26六年级下·江苏淮安·期末）下图中，每个小正方形的边长都是1厘米。请按要求作答。 (1)如图，以点A为圆心画了一个圆，这个圆的半径是( )厘米。 (2)在图中画出点B（8，3），点C（12，3），点D（12，6），连接B、C、D三个点，要求在图中画出这个三角形。 (3)将三角形BCD向右平移5格，画出平移后的图形。 【答案】(1)2 (2) (3) 【思路引导】（1）半径指圆心到圆上任意一点的距离。据此观察水平方向上，圆心A到圆右边界的小正方形格数，因为每个小正方形的边长都是1厘米，所以几格就是几厘米。 （2）数对中，第一个数表示列，第二个数表示行。据此可知点B在第8列第3行，点C在第12列第3行，点D在第12列第6行。据此描点连线画出三角形即可。 （3）将三角形BCD的每个顶点向右平移5格，再把平移后的顶点依次连接起来，得到平移后的图形。 【规范解答】（1）圆心A到圆右边界的小正方形格数为2格，因此圆的半径是2厘米。 考点二 画圆 【典例精讲】（25-26六年级下·河北廊坊·期末）图中每个小正方形的边长都是1厘米。 （1）O点的位置用数对表示是（    ）。 （2）画一个以O点为圆心，半径为4厘米的圆。 （3）点A在点O的正西方向4厘米处，点B在点O的正北方向4厘米处，在图中标出AB两点。 （4）点B在点A的（    ）偏北（    ）°方向上。 （5）依次连接点，你会发现图形是一个（    ）形。 【答案】（1）（4，5） （2） （3） （4）东；45     （5）；等腰直角三角 【思路引导】（1）数对表示位置时，第一个数表示列，第二个数表示行。 （2）用圆规画圆，以O点为圆心，圆规两脚间的距离等于4厘米，据此画出半径为4厘米的圆。 （3）以点O为观测点，根据图上方向“上北下南，左西右东”可知，点A在点O的正西方向4厘米处，即点A在点O左边4格处；点B在点O的正北方向4厘米处，即点B在点O上方4格处，据此标出点A、B的位置。 （4）以点A为观测点，根据图上方向“上北下南，左西右东”和夹角确定点B的位置。 （5）有一个角是直角且有两条边相等三角形是等腰直角三角形。 【规范解答】（1）由图可知：点O在第4列第5行，用数对表示为（4，5）。 （2）图略； （3）图略； （4）由图可知：点B在点A的东偏北45°方向上。 （5）连接点（图略），发现点到点的距离和点到点的距离相等，且三角形中有一个角是直角，所以图形是一个等腰直角三角形。 【变式训练】（24-25六年级下·广东韶关·期末）（1）过三角形顶点A画线段BC的高。 （2）以三角形顶点A为圆心，以线段AB的长为半径画一个圆。 【答案】（1） （2） 【思路引导】（1）先用三角板一条直角边对齐底边BC，平移三角板，让另一条直角边经过A点，从A向BC画垂线段，垂足处标直角符号，这条垂线就是BC边上的高。 （2）把圆规针尖固定在圆心A，圆规两脚张开至B点，使两脚距离等于AB长，固定针尖不动，旋转圆规一周，画出以AB为半径的圆。 考点三 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（23-24六年级上·陕西西安·期中）分别画出下图的对称轴。 【答案】见详解 【思路引导】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；折叠的这条直线叫做这个图形的对称轴，此题依此画图。图1对称轴在小圆心和两圆接触的点所在的直线上，图2对称轴在圆心和三角形右顶点所在的直线上。 【规范解答】据分析作图如下： 【变式训练】（23-24六年级上·陕西咸阳·期中）如图，每个小方格的边长表示1厘米。 （1）画出一个圆，使得这个圆的半径是如图中圆的直径。 （2）若在一张正方形纸中剪下的一个最大的圆，这个圆是（1）中所画的圆，请在图中画出这张正方形纸的大小。 （3）画出（2）中图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【思路引导】（1）如图中圆的直径为2厘米，要使得如图中圆的直径是所画圆的半径，可以以如图中圆上任意一点为圆心，以2厘米为半径画圆； （2）若从正方形中剪下最大的圆，那么这个圆的直径长度与正方形的边长长度一样，（1）中画的圆半径是2厘米，所以正方形边长是厘米；作图时，确保正方形的中心与圆心重合，据此作图； （3）把图形沿着某条直线折叠后，两部分能够完全重合，这条直线就是这个图形的对称轴，据此作图。 【规范解答】（1）画一个半径是2厘米（即两个小正方形边长）的圆，如下图； （2）剪下的最大圆半径是2厘米，那么这个正方形的边长是厘米，如下图； （3）经过圆心，且经过正方形对角顶点的直线是对称轴，这样的对称轴有两条；经过圆心，且经过正方形对边中点的直线是对称轴，这样的对称轴有两条，如下图所示。 （画法不唯一） 考点四 欣赏与设计 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）先说一说下面的图案是怎样形成的，再画一画。 （1） （2） 【答案】图见详解 【思路引导】根据圆的特点，确定圆心的位置，半径的大小即可画出图形。 【规范解答】（1）先以O点为圆心，以一个小正方形的边长为半径，画个圆；再以A点为圆心，以两个小正方形的边长为半径，画个圆，最后以B点为圆心，以一个小正方形的边长为半径，画个圆即可。 （2）先以C点为圆心，以两个小正方形的边长为半径，画圆；再分别以D、E、F、G点为圆心，以一个小正方形的边长为半径，画圆即可。 【变式训练】．（23-24五年级下·辽宁·暑假作业）在下边的方格图中仿照左边的图案画一画。      【答案】见详解 【思路引导】第一个图形是以半径为一个方格、以“田”字形上下左右中间点为圆心画出4个半圆得到图形；第二个图形以半径为一个方格、以“田”字形上下左右中间点为圆心画出4个圆，将两两圆重合部分涂色得出。 【规范解答】可画出图如下： 考点五 圆的周长 【典例精讲】（24-25六年级下·广东深圳·期末）圆的周长。鹏鹏在课堂测量圆的周长时，采用了滚动法：把圆上点A对准刻度0，圆向右滚动一圈。则点A将落在直尺刻度上的（    ）。 A．2cm~4cm之间 B．4cm~6cm之间 C．6cm~8cm之间 D．8cm~10cm之间 【答案】C 【思路引导】把这个圆在直尺上滚动一周，滚动的长度就是圆的周长，由图示可知直径d＝2cm，根据圆的周长公式，求出圆的周长，进行判断并选择即可。 【规范解答】3.14×2＝6.28（cm） 6.28在6cm~8cm之间，所以点A将落在直尺刻度上的6cm~8cm之间。 【变式训练】（24-25六年级下·广东深圳·期末）三只蚂蚁分别沿图形爬一周，比较它们所走的路程，说法正确的是（    ）。 A．甲的路程＝丙的路程 B．甲的路程＜乙的路程 C．乙的路程＞丙的路程 D．甲的路程＞丙的路程 【答案】A 【思路引导】根据题意，分别求出各个图形的周长，比较周长大小即可判断。正方形的周长＝边长×4，圆的周长C＝2πr。 【规范解答】甲：2×4＝8（cm） 乙：2×3.14×1＝6.28（cm） 丙：1×4×2＝8（cm） 6.28＜8，即乙＜甲＝丙 A．甲的路程＝丙的路程，原题是相等，故原题说法正确。 B．甲的路程＞乙的路程，原题是小于，故原题说法错误。 C．乙的路程＜丙的路程，原题是大于，故原题说法错误。 D．甲的路程＝丙的路程，原题是大于，故原题说法错误。 考点六 半圆的周长 31．（24-25六年级下·河北唐山·期末）由A地到B地有两条路，路径①和路径②。路径①的长度( )路径②的长度（填“＞”“＝”或“＜”）。已知O点到C点的距离是20米，路径①的长是( )米。 【答案】 ＝ 62.8 【思路引导】根据圆的周长公式：C＝2πr＝πd计算并比较，完成填空即可。O点到C点的距离是20米，也就是路径①的圆弧的半径是20米。 【规范解答】设路径②的圆弧的直径是d，则路径①的圆弧的直径是3d。 路径①的长度：3πd÷2＝1.5πd 路径②的长度：πd÷2×3＝1.5πd 所以路径①和路径②相等。 3.14×20×2÷2 ＝62.8×2÷2 ＝62.8（米） 路径①的长度＝路径②的长度；路径①的长是62.8米。 因此，由A地到B地有两条路，路径①和路径②。路径①的长度＝路径②的长度。已知O点到C点的距离是20米，路径①的长是62.8米。 【变式训练】（24-25六年级下·甘肃定西·期末）如图是学校劳动实践基地一块空地示意图的一部分，请按要求作图。 (1)在如图空白处把长方形空地的边补充完整。 (2)学校为了美化这块空地，想要在这块长方形空地里用篱笆围一个最大的半圆形花园，在里面种上月季花和牡丹。请你设计并画出最大的花卉种植面积，并计算至少需要（    ）米篱笆。 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解；77.1 【思路引导】（1）根据长方形对边平行且相等，四个角都是直角，在如图空白处把长方形空地的边补充完整即可。 （2）想要在这块长方形空地里用篱笆围一个最大的半圆形花园，在里面种上月季花和牡丹，半圆的半径等于长方形长的一半，据此设计并画出最大的花卉种植面积，计算至少需要多少米篱笆，也就是计算半圆的周长，结合半圆的周长公式即可求解。 【规范解答】（1）把长方形空地的边补充完整。如图： （2）学校为了美化这块空地，想要在这块长方形空地里用篱笆围一个最大的半圆形花园，在里面种上月季花和牡丹。设计并画出最大的花卉种植面积，如图： 3.14×15＋15×2 ＝47.1＋30 ＝77.1（米） 至少需要77.1米篱笆。 考点七 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·福建龙岩·期末）聪聪用硬纸剪了一个外圆半径为6cm，内圆半径为2cm的圆环。按照研究圆的方法，她把圆环分成16等份并剪开，用这些近似的等腰梯形小纸片拼成一个近似的平行四边形，（如图）。这个近似的平行四边形的周长是( )cm。 【答案】58.24 【思路引导】观察图形可知，平行四边形较长的一组对边长度等于外圆周长与内圆周长之和，平行四边形较短的一组对边长度等于（外圆半径－内圆半径）×2，然后把这两组对边相加即是这个近似平行四边形的周长。根据圆的周长公式C＝2πr，求出外圆、内圆的周长。 【规范解答】2×3.14×6＋2×3.14×2＋（6－2）×2 ＝2×3.14×6＋2×3.14×2＋4×2 ＝37.68＋12.56＋8 ＝58.24（cm） 【变式训练】（25-26六年级下·山东聊城·期末）聊城摩天轮“水城之眼”的直径为110米，旋转一周约需30分钟。明明坐在观光舱内，经过15分钟，他移动了大约（    ）米。 A． B． C．55 D．110 【答案】A 【思路引导】先根据圆的直径求出摩天轮旋转一周的路程（即圆的周长），再根据明明乘坐的时间与旋转一周所需时间的关系，求出移动路程占周长的几分之几，最后计算出移动的路程。 【规范解答】摩天轮的周长＝110×π＝（米） 经过的时间占旋转一周时间的分率为： 因此，明明移动的路程为旋转一周路程的； （米） 因此，他移动了大约55π米。 考点八 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽阜阳·期末）已知空白部分小半圆的直径是4cm，求涂色部分的周长。 【答案】25.12cm 【思路引导】通过观察图形可知，涂色部分的周长＝半径为4cm的半圆的弧长＋直径为4cm的两个半圆的弧长，两个小半圆的弧长之和等于直径为4cm的圆的周长。圆的周长公式是或，代入直径或半径计算即可。 【规范解答】3.14×4＋2×3.14×4÷2 ＝12.56＋12.56 ＝25.12（cm） 所以涂色部分的周长是25.12cm。 【变式训练】（25-26六年级上·广西桂林·期末）篮球场上的三分线是由两条平行的线段和一个半圆弧组成的（如图，单位：米）。这个篮球场的三分线有( )米。（π值取3） 【答案】23.4 【思路引导】三分线的总长度由半圆弧的长度与两条平行线段的长度之和组成。先根据圆的周长公式计算出整圆的周长，再÷2得到半圆弧的长度；再计算两条长度为1.575米的线段的总长度，最后将两部分长度相加，即可得到三分线的总长度。 【规范解答】计算半圆弧的长度：圆的周长公式为C＝2πr，半圆弧长度为圆周长的一半，即πr。已知半径r＝6.75米，π取3，半圆弧长度：3×6.75＝20.25（米） 计算两条平行线段的总长度：1.575×2＝3.15（米） 计算三分线总长度：20.25＋3.15＝23.4（米） 考点九 圆周率的历史 【典例精讲】（23-24六年级上·安徽阜阳·期中）下面正确的描述是（    ） A．一个圆的周长一定是半径的π倍 B．大圆的周长除以直径比小圆的周长除以直径，所得的商要大 C．任何一个圆的周长除以这个圆的直径都是一个固定值 D．圆周率是一个固定值，等于3.14 【答案】C 【思路引导】根据圆的周长：周长＝π×直径＝π×半径×2；圆周率是圆的周长和直径的比值，这个比值是一个定值，且是一个无限不循环小数，即3.1415926…，据此判断即可。 【规范解答】A．根据圆的周长公式可知，一个圆的周长一定是这个圆半径的2π倍，原题干说法错误； B．大圆的周长除以直径与小圆的周长除以直径都等于π，原题干说法错误； C．任何一个圆的周长除以这个圆的直径都是一个固定值，原题干说法正确； D．圆周率是一个固定值，π的近似值是3.14，原题干说法错误。 正确的描述是任何一个圆的周长除以这个圆的直径都是一个固定值。 故答案为：C 【变式训练】关于圆周率，下面说法正确的有（    ）句。 （1）圆周率是一个无限不循环小数；   （2）圆周率是圆的周长和直径的比值； （3）大圆的圆周率大，小圆的圆周率小；（4）圆周率大于3.14。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】根据圆周率的含义：圆的周长和它的直径的比值，叫做圆周率；用字母π表示，π是一个无限不循环小数，据此分析解答。 【规范解答】（1）圆周率是一个无限不循环小数，原题干说法正确； （2）圆周率是圆的周长和直径的比值，原题干说法正确； （3）圆周率的大小与圆的周长无关，大圆的圆周率大，小圆的圆周率小，说法错误； （4）3.14是π的一个近似值，圆周率大于3.14，原题干说法正确。 （1）（2）（4）说法正确。 关于圆周率，下面说法正确的有3句。 故答案为：C 【考点剖析】本题考查了圆周率的含义，根据圆周率的意义进行解答。 考点十 圆的面积 【典例精讲】（2026·福建福州·小升初真题）如图所示，直角梯形ABCD的面积是24cm2，求圆的面积。 【答案】50.24cm2 【思路引导】从图中得知，有一个直角梯形ABCD，顶点B、D、C在圆心为O的圆上，DC为圆的直径，BO垂直于DC。它的上底、高都等于圆的半径 ，下底等于圆的直径 。直角梯形ABCD被平均分成了三个直角三角形。分别为三角形ABD、三角形DBO、三角形BOC、可以求出一个三角形的面积。根据三角形面积等于底乘高除以2，底和高都等于半径，所以S三角形，从而求出了r2。再根据圆的面积公式S圆，求出圆的面积。 【规范解答】三角形BOC面积：24（cm2） 半径的平方： 解：r2＝ r2＝16 圆的面积：3.14（cm2） 【变式训练】（24-25六年级下·河南·期末）求阴影部分的面积。（单位：cm） ①    ② 【答案】 ①12.56cm2 ②6.28cm2 【思路引导】（1）直角三角形的内角和是180°，其中一个直角是90°，所以两个锐角的和也是90°，这两个阴影部分可以拼成一个圆心角为90°的扇形，圆的圆心角是360°， 90°占360°的，所以圆心角为90°的扇形就是半径为4cm的圆的。由圆的面积公式，代入公式，即可求解。 （2）阴影部分是圆的一半，直径是4cm，由圆的面积公式，代入公式，再乘即可求解。 【规范解答】①180°－90°＝90° 90°÷360°＝ （cm2） ② （cm2） 考点十一 圆的面积的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·河北衡水·期末）求出如图中阴影部分的面积。 【答案】 【思路引导】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积的，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）×h÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出阴影部分的面积。 【规范解答】 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 【答案】(1)15.7米 (2)17.27平方米 【思路引导】（1）栅栏的长度等于圆周长的一半；根据圆的周长C＝2πr算出圆的周长，再除以2即可。 （2）扩建后羊圈的半径是6米，根据圆的面积S＝πr2，算出扩建后羊圈面积的一半与原来羊圈面积的一半，求出它们的差即可。 【规范解答】（1）2×3.14×5÷2＝15.7（米） 答：修这个羊圈需要15.7米的栅栏。 （2）5＋1＝6（米） 3.14×62÷2－3.14×52÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×25÷2 ＝56.52－39.25 ＝17.27（平方米） 答：羊圈的面积增加了17.27平方米。 考点十二 圆环的面积 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西商洛·期末）某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 【答案】1727元 【思路引导】根据题意可知鹅卵石路的面积是环形面积，根据环形面积公式：，把数据代入可求出鹅卵石路的面积，然后用所求面积乘每平方米鹅卵石路需要的价钱，即可解答。 【规范解答】5＋1＝6（米） 3.14×62－3.14×52 ＝3.14×36－3.14×25 ＝113.04－78.5 ＝34.54（平方米） 34.54×50＝1727（元） 答：铺完这条鹅卵石路共需要1727元。 【变式训练】（25-26六年级下·河北邢台·期末）求阴影部分的面积。 【答案】31.4 【思路引导】先求出大半圆和小半圆的半径，再根据圆环面积公式：求出圆环面积，最后求出阴影部分（半圆环）的面积。 【规范解答】小圆半径：8÷2＝4（cm） 大圆半径：4＋2＝6（cm） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（） 62.8÷2＝31.4（） 考点十三 求最大面积 【典例精讲】周长相等的长方形、正方形、圆，( )的面积最大。面积相等的长方形、正方形、圆，( )的周长最小。 【答案】 圆 圆 【思路引导】（1）要比较周长相等的长方形、正方形和圆，谁的面积大，可以先假设这三种图形的周长是多少，再利用这三种图形的面积公式，分别求出它们的面积，最后比较这三种图形面积大小； （2）周长相等时，形状越近似圆，面积越大，反之，面积相等，形状越接近圆，周长越小；长方形、正方形和圆的面积相等，它们的周长排列顺序为：长方形＞正方形＞圆；据此解答。 【规范解答】为了便于理解，假设长方形、正方形和圆的周长都是16 圆的半径：＝ 面积：π××＝≈20.38 正方形边长：16÷4＝4 面积：4×4＝16 长方形取长为5，宽为3 面积：5×3＝15 当长方形的长和宽最接近时面积也小于16； 长方形面积＜正方形面积＜圆的面积 当长方形、正方形和圆的面积相等，它们周长关系是相反的； 长方形周长＞正方形周长＞圆的周长。 周长相等的长方形、正方形和圆，圆的面积最大；面积相等的长方形、正方形和圆，圆的周长最小。 【考点剖析】本题考查图形的面积以及周长的比较，是一个经典的题型，本题从数量上认证了面积一定，长方形周长＞正方形的周长＞圆形的周长，还考查长方形、正方形、圆的面积公式以及灵活运用。 【变式训练】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是( )平方厘米。 【答案】25.12 【思路引导】在长方形里面想要画的最大的半圆，由半圆面积＝（r是半圆的半径）可以得知半径越大面积越大，而当半圆的半径等于长方形的宽时，半圆的面积最大。注意：这时半圆的直径是在长方形的长上面的，半圆的直径要小于等于长方形的长才可以。已知长是8厘米、面积为32平方厘米，则这个长方形的宽＝长方形的面积÷长，则可以求出长方形的宽，则根据半圆的面积公式可以求半圆的面积。 【规范解答】长方形的宽：32÷8＝4（厘米） 半圆的直径：4×2＝8（厘米） 则半圆的直径＝长方形的长，则长方形的宽是半圆的半径。 半圆的面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 考点十四 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁大连·期末）求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】4.935平方厘米；19.25平方厘米 【思路引导】（1）先根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形面积；再根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出整体圆面积后再除以4，求出圆面积，最后用梯形面积减去圆面积求出阴影部分的面积。 （2）先根据圆的面积公式S＝πr2，求出整体圆面积后再除以2，求出半圆面积；再根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形面积；最后用半圆面积减去空白三角形面积，求出阴影部分的面积。 【规范解答】（1）（3＋5）×3÷2 ＝8×3÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 3.14×32÷4 ＝3.14×9÷4 ＝28.26÷4 ＝7.065（平方厘米） 12－7.065＝4.935（平方厘米） （2）3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 10×4÷2 ＝40÷2 ＝20（平方厘米） 39.25－20＝19.25（平方厘米） 【变式训练】（25-26六年级下·陕西西安·期末）求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】19.44平方厘米 【思路引导】阴影部分的面积＝梯形的面积-圆面积的三角形的面积。，圆的面积公式，。从图中可知，这个三角形是等腰直角三角形，它的两个直角边相等。 【规范解答】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 阴影部分的面积是19.44平方厘米。 考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】．（2026·四川成都·小升初真题）一个圆形盘子里面内接了一个最大的正方形，阴影部分的面积是______平方厘米。 【答案】41.04 【思路引导】从图中可知，圆的直径是12厘米，用直径除以2，求出圆的半径。根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。 因为正方形是圆内最大的正方形，用一条对角线把正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是这个正方形的面积。 最后用圆的面积减去正方形的面积，求出阴影部分的面积。 【规范解答】圆的半径：12÷2＝6（厘米） 圆的面积： 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 正方形的面积：12×6÷2×2＝72（平方厘米） 阴影部分的面积：113.04－72＝41.04（平方厘米） 【变式训练】（24-25六年级下·湖南永州·期末）一个正方形时钟（如下图）边长为20cm，分针长10cm（忽略分针针尖与时钟的接触）。从中午12时整到12时45分，分针针尖走了( )cm；如果分针走了一小时，那么时钟未被分针扫到部分的面积是( )。 【答案】 47.1 86 【思路引导】分针针尖走过的路程是扇形的弧长，未被扫到的面积是正方形面积减去圆的面积。 从12时整到12时45分，分针走45分钟，转动了圈，对应的弧长是圆周长的。 分针走了一小时走过的面积是一个以分针长度为半径的圆的面积，未被扫到的面积＝正方形面积－圆的面积。 【规范解答】12时45分－12时＝45（分钟） 2×3.14×10× ＝6.28×10× ＝62.8× ＝47.1（cm） （） 考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（2026·贵州黔东南·小升初模拟）计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】18dm2 【思路引导】如下图，把右边的阴影部分移补到如箭头所示的位置，与左边的阴影部分合在一起，这样阴影部分是一个等腰直角三角形，两条直角边等于圆的半径6dm；根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算，求出阴影部分的面积。 【规范解答】如图： 6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（dm2） 【变式训练】（25-26六年级下·全国·小升初复习）如图，图A与图B相比，图A的面积（    ）图B的面积，图A的周长（    ）图B的周长。正确的选项是（    ）。 A．等于；小于 B．大于；小于 C．小于；大于 【答案】A 【思路引导】图A为半圆，其直径是4厘米。图B为不规则图形，大半圆的直径是厘米，小半圆的直径是2厘米，将该图B右边多出的半圆形通过旋转平移至左侧，填补空缺后与上面的部分组成了一个半圆，由于图A和B都是半圆，并且直径都相等，故它们的面积是相等的；图A的周长＝半圆弧长＋直径，图B的周长＝一个大半圆弧长＋两个小半圆弧长，两个小半圆弧可以看作一个小的整圆周长，根据圆的周长公式解答。 【规范解答】图B经过平移旋转填补后，转化为一个半圆形，图A和图B都是半圆形，直径相等，所以它们面积也相等。 图A的周长： （厘米） 图B的周长： （厘米） 因为，所以图A的周长＜图B的周长。 【基础通关能力提升】 1．（25-26六年级下·广东东莞·期末）丽丽把圆规的两脚张开5厘米画一个圆，她画的圆的周长是（    ）厘米。 A．10 B．15.7 C．31.4 D．50.24 【答案】C 【思路引导】画圆时，圆规两脚张开的距离等于圆的半径。已知半径长度，直接代入圆的周长公式，进行计算即可得出结果。 【规范解答】 （厘米） 她画的圆的周长是厘米。 2．（25-26六年级下·广东汕头·期末）钟表分针长10厘米，分针走一圈扫过的图形的面积是（    ）平方厘米。 A．10π B．20π C．100π D．100 【答案】C 【思路引导】分针走一圈扫过的图形是一个圆，分针的长度即为圆的半径。根据圆的面积公式，将半径数值代入公式计算即可得出结果。 【规范解答】分针走一圈扫过的图形是一个圆，已知分针长厘米，即圆的半径。 （平方厘米）。 3．（25-26六年级上·浙江金华·期末）草地上王叔叔用一根长3米的绳子在木桩上拴了一只羊。绳长是圆的( )，羊能吃到草的区域是圆的( )。 【答案】 半径 面积 【思路引导】根据圆的特征可知，木桩是圆心，绳长是圆的半径，羊吃到草的区域是一个圆的面积。 【规范解答】根据分析可知，绳长是圆的半径，羊能吃到草的区域是圆的面积。 4．（24-25六年级下·广东广州·期末）用一条长为100cm的铁丝围成一个圆，面积是( )cm2。（用含π的式子表示面积最简结果） 【答案】 【思路引导】根据“”可知“” 先求出这个圆的半径，再根据圆的面积公式即可解答。 【规范解答】100÷π÷2 ＝50÷π ＝（cm） ＝ ＝（） 5．（24-25六年级下·广东湛江·期末）如图，求阴影部分面积。 【答案】8.72平方米 【思路引导】阴影部分面积＝梯形的面积－半圆的面积。先根据梯形的上底、下底和高，计算出整个梯形的面积。再根据半圆的直径，计算出半圆的面积。用梯形面积减去半圆面积，即可得到阴影部分的面积。 【规范解答】梯形面积： （4＋6）×3÷2 ＝10×3÷2 ＝15（平方米） 半圆面积： ＝ ＝6.28（平方米） 阴影部分面积： 15－6.28＝8.72（平方米） 6．（24-25六年级下·河北张家口·期末）从下面任选一个图，求出画线部分的面积。（单位：厘米） 【答案】21.5平方厘米；200平方厘米 【思路引导】（1）画线部分的面积＝边长为10厘米的正方形的面积－直径为10厘米圆的面积，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2； （2）画线部分的面积＝两个正方形的面积和－3个空白三角形的面积，三角形的面积＝底×高÷2，正方形的面积＝边长×边长，小正方形的边长为20厘米，大正方形的边长为30厘米，一个三角形的底和高都是20厘米，一个三角形的底为（30－20）厘米，高为30厘米，一个三角形的底为（20＋30）厘米，高为30厘米。 【规范解答】（1）10×10＝100（平方厘米） 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 100－78.5＝21.5（平方厘米） （2）20×20＋30×30 ＝400＋900 ＝1300（平方厘米） 20×20÷2＝200（平方厘米） （30－20）×30÷2 ＝10×30÷2 ＝300÷2 ＝150（平方厘米） （30＋20）×30÷2 ＝50×30÷2 ＝750（平方厘米） 1300－200－150－750＝200（平方厘米） 7．（24-25六年级下·山东临沂·期末）如图是由两个相同的半圆叠拼成的。三角形ABC是一个等腰直角三角形，AB＝BC＝8cm，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3） 【答案】16平方厘米 【思路引导】阴影部分的面积等于直径是8厘米的圆的面积减去三角形ABC的面积，据此解答。 【规范解答】3×（8÷2）2－8×8÷2 ＝3×16－64÷2 ＝48－32 ＝16（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是16平方厘米。 8．（2026·山东青岛·小升初真题）学校多功能厅原有一个直径为8米的半圆形舞台。计划将舞台半径增加2米。（如图） (1)扩建后舞台的面积增加了多少平方米？ (2)扩建完成后，在新舞台的外围边缘上等距离摆放花盆，每隔3.14米摆一盆，舞台的两端都不摆放花盆一共需要摆放多少盆花？ 【答案】(1)31.4平方米 (2)5盆 【思路引导】（1）扩建后增加的面积实际上是一个半圆环的面积。首先根据原直径求出原半径，再根据半径增加量求出新半径。利用圆环面积公式S＝π（R2－r2）求出圆环面积再除以2，求出半圆环的面积。 （2）“外围边缘”指新舞台的半圆弧长，即圆周长的一半，再根据“两端都不摆放”的植树问题，间隔数＝圆周长的一半÷间距，棵数＝间隔数－1，求解。圆的周长C＝2πr。 【规范解答】（1）原舞台的半径：8÷2＝4（米） 扩建后新舞台的半径：4＋2＝6（米） 3.14×（62－42）÷2 ＝3.14×（36－16）÷2 ＝3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（平方米） 答：扩建后舞台的面积增加了31.4平方米。 （2）2×3.14×6÷2 ＝3.14×6 ＝18.84（米） 间隔数：18.84÷3.14＝6（个） 盆数：6－1＝5（盆） 答：一共需要摆放5盆花。 9．（25-26六年级下·陕西渭南·期末）中国古钱币是文化艺术宝库中的珍宝，现在人们运用它的造型创作了许多精美的饰品。如图所示，这个古钱币外形是直径为6厘米的圆，内部是一个边长为0.8厘米的正方形，则正方形与圆之间（阴影部分）的面积是多少平方厘米？ 【答案】27.62平方厘米 【思路引导】圆的面积＝，正方形面积＝边长×边长，阴影部分的面积＝外圆的面积－内部正方形的面积。 【规范解答】3.14×（6÷2）2－0.8×0.8 ＝3.14×32－0.64 ＝3.14×9－0.64 ＝28.26－0.64 ＝27.62（平方厘米） 答：正方形与圆之间（阴影部分）的面积是27.62平方厘米。 10．（24-25六年级下·河北保定·期末）小学里我们用转化的方法解决了很多问题，如图是把一个圆分成若干等份，将每份按下面的方法拼起来，用这种方法推导出了圆的面积公式。 (1)在上面的转化过程中，这两个图形间有怎样的关系？请你至少写出两条。 (2)如果上图中长方形的宽是2厘米，你能解决哪些问题？ 我要解决的问题（写出一个）。 我的解答； (3)你学哪些知识时，也用到了转化的方法？请举一个例子。 【答案】(1)这两个图形间有的关系：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。 (2)圆的面积是多少平方厘米？ 3.14×2×2＝12.56（平方厘米） 答：这个圆的面积是12.56平方厘米。 (3)我们学过的平行四边形的面积，把平行四边形沿着高剪开，转化为长方形来计算面积。 【思路引导】（1）将圆平均分成若干个完全相同的小扇形，把它们拼成如图一个近似的长方形，由此可得长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，（答案不唯一）。 （2）图中长方形的宽是2厘米，我要解决的问题：圆的面积是多少平方厘米，圆的面积＝，求解即可（答案不唯一）。 （3）我们学过的平行四边形的面积是转化为长方形的面积推导的。（答案不唯一）。 【规范解答】（1）这两个图形间有的关系：长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。（答案不唯一）。 （2）我要解决的问题：圆的面积是多少平方厘米？ 我的解答： （平方厘米） 答：圆的面积是12.56平方厘米。 （3）我们学过的平行四边形的面积，把平行四边形沿着高剪开，转化为长方形来计算面积。（答案不唯一）。 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26六年级下·广东东莞·期末）下面的轴对称图形中，只有一条对称轴的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】轴对称图形：沿着一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，这条直线就是对称轴。逐个判断每个选项对称轴的数量。 【规范解答】A．长方形：可以沿长中点连线、宽中点连线对折，一共有2条对称轴。 B．等边三角形：三条高所在的直线都是对称轴，一共有3条对称轴。 C．正方形：横竖中线、两条对角线，一共4条对称轴。 D．半圆形：只有经过圆弧中点和底边中点的这1条竖直对称轴。 2．（25-26六年级下·广东湛江·期末）在古代，我国数学史上关于圆的研究记载着不同的说法，下面说法中，描述圆心到圆上的距离一样长的是（    ）。 A．“没有规矩不成方圆” B．“径一而周三” C．“圆一中同长也” D．“圆出于方，方出于矩” 【答案】C 【思路引导】题干中“圆心到圆上的距离一样长”指的是圆的半径长度都相等，逐项分析即可。 【规范解答】A．“没有规矩不成方圆”是指画圆需要圆规，画方需要直尺，强调做事需要遵循规则，没有描述圆的半径特征，此选项错误； B．“径一而周三”是指圆的周长大约是直径的倍，反映的是圆周率的早期认识，此选项错误； C．“圆一中同长也”出自《墨经》，“一中”表示有一个中心（圆心），“同长”表示从中心到周边的距离相等（半径相等），符合题意，此选项正确； D．“圆出于方，方出于矩”是指圆可以从正方形切割而来，正方形可以用矩尺画出来，描述的是图形的形成，此选项错误。 3．（25-26六年级下·湖北鄂州·期末）小动物绕图形边线爬行一周，甲蚂蚁沿边长2km的正方形爬行，乙蜗牛沿半径1km的圆形爬行，丙瓢虫沿边长1km小正方形拼成的L形图形爬行，三只小动物各自爬行一周，下面路程说法正确的是（    ）。 A．甲的路程＝乙的路程 B．乙的路程＝丙的路程 C．甲的路程＞乙的路程 D．三只动物爬行路程都相等 【答案】C 【思路引导】根据“”求出甲蚂蚁爬行一周的路程，根据“”求出乙蜗牛爬行一周的路程，通过平移可知，丙瓢虫爬行一周的路程等于边长为（1＋1）km的正方形的周长，分别求出三只小动物各自爬行一周的路程，最后找出正确的选项。 【规范解答】甲的路程：4×2＝8（km） 乙的路程：2×3.14×1＝6.28（km） 丙的路程：4×（1＋1） ＝4×2 ＝8（km） 因为8km＝8km，8km＞6.28km，所以甲的路程＝丙的路程，甲的路程＞乙的路程，说法正确的是甲的路程＞乙的路程。 4．（24-25六年级下·福建厦门·期末）如图，这是一个正方形和一个半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，那么涂色部分的面积为( )。 【答案】33.12 【思路引导】连接BP，涂色部分的面积＝正方形的面积＋半圆的面积－三角形ABP的面积－三角形PQB的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，半圆的面积＝πr2÷2，三角形的面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【规范解答】连接BP，并分别以AB、BQ为底，作高。如图： 8÷2＝4（cm） 8×8＋3.14×4÷2 ＝64＋3.14×16÷2 ＝64＋50.24÷2 ＝64＋25.12 ＝89.12（cm2） 8×（8＋4）÷2 ＝8×12÷2 ＝96÷2 ＝48（cm2） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（cm2） 89.12－48－8＝33.12（cm2） 5．（25-26六年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是( )cm2。（π取3.14） 【答案】50 【思路引导】由图把阴影部分分为两部分：上半圆内的阴影、下半三角形内的阴影，上半圆内的阴影面积＝上半圆面积 −空白等腰三角形面积；下半三角形内的阴影面积＝三角形面积 − 下半圆面积－空白等腰三角形面积。 【规范解答】上半圆内的阴影面积：π×－×10×5 ＝×3.14×25－5×5 ＝1.57×25－25 ＝（1.57－1）×25 ＝0.57×25 ＝14.25（） 下半三角形内的阴影面积：×20×10－π×－×10×5 ＝10×10－×3.14×25－5×5 ＝100－1.57×25－25 ＝100－39.25－25 ＝60.75－25 ＝35.75（） 阴影部分的面积：14.25＋35.75＝50（） 阴影部分的面积是50。 6．（25-26六年级上·湖北宜昌·期末）求图中阴影部分的面积。 【答案】5.375平方厘米 【思路引导】根据图形，空白部分是4个的扇形，拼接在一起就是一个直径是5厘米的圆，空白部分的面积＝圆的面积＝πr2。 阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，正方形的面积＝边长×边长。代入数据计算即可。 【规范解答】5×5－3.14×（5÷2）2 ＝25－3.14×2.52 ＝25－3.14×6.25 ＝25－19.625 ＝5.375（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积5.375平方厘米。 7．（25-26六年级下·江苏淮安·期末）学校有一个花坛（如图），花坛中有一个正方形，边长是3米，正方形的顶点是4个扇形的圆心，每个扇形的半径都是1米。 (1)小明通过观察和思考想到，可以先把这4个扇形的面积转化成( )个圆的面积。 (2)请你帮小明算出花坛的总面积是多少平方米。 【答案】(1)3 (2)18.42平方米 【思路引导】（1）观察图形，正方形的顶点是四个圆心，显然四个圆与正方形重合的部分的面积是一个圆的面积；所以把这4个扇形的面积转化成 3个圆的面积。 （2）花坛的面积为三个圆和一个正方形的面积，根据圆的面积公式：，正方形的面积公式：，代入数据，即可解答。 【规范解答】（1）把这4个扇形的面积转化成 3个圆的面积。 （2）3.14××3＋3×3＝9.42＋9＝18.42（平方米） 答：花坛的总面积是18.42平方米。 8．（24-25六年级下·陕西咸阳·期末）在一场热闹非凡的街头艺术表演活动中，为了给观众带来惊喜和震撼，杂技演员决定挑战高难度项目——独轮车走钢丝，已知车轮的直径是20厘米，要骑过一根15.7米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 【答案】25周 【思路引导】圆的周长公式，取3.14，代入直径20厘米算出车轮周长，求骑过一根15.7米长的钢丝车轮大约转动多少周就是求15.7米里有几个周长，用除法计算即可。 【规范解答】15.7米＝1570厘米 1570÷（3.14×20） ＝1570÷62.8 ＝25（周） 答：车轮大约要转动25周。 9．（24-25六年级下·四川巴中·期末）如图：已知阴影部分的面积是15平方厘米，求圆的面积。 【答案】 94.2平方厘米 【思路引导】观察图形可得：这是圆内接正方形，正方形对角线就是圆的直径，且正方形对角线互相垂直平分，因此阴影三角形的两条直角边长度都等于圆的半径r。根据阴影面积计算： 三角形面积公式：阴影部分面积可得，最后计算圆的面积： 圆的面积公式为，由此解答即可。 【规范解答】阴影部分面积 ＝15 ＝15×2 ＝30 ＝3.14×30 ＝94.2（平方厘米） 因此圆的面积是94.2平方厘米。 10．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）让我们一起探索图形运动产生的数学奥秘吧！如图（单位：厘米），数轴上的长方形长8厘米，宽4厘米，圆的直径是4厘米，长方形以1厘米/秒的速度向右平移。 (1)当长方形运动6秒时，与圆的重叠面积为( )平方厘米。 (2)当长方形刚好完全穿过圆时，长方形运动了多少秒？ (3)当长方形运动多少秒时，与圆的重叠面积为6.28平方厘米？ 【答案】(1)12.56 (2)14秒 (3)4秒或12秒 【思路引导】（1）根据长方形的移动速度得到6秒时，长方形所在位置，发现此时长方形右边正好到达圆的右边缘，则重叠部分面积即为圆的面积，根据圆的面积公式，代入数值求解即可； （2）刚好完全穿过圆，即长方形整个离开圆，此时长方形左边刚好到达圆的右端点（14厘米处），即长方形左端点从0移动到14厘米处，根据时间＝路程÷速度求得移动时间； （3）根据圆的面积和重叠面积可知，重叠面积正好是圆面积的一半，即当长方形右边或者左边正好到达圆心的位置，存在两种情况，①长方形的右边到达圆心的位置，②长方形的左边到达圆心的位置。根据时间＝路程÷速度求解移动时间。 【规范解答】（1）1×6＝6（厘米） 8＋6＝14（厘米）长方形右边刚好到达圆的右边缘处，此时重叠面积为圆的面积： 3.14×（4÷2）² ＝3.14×2² ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 当长方形运动6秒时，与圆的重叠面积为12.56平方厘米。 （2）（14－0）÷1＝14（秒） 答：长方形运动了14秒。 （3）由（1）知圆的面积为：12.56平方厘米 12.56÷6.28＝2，即与圆的重叠面积是圆面积的。即长方形的左边或右边正好处于圆心（12厘米处）的位置： 第一种情况：当长方形的右边处于圆心的位置 （12－8）÷1 ＝4÷1 ＝4（秒） 第二种情况：当长方形的左边处于圆心的位置 （12－0）÷1 ＝12÷1 ＝12（秒） 答：当长方形运动4秒或12秒时，与圆的重叠面积为6.28平方厘米。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 六年级/上册（新教材） 小学数学 思维导图+新知学习+十六大考点讲练+难度分层练 （共52题） 【原卷版】 第九讲 圆（单元培优复习） 北师大版 分层训练 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 思维导图 新知学习 真题汇编 闯关达标 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以预习北师大版数学新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】（25-26六年级下·江苏徐州·期末）小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为( )厘米。 【变式训练】（25-26六年级下·江苏淮安·期末）下图中，每个小正方形的边长都是1厘米。请按要求作答。 (1)如图，以点A为圆心画了一个圆，这个圆的半径是( )厘米。 (2)在图中画出点B（8，3），点C（12，3），点D（12，6），连接B、C、D三个点，要求在图中画出这个三角形。 (3)将三角形BCD向右平移5格，画出平移后的图形。 考点二 画圆 【典例精讲】（25-26六年级下·河北廊坊·期末）图中每个小正方形的边长都是1厘米。 （1）O点的位置用数对表示是（    ）。 （2）画一个以O点为圆心，半径为4厘米的圆。 （3）点A在点O的正西方向4厘米处，点B在点O的正北方向4厘米处，在图中标出AB两点。 （4）点B在点A的（    ）偏北（    ）°方向上。 （5）依次连接点，你会发现图形是一个（    ）形。 【变式训练】（24-25六年级下·广东韶关·期末）（1）过三角形顶点A画线段BC的高。 （2）以三角形顶点A为圆心，以线段AB的长为半径画一个圆。 考点三 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（23-24六年级上·陕西西安·期中）分别画出下图的对称轴。 【变式训练】（23-24六年级上·陕西咸阳·期中）如图，每个小方格的边长表示1厘米。 （1）画出一个圆，使得这个圆的半径是如图中圆的直径。 （2）若在一张正方形纸中剪下的一个最大的圆，这个圆是（1）中所画的圆，请在图中画出这张正方形纸的大小。 （3）画出（2）中图形的所有对称轴。 考点四 欣赏与设计 【典例精讲】（23-24六年级上·辽宁·随堂练习）先说一说下面的图案是怎样形成的，再画一画。 （1） （2） 【变式训练】．（23-24五年级下·辽宁·暑假作业）在下边的方格图中仿照左边的图案画一画。      考点五 圆的周长 【典例精讲】（24-25六年级下·广东深圳·期末）圆的周长。鹏鹏在课堂测量圆的周长时，采用了滚动法：把圆上点A对准刻度0，圆向右滚动一圈。则点A将落在直尺刻度上的（    ）。 A．2cm~4cm之间 B．4cm~6cm之间 C．6cm~8cm之间 D．8cm~10cm之间 【变式训练】（24-25六年级下·广东深圳·期末）三只蚂蚁分别沿图形爬一周，比较它们所走的路程，说法正确的是（    ）。 A．甲的路程＝丙的路程 B．甲的路程＜乙的路程 C．乙的路程＞丙的路程 D．甲的路程＞丙的路程 考点六 半圆的周长 31．（24-25六年级下·河北唐山·期末）由A地到B地有两条路，路径①和路径②。路径①的长度( )路径②的长度（填“＞”“＝”或“＜”）。已知O点到C点的距离是20米，路径①的长是( )米。 【变式训练】（24-25六年级下·甘肃定西·期末）如图是学校劳动实践基地一块空地示意图的一部分，请按要求作图。 (1)在如图空白处把长方形空地的边补充完整。 (2)学校为了美化这块空地，想要在这块长方形空地里用篱笆围一个最大的半圆形花园，在里面种上月季花和牡丹。请你设计并画出最大的花卉种植面积，并计算至少需要（    ）米篱笆。 考点七 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·福建龙岩·期末）聪聪用硬纸剪了一个外圆半径为6cm，内圆半径为2cm的圆环。按照研究圆的方法，她把圆环分成16等份并剪开，用这些近似的等腰梯形小纸片拼成一个近似的平行四边形，（如图）。这个近似的平行四边形的周长是( )cm。 【变式训练】（25-26六年级下·山东聊城·期末）聊城摩天轮“水城之眼”的直径为110米，旋转一周约需30分钟。明明坐在观光舱内，经过15分钟，他移动了大约（    ）米。 A． B． C．55 D．110 考点八 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽阜阳·期末）已知空白部分小半圆的直径是4cm，求涂色部分的周长。 【变式训练】（25-26六年级上·广西桂林·期末）篮球场上的三分线是由两条平行的线段和一个半圆弧组成的（如图，单位：米）。这个篮球场的三分线有( )米。（π值取3） 考点九 圆周率的历史 【典例精讲】（23-24六年级上·安徽阜阳·期中）下面正确的描述是（    ） A．一个圆的周长一定是半径的π倍 B．大圆的周长除以直径比小圆的周长除以直径，所得的商要大 C．任何一个圆的周长除以这个圆的直径都是一个固定值 D．圆周率是一个固定值，等于3.14 【变式训练】关于圆周率，下面说法正确的有（    ）句。 （1）圆周率是一个无限不循环小数；   （2）圆周率是圆的周长和直径的比值； （3）大圆的圆周率大，小圆的圆周率小；（4）圆周率大于3.14。 A．1 B．2 C．3 D．4 考点十 圆的面积 【典例精讲】（2026·福建福州·小升初真题）如图所示，直角梯形ABCD的面积是24cm2，求圆的面积。 【变式训练】（24-25六年级下·河南·期末）求阴影部分的面积。（单位：cm） ①    ② 考点十一 圆的面积的应用 【典例精讲】（24-25六年级下·河北衡水·期末）求出如图中阴影部分的面积。 【变式训练】（2025·湖南长沙·小升初真题）一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 考点十二 圆环的面积 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西商洛·期末）某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 【变式训练】（25-26六年级下·河北邢台·期末）求阴影部分的面积。 考点十三 求最大面积 【典例精讲】周长相等的长方形、正方形、圆，( )的面积最大。面积相等的长方形、正方形、圆，( )的周长最小。 【变式训练】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是( )平方厘米。 考点十四 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁大连·期末）求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【变式训练】（25-26六年级下·陕西西安·期末）求阴影部分的面积。（单位：cm） 考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】．（2026·四川成都·小升初真题）一个圆形盘子里面内接了一个最大的正方形，阴影部分的面积是______平方厘米。 【变式训练】（24-25六年级下·湖南永州·期末）一个正方形时钟（如下图）边长为20cm，分针长10cm（忽略分针针尖与时钟的接触）。从中午12时整到12时45分，分针针尖走了( )cm；如果分针走了一小时，那么时钟未被分针扫到部分的面积是( )。 考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（2026·贵州黔东南·小升初模拟）计算下面图形阴影部分的面积。 【变式训练】（25-26六年级下·全国·小升初复习）如图，图A与图B相比，图A的面积（    ）图B的面积，图A的周长（    ）图B的周长。正确的选项是（    ）。 A．等于；小于 B．大于；小于 C．小于；大于 【基础通关能力提升】 1．（25-26六年级下·广东东莞·期末）丽丽把圆规的两脚张开5厘米画一个圆，她画的圆的周长是（    ）厘米。 A．10 B．15.7 C．31.4 D．50.24 2．（25-26六年级下·广东汕头·期末）钟表分针长10厘米，分针走一圈扫过的图形的面积是（    ）平方厘米。 A．10π B．20π C．100π D．100 3．（25-26六年级上·浙江金华·期末）草地上王叔叔用一根长3米的绳子在木桩上拴了一只羊。绳长是圆的( )，羊能吃到草的区域是圆的( )。 4．（24-25六年级下·广东广州·期末）用一条长为100cm的铁丝围成一个圆，面积是( )cm2。（用含π的式子表示面积最简结果） 5．（24-25六年级下·广东湛江·期末）如图，求阴影部分面积。 6．（24-25六年级下·河北张家口·期末）从下面任选一个图，求出画线部分的面积。（单位：厘米） 7．（24-25六年级下·山东临沂·期末）如图是由两个相同的半圆叠拼成的。三角形ABC是一个等腰直角三角形，AB＝BC＝8cm，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3） 8．（2026·山东青岛·小升初真题）学校多功能厅原有一个直径为8米的半圆形舞台。计划将舞台半径增加2米。（如图） (1)扩建后舞台的面积增加了多少平方米？ (2)扩建完成后，在新舞台的外围边缘上等距离摆放花盆，每隔3.14米摆一盆，舞台的两端都不摆放花盆一共需要摆放多少盆花？ 9．（25-26六年级下·陕西渭南·期末）中国古钱币是文化艺术宝库中的珍宝，现在人们运用它的造型创作了许多精美的饰品。如图所示，这个古钱币外形是直径为6厘米的圆，内部是一个边长为0.8厘米的正方形，则正方形与圆之间（阴影部分）的面积是多少平方厘米？ 10．（24-25六年级下·河北保定·期末）小学里我们用转化的方法解决了很多问题，如图是把一个圆分成若干等份，将每份按下面的方法拼起来，用这种方法推导出了圆的面积公式。 (1)在上面的转化过程中，这两个图形间有怎样的关系？请你至少写出两条。 (2)如果上图中长方形的宽是2厘米，你能解决哪些问题？ 我要解决的问题（写出一个）。 我的解答； (3)你学哪些知识时，也用到了转化的方法？请举一个例子。 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26六年级下·广东东莞·期末）下面的轴对称图形中，只有一条对称轴的是（    ）。 A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·广东湛江·期末）在古代，我国数学史上关于圆的研究记载着不同的说法，下面说法中，描述圆心到圆上的距离一样长的是（    ）。 A．“没有规矩不成方圆” B．“径一而周三” C．“圆一中同长也” D．“圆出于方，方出于矩” 3．（25-26六年级下·湖北鄂州·期末）小动物绕图形边线爬行一周，甲蚂蚁沿边长2km的正方形爬行，乙蜗牛沿半径1km的圆形爬行，丙瓢虫沿边长1km小正方形拼成的L形图形爬行，三只小动物各自爬行一周，下面路程说法正确的是（    ）。 A．甲的路程＝乙的路程 B．乙的路程＝丙的路程 C．甲的路程＞乙的路程 D．三只动物爬行路程都相等 4．（24-25六年级下·福建厦门·期末）如图，这是一个正方形和一个半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，那么涂色部分的面积为( )。 5．（25-26六年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是( )cm2。（π取3.14） 6．（25-26六年级上·湖北宜昌·期末）求图中阴影部分的面积。 7．（25-26六年级下·江苏淮安·期末）学校有一个花坛（如图），花坛中有一个正方形，边长是3米，正方形的顶点是4个扇形的圆心，每个扇形的半径都是1米。 (1)小明通过观察和思考想到，可以先把这4个扇形的面积转化成( )个圆的面积。 (2)请你帮小明算出花坛的总面积是多少平方米。 8．（24-25六年级下·陕西咸阳·期末）在一场热闹非凡的街头艺术表演活动中，为了给观众带来惊喜和震撼，杂技演员决定挑战高难度项目——独轮车走钢丝，已知车轮的直径是20厘米，要骑过一根15.7米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 9．（24-25六年级下·四川巴中·期末）如图：已知阴影部分的面积是15平方厘米，求圆的面积。 10．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）让我们一起探索图形运动产生的数学奥秘吧！如图（单位：厘米），数轴上的长方形长8厘米，宽4厘米，圆的直径是4厘米，长方形以1厘米/秒的速度向右平移。 (1)当长方形运动6秒时，与圆的重叠面积为( )平方厘米。 (2)当长方形刚好完全穿过圆时，长方形运动了多少秒？ (3)当长方形运动多少秒时，与圆的重叠面积为6.28平方厘米？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $