（预习篇）第八讲 圆的面积【思维导图+识卡片+新知总结+七大考点讲练+难度分层练 共41题】-2026-2027学年北师大版新教材数学五升六年级暑假衔接金牌讲义

2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 六年级/上册（新教材） 小学数学 第八讲 圆的面积 北师大版 分层训练 思维导图+新知学习+七大考点讲练+难度分层练 （共41题） 【原卷版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 思维导图 新知学习 真题汇编 闯关达标 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以预习北师大版数学新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知探究一 圆的面积（一）—公式推导 1. 转化思想：化曲为直 问题： 如何得到一个圆的面积呢？能否将圆转化成以前学过的图形呢？ 探究过程： 方法一（估算）： 在圆内画正方形，或者利用方格纸数格子。虽然能得出大致范围，但无法得到精确值。 方法二（剪拼法 - 极限思想）： 1. 把一个圆平均分成若干份（如8份、16份、32份……）。 2. 将这些扇形剪下来，拼成一个近似的平行四边形。 3. 观察规律： 分的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形。 2. 公式推导 问题： 拼成的长方形与原来的圆之间有什么联系？ 推导逻辑： 长方形的长 圆周长的一半 () 长方形的宽 圆的半径 () 面积关系： 长方形的面积 = 圆的面积 计算公式：圆的面积公式为 。 3.基础练习题（教材第27页“练一练”） 题目1：利用方格估计圆的面积 题目2：看一看，比一比 题目3：另一种拼图推导 如图，把一个圆分成若干等份后，还可以拼成近似的长方形。拼成的图形与原来的圆之间有什么联系？推导一下圆的面积计算公式。 新知探究二 圆的面积（二）—公式应用 题目1：喷灌头浇灌面积 喷水半径是 3 m，喷灌头转动一周，能浇灌多大面积的农田？ 题目2：圆形羊圈的面积 题目： 量得圆形羊圈的周长是 125.6 m。这个羊圈的面积是多少平方米？ 题目3：花坛设计方案比较 题目： 准备在绿地修建花坛。方案一：修建两个直径是 4 m 的小花坛；方案二：修建一个直径是 8 m 的大花坛。哪种方案花坛面积更大？ 考点一 圆的面积的计算 【典例精讲】（24-25六年级下·浙江嘉兴·期末）把圆规的两脚张开6厘米画一个圆，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【变式训练1】（24-25六年级下·河南鹤壁·期末）如图，两条平行线间有正方形，平行四边形和圆。 图( )的面积最小，图( )的周长最长。（填序号） 【变式训练2】（2026·甘肃陇南·小升初模拟）用两根都是16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，这两个图形的面积相比（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形的面积大 C．一样大 D．无法判断 考点二 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·海南海口·期末）小欣点了一个直径是12厘米的披萨，被告知12厘米的卖完了，用两个直径为6厘米的披萨来抵偿，小欣同意了。如果不同尺寸的披萨材料和厚度都一样，那么小欣（    ）。 A．赚了 B．亏了 C．不赚不亏 D．无法确定 【变式训练1】（24-25六年级下·河南南阳·期末）如图，等边三角形的边长是8厘米，则阴影部分的面积是( )平方厘米，空白部分的周长是( )厘米。 【变式训练2】（25-26六年级下·广东东莞·期末）如图，把一个直径8厘米的圆形硬纸片放在一张长方形的A4纸上任意移动（圆形纸片不能超出长方形纸的边线），那么这张长方形纸上圆形纸片不能接触到的面积是( )平方厘米。 考点三 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·云南昆明·期末）平平发现海埂大坝旁有一个环形花坛，他想到可以利用下面的规律来计算圆环面积。 (1)填一填找出规律 图中涂色部分面积可以用大正方形面积减小正方形面积得到，也可以转化为长方形面积计算。 (2)根据规律算一算圆环花坛占地面积。 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西商洛·期末）某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 【变式训练2】（2026·福建厦门·小升初真题）小夏想知道一卷空心卷筒纸展开的总长度，设计了一个实验方案（步骤如下），请你根据实验方案计算出卷筒纸展开后的总长度。 实验步骤 ①测量卷筒纸横截面的外圆直径为14厘米，内圆直径为6厘米。 ②测量每层纸的厚度为0.02厘米。 ③计算卷筒纸的总长度。 考点四 求最大面积 【典例精讲】（23-24六年级上·浙江衢州·期中）下面是一个长6厘米、宽4厘米的长方形，请你在这个长方形内画一个最大的圆，再计算它的面积。（要求留下找圆心的痕迹） 【变式训练1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）乐乐做下面这道题目时，是这样解答的，你认为他做得对吗？如果不正确，请你找出错误的原因，并写出你的思考过程。 将一块长4m、宽2m的长方形铁板切割出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方米？ 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝12.56（m2） 答：这个圆的面积是12.56平方米。 【变式训练2】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是( )平方厘米。 考点五 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·山西运城·期末）求阴影部分的周长和面积。 【变式训练1】（25-26六年级下·江苏淮安·期末）学校有一个花坛（如图），花坛中有一个正方形，边长是3米，正方形的顶点是4个扇形的圆心，每个扇形的半径都是1米。 (1)小明通过观察和思考想到，可以先把这4个扇形的面积转化成( )个圆的面积。 (2)请你帮小明算出花坛的总面积是多少平方米。 【变式训练2】（24-25六年级下·河南平顶山·期末）求图中阴影部分的面积。（π取3.14） 考点六 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（24-25六年级下·河南洛阳·期末）“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是__________dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是_______dm2。 【变式训练1】（24-25六年级下·河北石家庄·期末）如图中圆的直径是5厘米，空白部分是圆内最大的正方形，涂色部分的面积是( )平方厘米。 【变式训练2】（2026·四川成都·小升初真题）一个圆形盘子里面内接了一个最大的正方形，阴影部分的面积是______平方厘米。 考点七 用转化法求园的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（24-25六年级下·河北保定·期末）如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B＇，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 【变式训练1】（25-26六年级下·河南信阳·期末）如图，在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径向内画三个半圆，则空白部分的面积是8cm2。( )（判断对错） 【变式训练2】（24-25六年级下·湖北黄冈·期末）求阴影部分的面积。如图中，底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长度为直径画圆（π取3.14）。 【基础通关能力提升】 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）一个圆平均分成16份剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中（    ）。 A．周长和面积都没变 B．周长没变，面积变了 C．无法确定 D．周长变了，面积没变 2．（25-26六年级下·安徽蚌埠·期末）转化是一种重要的数学思想，在小学数学学习中经常用到转化，以下（    ）没有用到转化思想。 A． B． C． D． 3．（2026·河南南阳·小升初模拟）一块圆形玩具板（如图），铭铭在上面随意掷了一枚骰子，下面说法正确的是（    ）。 A．落在灰色区域的可能性大 B．落在白色区域的可能性大 C．落在两个区域的可能性一样大 4．（25-26六年级下·安徽蚌埠·期末）“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含着为人处世的道理。量得正方形周长是40分米，正方形内最大的圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 5．（24-25六年级下·河北承德·期末）如图，圆的直径是6厘米，剪拼成的长方形的宽是( )厘米。 6．（25-26六年级下·河北保定·期末）已知平行四边形的面积是20平方厘米，求圆的面积。 7．（24-25六年级下·河南郑州·期末）求阴影部分的面积 8．（25-26六年级下·北京昌平·期末）公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 9．（2026·山东青岛·小升初真题）学校多功能厅原有一个直径为8米的半圆形舞台。计划将舞台半径增加2米。（如图） (1)扩建后舞台的面积增加了多少平方米？ (2)扩建完成后，在新舞台的外围边缘上等距离摆放花盆，每隔3.14米摆一盆，舞台的两端都不摆放花盆一共需要摆放多少盆花？ 10．（25-26六年级下·浙江宁波·期末）计算的结果，如果直接列竖式计算比较复杂，我们可以采用“数形结合”的方法，借助图形进行推理计算。 的值我们可以看成是“边长2026的正方形的面积”， 的值我们可以看成是“边长2025的正方形的面积”， 那么，可以画成如下草图。 (1)在图上给“比多的部分”涂上阴影。 (2)不列竖式，求出阴影部分的面积。 (3)借助上图，我们可以得到：( )。 (4)请你再举一个以前学习中利用“数形结合”来求解的例子。 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26六年级下·贵州黔南·期末）春节贴窗花，用100厘米红绳围窗花轮廓，围成面积最大的是（    ）。 A．正方形 B．三角形 C．圆 D．平行四边形 2．（25-26六年级下·云南昆明·期末）在解决下面四个问题时，主要运用的数学思想与其他三个不同的是（    ）。 A．用推导出三角形的面积计算公式 B．用表示 C．用出圆的面积公式 D． 3．（25-26六年级下·广东佛山·期末）《九章算术》中记载了一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步。”意思是：圆环面积＝（内圆周长＋外圆周长）÷2×径，其中“径”指圆环的宽度。如图，已知一个圆环的环宽是2米，且外圆的半径是5米，那么这个圆环的面积是（    ）。（取3.14，结果保留一位小数） A．50.2平方米 B．100.5平方米 C．150.7平方米 D．200.9平方米 4．（2025·山东临沂·小升初真题）果果家的客厅里挂了一幅正方形的十字绣作品，如图，圆形绣花部分的直径是2m，绣花部分以外的面积是( )。 5．（24-25六年级下·山东菏泽·期末）如图所示，圆的周长是62.8厘米，圆的面积和长方形的面积相等。则阴影部分的周长为( )厘米。 6．（25-26六年级下·浙江宁波·期末）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 7．（25-26六年级下·河南商丘·期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米） 8．（2025·湖南长沙·小升初真题）一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 9．（25-26六年级下·湖北恩施·期末）施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 10．（25-26六年级上·北京海淀·期末）海棠门是一种形似四瓣海棠花的经典中式门洞，广泛应用在传统和现代空设计中，它可以看成是由一个正方形和四个半圆组合而成的图形，如图，图中这个海棠门的面积是多少平方米？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 暑假衔接 第八讲圆的面积 思维导图+新知学习+七大考点讲练+难度分层练 (共41题) 【原卷版】 思维导图 浏览知识 知晓考点 新知学习 知识梳理 方法提炼 考点讲练 重点难点优选题型 分层训练 真题汇编闯关达标 小学数学 六年级/上册（新教材） 版 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 课前指导讲义简介 同学，你好！该份讲义主要以预习北师大版数学新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导 图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充 分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清 晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学 得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人 教版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 思维导图考点指引 圆面积的计算公式的推导 圆面积的探索 推导思路：通过转化，发现圆面积与半径的关系。 公式中各量的意义 。1.圆的面积（一） 等分 拼成近似长方形 感来摇近长方形 S:圆的面积 探究方法：把圆转化成学过的图形。 r:园的半径 转化成长方形（近似） 转化成格子图（近制） 等分的份 π：圆周率(=3.14 越多，拼成的 8等分 图形越接近 平行四边形的面积=底×高 16等分 AALL 一哑 长方形。 S■axh 32等分 ↓ 。2.圆的面积（二） 长方形的长=(半圆周长的一半) 宽=T 园的面积公式 图的面积S=πr2 圈的面积=长×宽=πr×r=πr S=πr2 的面积。 实际应用 S=πr 1.喷水管洒水问题 北师大版·六年级上册 水是3 喷水头转动一周 圆面积的意义与联系 第二单元《圆》 能洗准多大面积的衣田？ 5=3.14×32=28.26(m2) 1,圆面积的意义 圆的面积 圆所图成的平面图形的大小，叫作图的面积 2.羊图围栏问题 第4节 量得图形举圆的周长是125,6m,求半径和面积。 2.圆与平行四边形的联系 r=125.6+3.14+2=20(m) s=3.14×202=1256(m2 3.解决实际问题的策略 3.圆面积与半径的关系 图形中的圆面积问题（综合提升）】 根据实际情况，选择合适的方案 圆的面积与半径的平方成正比例 运用圆的面积公式解决问题。 半径越大，面积越大。 1.杯垫问题 2.园林曼观问颗 3.运动烯跑道问题 4.图环面积问酒 公式的记忆与应用小提示 一个园影杯垫的半程是4cm, 天坛公园的回音提是围形围增 运动场胞道形状如图 下图中大系半经等子小圆率扫 它的面职是多少平方爱米？ 周长的204.1m,围职约 两边是半墨形，中问是长方形 的2倍，求朋影部分的置积 学习小结 ★公式：S=πr2 是多少平方米？ 占地面积是多少平方来？ 5=3.14×42=50.24(cm2) 掌握圆的面积公式5=π ★要点：记住半径r r=204.1+3.14+2=32.5(m 5=3.14×32.53= 20m 4.cm 2.理解公式的推导过程和各量的意义 套用公式不出错。 317.49(m2 3,能运用公式解决生活中的实际问题 ★单位：面积单位要统一 =50m ★方法：转化思想是关键， S=2×(3×3.14x20）+50×203=元(82-4)=3.14×(64-16 转化思想巧运用，圆的面积轻松求！ 实际问题灵活用 =3.14×200+1000=1628(m =150.72(cm2) 第2页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 新知总结技巧点拨 新知探究一圆的面积（一）一公式推导 1.转化思想：化曲为直 问题：如何得到一个圆的面积呢？能否将圆转化成以前学过的图形呢？ 我能求出正方形的面积， 画方格数一数，不是 剩下的怎么办呢？ 整格的怎么办呢？ 探究过程： 方法一（估算）：在圆内画正方形，或者利用方格纸数格子。虽然能得出大致范围，但无法得到精确值。 方法二（剪拼法一极限思想）： 1.把一个圆平均分成若干份（如8份、16份、32份…）。 2.将这些扇形剪下来，拼成一个近似的平行四边形。 3.观察规律： 分的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形。 2.公式推导 8等分 可以近似看成 平行四边形。 16等分 第3页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 问题：拼成的长方形与原来的圆之间有什么联系？ 更接近平行四边形。 32等分 推导逻辑：长方形的长≈圆周长的一半(C÷2=πr) 长方形的宽≈圆的半径) 面积关系：长方形的面积=圆的面积 计算公式：圆的面积公式为S=π2。 如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么 平行四边形的面积=底×高 圆的面积S=π2 S=元r×1 3.基础练习题（教材第27页“练一练”) 题目1：利用方格估计圆的面积 将1个方格细分为 4个小方格 圆的面积大约是()个方格。 圆的面积大约是()个小方格。 题目2：看一看，比一比 第4页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 圆的面积比圆外的 正方形面积小，比 圆内的正方形面积 大… 题目3：另一种拼图推导 如图，把一个圆分成若干等份后，还可以拼成近似的长方形。拼成的图形与原来的圆之间有什么联系？推 导一下圆的面积计算公式。 新知探究二圆的面积（二）一公式应用 题目1：喷灌头浇灌面积 喷水头转动一周，浇 灌农田的形状是圆。 3m 喷水半径是3m,喷灌头转动一周，能浇灌多大面积的农田？ 第5页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 题目2：圆形羊圈的面积 题目：量得圆形羊圈的周长是125.6m。这个羊圈的面积是多少平方米？ 题目3：花坛设计方案比较 题目：准备在绿地修建花坛。方案一：修建两个直径是4m的小花坛；方案二：修建一个直径是8m的 大花坛。哪种方案花坛面积更大？ 方案一 方案二 修建两个直径是 修建一个直径是 4m的小花坛。 8m的大花坛。 大花坛的直径是小花坛的2倍， 方案-：3.14×(4+2×2=25.12(m) 两个小花坛的面积应该和一个大花 方案=：3.14×(8÷2广=50.24(m2) 坛的面积一样大吧。 方案二的花坛面积大，而且 答： 比方案一大这么多！怎么回事？ 优选题型考点讲练 考点一圆的面积的计算 【典例精讲】(24-25六年级下·浙江嘉兴·期末)把圆规的两脚张开6厘米画一个圆，这个圆的周长是 ( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【变式训练1】(24-25六年级下·河南鹤壁·期末)如图，两条平行线间有正方形，平行四边形和圆。 ① ② ③ 3厘米 3厘米 第6页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 图( )的面积最小，图( )的周长最长。（填序号） 【变式训练2】(2026·甘肃陇南·小升初模拟)用两根都是16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方 形，这两个图形的面积相比( )。 A.圆的面积大B.正方形的面积大C.一样大 D.无法判断 考点二圆的面积的应用 【典例精讲】(25-26六年级下·海南海口·期末)小欣点了一个直径是12厘米的披萨，被告知12厘米 的卖完了，用两个直径为6厘米的披萨来抵偿，小欣同意了。如果不同尺寸的披萨材料和厚度都一样，那 么小欣( )。 A.赚了 B.亏了 C.不赚不亏 D.无法确定 【变式训练1】(24-25六年级下·河南南阳·期末)如图，等边三角形的边长是8厘米，则阴影部分的 面积是( )平方厘米，空白部分的周长是( )厘米。 【变式训练2】(25-26六年级下·广东东莞·期末)如图，把一个直径8厘米的圆形硬纸片放在一张长 方形的A4纸上任意移动（圆形纸片不能超出长方形纸的边线），那么这张长方形纸上圆形纸片不能接触到 的面积是( )平方厘米。 考点三圆环的面积 【典例精讲】(25-26六年级下·云南昆明·期末)平平发现海埂大坝旁有一个环形花坛，他想到可以利 用下面的规律来计算圆环面积。 (1)填一填找出规律 图中涂色部分面积可以用大正方形面积减小正方形面积得到，也可以转化为长方形面积计算。 第7页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 52-42=(5+4)×(5-4) 5232=( X 52-22=( )×2 a2-b2=()×() (2)根据规律算一算圆环花坛占地面积。 16m 14m 【变式训练1】(24-25六年级下·陕西商洛·期末)某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的 圆形花坛（如图），在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路（阴影部分），如果铺每平方米鹅卵石路 需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 鹅卵石路 5m 【变式训练2】(2026·福建厦门·小升初真题)小夏想知道一卷空心卷筒纸展开的总长度，设计了一个 实验方案（步骤如下），请你根据实验方案计算出卷筒纸展开后的总长度。 实 ①测量卷筒纸横截面的外圆直径为14厘米，内圆直径为6厘米。 验 ②测量每层纸的厚度为0.02厘米。 步 ③计算卷筒纸的总长度。 骤 第8页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 考点四求最大面积 【典例精讲】(23-24六年级上·浙江衢州·期中)下面是一个长6厘米、宽4厘米的长方形，请你在这 个长方形内画一个最大的圆，再计算它的面积。（要求留下找圆心的痕迹） 【变式训练1】(23-24六年级上·辽宁·课后作业)乐乐做下面这道题目时，是这样解答的，你认为他 做得对吗？如果不正确，请你找出错误的原因，并写出你的思考过程。 将一块长4m、宽2m的长方形铁板切割出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方米？ 3.14×(4÷2)2 =3.14×22 =12.56(m2) 答：这个圆的面积是12.56平方米。 第9页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练2】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是 )平方厘米。 考点五含圆的组合图形的面积 【典例精讲】(25-26六年级下·山西运城·期末)求阴影部分的周长和面积。 8cm 8cm 【变式训练1】(25-26六年级下·江苏准安·期末)学校有一个花坛（如图)，花坛中有一个正方形， 边长是3米，正方形的顶点是4个扇形的圆心，每个扇形的半径都是1米。 83 (1)小明通过观察和思考想到，可以先把这4个扇形的面积转化成( )个圆的面积。 (2)请你帮小明算出花坛的总面积是多少平方米。 【变式训练2】(24-25六年级下·河南平顶山·期末)求图中阴影部分的面积。（π取3.14） 的 10cm 第10页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 考点六方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】(24-25六年级下·河南洛阳·期末)“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见 的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图(1)中外面正方形的面积是36d,则内圆的面积是 dm',如果图(2)中外圆的面积是25.12dm°，则圆内大正方形的面积是 dm。 (1) (2) 【变式训练1】(24-25六年级下·河北石家庄·期末)如图中圆的直径是5厘米，空白部分是圆内最大 的正方形，涂色部分的面积是()平方厘米。 5厘米 【变式训练2】(2026·四川成都·小升初真题)一个圆形盘子里面内接了一个最大的正方形，阴影部分 的面积是 平方厘米。 12cm 考点七用转化法求园的组合图形的周长与面积 【典例精讲】(24-25六年级下·河北保定·期末)如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个 半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B',则阴影部分的面积是( )平方厘米。 B 60° A 【变式训练1】(25-26六年级下·河南信阳·期末)如图，在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的 三条边为直径向内画三个半圆，则空白部分的面积是8cm'。( ）（判断对错) 第11页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 【变式训练2】(24-25六年级下·湖北黄冈·期末)求阴影部分的面积。如图中，底边和高都是6厘米 的等腰三角形，分别以高的长度为直径画圆（π取3.14）。 真题汇编能力强化 ■■aB■■Iaga果aana■■aI■g里 【基础通关能力提升】 1.(2025·湖南长沙·小升初真题)一个圆平均分成16份剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程 中( )。 A.周长和面积都没变 B.周长没变，面积变了 C.无法确定 D.周长变了，面积没变 2.(25-26六年级下·安徽蚌埠·期末)转化是一种重要的数学思想，在小学数学学习中经常用到转化， 以下( )没有用到转化思想。 WW B. 底 ∠2 8857.65 85765 ∠18∠3 ∠1+∠2=180 ∠2=∠4 ∠4 ∠1+∠4=180 扩大到它的100倍 扩大到它的100倍 C. 3.(2026·河南南阳·小升初模拟)一块圆形玩具板（如图），铭铭在上面随意掷了一枚骰子，下面说法 正确的是( )。 第12页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) A.落在灰色区域的可能性大 B.落在白色区域的可能性大 C.落在两个区域的可能性一样大 4.(25-26六年级下·安徽蚌埠·期末)“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含着为人处世 的道理。量得正方形周长是40分米，正方形内最大的圆的周长是( )分米，面积是( )平方 分米。 5.(24-25六年级下·河北承德·期末)如图，圆的直径是6厘米，剪拼成的长方形的宽是( )厘 米。 6.(25-26六年级下·河北保定·期末)已知平行四边形的面积是20平方厘米，求圆的面积。 7.(24-25六年级下·河南郑州·期末)求阴影部分的面积 12cm 第13页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 8.(25-26六年级下·北京昌平·期末)公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最 大的喷水面积是多少平方米？ 隐 9.(2026·山东青岛·小升初真题)学校多功能厅原有一个直径为8米的半圆形舞台。计划将舞台半径增 加2米。（如图） (1)扩建后舞台的面积增加了多少平方米？ (2)扩建完成后，在新舞台的外围边缘上等距离摆放花盆，每隔3.14米摆一盆，舞台的两端都不摆放花盆 一共需要摆放多少盆花？ 第14页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 10.(25-26六年级下·浙江宁波·期末)计算20262-20252的结果，如果直接列竖式计算比较复杂，我 们可以采用“数形结合”的方法，借助图形进行推理计算。 20262的值我们可以看成是“边长2026的正方形的面积”， 20252的值我们可以看成是“边长2025的正方形的面积”， 那么，20262-20252可以画成如下草图。 2025 2026 2025 2026 (1)在图上给“20262比20252多的部分”涂上阴影。 (2)不列竖式，求出阴影部分的面积。 (3)借助上图，我们可以得到：20262-20252=（ ）。 (4)请你再举一个以前学习中利用“数形结合”来求解的例子。 【思维拓展拔尖训练】 1.(25-26六年级下贵州黔南期末)春节贴窗花，用100厘米红绳围窗花轮廓，围成面积最大的是( A.正方形 B.三角形 C.圆 D.平行四边形 2.(25-26六年级下·云南昆明·期末)在解决下面四个问题时，主要运用的数学思想与其他三个不同的 是( )。 A.用 推导出三角形的面积计算公式 B.用 表示×对 C.用 出圆的面积公式 第15页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) &85J7.65 扩大到它的100倍 扩大到它的100倍 D 3.(25-26六年级下·广东佛山·期末)《九章算术》中记载了一种求圆环面积的方法：“并中外周而半 之，以径乘之为积步。”意思是：圆环面积=（内圆周长十外圆周长)÷2×径，其中“径”指圆环的宽度。 如图，已知一个圆环的环宽是2米，且外圆的半径是5米，那么这个圆环的面积是( )。(取 3.14,结果保留一位小数) A.50.2平方米B.100.5平方米C.150.7平方米 D.200.9平方米 4.(2025·山东临沂·小升初真题)果果家的客厅里挂了一幅正方形的十字绣作品，如图，圆形绣花部分 的直径是2m,绣花部分以外的面积是( )m2。 5.(24-25六年级下·山东菏泽·期末)如图所示，圆的周长是62.8厘米，圆的面积和长方形的面积相等。 则阴影部分的周长为( )厘米。 6.(25-26六年级下·浙江宁波·期末)求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 第16页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接) 7.(25-26六年级下·河南商丘·期末)求阴影部分的面积。（单位：厘米） 8.(2025·湖南长沙·小升初真题)一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 5m (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 9.(25-26六年级下·湖北恩施·期末)施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报 的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4 个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 2cm 第17页共18页 2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 10.(25-26六年级上·北京海淀·期末)海棠门是一种形似四瓣海棠花的经典中式门洞，广泛应用在传统 和现代空设计中，它可以看成是由一个正方形和四个半圆组合而成的图形，如图，图中这个海棠门的面积 是多少平方米？ Im 第18页共18页nullnull2026-2027学年北师大版数学五升六年级衔接金牌培优讲义（新课衔接） 2026-2027学年数学五升六年级暑期学习金牌培优讲义【新课衔接篇】 六年级/上册（新教材） 小学数学 第八讲 圆的面积 北师大版 分层训练 思维导图+新知学习+七大考点讲练+难度分层练 （共41题） 【解析版】 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 暑假衔接 考点讲练练 浏览知识 知晓考点 思维导图 新知学习 真题汇编 闯关达标 重点难点 优选题型 知识梳理 方法提炼 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学，你好！该份讲义主要以预习北师大版数学新教材六年级上册内容为主，讲义包含思维导图，知识总结，高频考点真题讲练，优选题难度分层练20题等四大模块！内容充实，题量充分，题型经典，精选全国各地名校常考，易错，压轴类等题型，整体难度中上。解析版思路清晰，解题过程简洁完整！该套暑假衔接讲义非常适合学生自学，教师备课使用！希望你暑假学得开心，玩得愉快！ 友情提醒：本套讲义新知学习内容建议结合思维导图、知识卡片内容学习（导图，卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 新知探究一 圆的面积（一）—公式推导 1. 转化思想：化曲为直 问题： 如何得到一个圆的面积呢？能否将圆转化成以前学过的图形呢？ 探究过程： 方法一（估算）： 在圆内画正方形，或者利用方格纸数格子。虽然能得出大致范围，但无法得到精确值。 方法二（剪拼法 - 极限思想）： 1. 把一个圆平均分成若干份（如8份、16份、32份……）。 2. 将这些扇形剪下来，拼成一个近似的平行四边形。 3. 观察规律： 分的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形。 2. 公式推导 问题： 拼成的长方形与原来的圆之间有什么联系？ 推导逻辑： 长方形的长 圆周长的一半 () 长方形的宽 圆的半径 () 面积关系： 长方形的面积 = 圆的面积 计算公式：圆的面积公式为 。 3.基础练习题（教材第27页“练一练”） 题目1：利用方格估计圆的面积 解题思路： 这是为了让学生体会“分割越细，估算越准”的极限思想。 1. 粗网格估算： 数出整格和半格的数量。通常整格约4-5个，加上边缘凑整，大约是12-13个方格左右（视具体数法而定，答案不唯一，重在过程）。 2. 细网格估算： 将1个大方格分为4个小方格后，边缘的误差变小，数出来的结果会更接近真实值（）。如果半径是2个大格（即4个小格），面积应为 个大格面积。 参考答案： 圆的面积大约是 12~13 个大方格。 * 圆的面积大约是 50 个小方格左右（）。 题目2：看一看，比一比 解题思路： 圆外的正方形完全包围了圆，所以 圆外正方形面积 > 圆面积。 圆完全包围了圆内的正方形，所以 圆面积 > 圆内正方形面积。 结论： 圆的面积介于圆内接正方形面积和圆外切正方形面积之间。 题目3：另一种拼图推导 如图，把一个圆分成若干等份后，还可以拼成近似的长方形。拼成的图形与原来的圆之间有什么联系？推导一下圆的面积计算公式。 解题思路： 此题旨在巩固公式推导过程。虽然图示可能展示的是拼成平行四边形或长方形的不同变体，核心逻辑不变。 底/长 = 圆周长的一半 () 高/宽 = 半径 () 面积 = 底 高 = 新知探究二 圆的面积（二）—公式应用 题目1：喷灌头浇灌面积 喷水半径是 3 m，喷灌头转动一周，能浇灌多大面积的农田？ 解题步骤： 1. 分析： 喷灌头转动一周形成的图形是一个圆，半径 m。求浇灌面积即求圆的面积。 2. 计算： 答： 能浇灌 28.26 平方米的农田。 题目2：圆形羊圈的面积 题目： 量得圆形羊圈的周长是 125.6 m。这个羊圈的面积是多少平方米？ 解题步骤： 1. 分析： 已知周长 ，求面积 。需要先通过周长求出半径 。 2. 求半径： 3. 求面积： 答： 这个羊圈的面积是 1256 平方米。 题目3：花坛设计方案比较 题目： 准备在绿地修建花坛。方案一：修建两个直径是 4 m 的小花坛；方案二：修建一个直径是 8 m 的大花坛。哪种方案花坛面积更大？ 解题步骤： 1. 计算方案一面积（两个小圆）： 小圆半径 m 单个小圆面积 总面积 2. 计算方案二面积（一个大圆）：大圆半径 m 总面积 3. 比较： 结论： 方案二的花坛面积更大。事实上，大圆半径是小圆的2倍，面积则是小圆的4倍（），而方案二只有一个大圆，方案一只有两个小圆，所以方案二面积是方案一的2倍。 考点一 圆的面积的计算 【典例精讲】（24-25六年级下·浙江嘉兴·期末）把圆规的两脚张开6厘米画一个圆，这个圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。（π取3.14） 【答案】 37.68 113.04 【思路引导】把圆规的两脚张开6厘米画一个圆，说明这个圆的半径为6厘米。圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr²。 【规范解答】圆的周长＝2×3.14×6 ＝37.68（厘米） 圆的面积＝3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 【变式训练1】（24-25六年级下·河南鹤壁·期末）如图，两条平行线间有正方形，平行四边形和圆。 图( )的面积最小，图( )的周长最长。（填序号） 【答案】 ③ ② 【思路引导】由图知，正方形的边长等于平行四边形的高等于圆的直径。据此代入正方形面积S＝边长×边长，平行四边形面积S＝底×高，圆的面积，计算并比较三个图形面积的关系；再根据直角三角形的斜边大于直角边，以及正方形周长＝边长×4，圆的周长C＝πd，计算并比较三个图形周长的关系。 【规范解答】（1）正方形面积：3×3＝9（平方厘米） 平行四边形面积：3×3＝9（平方厘米） 圆的面积： 3.14×（3÷2）2 ＝3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方厘米） 因为9＝9＞7.065， 所以可得正方形面积等于平行四边形面积，圆的面积最小。 （2）正方形周长：3×4＝12（厘米） 圆的周长：3.14×3＝9.42（厘米） 因为平行四边形的底＝正方形的边长，另一斜边的长度大于正方形的边长，可知平行四边形的周长一定大于正方形的周长。因此，平行四边形周长最大，其次是正方形周长，圆的周长最小。 【变式训练2】（2026·甘肃陇南·小升初模拟）用两根都是16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，这两个图形的面积相比（    ）。 A．圆的面积大 B．正方形的面积大 C．一样大 D．无法判断 【答案】A 【思路引导】根据题意，用两根长16厘米的铁丝分别围成一个圆和一个正方形，那么铁丝的长度等于圆的周长和正方形的周长。 根据正方形的边长＝周长÷4，正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积； 根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 最后比较正方形和圆的面积，得出结论。 【规范解答】正方形的边长：16÷4＝4（cm） 正方形的面积：4×4＝16（cm2） 圆的半径：16÷3.14÷2≈2.5（cm） 圆的面积： 3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（cm2） 因为19.625＞16，所以圆的面积大。 考点二 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·海南海口·期末）小欣点了一个直径是12厘米的披萨，被告知12厘米的卖完了，用两个直径为6厘米的披萨来抵偿，小欣同意了。如果不同尺寸的披萨材料和厚度都一样，那么小欣（    ）。 A．赚了 B．亏了 C．不赚不亏 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】利用圆的面积公式，分别计算出原计划披萨的面积和实际补偿披萨的总面积，通过比较两者的大小来判断小欣是否吃亏。 【规范解答】 (厘米) (平方厘米) (厘米) (平方厘米) (平方厘米) 原计划披萨面积大于补偿披萨总面积，所以小欣亏了。 【变式训练1】（24-25六年级下·河南南阳·期末）如图，等边三角形的边长是8厘米，则阴影部分的面积是( )平方厘米，空白部分的周长是( )厘米。 【答案】 25.12 12.56 【思路引导】第一空：等边三角形每个内角＝60°，三个扇形圆心角总和：60°×3＝180°，刚好拼成一个半圆。半圆半径为等边三角形的一半，根据圆的面积公式算出面积除以2即可得到阴影部分面积。 第二空：空白部分周长就是圆周长的一半，根据圆的周长公式算出周长除以2即可。 【规范解答】8÷2＝4（厘米） 阴影部分面积＝半圆面积＝＝＝25.12（平方厘米） 空白部分的周长＝＝12.56（厘米） 【变式训练2】（25-26六年级下·广东东莞·期末）如图，把一个直径8厘米的圆形硬纸片放在一张长方形的A4纸上任意移动（圆形纸片不能超出长方形纸的边线），那么这张长方形纸上圆形纸片不能接触到的面积是( )平方厘米。 【答案】13.76 【思路引导】当圆移动到一个直角处时，不能接触到的面积是以圆的半径为边长的正方形的面积减去圆面积的，算出一个直角处不能接触到的面积，再乘4即可。正方形的面积＝边长×边长，圆的面积S＝πr2。 【规范解答】8÷2＝4（厘米） （4×4－3.14×42×）×4 ＝（4×4－3.14×16×）×4     ＝（16－12.56）×4 ＝3.44×4 ＝13.76（平方厘米） 考点三 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·云南昆明·期末）平平发现海埂大坝旁有一个环形花坛，他想到可以利用下面的规律来计算圆环面积。 (1)填一填找出规律 图中涂色部分面积可以用大正方形面积减小正方形面积得到，也可以转化为长方形面积计算。 (2)根据规律算一算圆环花坛占地面积。 【答案】(1) (2)188.4平方米 【思路引导】（1）第二幅图中，将阴影部分转化成长方形计算面积，长为（5＋3），宽（5－3），根据长×宽计算面积； 第三幅图中，将阴影部分转化成长方形计算面积，长为（5＋2），宽（5－2），根据长×宽计算面积； 第四幅图中，将阴影部分转化成长方形计算面积，长为（a＋b），宽（a－b），根据长×宽计算面积。 （2）根据第（1）小题中总结出的规律，圆环面积＝πR²－πr²＝π×（R＋r）×（R－r）。 【规范解答】（1）5²－3²＝（5＋3）×（5－3） 5²－2²＝（5＋2）×（5－2） a²－b²＝（a＋b）×（a－b） （2）花坛面积＝π×（R＋r）×（R－r） ＝3.14×（16＋14）×（16－14） ＝3.14×30×2 ＝94.2×2 ＝188.4（平方米） 答：花坛面积为188.4平方米。 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西商洛·期末）某小学为提升校园环境，新建了一个半径为5米的圆形花坛如图，在这个花坛周围铺上一条1米宽的鹅卵石路阴影部分，如果铺每平方米鹅卵石路需要50元，铺完这条鹅卵石路需要多少元？ 【答案】1727元 【思路引导】根据题意可知鹅卵石路的面积是环形面积，根据环形面积公式：，把数据代入可求出鹅卵石路的面积，然后用所求面积乘每平方米鹅卵石路需要的价钱，即可解答。 【规范解答】5＋1＝6（米） 3.14×62－3.14×52 ＝3.14×36－3.14×25 ＝113.04－78.5 ＝34.54（平方米） 34.54×50＝1727（元） 答：铺完这条鹅卵石路共需要1727元。 【变式训练2】（2026·福建厦门·小升初真题）小夏想知道一卷空心卷筒纸展开的总长度，设计了一个实验方案（步骤如下），请你根据实验方案计算出卷筒纸展开后的总长度。 实验步骤 ①测量卷筒纸横截面的外圆直径为14厘米，内圆直径为6厘米。 ②测量每层纸的厚度为0.02厘米。 ③计算卷筒纸的总长度。 【答案】6280厘米 【思路引导】卷筒纸的横截面面积（圆环面积）＝纸的长度×纸的厚度。分别用外圆和内圆的直径除以2算出外圆和内圆的半径，根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2）算出卷筒纸的横截面面积；然后用卷筒纸的横截面面积除以纸的厚度即可算出卷筒纸的长度。 【规范解答】14÷2＝7（厘米） 6÷2＝3（厘米） 3.14×（72－32） ＝3.14×（49－9） ＝3.14×40 ＝125.6（平方厘米） 125.6÷0.02＝6280（厘米） 答：卷筒纸展开后的总长度是6280厘米。 考点四 求最大面积 【典例精讲】（23-24六年级上·浙江衢州·期中）下面是一个长6厘米、宽4厘米的长方形，请你在这个长方形内画一个最大的圆，再计算它的面积。（要求留下找圆心的痕迹） 【答案】图见详解；12.56平方厘米 【思路引导】由题意可知，在这个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，两条对角线交叉的点即可确定为圆心，依据圆的基本画法，即可画出符合要求的圆，再根据圆的面积公式：，将数据代入公式计算即可。 【规范解答】 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 答：这个长方形内最大的圆的面积为12.56平方厘米。 【变式训练1】（23-24六年级上·辽宁·课后作业）乐乐做下面这道题目时，是这样解答的，你认为他做得对吗？如果不正确，请你找出错误的原因，并写出你的思考过程。 将一块长4m、宽2m的长方形铁板切割出一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方米？ 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝12.56（m2） 答：这个圆的面积是12.56平方米。 【答案】不正确，乐乐把圆的直径看作4m了，应该为2m正确列式： 3.14×（2÷2）2＝3.14（m2） 【思路引导】在长方形里切割一个最大的圆，应以短边为直径，用直径除以2求出半径，再代入圆的面积公式去计算。据此解答。 【规范解答】 （m2） 答：不正确，乐乐把圆的直径看作4m了，应该为2m正确列式：3.14×（2÷2）2＝3.14（m2）。 【变式训练2】在长为8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是( )平方厘米。 【答案】25.12 【思路引导】在长方形里面想要画的最大的半圆，由半圆面积＝（r是半圆的半径）可以得知半径越大面积越大，而当半圆的半径等于长方形的宽时，半圆的面积最大。注意：这时半圆的直径是在长方形的长上面的，半圆的直径要小于等于长方形的长才可以。已知长是8厘米、面积为32平方厘米，则这个长方形的宽＝长方形的面积÷长，则可以求出长方形的宽，则根据半圆的面积公式可以求半圆的面积。 【规范解答】长方形的宽：32÷8＝4（厘米） 半圆的直径：4×2＝8（厘米） 则半圆的直径＝长方形的长，则长方形的宽是半圆的半径。 半圆的面积：3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 考点五 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·山西运城·期末）求阴影部分的周长和面积。 【答案】37.68cm；50.24 【思路引导】观察图形，阴影部分的周长是以8cm为半径的大圆的周长的和以8cm为直径的小圆的周长。利用割补法，阴影部分的面积是以8cm为半径的大圆面积的，根据圆的周长公式：和圆的面积公式:,即可求得。 【规范解答】大圆的周长： （cm） 小圆的周长：（cm） 阴影部分的周长： （cm） 大圆的面积： （） 阴影部分的面积：（） 【变式训练1】（25-26六年级下·江苏淮安·期末）学校有一个花坛（如图），花坛中有一个正方形，边长是3米，正方形的顶点是4个扇形的圆心，每个扇形的半径都是1米。 (1)小明通过观察和思考想到，可以先把这4个扇形的面积转化成( )个圆的面积。 (2)请你帮小明算出花坛的总面积是多少平方米。 【答案】(1)3 (2)18.42平方米 【思路引导】（1）观察图形，正方形的顶点是四个圆心，显然四个圆与正方形重合的部分的面积是一个圆的面积；所以把这4个扇形的面积转化成 3个圆的面积。 （2）花坛的面积为三个圆和一个正方形的面积，根据圆的面积公式：，正方形的面积公式：，代入数据，即可解答。 【规范解答】（1）把这4个扇形的面积转化成 3个圆的面积。 （2）3.14××3＋3×3＝9.42＋9＝18.42（平方米） 答：花坛的总面积是18.42平方米。 【变式训练2】（24-25六年级下·河南平顶山·期末）求图中阴影部分的面积。（π取3.14） 【答案】 【思路引导】阴影部分的面积等于圆的面积（直径为cm的圆）减去三角形的面积（高和底都为cm的三角形），再根据和三角形面积＝底×高÷2，代入数据得出答案。 【规范解答】（cm） （） 考点六 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（24-25六年级下·河南洛阳·期末）“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是__________dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是_______dm2。 【答案】 28.26 16 【思路引导】正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2＝π（d÷2）2，三角形的面积＝底×高÷2； （1）外面正方形的边长等于内圆的直径，根据36＝6×6可知外面正方形的边长是6dm，则内圆的面积等于直径是6dm的圆的面积； （2）圆内正方形的对角线等于外圆的直径，对角线可以把正方形分成2个底等于外圆的直径（2r），高等于外圆的半径（r）的三角形，则正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r2，先用外圆的面积除以π求出r2，再把r2代入2r2中计算即可。 【规范解答】36＝6×6 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 25.12÷3.14＝8 2×8＝16（dm2） 如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是28.26dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是16dm2。 【变式训练1】（24-25六年级下·河北石家庄·期末）如图中圆的直径是5厘米，空白部分是圆内最大的正方形，涂色部分的面积是( )平方厘米。 【答案】7.125 【思路引导】涂色部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，根据求出圆的面积，正方形的面积等于两个三角形的面积，三角形的面积＝圆的直径×半径÷2，据此解答。 【规范解答】5÷2＝2.5（厘米） ＝3.14×2.52 ＝3.14×6.25 ＝19.625（平方厘米） 5×2.5÷2×2 ＝12.5÷2×2 ＝6.25×2 ＝12.5（平方厘米） 19.625－12.5＝7.125（平方厘米） 【变式训练2】（2026·四川成都·小升初真题）一个圆形盘子里面内接了一个最大的正方形，阴影部分的面积是______平方厘米。 【答案】41.04 【思路引导】从图中可知，圆的直径是12厘米，用直径除以2，求出圆的半径。根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。 因为正方形是圆内最大的正方形，用一条对角线把正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是这个正方形的面积。 最后用圆的面积减去正方形的面积，求出阴影部分的面积。 【规范解答】圆的半径：12÷2＝6（厘米） 圆的面积： 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 正方形的面积：12×6÷2×2＝72（平方厘米） 阴影部分的面积：113.04－72＝41.04（平方厘米） 考点七 用转化法求园的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（24-25六年级下·河北保定·期末）如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B＇，则阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】18.84 【思路引导】观察图形可得：阴影部分的面积＝以AB＇为直径的半圆的面积＋扇形ABB＇的面积－以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB＇；扇形的圆心角是60°，半径为6厘米，然后再根据扇形的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【规范解答】×3.14×62 ＝×3.14×36 ＝3.14×（36×） ＝3.14×6 ＝18.84（平方厘米） 【变式训练1】（25-26六年级下·河南信阳·期末）如图，在一个边长为4cm的正方形内，以正方形的三条边为直径向内画三个半圆，则空白部分的面积是8cm2。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】 如图所示，把上面的阴影部分，补到下面的空白处，那么空白部分的面积正好是一个长方形，根据长方形面积＝长×宽，直接求长方形的面积即可。 【规范解答】4×（4÷2） ＝4×2 ＝8（cm2） 空白部分的面积是8cm2，原题说法正确。 故答案为：√ 【变式训练2】（24-25六年级下·湖北黄冈·期末）求阴影部分的面积。如图中，底边和高都是6厘米的等腰三角形，分别以高的长度为直径画圆（π取3.14）。 【答案】17.325平方厘米 【思路引导】由图可得：阴影部分的面积＝大圆的面积＋小半圆的面积×2（小圆的面积）－三角形的面积，大圆的直径是6厘米，两个小半圆的直径之和等于三角形的底，也是6厘米，即小半圆的直径为3厘米，三角形的底和高都是6厘米，由此根据公式求出即可。 【规范解答】大圆的面积： 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 小半圆面积之和（小圆的面积）： 3.14×（6÷2÷2）2 ＝3.14×（3÷2）2 ＝3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方厘米） 三角形的面积： 6×6÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 阴影部分的面积： 28.26＋7.065－18 ＝35.325－18 ＝17.325（平方厘米） 【基础通关能力提升】 1．（2025·湖南长沙·小升初真题）一个圆平均分成16份剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中（    ）。 A．周长和面积都没变 B．周长没变，面积变了 C．无法确定 D．周长变了，面积没变 【答案】D 【思路引导】把一个圆平均分成16份，剪开拼成一个近似的长方形，这个长方形的宽就等于圆的半径，长就等于圆的周长的一半，所以这个转化过程中圆的面积不变，周长增加了两条半径的长度。 【规范解答】把一个圆平均分成16份剪开，拼成一个近似的长方形，这个转化过程中周长增加了两条半径的长度，面积没变。 2．（25-26六年级下·安徽蚌埠·期末）转化是一种重要的数学思想，在小学数学学习中经常用到转化，以下（    ）没有用到转化思想。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】转化思想的核心是把未学的新问题转化为已经掌握的旧问题来解决，逐个选项分析。 【规范解答】A．推导圆面积公式时，把圆切拼转化为已学的长方形，用长方形面积推导圆面积，用到了转化思想，不符合题意。 B．推导平行四边形面积公式时，把平行四边形割补转化为已学的长方形，用长方形面积推导平行四边形面积，用到了转化思想，不符合题意。 C．推导∠2＝∠4，根据两个角与同一个角的和是180°，则这两个角相等进行推导，没有运用转化思想，符合题意。 D．计算除数是小数的除法时，把小数除法转化为已学的除数是整数的除法计算，用到了转化思想。 3．（2026·河南南阳·小升初模拟）一块圆形玩具板（如图），铭铭在上面随意掷了一枚骰子，下面说法正确的是（    ）。 A．落在灰色区域的可能性大 B．落在白色区域的可能性大 C．落在两个区域的可能性一样大 【答案】C 【思路引导】在随意掷骰子的情况下，骰子落到某个区域的可能性大小，与该区域的面积有关，因此本题只需判断灰白区域面积大小即可。 【规范解答】 如图所示：过圆心画一条直径，由图可知，灰色小半圆和白色小半圆的面积相等，把灰色小半圆移到白色小半圆位置，如图所示：，因此灰色区域和白色区域面积相等，所以落在两个区域的可能性一样大。 4．（25-26六年级下·安徽蚌埠·期末）“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含着为人处世的道理。量得正方形周长是40分米，正方形内最大的圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 【思路引导】根据正方形内最大的圆的直径等于正方形的边长。已知正方形周长是40分米，首先根据正方形的周长除以4求出正方形的边长，即圆的直径，再根据半径＝直径÷2求得半径，再分别利用圆的周长公式和面积公式进行计算即可。 【规范解答】3.14×（40÷4） ＝3.14×10 ＝31.4（分米） 3.14×（40÷4÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方分米） 5．（24-25六年级下·河北承德·期末）如图，圆的直径是6厘米，剪拼成的长方形的宽是( )厘米。 【答案】3 【思路引导】由图可知，近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。根据C＝πd，求出周长，再除以2，即可求出长方形的长；用直径除以2，即可求出长方形的宽。 【规范解答】6÷2＝3（厘米） 6．（25-26六年级下·河北保定·期末）已知平行四边形的面积是20平方厘米，求圆的面积。 【答案】31.4平方厘米 【思路引导】从图中可以看出，平行四边形的底是圆的直径2r，高为圆的半径r。根据平行四边形的面积＝底×高，可表示出平行四边形的面积。再根据圆的面积＝r2，代入r2即可直接计算。 【规范解答】设圆的半径为r，直径为2r。 2r×r＝20，r2＝10 3.14×r2 ＝3.14×10 ＝31.4（平方厘米） 7．（24-25六年级下·河南郑州·期末）求阴影部分的面积 【答案】15.48平方厘米 【思路引导】阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个圆的面积，先用长方形的长除以2，求出圆的直径，也是长方形的宽，再根据长方形的面积公式：S＝ab，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【规范解答】12÷2＝6（厘米） 12×6－3.14×（6÷2）2×2 ＝72－3.14×9×2 ＝72－56.52 ＝15.48（平方厘米） 答：阴影部分的面积是15.48平方厘米。 8．（25-26六年级下·北京昌平·期末）公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 【答案】200.96平方米 【思路引导】喷头旋转一周喷水形成一个圆形，最远喷水距离是圆的半径。求喷水面积就是求圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径2。 【规范解答】3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 答：最大的喷水面积是200.96平方米。 9．（2026·山东青岛·小升初真题）学校多功能厅原有一个直径为8米的半圆形舞台。计划将舞台半径增加2米。（如图） (1)扩建后舞台的面积增加了多少平方米？ (2)扩建完成后，在新舞台的外围边缘上等距离摆放花盆，每隔3.14米摆一盆，舞台的两端都不摆放花盆一共需要摆放多少盆花？ 【答案】(1)31.4平方米 (2)5盆 【思路引导】（1）扩建后增加的面积实际上是一个半圆环的面积。首先根据原直径求出原半径，再根据半径增加量求出新半径。利用圆环面积公式S＝π（R2－r2）求出圆环面积再除以2，求出半圆环的面积。 （2）“外围边缘”指新舞台的半圆弧长，即圆周长的一半，再根据“两端都不摆放”的植树问题，间隔数＝圆周长的一半÷间距，棵数＝间隔数－1，求解。圆的周长C＝2πr。 【规范解答】（1）原舞台的半径：8÷2＝4（米） 扩建后新舞台的半径：4＋2＝6（米） 3.14×（62－42）÷2 ＝3.14×（36－16）÷2 ＝3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（平方米） 答：扩建后舞台的面积增加了31.4平方米。 （2）2×3.14×6÷2 ＝3.14×6 ＝18.84（米） 间隔数：18.84÷3.14＝6（个） 盆数：6－1＝5（盆） 答：一共需要摆放5盆花。 10．（25-26六年级下·浙江宁波·期末）计算的结果，如果直接列竖式计算比较复杂，我们可以采用“数形结合”的方法，借助图形进行推理计算。 的值我们可以看成是“边长2026的正方形的面积”， 的值我们可以看成是“边长2025的正方形的面积”， 那么，可以画成如下草图。 (1)在图上给“比多的部分”涂上阴影。 (2)不列竖式，求出阴影部分的面积。 (3)借助上图，我们可以得到：( )。 (4)请你再举一个以前学习中利用“数形结合”来求解的例子。 【答案】(1) (2) 4051 (3) 4051 (4)推导圆的面积公式（答案不唯一） 【思路引导】本题通过数形结合思想，将平方差运算转化为图形面积差，利用图形分割与拼接求解。 【规范解答】（1）大正方形边长为2026，内部小正方形边长为2025，阴影部分为大正方形中除去小正方形的部分，即横向和纵向各一个宽为1、长分别为2026和2025的矩形，将这部分区域涂上阴影。 （2）阴影部分面积可分割为两部分：一是长为2026、宽为1的矩形，面积为；二是长为2025、宽为1的矩形，面积为，因此，阴影部分总面积为。 （3）因为阴影部分的面积，根据第二问可得阴影部分的面积是4051，所以可得：； （4）学习圆的面积公式时，将圆分割成若干小扇形，拼接成近似长方形，通过长方形面积推导圆的面积公式，均是数形结合的应用。 【思维拓展拔尖训练】 1．（25-26六年级下·贵州黔南·期末）春节贴窗花，用100厘米红绳围窗花轮廓，围成面积最大的是（    ）。 A．正方形 B．三角形 C．圆 D．平行四边形 【答案】C 【思路引导】已知红绳长度固定，即各图形周长相等。根据周长相等的平面图形中，圆的面积最大，正方形次之，三角形和平行四边形的面积通常较小。可以通过计算正方形和圆的面积进行具体验证，从而确定选项。 【规范解答】已知红绳长度为100厘米，即围成各图形的周长均为100厘米。 A. 正方形：边长：100÷4＝25（厘米），面积：25×25＝625（平方厘米） B. 三角形：周长相等的三角形中，正三角形面积最大，但其面积仍小于同周长的正方形面积。 此选项错误。 C. 圆：半径： 100÷3.14÷2 ≈31.85÷2 ≈15.92（厘米） 面积： 3.14×15.922 ＝3.14×253.45 ≈796（平方厘米） 因为796＞625，周长相等的平面图形中圆的面积最大。此选项正确 D. 平行四边形：周长相等的平行四边形中，正方形（特殊的平行四边形）面积最大，故一般平行四边形面积小于正方形，更小于圆。此选项错误。 综上所述，围成面积最大的是圆。 2．（25-26六年级下·云南昆明·期末）在解决下面四个问题时，主要运用的数学思想与其他三个不同的是（    ）。 A．用推导出三角形的面积计算公式 B．用表示 C．用出圆的面积公式 D． 【答案】B 【思路引导】数学思想是指在解决一类问题时用到的核心思维方式，小学常见的数学思想有：数形结合、转化、分类、集合等，先分析每个选项用到的数学思想，再选出不同的一项即可。 【规范解答】A．在推导三角形的面积公式时，将三角形面积转化为已经学过的平行四边形的面积进行推导，用到的是转化的数学思想； B．用图形表示，是借助图形直观地展现分数乘法的意义，运用了数形结合思想，通过图形帮助理解分数乘法运算； C．在推导圆的面积时，将圆的面积转化为已学过的长方形的面积，用到的是转化的数学思想； D．计算小数除法7.65÷0.85时，将除数和被除数同时扩大到它的100倍，转化为765÷85来计算，运用了转化思想，把小数除法转化为整数除法。 3．（25-26六年级下·广东佛山·期末）《九章算术》中记载了一种求圆环面积的方法：“并中外周而半之，以径乘之为积步。”意思是：圆环面积＝（内圆周长＋外圆周长）÷2×径，其中“径”指圆环的宽度。如图，已知一个圆环的环宽是2米，且外圆的半径是5米，那么这个圆环的面积是（    ）。（取3.14，结果保留一位小数） A．50.2平方米 B．100.5平方米 C．150.7平方米 D．200.9平方米 【答案】A 【思路引导】观察图形可知，外圆的半径是5米，“径”长2米，根据《九章算术》记载的方法，圆环面积＝（内圆周长＋外圆周长）÷2×径长，代入数据计算即可。 【规范解答】5×2＝10（米） （5－2）×2 ＝3×2 ＝6（米） （3.14×6＋3.14×10）÷2×2 ＝（18.84＋31.4）÷2×2 ＝50.24÷2×2 ＝25.12×2 ＝50.24 ≈50.2（平方米） 所以这个圆环的面积约是50.2平方米。 4．（2025·山东临沂·小升初真题）果果家的客厅里挂了一幅正方形的十字绣作品，如图，圆形绣花部分的直径是2m，绣花部分以外的面积是( )。 【答案】0.86 【思路引导】正方形的边长等于圆的直径2m，先根据正方形面积＝边长×边长，求出正方形的面积，接着用直径除以2求出半径，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出圆的面积；最后用正方形面积减去圆的面积，即可求出绣花部分以外的面积。 【规范解答】2×2－3.14×（2÷2）2 ＝4－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（m2） 5．（24-25六年级下·山东菏泽·期末）如图所示，圆的周长是62.8厘米，圆的面积和长方形的面积相等。则阴影部分的周长为( )厘米。 【答案】78.5 【思路引导】先根据圆的周长公式求出圆的半径，结合圆与长方形面积相等、长方形宽等于圆半径的条件，求出长方形的长。再分析阴影部分的周长组成：长方形的两条长、一条宽，减去重叠的半径长度，再加上四分之一圆的弧长；其中长方形的宽与重叠的半径长度相等，可相互抵消，最终阴影周长等于两条长方形的长加上四分之一圆的周长。 【规范解答】计算圆的半径： 62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 计算圆的面积： 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 计算长方形的长，长方形的宽等于圆的半径10厘米；314÷10＝31.4（厘米） 计算两条长方形长的总长度：31.4×2＝62.8（厘米） 计算四分之一圆的弧长：62.8÷4＝15.7（厘米） 计算阴影部分的总周长：62.8＋15.7＝78.5（厘米） 6．（25-26六年级下·浙江宁波·期末）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】1.93平方厘米 【思路引导】阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积＝πr2，梯形的高＝圆的直径。 【规范解答】由图可知，梯形的上底为1厘米，下底为1.5＋1＝2.5（厘米），高为1×2＝2（厘米）；圆的半径为1厘米。 （1＋2.5）×2÷2－3.14×12÷2 ＝3.5×2÷2－3.14×12÷2 ＝7÷2－3.14×1÷2 ＝3.5－3.14÷2 ＝3.5－1.57 ＝1.93（平方厘米） 7．（25-26六年级下·河南商丘·期末）求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】30平方厘米 【思路引导】图中有一个四分之一圆，圆的半径都相等，因此图形中间横着的线总长也为5厘米；根据图形的平移和拼接，可以将阴影部分变为一个底为5厘米，高为5厘米的直角三角形和底为7厘米，高为5厘米的三角形，据此计算面积。 【规范解答】 5×5÷2＋7×5÷2 ＝25÷2＋35÷2 ＝12.5＋17.5 ＝30（平方厘米） 因此阴影部分的面积为30平方厘米。 8．（2025·湖南长沙·小升初真题）一个羊圈依墙而建，成半圆形，半径是5米。 (1)修这个羊圈需要多长的栅栏？ (2)如果要扩建这个羊圈。把它的半径增加1米。羊圈的面积增加了多少？ 【答案】(1)15.7米 (2)17.27平方米 【思路引导】（1）栅栏的长度等于圆周长的一半；根据圆的周长C＝2πr算出圆的周长，再除以2即可。 （2）扩建后羊圈的半径是6米，根据圆的面积S＝πr2，算出扩建后羊圈面积的一半与原来羊圈面积的一半，求出它们的差即可。 【规范解答】（1）2×3.14×5÷2＝15.7（米） 答：修这个羊圈需要15.7米的栅栏。 （2）5＋1＝6（米） 3.14×62÷2－3.14×52÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×25÷2 ＝56.52－39.25 ＝17.27（平方米） 答：羊圈的面积增加了17.27平方米。 9．（25-26六年级下·湖北恩施·期末）施施同学参加本次数理思维运动会数学手抄报竞赛，她在手抄报的标题旁设计了一个花瓣状装饰图。该图以边长为2厘米的正方形的4条边为直径，分别向正方形外侧作4个半圆，围成封闭的四叶花瓣状图形（如下图）。这个装饰图的面积是多少平方厘米？ 【答案】10.28平方厘米 【思路引导】这个四叶花瓣状装饰图由4个以正方形边长为直径的半圆和中间的正方形组成，先用正方形的边长除以2求出半圆的半径，再把4个半圆转化为2个完整的圆，根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，求出它们的面积，再根据正方形面积＝边长×边长，求出中间正方形的面积，最后将2个圆的面积与正方形的面积相加，即可求出这个装饰图的总面积。 【规范解答】3.14×（2÷2）2×2＋2×2 ＝3.14×12×2＋2×2 ＝3.14×1×2＋2×2 ＝6.28＋4 ＝10.28（平方厘米） 答：这个装饰图的面积是10.28平方厘米。 10．（25-26六年级上·北京海淀·期末）海棠门是一种形似四瓣海棠花的经典中式门洞，广泛应用在传统和现代空设计中，它可以看成是由一个正方形和四个半圆组合而成的图形，如图，图中这个海棠门的面积是多少平方米？ 【答案】2.57平方米 【思路引导】根据题意，海棠门由一个边长为1米的正方形和四个半圆组成，四个半圆可拼成两个完整的圆，圆的直径为1米，半径为0.5米；先计算正方形面积，再计算两个圆的面积，最后相加得到总面积（圆的面积＝πr2，正方形面积＝边长×边长），据此解答。 【规范解答】正方形面积：1×1＝1（平方米） 圆的半径：1÷2＝0.5（米） 2个圆的面积： π×0.52×2 ＝π×0.25×2 ＝0.25π×2 ＝0.5π（平方米） 海棠门面积： 1＋0.5π ＝1＋1.57 ＝2.57（平方米） 答：图中这个海棠门的面积是2.57平方米。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $