（新课预习）第12讲 圆的面积（二）（讲义）-2026-2027学年六年级数学暑假衔接培优讲义（北师大版·新教材）

第12讲 圆的面积（二） 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：圆的面积的应用 知识点 2：求最大面积 知识点 3：圆环的面积 知识点 4：方中圆和圆中方的面积问题 知识点 5：含圆的组合图形的面积 知识点精讲 知识点 1：圆的面积的应用 1. 核心概念 圆的面积应用不仅限于已知半径求面积，更包括已知直径、周长求面积，以及解决生活中的铺地砖、草坪灌溉等实际问题。 2. 关键公式回顾 (1)已知半径 ： (2)已知直径 ： ，则 (3)已知周长 ： ，则 【典型例题】体操运动员表演时拿到的艺术体操圈周长是25.12分米，当它落地时，占地面积为多少平方分米？ 【答案】50.24平方分米 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，求出圆的半径；再根据圆的面积公式：S＝πr2，求出圆的面积，π取3.14。 【详解】半径：25.12÷（2×3.14） ＝25.12÷6.28 ＝4（分米） 面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 答：占地面积为50.24平方分米。 【对应练习】土楼是我国著名的特色民居建筑，外围形状有圆形、椭圆形、方形等。下图是圆形的福建土楼，这座土楼外围的底面周长是188.4米，它的占地面积是多少平方米？ 【答案】2826平方米 【分析】这座土楼外围的底面周长是188.4米，已知圆的周长求面积，先根据：求出半径，再根据圆的面积：，即可求得占地面积。 【详解】 （米） （平方米） 答：它的占地面积是2826平方米。 知识点 2：求最大面积 1. 问题模型 此类问题通常描述为：“一只羊被拴在木桩上，绳长 米，求羊能吃到的最大草地面积”或“自动旋转喷灌装置射程为 米，求喷灌面积”。 2. 解题逻辑 (1)几何本质：绳子或射程即为圆的半径。 (2)最大面积含义：假设障碍物不影响旋转，羊或水能覆盖的区域是一个完整的圆。 (3)边界情况：若拴在墙角（90度），面积为 ；若拴在墙边（180度），面积为 。但在常规“最大面积”未特指角度时，默认指完整圆。 【典型例题】公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 【答案】200.96平方米 【分析】喷头旋转一周喷水形成一个圆形，最远喷水距离是圆的半径。求喷水面积就是求圆的面积，圆的面积＝圆周率×半径2。 【详解】3.14×82 ＝3.14×64 ＝200.96（平方米） 答：最大的喷水面积是200.96平方米。 【对应练习】草地上安装有喷灌装置，是一个旋转着喷水的水龙头。已知这个水龙头的射程是5米，如果要在一块长为30米、宽为20米的长方形草地上安装两个这样的喷灌装置，至少会有多少平方米的草地无法直接浇到水？ 【答案】443平方米 【分析】旋转喷灌装置的射程是圆的半径r，一个装置的喷灌面积是半径5米的圆的面积。要让浇不到的面积最少，需让两个圆的面积之和最大（无重叠）。先算长方形的面积公式计算出草地总面积，再根据圆的面积公式×2计算出两个圆的面积之和，最后两者相减就是最少浇不到的面积。 【详解】30×20＝600（平方米） （平方米） 600－157＝443（平方米） 答：至少会有443平方米的草地无法直接浇到水。 知识点 3：圆环的面积 1. 定义与特征 圆环是指两个同心圆（圆心相同，半径不同）之间的部分。 (1)外圆半径： (2)内圆半径： (3)环宽： 2. 面积公式推导 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 记忆口诀：大圆减小圆，提取公因数 。 【典型例题】乐乐在参观博物馆时拍下一枚形如圆环的玉璧（如图所示），并记录下玉璧的尺寸：外圆直径为18厘米，内圆直径为6厘米。这枚玉璧的面积是多少平方厘米？ 【答案】226.08平方厘米 【分析】根据题意，同一个圆内，圆的直径是半径的2倍，用18厘米和6厘米除以2分别算出外圆和内圆的半径。再根据圆的面积S＝πr2，代入分别计算出外圆和内圆的面积，再用外圆面积减去内圆的面积就是这个玉璧的面积。 【详解】18÷2＝9（厘米） 6÷2＝3（厘米） 3.14×92－3.14×32 ＝3.14×81－3.14×9 ＝254.34－28.26 ＝226.08（平方厘米） 答：这枚玉璧的面积是226.08平方厘米。 【对应练习】一场中国传统插花艺术展吸引了无数游客，展览主题为“国风华韵”。工作人员将一个直径为8米的圆形展区的半径向外延伸2米变成一个新的圆形展区（如图），这个新展区的面积是多少平方米？ 【答案】113.04平方米 【分析】直径÷2＝半径，原来的半径＋半径延伸的长度＝新展区的半径，圆的面积＝圆周率×半径的平方。 【详解】8÷2＋2 ＝4＋2 ＝6（米）   （平方米） 答：这个新展区的面积是113.04平方米。 知识点 4：方中圆和圆中方的面积问题 1. 方中圆（正方形内剪最大的圆） (1)图形特征：圆在正方形内部，圆的直径等于正方形的边长。 (2)关系：正方形边长 。 (3)面积计算： ①　正方形面积： ②　圆面积： ③　面积比： ④　剩余面积（四个角）： 2. 圆中方（圆内画最大的正方形） (1)图形特征：正方形在圆内部，正方形的对角线等于圆的直径。 (2)关系：正方形对角线 。 (3)面积计算： ①　利用对角线求正方形面积公式： ②　正方形面积： ③　圆面积： ④　面积比： ⑤　剩余面积（弓形部分总和）： 【典型例题】求下图中阴影部分的面积。 【答案】13.76dm2 【分析】据图可知，圆的直径为正方形的边长，用边长除以2求出圆的半径。根据“圆的面积＝πr2”代入数值求出圆的面积；再根据“正方形的面积＝边长×边长”代入数值计算出正方形的面积；最后用正方形的面积减圆的面积，即可计算阴影部分的面积。据此计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝13.76（dm2） 阴影部分的面积是13.76dm2。 【对应练习】奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】98平方厘米 【分析】圆周长＝2r＝d，那么将圆周长除以3.14可求出圆的直径，再除以2可求出圆的半径。画出中间的最大的正方形的一条对角线，发现这条对角线将正方形平均分成两个三角形。每个三角形的底和圆的直径相等，高和圆的半径相等。三角形面积公式＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即圆中间最大正方形的面积。 【详解】如图： 43.96÷3.14＝14（厘米） 14÷2＝7（厘米） 14×7÷2×2 ＝98÷2×2 ＝49×2 ＝98（平方厘米） 答：中间最大正方形的面积是98平方厘米。 知识点 5：含圆的组合图形的面积 1. 解题策略：割补法与转化法 组合图形通常由长方形、正方形、三角形与圆（或半圆、扇形）组合而成。 (1)加法原理：总面积 = 各部分简单图形面积之和。 (2)减法原理：阴影面积 = 总图形面积 - 空白部分面积。 (3)割补平移：将不规则阴影部分通过切割、移动，拼成规则图形（如将半圆移至另一侧拼成矩形）。 2. 常见类型（跑道型/操场型） (1)结构：中间一个长方形，两头各一个半圆。 (2)计算： ①　周长 = 长方形的两条长 + 一个整圆的周长 ( ) ②　面积 = 长方形面积 + 一个整圆的面积 ( ) 【典型例题】如下图，一个运动场由一个长方形和两个半圆形组成。这个运动场的占地面积是多少？ 【答案】1892.16平方米 【分析】两个半圆可以拼成一个完整的圆，运动场的占地面积＝直径24米的圆的面积＋长60米、宽24米的长方形面积，圆的面积＝圆周率×半径的平方，长方形面积＝长×宽，据此列式计算。 【详解】 （平方米） 答：这个运动场的占地面积是1892.16平方米。 【对应练习】求出下面图形中阴影部分的面积。 【答案】3.87cm2 【分析】图中阴影部分的面积＝长方形的面积－2个圆的面积；已知长方形的长是6cm，宽是3cm，根据长方形的面积＝长×宽，先求出长方形的面积；2个圆可以组成一个半圆，半径是3cm，根据半圆的面积等于所在圆的面积的一半，即，可求出半圆的面积；最后用长方形的面积减去半圆的面积，即可求出阴影部分的面积。 【详解】6×3－3.14×32÷2 ＝18－3.14×9÷2 ＝18－28.26÷2 ＝18－14.13 ＝3.87（cm2） 阴影部分的面积是3.87cm2。 巩固提升 一、填空题 1．一个圆的周长是，它的面积是( )。 【答案】12.56 【分析】先通过圆的周长算出圆的半径，再代入圆的面积公式即可。圆的周长：，则圆的半径：；圆的面积：。 【详解】（m） （m2） 2．草地上王叔叔用一根长3米的绳子在木桩上拴了一只羊。绳长是圆的( )，羊能吃到草的区域是圆的( )。 【答案】 半径 面积 【分析】根据圆的特征可知，木桩是圆心，绳长是圆的半径，羊吃到草的区域是一个圆的面积。 【详解】根据分析可知，绳长是圆的半径，羊能吃到草的区域是圆的面积。 3．中国扇子已成为东方美学的独特缩影。非遗手工课上，安安准备制作一把纱面圆形团扇，扇面的半径为10厘米，至少需要( )厘米的竹条做圆形扇框，需要( )平方厘米的纱做扇面。 【答案】 62.8 314 【分析】要计算做扇框的竹条长度，就是求圆的周长，圆的周长公式C＝2πr；要计算做扇面的纱的面积，就是求圆的面积，圆的面积公式S＝πr2。已知半径，π取3.14，代入对应的公式计算即可。 【详解】2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 4．如图，要剪出一个周长是15.42分米的半圆形铁片，至少要选用面积是( )平方分米的长方形材料；半圆形铁片的面积是( )平方分米。 【答案】 18 14.13 【分析】半圆的周长＝圆的周长的一半＋直径长，圆的周长C＝2πr，同一圆中，直径的长度是半径的2倍。设半圆的半径是r分米，可得2r＋3.14r＝15.42，据此求出半径的长度。那么长方形材料的长就是直径的长度。再根据长方形的面积＝长×宽，计算需要的材料面积。半圆形铁片的面积根据πr2÷2，即可求解。 【详解】解：设半圆的半径是r分米。 2r＋3.14r＝15.42 5.14r＝15.42 5.14r÷5.14＝15.42÷5.14 r＝3 （3＋3）×3 ＝6×3 ＝18（平方分米） 3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝28.26÷2 ＝14.13（平方分米） 所以，至少要选用面积是18平方分米的长方形材料；半圆形铁片的面积是14.13平方分米。 5．一个由细草绳编织成的圆形杯垫，沿半径剪开，展开后是一个近似的三角形（如图）。圆形杯垫的半径约( )。 【答案】5厘米/5cm 【分析】观察图形可知，三角形的底是31.4cm，三角形的底相当于圆的周长，圆的周长＝，用周长除以再除以2，求出半径。 【详解】31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（cm） 所以圆形杯垫的半径约5cm。 6．下图中圆的半径是2厘米，图中的阴影部分的面积是( )平方厘米。 【答案】4.56 【分析】阴影面积等于圆的面积减去圆内正方形的面积。先根据半径算出圆的面积，正方形对角线等于圆的直径，把正方形拆成两个三角形计算面积，再求两者的差即可。 【详解】圆的半径是2厘米，直径：2×2＝4（厘米） 圆的面积：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 正方形可以分成两个底为4厘米、高为2厘米的三角形 一个三角形的面积： 4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方厘米） 正方形的面积：4×2＝8（平方厘米） 阴影部分的面积：12.56－8＝4.56（平方厘米） 二、选择题 7．圆的半径扩大3倍，它的面积扩大（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】设原来圆的半径为，则现在的半径为，根据圆的面积公式，求出原来的圆面积和扩大后的圆面积，再用扩大后的圆面积除以原来圆的面积，求出面积扩大的倍数。 【详解】设原来圆的半径为，现在的半径为。 原来圆的面积为： 现在圆的面积为： 面积扩大的倍数： 所以，它的面积扩大到原来的9倍。 8．用3根同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和圆形，则围成的（    ）面积最大。 A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．无法比较 【答案】C 【分析】假设每根铁丝的总长度为100米，铁丝的总长度相当于各图形的周长，根据“”求出长方形的长宽之和，而长方形的长与宽相等时面积最大，由“”可知长方形的最大面积不超过边长为25米的正方形的面积；根据“”求出正方形的边长，再利用“”求出正方形的面积；根据“”求出圆的半径，再利用“”求出圆形的面积，最后比较大小找出面积最大的图形，据此解答。 【详解】假设每根铁丝的总长度为100米。 （长方形）长与宽的和：100÷2＝50（米） 当长方形的长与宽相等时，长方形的面积最大。 50÷2＝25（米） 面积：25×25＝625（平方米） 因为围成长方形时长与宽不相等，所以长方形的面积小于625平方米。 （正方形）边长：100÷4＝25（米） 面积：25×25＝625（平方米） 所以，围成正方形时面积是625平方米。 （圆形）半径： ＝ ＝ ＝（米） 面积： ＝ ＝ ＝ ＝ ≈796（平方米） 所以，围成圆形时面积大约是796平方米。 综上所述，长方形的面积最大不超过625平方米，正方形的面积是625平方米，圆形的面积大约是796平方米，所以圆形的面积＞正方形的面积＞长方形的面积，即围成的圆形面积最大。 9．一个圆的周长是62.8厘米，这个圆的面积是（    ）。 A．1256平方厘米 B．628平方厘米 C．314平方厘米 D．157平方厘米 【答案】C 【分析】先根据圆的周长计算出它的半径，，再根据圆的面积：计算出圆的面积即可。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） （平方厘米） 一个圆的周长是62.8厘米，这个圆的面积是314平方厘米。 10．如图，长方形的周长是30dm，则这个半圆的面积是（    ）。 A．31.4 B．39.25 C．62.8 D．78.5 【答案】B 【分析】长方形周长＝（长＋宽）×2，用长方形周长除以2求出长与宽的和；长方形的长相当于半圆的直径，宽相当于半圆的半径，所以长相当于2个宽，长与宽的和即为3个宽的长度，用长与宽的和除以3求出宽，即为半圆的半径。根据圆的面积公式求出圆的面积，再除以2即可。 【详解】30÷2＝15（dm） 15÷（1＋2） ＝15÷3 ＝5（dm） 3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（dm2） 这个半圆的面积是39.25dm2。 11．中国园林设计时常用到海棠门，“海棠门里观海棠”构成了一幅美丽图画，为园林增添了一份婉约与雅致。用数学的眼光来看，海棠门可以看成是由正方形和半圆组合而成的图形（如下图所示）。根据图中信息，海棠门的面积是（    ）m2。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】海棠门的图形由两部分组成：中间的正方形和四周的4个半圆。4个半圆可以拼成2个完整的圆，因此总面积＝ 2个圆的面积＋正方形面积。圆的半径为（1÷2）m，正方形的边长为1m。 【详解】2个圆的面积：（） 总面积： ＋ 三、计算题 12．计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】15.44平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）×h÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】梯形的面积： （4＋10）×4÷2 ＝14×4÷2 ＝28（平方厘米） 圆的面积： 3.14×42× ＝3.14×16× ＝12.56（平方厘米） 阴影部分的面积： 28－12.56＝15.44（平方厘米） 13．如图，在一个正方形内剪掉两个半圆，求剩余（阴影）部分的面积。（圆周率取3.14） 【答案】86 【分析】由图可知，阴影部分的面积等于边长为20cm的正方形面积减去直径为20cm的圆面积，根据“正方形面积＝边长×边长”以及“圆面积＝”计算。 【详解】20×20－3.14× ＝20×20－3.14× ＝400－3.14×100 ＝400－314 ＝86（） 四、解答题 14．2025年9月，超强台风“桦加沙”给我国华南地区造成重大经济损失。台风“桦加沙”十二级风圈的半径为120千米，台风“桦加沙”十二级风圈影响的范围是多少平方千米？ 【答案】平方千米 【分析】根据圆的面积公式，代入数据得到答案。 【详解】 （平方千米） 答：台风“桦加沙”十二级风圈影响的范围是平方千米。 15．如图所示，一个小闹钟的秒针长4厘米。经过30秒，秒针所扫过的面积是多少平方厘米？ 【答案】25.12平方厘米 【分析】秒针转完整一圈是60秒，经过30秒，秒针刚好转半圈，秒针的长度就是扫过图形的半径，即半径r＝4厘米，扫过的面积是半圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 答：秒针所扫过的面积是25.12平方厘米。 16．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，玻璃盆中玉环般的荷叶连环相映。在一个长是14米，宽是12米的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是多少平方米？ 【答案】113.04平方米 【分析】根据题意，圆形波纹的最大直径为12米，用直径除以2，求出半径的长度，再根据圆的面积公式＝πr2，代入计算求出这个圆形波纹的面积。 【详解】12÷2＝6（米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 答：这个圆形波纹的面积是113.04平方米。 17．古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美，现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 【答案】0.5平方米 【分析】外圆内方中间的正方形对角线长度等于外圆的直径，正方形可以看成两个以对角线为底、半径为高的三角形。已知圆的周长，根据圆的周长公式，求出圆的直径与半径，再根据，求出一个三角形面积，三角形面积乘2即为正方形面积。 【详解】3.14÷3.14＝1（米） 1÷2＝0.5（米） 1×0.5÷2×2 ＝0.5÷2×2 ＝0.25×2 ＝0.5（平方米） 答：需要糊纸部分的面积为0.5平方米。 18．如图，绿地公园广场有一个圆形花坛，半径是3米，在它的周围有一条宽1米的环形小路（阴影部分），求小路的面积。 【答案】21.98平方米 【分析】先用花坛半径加上小路宽度，求出外圆的半径，再根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），代入数值，即可求出小路的面积。 【详解】3＋1＝4（米） 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 答：小路的面积是21.98平方米。 19．礼堂中一扇窗户的形状与大小如图，上面是半圆形，下面是长方形，这扇窗户的面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】6.57平方米 【分析】由图可知，长方形的长是2米，宽是2.5米，半圆的直径是2米。长方形的面积＝长×宽，半圆的面积＝，窗户的面积＝半圆的面积＋长方形的面积。 【详解】3.14×÷2＋2×2.5 ＝3.14×÷2＋2×2.5 ＝3.14×1÷2＋2×2.5 ＝1.57＋5 ＝6.57（平方米） 答：这扇窗户的面积是6.57平方米。 20．妈妈带霞霞去买披萨，店里有厚度相同，直径分别为6厘米、8厘米、12厘米的三种规格的披萨供顾客选择。妈妈用手机下单，购买了一份直径12厘米的披萨。服务员表示12厘米的披萨刚卖完了，准备给妈妈一份8厘米加一份6厘米的披萨替换。妈妈认为8＋6＝14，14比12大，我们还多得了呢！你同意妈妈的观点吗？请写出你的思考过程。 【答案】我不同意妈妈的观点，因为直径12厘米的披萨的面积大于一份8厘米加一份6厘米的披萨面积。 【详解】分别用直径除以2，求出三个圆的半径，圆的面积公式S＝πr2，分别将数据代入公式计算，求得三个圆的面积，再求出直径8厘米和直径为6厘米的圆的面积之和，最后与直径12厘米的圆的面积进行比较即可。 【解答】三种披萨的半径分别是： 12÷2＝6（厘米） 8÷2＝4（厘米） 6÷2＝3（厘米） 12厘米披萨的面积： 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 6厘米披萨和8厘米披萨的面积和 3.14×42＋3.14×32 ＝3.14×16＋3.14×9 ＝50.24＋28.26 ＝78.5（平方厘米） 113.04平方厘米＞78.5平方厘米 答：我不同意妈妈的观点，因为直径12厘米的披萨的面积大于一份8厘米加一份6厘米的披萨面积。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 圆的面积（二） 知识导航 知识点梳理 难易度 知识点 1：圆的面积的应用 知识点 2：求最大面积 知识点 3：圆环的面积 知识点 4：方中圆和圆中方的面积问题 知识点 5：含圆的组合图形的面积 知识点精讲 知识点 1：圆的面积的应用 1. 核心概念 圆的面积应用不仅限于已知半径求面积，更包括已知直径、周长求面积，以及解决生活中的铺地砖、草坪灌溉等实际问题。 2. 关键公式回顾 (1)已知半径 ： (2)已知直径 ： ，则 (3)已知周长 ： ，则 【典型例题】体操运动员表演时拿到的艺术体操圈周长是25.12分米，当它落地时，占地面积为多少平方分米？ 【对应练习】土楼是我国著名的特色民居建筑，外围形状有圆形、椭圆形、方形等。下图是圆形的福建土楼，这座土楼外围的底面周长是188.4米，它的占地面积是多少平方米？ 知识点 2：求最大面积 1. 问题模型 此类问题通常描述为：“一只羊被拴在木桩上，绳长 米，求羊能吃到的最大草地面积”或“自动旋转喷灌装置射程为 米，求喷灌面积”。 2. 解题逻辑 (1)几何本质：绳子或射程即为圆的半径。 (2)最大面积含义：假设障碍物不影响旋转，羊或水能覆盖的区域是一个完整的圆。 (3)边界情况：若拴在墙角（90度），面积为 ；若拴在墙边（180度），面积为 。但在常规“最大面积”未特指角度时，默认指完整圆。 【典型例题】公园绿地里浇水用的喷头，最远能喷水8米。喷头旋转一周，最大的喷水面积是多少平方米？ 【对应练习】草地上安装有喷灌装置，是一个旋转着喷水的水龙头。已知这个水龙头的射程是5米，如果要在一块长为30米、宽为20米的长方形草地上安装两个这样的喷灌装置，至少会有多少平方米的草地无法直接浇到水？ 知识点 3：圆环的面积 1. 定义与特征 圆环是指两个同心圆（圆心相同，半径不同）之间的部分。 (1)外圆半径： (2)内圆半径： (3)环宽： 2. 面积公式推导 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 记忆口诀：大圆减小圆，提取公因数 。 【典型例题】乐乐在参观博物馆时拍下一枚形如圆环的玉璧（如图所示），并记录下玉璧的尺寸：外圆直径为18厘米，内圆直径为6厘米。这枚玉璧的面积是多少平方厘米？ 【对应练习】一场中国传统插花艺术展吸引了无数游客，展览主题为“国风华韵”。工作人员将一个直径为8米的圆形展区的半径向外延伸2米变成一个新的圆形展区（如图），这个新展区的面积是多少平方米？ 知识点 4：方中圆和圆中方的面积问题 1. 方中圆（正方形内剪最大的圆） (1)图形特征：圆在正方形内部，圆的直径等于正方形的边长。 (2)关系：正方形边长 。 (3)面积计算： ①　正方形面积： ②　圆面积： ③　面积比： ④　剩余面积（四个角）： 2. 圆中方（圆内画最大的正方形） (1)图形特征：正方形在圆内部，正方形的对角线等于圆的直径。 (2)关系：正方形对角线 。 (3)面积计算： ①　利用对角线求正方形面积公式： ②　正方形面积： ③　圆面积： ④　面积比： ⑤　剩余面积（弓形部分总和）： 【典型例题】求下图中阴影部分的面积。 【对应练习】奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 知识点 5：含圆的组合图形的面积 1. 解题策略：割补法与转化法 组合图形通常由长方形、正方形、三角形与圆（或半圆、扇形）组合而成。 (1)加法原理：总面积 = 各部分简单图形面积之和。 (2)减法原理：阴影面积 = 总图形面积 - 空白部分面积。 (3)割补平移：将不规则阴影部分通过切割、移动，拼成规则图形（如将半圆移至另一侧拼成矩形）。 2. 常见类型（跑道型/操场型） (1)结构：中间一个长方形，两头各一个半圆。 (2)计算： ①　周长 = 长方形的两条长 + 一个整圆的周长 ( ) ②　面积 = 长方形面积 + 一个整圆的面积 ( ) 【典型例题】如下图，一个运动场由一个长方形和两个半圆形组成。这个运动场的占地面积是多少？ 【对应练习】求出下面图形中阴影部分的面积。 巩固提升 一、填空题 1．一个圆的周长是，它的面积是( )。 2．草地上王叔叔用一根长3米的绳子在木桩上拴了一只羊。绳长是圆的( )，羊能吃到草的区域是圆的( )。 3．中国扇子已成为东方美学的独特缩影。非遗手工课上，安安准备制作一把纱面圆形团扇，扇面的半径为10厘米，至少需要( )厘米的竹条做圆形扇框，需要( )平方厘米的纱做扇面。 4．如图，要剪出一个周长是15.42分米的半圆形铁片，至少要选用面积是( )平方分米的长方形材料；半圆形铁片的面积是( )平方分米。 5．一个由细草绳编织成的圆形杯垫，沿半径剪开，展开后是一个近似的三角形（如图）。圆形杯垫的半径约( )。 6．下图中圆的半径是2厘米，图中的阴影部分的面积是( )平方厘米。 二、选择题 7．圆的半径扩大3倍，它的面积扩大（    ）倍。 A．3 B．6 C．9 D．12 8．用3根同样长的铁丝分别围成长方形、正方形和圆形，则围成的（    ）面积最大。 A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．无法比较 9．一个圆的周长是62.8厘米，这个圆的面积是（    ）。 A．1256平方厘米 B．628平方厘米 C．314平方厘米 D．157平方厘米 10．如图，长方形的周长是30dm，则这个半圆的面积是（    ）。 A．31.4 B．39.25 C．62.8 D．78.5 11．中国园林设计时常用到海棠门，“海棠门里观海棠”构成了一幅美丽图画，为园林增添了一份婉约与雅致。用数学的眼光来看，海棠门可以看成是由正方形和半圆组合而成的图形（如下图所示）。根据图中信息，海棠门的面积是（    ）m2。 A． B． C． D． 三、计算题 12．计算阴影部分的面积。（单位：厘米） 13．如图，在一个正方形内剪掉两个半圆，求剩余（阴影）部分的面积。（圆周率取3.14） 四、解答题 14．2025年9月，超强台风“桦加沙”给我国华南地区造成重大经济损失。台风“桦加沙”十二级风圈的半径为120千米，台风“桦加沙”十二级风圈影响的范围是多少平方千米？ 15．如图所示，一个小闹钟的秒针长4厘米。经过30秒，秒针所扫过的面积是多少平方厘米？ 16．杨万里的《荷亭倚栏》中，“水面圆纹乱相入，玻璃盆旋玉连环”描述了水面上的圆形波纹交错纷乱，玻璃盆中玉环般的荷叶连环相映。在一个长是14米，宽是12米的长方形小池中，形成一个最大的圆形波纹，这个圆形波纹的面积是多少平方米？ 17．古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美，现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 18．如图，绿地公园广场有一个圆形花坛，半径是3米，在它的周围有一条宽1米的环形小路（阴影部分），求小路的面积。 19．礼堂中一扇窗户的形状与大小如图，上面是半圆形，下面是长方形，这扇窗户的面积是多少平方米？（π取3.14） 20．妈妈带霞霞去买披萨，店里有厚度相同，直径分别为6厘米、8厘米、12厘米的三种规格的披萨供顾客选择。妈妈用手机下单，购买了一份直径12厘米的披萨。服务员表示12厘米的披萨刚卖完了，准备给妈妈一份8厘米加一份6厘米的披萨替换。妈妈认为8＋6＝14，14比12大，我们还多得了呢！你同意妈妈的观点吗？请写出你的思考过程。 试卷第1页，共3页 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