专题01 二次函数的图象与系数的关系（高效培优专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与系数关系，通过四类题型系统构建从单一系数到跨函数综合的逻辑链条，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |系数符号判断|5题|由图象判断a、b、c等系数符号|从开口方向、对称轴、与坐标轴交点推导系数符号| |式子符号判断|5题|判断含系数式子（如a+b+c）符号|系数符号与函数值、对称轴性质的综合应用| |一次函数与二次函数综合|5题|结合两类函数图象判断系数关系|跨函数类型的系数关联性推理| |两个二次函数综合|5题|比较或综合两个二次函数图象性质|图象变换（形状、顶点）与系数关系的迁移应用|

专题01 二次函数的图象与系数的关系 题型一 二次函数图象与各项系数符号 题型二 根据二次函数的图象判断式子符号角 题型三 一次函数、二次函数图象综合判断 题型四 两个二次函数图象综合判断 题型一：二次函数图象与各项系数符号 1．如图，二次函数的图象与x轴交于点，，则下列说法正确的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握好相关知识是关键． 根据二次函数的图象，判断系数、、的符号，并判断选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴，故A错误； ∵抛物线与x轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B错误，C正确； ∵抛物线过点， ∴，故D错误． 故选：C． 2．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④（m为实数）．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与其系数间的关系等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据该二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点位置分析的符号，即可判断结论①②；由函数图象可知，当时，，即可判断结论③；结合当时，该二次函数取最小值，易知（为实数），即可判断结论④． 【详解】解：根据题意，该函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴是直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵该函数图象与轴交于负半轴， ∴当时，， ∴，故结论①正确； 由图象可知，当时，， ∴，又， ∴，即，故结论③正确； ∵当时，该二次函数取最小值， ∴（为实数）， 即（为实数），故④正确； 综上所述，结论正确的有①②③④． 故答案为：①②③④ 3．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 4．如图，抛物线经过点，，下列结论中正确的是（ ） A． B． C．方程的解为， D．若抛物线上有点，，，则 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点判断的符号及关系；利用二次函数的性质判断最值问题；利用方程根与系数的关系或倒数关系判断方程的解；利用二次函数图象上点的坐标特征及对称性比较函数值大小 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交于点，， 对称轴为直线， ，即， 当时，， 由图象可知， ，故A错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，函数取得最小值， 对于任意实数，都有， 即， ，故B错误； 抛物线经过点，， 方程的解为，， 方程的解为原方程解的倒数，即，，故C错误； 抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 离对称轴越远的点，函数值越大， ，，， ， ，故D正确． 5．二次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先推导出，得到，再根据二次函数的图像求解即可． 【详解】解：由二次函数的图象，得， 则， ∴二次函数的图象开口向上，顶点在第三象限，只有选项A符合． 题型二：根据二次函数的图象判断式子符号 1．二次函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．对任意实数，都有恒成立 【答案】C 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵当时，， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵当时，函数值最小，最小值为， ∴对任意实数，都有恒成立，即恒成立， ∴对任意实数，都有恒成立，故D选项正确，不符合题意． 2．已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像逐项判断即可． 【详解】解：A选项，根据抛物线的开口方向，可得，根据抛物线对称轴的位置，可得，根据抛物线与轴交点的位置，可得，故，错误； B选项，根据抛物线与轴的交点，可得，，，错误； C选项，根据图象，可得，，，，正确； D选项，根据图象，可得当时，，错误． 3．已知二次函数的图象如图所示．下列结论： ①；②；③；④；⑤其中正确的个数有（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的图象，结合对称轴可以得到，，，设抛物线与x轴交点分别为和，，由图可知，，可得出，得出；再利用时函数值的正负判断③，利用时和时对应的函数值的正负，然后通过灵活变形判断④，最后利用与x轴交点个数判断⑤． 【详解】解：①根据函数图象的开口向下知，， ∵抛物线的对称轴在轴左边， ， ， ∵抛物线与轴交于正半轴， ， ． 故①正确； ②∵设抛物线与x轴交点分别为和，，由图可知，， ∴，即， ， ， ， ， 故②正确； ③由函数图象可知，当时，， 即， 故③正确； ④由函数图象可知，当时，，即，当时，，即， ， ∴， 故④正确； ⑤由图象与轴有两个交点，则， 故⑤正确， 综上，正确的有5个． 4．二次函数图象如图，下列结论：①；②，且，则；③；④当时，．其中正确的有（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】根据对称轴判断①，根据对称性判断②，特殊点判断③，最值判断④． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵，即，且， ∴关于对称轴对称， ∴，故②错误； 由图象可知，当时，函数值小于0， ∵和关于对称轴对称， ∴时的函数值小于0，即，故③错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，，即．故④正确． 综上，正确的只有①④． 5．如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的是（ ） A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与x轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，①由抛物线的开口方向、对称轴以及与y轴的交点，可得a、b、c的符号，进而可得的符号，结论①错误；②由抛物线与x轴交于，顶点是，可判断出抛物线与x轴的另一个交点为，当时，，结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线，即，得，把，代入并化简得：，解得或，可判断出结论③正确；④把代入并计算可得，由对称轴可得，所以，由可得，再计算的值，可判断④错误． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故结论①错误； ②∵二次函数的图象与x轴交于，顶点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，，故结论②正确； ③由题意可知对称轴为：直线， ∴， ∴ 把，代入得：， ∴， 解得或， ∴当，则或，故结论③正确； ④把，代入得：， ∴， ∵ ∴， ∵抛物线与x轴的另一个交点为， ∴， ∴， ∴，故④错误． 故选：C． 题型三：一次函数、二次函数图象综合判断 1．若二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象，可知，从而推出的图象． 【详解】解：根据题意，可知的图象开口向下，对称轴是轴，与轴的交点在轴的正半轴， ∴， ∴的图象过第一，二，四象限,观察选项，只有B选项符合． 2．已知一次函数（，为常数，），（，为常数，）的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，二次函数的图像与性质，根据一次函数和二次函数的图像与性质，求出其开口方向，与轴的交点坐标，与轴的交点坐标，即可判断答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图像知：，，且，， 由， ∴当，，当时，， ∴抛物线过，，且，抛物线开口向下， 由图像知：，， ∴， ∴选项符合题意， 故选：． 3．在同一平面直角坐标系中画出二次函数 和一次函数的图像，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解：A、由二次函数图象可知，，，由一次函数图象可知：，，矛盾，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知，，，由一次函数图象可知：，，矛盾，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知，，，由一次函数图象可知：，，矛盾，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知，，，由一次函数图象可知：，，故该选项符合题意． 故选：D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b均不为0）与二次函数 的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点．根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数中a、b的正负情况与二次函数中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； C、由二次函数图象可知：，，则，由一次函数图象可知：，故该选项不符合题意； D、由二次函数图象可知：，，由一次函数图象可知：，故该选项符合题意； 故选：D． 5．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象与交点问题，联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有函数图像A符合题意； 故选：A． 题型四：两个二次函数图象综合判断 1．已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______． 【答案】或 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 2．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象． 【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 3．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝． 【详解】设A（m，m2），则B（m，m2）， ∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D， ∴C（2m，m2），D（m，m2）， ∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m， . 故选C． 4．如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的特点进一步求解即可. 【详解】∵二次函数的图像为抛物线， ∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个， 故选：B. 5．已知函数 (1)点P（2，2）在此函数的图象上． ①求n的值． ②求此函数的图象与y轴的交点． (2)当n = 1时，此函数的最大值为 ． 【答案】(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 11 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01 二次函数的图象与系数的关系 题型归纳 题型一二次函数图象与各项系数符号 题型二根据二次函数的图象判断式子符号角 题型三一次函数、二次函数图象综合判断 题型四两个二次函数图象综合判断 题型专练 题型一：二次函数图象与各项系数符号 1.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点-1,0,3,0，则下列说法正确的是(). A.a>0 B.b<0 C.2a+b=0 D.a-b+c>0 2.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc>0;②2a+b=0; ③3a+c>0;④am+bm≥a+b(m为实数).其中正确的有 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A-1,0,顶点坐标1，n,与y轴的交点在|0，-2，(0，-3 之间（包含端点：下列结论：O3a+b<0:②a≤：③对于任意实数m,a+b≤mam+h总成 立；④关于x的方程ax+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数为() 1/7 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，抛物线y=ax+bx+c经过点-3,0,1,0，下列结论中正确的是（) VA A. bc0 a B.am+bm≤a-b C.方程cX+bx+a=0的解为x,=-3X,=-1 D.若抛物线上有-2，乞y小2y小 则y2<y1<y3 5.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则二次函数y=a(x-b2+c的图象可能是() . 题型二：根据二次函数的图象判断式子符号 1.二次函数y=ax+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论错误的是() 217 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 X= 3 A.abc>0 B.3a+c>0 C.a+2b+4c>0 D.对任意实数m,都有a1-m2+b1-m≤0恒成立 2.已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则() 02 A.abc>0 B.a+b<0 C.2a+c<0 D.a-b+c>0 3.己知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示.下列结论： ①abc>0:②2a-b<0:③4a-2b+c<0:④(a+cP<b2,⑤b2-4ac>0其中正确的个数有() A.5 B.4 C.3 D.2 4.二次函数y=ax+bx+ca≠0图象如图，下列结论：①2a+b=0;②ax1+bX1=ax+bX2,且 X1≠x2,则x1+x2=1；③a-b+c>0;④当m≠1时，a+b>am2+bm.其中正确的有() y x=1 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 5.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于-3,0，顶点是-1，m,则以下结论：①abc>0: ②4a+2b+c>0,⑧若y2C,则x≤-2或x≥0，④b+c-2m.其中正确的是（） 0 (-1,m) A.①②③④ B.②③④ C.②③ D.①④ 题型三：一次函数、二次函数图象综合判断 1.若二次函数y=mx+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象可能是() 2.已知一次函数y1=k1x+b1(k1,b1为常数，k1≠0)，y2=k2X+b2(k2,b2为常数，k2≠0)的图像如 图所示，则函数y=y1·y2的图像可能是() 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y1=kx+b1 3 y2=kxx+b2 9斗2 -2 2 3 2 192 -3-1012 -2 -2 C D 3.在同一平面直角坐标系中画出二次函数y=ax+bx和一次函数y=aX+b的图像，正确的是() C 4.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a,b均不为0)与二次函数y=bx2-ax的图象可能是 () 517 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.函数y=ax-a与y=ax-aa≠0在同一平面直角坐标系中的图象可能是( 题型四：两个二次函数图象综合判断 1.已知一条抛物线的形状与桃物线y=2x+3形状相同。与另一条提物线y-x+1-2的顶点坐标相 同，这条抛物线的表达式为 2.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+b与y=bx2+ax的图象可能是( 1 3.如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y=x(≥0)和抛物线y=4(20)于 1 点A和点B,过点A作AC∥x轴交抛物线y=4于点C,过点B作BD∥x轴交抛物线)=x于点D,则 B AC的值为() 617 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 B A寻 V2 c 2 B. 4 D. 2 4.如果两个不同的二次函数的图象相交，那么它们的交点最多有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知函数y=( (1)点P(2,2)在此函数的图象上. ①求n的值. ②求此函数的图象与y轴的交点. (2)当n=1时，此函数的最大值为_， 717 专题01 二次函数的图象与系数的关系 题型一 二次函数图象与各项系数符号 题型二 根据二次函数的图象判断式子符号角 题型三 一次函数、二次函数图象综合判断 题型四 两个二次函数图象综合判断 题型一：二次函数图象与各项系数符号 1．C 2．①②③④ 3．B 4．D 5．A 题型二：根据二次函数的图象判断式子符号 1．C 2．C 3．A 4．D 5．C 题型三：一次函数、二次函数图象综合判断 1．B 2．C 3．D 4．D 5．A 题型四：两个二次函数图象综合判断 1．或 2．D 3．C 4．B 5．(1)①n = 2；②（0，1） (2)1 【分析】（1）①根据点P的横坐标比1大，将点P代入即可求得n的值． ②根据当图象与y轴有交点时，x值为0；将x = 0代入求出y值，即可得出交点坐标． （2）当n = 1分别代入两个函数表达式中，求出各自表达式的最大值，最后两者取最大值即可． 【详解】（1）①解：∵在点P（2，2）中，x ≥ 1 ∴将点P（2，2）代入函数 中得 解得 ②解：求此函数的图象与y轴的交点，即求当时，函数图象与y轴的交点． ∵当 时，函数表达式为 ∴当， ∴此函数的图象与y轴的交点为(0，1)． （2）解：当n = 1时，函数表达式为 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为 ，在右侧，函数图象随x的增大而减小． ∴当x = 1时，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当 时，函数有最大值1． 当 时，将函数表达式 转为顶点式为． ∴函数对称轴为． ∴当，函数有最大值，最大值为 ，解得． ∴当n = 1时，此函数的最大值为1． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $