专题03 二次函数与特殊图形（举一反三专项训练）数学新教材沪科版九年级上册

专题03 二次函数与特殊图形（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 二次函数与一般等腰三角形】 1 【题型2 二次函数与等腰直角三角形】 8 【题型3 二次函数与平行四边形】 18 【题型4 二次函数与矩形】 26 【题型5 二次函数与菱形】 36 【题型6 二次函数与正方形】 44 【题型7 二次函数与等腰梯形】 56 【题型8 二次函数与直角梯形】 66 【题型1 二次函数与一般等腰三角形】 【例1】（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 【变式1-1】（2026·安徽宿州·三模）已知抛物线（a为常数），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． (1)当时，求抛物线的解析式及点A，B的坐标； (2)已知点在该抛物线上． （i）若，求a的值； （ii）当时，设抛物线的顶点为P，点Q在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点Q的坐标． 【答案】(1)；； (2)（i）或；（ii）或或或． 【分析】（1）由题意得到抛物线解析式为，令，解方程即可解答； （2）（ⅰ）令 ，解方程即可解答；（ⅱ）由题意得抛物线解析式为 ，得到顶点，，求出，设点，分，，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 当，则，解得或， ∴，； （2）解：（ⅰ）∵点在该抛物线上， ∴， 当，则， 解得或； （ⅱ）当时，抛物线解析式为 ， ∴顶点， ， ∴， ∴， 设点， ∵是等腰三角形，分三种情况讨论： 情形一：， ∴， ∴， ∴或； 情形二：， ∴， ∴ ， ∴， ∴或， 当时，， 当时，，与顶点P重合，舍去； 情形三：， ∴，即， 解得，此时； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或或． 【变式1-2】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)最大值为16 (3)点P的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点D作轴交于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论； （3）利用勾股定理求出，设出点P坐标，求出、，再分类讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴交于点E，交x轴于点F， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积有最大值， ∴当时，的面积最大，最大值为16； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 又， 所以，对称轴为直线， 设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等； （1）利用待定系数法即可求得解析式； （2）设M的坐标为，根据即可得出的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标． （3）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为，分两种情况讨论，①，②，求出m的值后即可得出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为. （2）解：如图，设M的坐标为， ∵． ∴， ∴，， ， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是， ∴， ∴. （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线的对称轴为：，假设存在满足题意： ①当时， ， 解得：， ∴， ②当时，， 解得：，， ∴，， 综上，共存在3个点，，，使是以为腰的等腰三角形． 【题型2 二次函数与等腰直角三角形】 【例2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【答案】(1)抛物线的表达式为：，， (2)①的最大值为，此时；②，． 【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线解析式，然后将代入，即可求得、的坐标； （2）①设点，其中，先利用待定系数法求得直线的表达式为，设，那么，然后利用二次函数的性质求解即可；②先求得其对称轴为，设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，先证明，得到，那么有，从而解得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：， 当时，，解得或， ∵抛物线与轴交于、两点， ∴，； 综上，抛物线的表达式为：，，； （2）解：设点，其中，连接，过点作轴的垂线交于点，连接，如图所示： 设直线为，代入，， ，解得， ∴直线的表达式为， 设， ∴，     ∵，， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为， 当时，， ∴； ∴的最大值为，此时； ②∵抛物线的表达式为：， ∴其对称轴为， 设点，其中，过点作对称轴于点，设交轴于点，那么，如图所示： ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，其中，在对称轴上， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质，二次函数的最值问题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式2-1】如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且． (1)求抛物线的解析式和b值； (2)在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)存在，点P的坐标为或 (3)n的取值范围为 【分析】（1）根据题意可得点A坐标，然后利用待定系数法可求抛物线解析式以及b值； （2）求出点B坐标，由直线的解析式可得，分两种情况：当时，当时，分别求出点P的横坐标即可； （3）分别求出直线过点时n的值以及直线与抛物线有唯一公共点时n的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交点为， ∴，， ∴， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 将代入得， 解得； （2）解：存在； 令， 解得，， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴， 当时，点P横坐标和点B横坐标相同，都是1， 把代入得， ∴此时， 当时，如图1，过点P作轴于E，则点E为的中点， ∴点E的横坐标为， ∴点P的横坐标为， 把代入得， ∴此时， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或； （3）解：将抛物线图象x轴上方部分沿x轴翻折后所在的抛物线表达式为， 当直线过点与该新图象恰好有三个公共点时，可得， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，可得， 即只有一个实数解， ∴， 解得； ∴若直线与该新图象恰好有四个公共点，此时n的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，二次函数图象与几何变换等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 【变式2-2】定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）． (1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式． (2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）． (3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标． ②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线经过点，得到，进而把抛物线解析式化为顶点式得到抛物线对称轴是直线，再根据抛物线的对称性即可求出点D的坐标为； （3）①根据题意得到，则，再由是的垂直平分线，得到，即可得到，求出；②根据平行四边形的性质得到，则点E的坐标为或，再由点E在抛物线上进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得A的坐标为． ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的对应的函数关系式为：． （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴是直线， ∵轴，，即 ∴点D的坐标为； （3）解：①当，是等腰直角三角形时，． ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ ∴． ∴． ∴点M的坐标为； ②∵若以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴点E的坐标为或， ∵点E在抛物线上， ∴或 ∴（负值舍去）． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式2-3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． （2）当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 （3）存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 二次函数与平行四边形综合解题方法归纳： （1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答； （2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程求解． 如图，四边形ABCD为平行四边形，则利用平行四边形的性质可得四个顶点的坐标关系为： 或 （3）已知不在同一直线上的三点A，B，C，在平面内找到一个点D，使以A，B，C，D为顶点的四 边形是平行四边形，有三种情况： ①以AB为对角线，则； ②以AC为对角线，则； ③以BC为对角线，则． 【题型3 二次函数与平行四边形】 【例3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为坐标平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【答案】(1) (2)满足条件的点坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ 设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述：满足条件的点坐标为或或． 【变式3-1】（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）求解抛物线的对称轴为直线，设，，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 令，则， ∴, 设， 如图， 当时，则且 解得：， ∴ 当时，则且 解得：， ∴ 综上：点M坐标为或 【变式3-2】（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点P的坐标； (3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式为，作轴交于M，如图1，设，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质求解； （3）如图2，分类讨论：当四边形为平行四边形，设，利用点平移的坐标规律得到，然后把代入中求出a即可得到Q点坐标；当四边形为平行四边形或四边形为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为，即； （2）解：设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 所以直线的解析式为， 作轴交于M，如图1， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大，此时P点坐标为； （3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线， 当四边形为平行四边形，设，则， 把代入得，解得， ∴； 当四边形为平行四边形时，设，则， 把代入得，解得， ∴； 当四边形为平行四边形时，设，则， 把代入得，解得， ∴， 综上所述，满足条件的Q点坐标为或或． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与与轴相交于，两点，与轴相交于点，为抛物线的对称轴上一个动点． (1)求直线的表达式； (2)求抛物线的表达式； (3)请探索在直线的上方且在抛物线上是否存在点，使得，，，构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在满足条件的点、，坐标分别为，或， 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的表达式求解、平行四边形的判定，关键是利用待定系数法求函数解析式，结合平行四边形对角线互相平分的性质，以、、分别为对角线分三种情况，利用中点坐标公式列方程求解，最后结合点的位置限制筛选符合条件的解． （1）先根据抛物线与轴的交点特征求出点的坐标，再利用待定系数法，将、两点坐标代入一次函数的一般式，求解得到直线的表达式； （2）将、两点的坐标代入抛物线的一般式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得到抛物线的表达式； （3）先求出抛物线的对称轴，确定点的横坐标，设出、的坐标，根据平行四边形对角线互相平分的性质，对角线的中点坐标相同，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况，利用中点坐标公式列方程求解，再结合点在直线上方的限制条件，筛选出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴当时，，即； 设直线的表达式为， 将、代入得：，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：抛物线过、， 将两点坐标代入解析式得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （3）解：∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴设点的坐标为， 设点的坐标为，则． ∵点在直线上方， ∴或． 已知，，分以下三种情况讨论： ①以为平行四边形的对角线，此时的中点与的中点重合， 的中点坐标为， 的中点坐标为， 根据中点坐标相同列方程：， 解得：，不满足或的条件，故此情况舍去； ②以为平行四边形的对角线，此时的中点与的中点重合， 的中点坐标为， 的中点坐标为， 根据中点坐标相同列方程：， 解得：， 当时，，即点的坐标为， 解得：，即点的坐标为； ③以为平行四边形的对角线，此时的中点与的中点重合， 的中点坐标为， 的中点坐标为， 根据中点坐标相同列方程：， 解得：， 当时，，即点的坐标为， 解得：，即点的坐标为； 综上，存在满足条件的点、，坐标分别为，或，． 【题型4 二次函数与矩形】 【例4】（2026·江苏苏州·一模）如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将，坐标代入解析式即可求出解析式； （2）利用△的面积减去△的面积得出△的面积，分析关于的二次函数的最值； （3）根据矩形的顶点坐标，结合矩形的边与抛物线的交点情况，分三种情况讨论矩形各边中点在抛物线上的情形，分别列方程求解并检验，确定的值． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式：； （2）解：设直线的解析式将，代入得 ，解得， 直线的解析式为， 点，， ， 的面积减去的面积得出的面积， ， ，二次函数开口向下， 当时，有最大值是； （3）解：点位于第四象限， ， ，即点位于点右侧， 矩形与抛物线有三个交点， 点位于抛物线对称轴左侧， ， 点的对称点为， 则必有， 即， ， 由题意得，，， ①当中点位于上时，如图， 中点坐标为，， 又中点在抛物线上， ， ， 解得：（舍去），； ②当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），（舍去）； ③当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的最值问题、矩形的性质以及函数交点与中点问题，熟练运用二次函数的性质、矩形的相关性质及分类讨论思想是解答本题的关键． 【变式4-1】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与几何图形，矩形的性质，勾股定理， 对于（1），直接将点代入关系式，求出方程组的解即可； 对于（2），先根据面积之间的关系求出点E的横坐标为1，再代入关系式即可； 对于（3），先求出对称轴为，再设点，然后分三种情况：以为矩形的对角线时，以为矩形的边时，若以为矩形的对角线时，根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：将点代入关系式， ∴， 解得， ∴抛物线的关系式为； （2）解：如图， ∵，且， ∴， ∴． ∵点A，B关于对称轴对称， ∴点E的横坐标为1，此时， 即点； （3）解：∵抛物线， ∴对称轴为， 设点， 如图，以为矩形的对角线， 由中点的坐标可知， 解得． ∵， ∴， ∴， 解得或4， ∴点或； 如图，以为矩形的边时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点； 若以为矩形的对角线时， 由中点的坐标公式，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴点， 综上所述，点P的坐标为或或或． 【变式4-2】（2025·陕西西安·二模）已知抛物线交轴于点，交轴于点，连接，将抛物线平移后得到抛物线，且点对应点． (1)求抛物线的表达式． (2)在轴上是否存在一点，使得以点为顶点的四边形为矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，当时，点的坐标为，点的坐标为．当时，点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，矩形的性质． （1）将点代入，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）设点为，分两种情况讨论：①当时，证明即可得，可求得M的坐标，再根据矩形的性质可求得E的坐标；②当时，此时点与原点重合，而可得答案． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：存在． 设点为， 分以下两种情况讨论： ①当时， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 四边形为矩形， ∴ 解得， 点的坐标为， ②当时，此时点与原点重合， 点的坐标为． 四边形为矩形， ， 点的坐标为． 【变式4-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为_____________； (2)如图1，已知点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在这样的、两点使得四边形为矩形？若存在，求、两点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上，过点作轴于点，过原抛物线的顶点作轴，交新抛物线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）首先求出对称轴为直线，，设，，首先根据平行四边形的性质得到，然后代入求出，，然后利用两点间距离公式得到，证明出四边形为矩形，符合题意，即可求解； （3）首先求出抛物线的顶点坐标，求出所在直线表达式为，得到新抛物线的顶点P的坐标为，然后求出表示出，根据列方程求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式得， ， 解得， 此二次函数的解析式为； （2）∵ ∴对称轴为直线 当时， ∴ ∵点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上 ∴设， 当四边形为矩形时，四边形为平行四边形 ∴，即 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴四边形为矩形，符合题意， ∴，； （3）抛物线 ∴顶点坐标 ∵， ∴设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∵平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上， ∴新抛物线的顶点P的坐标为 ∴设新抛物线的表达式为 将代入得， ∴ ∵ ∴ 解得或 ∵新抛物线的顶点在的延长线上 ∴，故应舍去 ∴ ∴． 【点睛】本题属于二次函数和一次函数综合题，考查了待定系数法，特殊四边形的存在性问题，抛物线的平移，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法以及二次函数的性质． 【题型5 二次函数与菱形】 【例5】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在；或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数图象和性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令，，即可求出三点的坐标； （2）根据三点的坐标求直线的函数表达式，根据直线的表达式设点D的坐标为，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：对于来说， 当时 ，； 故点， 当时，有， 解得：， ∴，； （2）解：存在： 设直线的表达式为：； 将，代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【变式5-1】（2025·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点． (1)求点，点的坐标； (2)抛物线与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的表达式； (3)已知的对应点为，的对应点为，的对应点为，以，，，，，六个点中的4个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积． 【答案】(1)， (2) (3)四边形，是菱形，面积最大的菱形面积为18 【分析】（1）当时，，然后求解即可； （2）首先将抛物线配方得到，求出抛物线的顶点坐标为，然后根据中心对称的性质得到抛物线的二次项系数为，顶点坐标为，进而求解即可； （3）首先求出，，，，然后得出，，，结合，证明出四边形，是菱形，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点 ∴当时， 解得或 ∴，； （2）解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线与抛物线关于原点成中心对称 ∴抛物线的二次项系数为，顶点坐标为 ∴抛物线的表达式为； （3）解：如图所示， 当时， ∴ ∵，，抛物线与抛物线关于原点成中心对称 ∴，， ∴，， ∴四边形，是平行四边形 又∵， ∴四边形，是菱形 由图可得，菱形的面积大于菱形的面积 ∴菱形的面积． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，关于点成中心对称的图形的性质以及菱形的判定和面积公式，其中根据中心对称的性质求出抛物线的函数表达式是解题的关键． 【变式5-2】如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大值是4 (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据抛物线与轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）求出点坐标后可求得直线的表达式，设点，则，利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，由方程，求出的值即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线与轴交于点、， ， 故抛物线的表达式为； （2）解：抛物线的表达式为， 时，，即， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得， 则直线的表达式为， 设点，则， 则， ， 其中， 有最大值，当时，取最大值； （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 抛物线的表达式为， 抛物线对称轴为， 设点，而， 四边形是菱形， ， 即， 解得， 即点的坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合、二次函数交点式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 【变式5-3】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或或 【分析】（1）先求得，，三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于，交于，根据点和点坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以为对角线或以为边这两个情况，进而求得点的坐标即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，由得， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式为， ， ， 抛物线的表达式为； （2）解：如图1， 作于，交于， ，， ， ， ∵，， 当时，S取最大值，最大值为， 当时，， ； （3）解：∵点在抛物线对称轴上， ∴设， ∵以点，，，为顶点作菱形， ∴①当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ，即， ， ， ； ②当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ， ， 或； ③当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ， ， 或 综上：或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点及分类讨论思想的运用． 【题型6 二次函数与正方形】 【例6】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，顶点坐标为； (3)， 【分析】（1）如图，作轴于点，证明出，得到，，进而求解即可； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式为，即可得到顶点坐标为； （3）如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于，同（1）可证，求出点坐标为，点坐标为．然后分别代入抛物线验证即可． 【详解】（1）如图，作轴于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴点坐标为； （2）∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为 ∴顶点坐标为； （3）在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 如图，以为边在的左侧作正方形，过作于，轴于， 同（1）可证， ∴，， ∴点坐标为，点坐标为． 由（2）抛物线， 当时，；当时，． ∴、在抛物线上． 故在抛物线上存在点、，使四边形是正方形． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和四边形综合，全等三角形的性质和判定，正方形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式6-1】如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知 ，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 【变式6-2】（2024·黑龙江大庆·二模）如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题考查用等定系数法求函数解析式，二次函数与正方形综合，二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数的图象性质和正方形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）先用待定系数法求出直线的解析式为，根据当点 、三点共线时，的最小值为的长，再根据抛物线的对称轴为，把 代入，求得，即可求解． （3）分三种情况：当为对角线时，此时四边形是正方形；当为边时，若点在的上方，四边形是正方形；当若点在点的下方时，四边形是正方形．分别求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的函数解析式为，   ， ， 直线的解析式为． ， 当点 、三点共线时，的最小值为的长， 抛物线的对称轴为， 当时，， （3）解：当为对角线时，此时四边形是正方形，如图， 令，则， ∴， ∵四边形是正方形，点为轴上一点， ∴轴， ∵， ； 当为边时，若点在的上方，四边形是正方形，如图， 此时 ， 轴 是等腰直角三角形， ， ； 当点在点的下方时，四边形是正方形，如图， 是等腰直角三角形， ∴点F在的垂直平分线上， ∵点为轴上一点，， ∴点F的横坐标为， 把代入，得， ∴ ∵四边形是正方形， ∴点F与点N关于对称， ∴； 当点在点的下方时，如图，四边形是正方形， ∵四边形是正方形，点为轴上一点， ∴点N与点C关于y轴对称， ∵ ∴； 综上：点的坐标为或或或． 【变式6-3】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）把代入抛物线利用待定系数法求解即可． （2）先求出点坐标，根据，得出点纵坐标为 4 ，则，解方程即可求解． （3）先求出抛物线的顶点坐标为，当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可．当时，最高点为顶点坐标，最低点为点坐标，得出，求解即可． （4）分两种情况：①如图，过作轴．证明，得出，从而得， 根据， 得出， 根据， 列出方程， 求解即可．②如图所示：同理证明，得出，根据，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线得：， ， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为与轴交于点， ， ， ∴点纵坐标为 4 ， ， ， ． （3）解：抛物线， 故顶点坐标为， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， 当时， 最高点为顶点坐标，最低点为点坐标， ， ， ， ， ， 综上所述，或． （4）解：①如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，   ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图所示：如图，过作轴． ∵正方形， ， ， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ， 或2， ， ， 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【题型7 二次函数与等腰梯形】 【例7】如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线经过O，A，C三点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标； (3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM是等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)G点到直线OC的最大距离为，此时G(2，4)； (3)存在，P点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线OC的解析式，再利用二次函数的性质求解即可； （3）确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解． 【详解】（1）解：由题意：A(2，4)，C(4，2)，O(0，0)， 因为抛物线y=ax2+bx+c经过点O，A，C， ∴， 解得，，， ∴抛物线解析式为； （2）解：连接GO，GC，过G点作x轴的垂线交OC于点K，GH⊥OC于点H． 令G点的横坐标为m（0<m<4），则G(m，−m2+m)． 设直线OC的解析式为y=kx+b，把C(4，2)，O(0，0)代入得： ， 解之得：b=0，k=， ∴直线OC的解析式为y=x，则K(m，m) ∴ ， 当时，的值最大为6，此时GH的值为最大， ， ∴，， ∴G点到直线OC的最大距离为，此时G(2，4)； （3）解：存在． 如图所示，过点M作于点R，过点P作于点T． 由题意：， ∴MR=PT， ∵AM=BP， ∴≌． ∴ 设点M的横坐标为t，则． 由（2）知：直线OC的解析式为，则 ∴， 当时， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，无实数解． ∴，此时 ∴P点的坐标为． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数的最值、相似三角形，涉及到的知识点众多，难度较大，对学生能力要求较高，有利于训练并提升学生解决复杂问题的能力． 【变式7-1】已知二次函数的图象经过、两点，且对称轴为直线．设顶点为点，与轴的另一交点为点． (1)求二次函数的解析式及顶点的坐标； (2)如图，在直线上是否存在点，使四边形为等腰梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)， (2)存在，当时，四边形为等腰梯形 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次解析式以及等腰梯形的性质与判定以及待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练应用等腰梯形的判定与性质是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案； （2）首先求出直线的解析式，进而利用当时，得出的值，即当时四边形为等腰梯形． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 由题意得， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴点P的坐标为． （2）解：存在点，使四边形为等腰梯形． 理由如下： 当时，， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线， ∵顶点坐标， ∴， 设，则， 当时，， 解得：，， 当时，，四边形为平行四边形，舍去， ∴当时，四边形为等腰梯形， ∴当时，四边形为等腰梯形． 【变式7-2】（2025·江苏宿迁·一模）已知抛物线交轴于、两点，交y轴于点C，其顶点为D． (1)求b、c的值并写出抛物线的对称轴； (2)连接，过点O作直线交抛物线的对称轴于点E． 求证：四边形是等腰梯形； (3)抛物线上是否存在点Q，使得的面积等于四边形的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，3， (2) 证明：∵抛物线的解析式为， 令，可得，即C点坐标为， ∵， ∴， 如下图，设抛物线的对称轴交轴于点，连接， 则点坐标为， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴四边形是梯形， 在和中，，， ∴， ∴四边形是等腰梯形； (3)存在，点Q的坐标为或或 【分析】（1）将点、代入抛物线解析式，利用待定系数法解得b、c的值，即可确定该抛物线解析式，并确定其对称轴； （2）首先确定点C，D坐标；设抛物线的对称轴交轴于点，连接，易得点坐标为，分别证明，均为等腰直角三角形，易得，可证明，可知四边形是梯形，再利用勾股定理确定，即可证明结论； （3）点坐标为，首先求得于四边形的面积，由题意得，易得或，然后分和两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：将点、代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线的对称轴为； （2）略 （3）存在，理由如下： 由题意得，可得， 设点坐标为， 由题意得， ∴， ∴或， 当时，可有， 解得， ∴点坐标为或， 当时，可有， 解得， ∴点坐标为． 综上所述，若的面积等于四边形的面积的，则点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数综合应用等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【变式7-3】已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）． 【答案】(1)y＝﹣x2+3x； (2)（0，4）； (3)（2，1）或（2，﹣1）． 【分析】（1）将C（4，0）代入y＝ax2+3x，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）先利用配方法求出（1）中抛物线的顶点D的坐标，再由点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，可知B（4，2），设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B、D两点的坐标代入，运用待定系数法求出直线BD的解析式，令x＝0求出y的值，进而得到点A的坐标； （3）由于点M在抛物线的对称轴上，所以DMBCAO．分两种情况讨论：①当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形，再证明四边形AOMD是等腰梯形；②当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形，再证明四边形BCMD是等腰梯形． 【详解】（1）解：抛物线y＝ax2+3x过点C（4，0）， ∴16a+12＝0， 解得a＝﹣ ， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x； （2）解：∵y＝﹣x2+3x＝﹣（x2﹣4x）＝﹣（x﹣2）2+3， ∴顶点D的坐标为（2，3）． ∵点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2， ∴B（4，2）． 设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（4，2），D（2，3）代入， 得 ， 解得， ∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴点A的坐标为（0，4）； （3）解：在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形．理由如下： 设点M的坐标为（2，y）．由AOMD和BCMD都是四边形，得y＜3． 分两种情况： ①如图1所示， ∵DMBC， ∴当DM＝BC时，四边形BCMD是平行四边形． ∵D（2，3），DM＝BC， ∴3﹣y＝2，解得y＝1， ∴当M的坐标为（2，1）时，四边形BCMD是平行四边形， 此时，∵OM＝ ，AD＝， ∴OM＝AD， 又∵AODM，AO≠DM， ∴四边形AOMD是等腰梯形； ②如图2所示，      ∵DMAO， ∴当DM＝AO时，四边形AOMD是平行四边形． ∵D（2，3），DM＝AO， ∴3﹣y＝4，解得y＝﹣1， ∴当M的坐标为（2，﹣1）时，四边形AOMD是平行四边形， 此时，∵CM＝，BD＝， ∴CM＝BD， 又∵BCDM，BC≠DM， ∴四边形BCMD是等腰梯形． 综上可知，在抛物线的对称轴上存在点M，使四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，此时点M的坐标为（2，1）或（2，﹣1）． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标，平行四边形的判定与性质，等腰梯形的判定，综合性较强，难度不大．运用数形结合及分类讨论是解题的关键． 【题型8 二次函数与直角梯形】 【例8】（专题30圆与二次函数结合-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版））如图，二次函数的图象与轴交于点和点(点在点的左侧)，与轴交于点，且 (1)求二次函数的解析式； (2)若以点为圆心的圆与直线相切于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点使得以为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）由题意可知坐标，根据题意得到三角形为等腰直角三角形，确定出坐标，代入二次函数解析式求出的值，即可确定出解析式； （2）由题意连接，作轴，交轴于点，轴，交轴于点，如图1所示，由圆与直线相切于点，得到垂直于，由，利用三线合一得到为中点，进而求出与的长，确定出坐标即可； （3）根据题意分两种情况考虑：经过点且与直线平行的直线的解析式为，与抛物线解析式联立求出坐标；经过点且与直线平行的直线的解析式为，与抛物线解析式联立求出坐标即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点， ∴点的坐标为， ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）连接，作轴，交轴于点，轴，交轴于点，如图1所示， ∵与直线相切于点， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴，， ∴点的坐标为； （3）∵点的坐标为； 则直线的解析式为，如图2所示， 则经过点且与直线平行的直线的解析式为， 解方程组，消去y，得，即， ∴，(舍去)， ∴y=-12， ∴点的坐标为； ∵直线的解析式为， 则经过点且与直线平行的直线的解析式为， 解方程组， 消去，得，即， ∴，(舍去)， ∴， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，坐标与图形性质，直线与抛物线的交点，直线与圆相切的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数 【变式8-1】如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标． 【答案】解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0）， 根据题意，得，解得． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3． （2）存在． 由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x=1． ①若以CD为底边，则PD=PC， 设P点坐标为（x，y），根据勾股定理，得，即y=4﹣x． 又P点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0． 解得＜1，舍去． ∴，∴． ∴点P坐标为． ②若以CD为一腰， ∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称， ∴点P坐标为（2，3）． 综上所述，符合条件的点P坐标为或（2，3）． （3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=， ∴CB2+CD2=BD2=20．∴∠BCD=90°． 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F， 在Rt△DCF中，∵CF=DF=1，∴∠CDF=45°．， 由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3）． ∴DM∥BC．∴四边形BCDM为直角梯形． 由∠BCD=90°及题意可知， 以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况； 以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在． 综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）． 【详解】试题分析：（1）由于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故用待定系数法求解即可． （2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解． （3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角． 【变式8-2】如图，二次函数y= -x2+ax+b的图象与x轴交于A（，0）、B（2，0）两点，且与y轴交于点C． （1）求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； （3）在拋物线上存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，求出P点的坐标. 【答案】（1）y=-x2+x+1；△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°；（2）D（，1）；（3）P（，-）或（-，-9）. 【详解】试题分析：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可确定抛物线的解析式；进而可得到C点坐标，进而可求出AC、BC、AB的长，然后再判断△ABC的形状； （2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，点C关于抛物线对称轴的对称点符合点D的要求，由此可求出点D的坐标； （3）在（1）题已将证得∠ACB=90°，若A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，则有两种情况需要考虑： ①以BC、AP为底，AC为高；可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标． ②以AC、BP为底，BC为高；方法同①． 试题解析：（1）由题意得： ， 解得； ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+1； ∴C（0，1）； ∴AC2=+1=，BC2=1+4=5，AB2=（2+）2=； ∴AC2+BC2=AB2，即△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°； （2）由（1）的抛物线知：其对称轴方程为x=； 根据抛物线和等腰梯形的对称性知：点D（，1）； （3）存在，点P（，-）或（-，-9）； 若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以BC、AP为底； ∵B（2，0），C（0，1）， ∴直线BC的解析式为：y=-x+1； 设过点A且平行于BC的直线的解析式为y=-x+h， 则有：（-）×（-）+h=0，h=-； ∴y=-x-； 联立抛物线的解析式有： ， 解得，； ∴点P（，-）； 若以A、C、B、P四点为顶点的直角梯形以AC、BP为底， 同理可求得P（-，-9）； 故当P（，-）或（-，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形． （根据抛物线的对称性求出另一个P点坐标亦可） 考点：二次函数综合题． 【变式8-3】如图，抛物线经过点，连接， (1)求该抛物线的解析式． (2)求证：是等腰直角三角形． (3)将绕点O按逆时针方向旋转，得到，写出的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上． (4)在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形成直角梯形？若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：过点B作轴，垂足是点C． ∵， ∴， ∴和为全等的等腰直角三角形， ∴且 ∴是等腰直角三角形； (3)P的坐标为，点P不在此抛物线上 (4)存在．和；16． 【分析】（1）将代入抛物线解析式，列方程组求a、b的值即可； （2）过点B作轴，垂足是点C，根据所求抛物线解析式求抛物线的顶点坐标，判断三角形的形状； （3）根据的形状，旋转方向，旋转角，画出图形，可求的坐标，根据中点坐标公式求P的坐标，代入抛物线解析式进行判断； （4）过点O作交抛物线于点M，根据为等腰直角三角形，可求直线的解析式，与抛物线解析式联立，可求M点坐标，同理，过点A，作交抛物线于点，联立方程组可求的坐标，由图形的特殊性可知，两种情况下，梯形面积相等，根据梯形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵在抛物线图象上， 得：， 解得：， ∴该函数解析式为：． （2）略 （3）解：如图，将绕点O按逆时针方向旋转，得到， 其中点正好落在y轴上且轴． ∴和的长度为， ∴中点P的坐标为， 当时，， ∴点P不在此抛物线上； （4）解：存在， 过点O，作交抛物线于点M， ∵， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为：， 联立抛物线解析式得： 解得：点， ∵点关于对称轴的对称点，且点也满足要求， ∴满足条件的点M共有两个，坐标分别为和， ∴． 【点睛】本题主要查了二次函数综合题．涉及待定系数法求二次函数，一次函数与二次函数的交点，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与特殊图形（举一反三专项训练） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 二次函数与一般等腰三角形】 1 【题型2 二次函数与等腰直角三角形】 2 【题型3 二次函数与平行四边形】 5 【题型4 二次函数与矩形】 6 【题型5 二次函数与菱形】 8 【题型6 二次函数与正方形】 10 【题型7 二次函数与等腰梯形】 12 【题型8 二次函数与直角梯形】 13 【题型1 二次函数与一般等腰三角形】 【例1】（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【变式1-1】（2026·安徽宿州·三模）已知抛物线（a为常数），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． (1)当时，求抛物线的解析式及点A，B的坐标； (2)已知点在该抛物线上． （i）若，求a的值； （ii）当时，设抛物线的顶点为P，点Q在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点Q的坐标． 【变式1-2】（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 【题型2 二次函数与等腰直角三角形】 【例2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点、的坐标； (2)点是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当点运动到何处时，的面积最大？求出的最大面积及此时点的坐标； ②在抛物线的对称轴上存在一点，使是以为底的等腰直角三角形，请直接写出点和点的坐标______． 【变式2-1】如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且． (1)求抛物线的解析式和b值； (2)在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 【变式2-2】定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过抛物线与y轴的交点作y轴的垂线，则称这条垂线是该抛物线的伴随直线．例如：抛物线的伴随直线为直线．抛物线的伴随直线l与该抛物线交于点A、D（点A在y轴上），该抛物线与x轴的交点为和C（点C在点B的右侧）． (1)若直线l是，求该抛物线对应的函数关系式． (2)求点D的坐标（用含m的代数式表示）． (3)设抛物线的顶点为M，作的垂直平分线，交抛物线于点E，交该抛物线的对称轴于点F． ①当是等腰直角三角形时，求点M的坐标． ②若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出m的值． 【变式2-3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 二次函数与平行四边形综合解题方法归纳： （1）几何法：先分类，再画出平行四边形，然后根据平行四边形的性质来解答； （2）代数法：先罗列四个顶点的坐标，再分类讨论列方程求解． 如图，四边形ABCD为平行四边形，则利用平行四边形的性质可得四个顶点的坐标关系为： 或 （3）已知不在同一直线上的三点A，B，C，在平面内找到一个点D，使以A，B，C，D为顶点的四 边形是平行四边形，有三种情况： ①以AB为对角线，则； ②以AC为对角线，则； ③以BC为对角线，则． 【题型3 二次函数与平行四边形】 【例3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为坐标平面内一点，如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【变式3-1】（2026·陕西·一模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，点为抛物线上一动点（不与点重合），图中虚线是抛物线的对称轴． (1)求该二次函数的表达式； (2)若点在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（25-26九年级下·宁夏银川·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点P为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点P的坐标； (3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与与轴相交于，两点，与轴相交于点，为抛物线的对称轴上一个动点． (1)求直线的表达式； (2)求抛物线的表达式； (3)请探索在直线的上方且在抛物线上是否存在点，使得，，，构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由． 【题型4 二次函数与矩形】 【例4】（2026·江苏苏州·一模）如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 【变式4-1】（25-26九年级上·四川眉山·期中）如图，矩形在平面直角坐标系中，，抛物线经过点A和点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点在轴上方的抛物线上，当时，求点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上，点Q在坐标平面内，以为顶点的四边形为矩形，请直接写出点P的坐标． 【变式4-2】（2025·陕西西安·二模）已知抛物线交轴于点，交轴于点，连接，将抛物线平移后得到抛物线，且点对应点． (1)求抛物线的表达式． (2)在轴上是否存在一点，使得以点为顶点的四边形为矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)请直接写出：此抛物线的函数解析式为_____________； (2)如图1，已知点在第二象限的抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在这样的、两点使得四边形为矩形？若存在，求、两点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，平移抛物线，使新抛物线的顶点在的延长线上，过点作轴于点，过原抛物线的顶点作轴，交新抛物线于点，若，求点的坐标． 【题型5 二次函数与菱形】 【例5】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（2025·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点． (1)求点，点的坐标； (2)抛物线与抛物线关于原点成中心对称，求抛物线的表达式； (3)已知的对应点为，的对应点为，的对应点为，以，，，，，六个点中的4个点为顶点构造四边形，请写出形状为菱形的四边形，并求出面积最大的菱形面积． 【变式5-2】如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 【题型6 二次函数与正方形】 【例6】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式6-1】如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【变式6-2】（2024·黑龙江大庆·二模）如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，求点的坐标； (3)在（2）条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【变式6-3】（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，O是原点．抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，其横坐标是m． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，求点P的坐标； (3)设此抛物线在点A与点P之间的部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h，当，且时，求m的值； (4)取的中点M，连接，以为对角线作正方形，当，且正方形的顶点N或Q落在x轴上时，请直接写出m的值． 【题型7 二次函数与等腰梯形】 【例7】如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F，抛物线经过O，A，C三点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)点G为抛物线上位于线段OC所在直线上方部分的一动点，求点G到直线OC的最大距离和此时点G的坐标； (3)点P为线段OC上一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM是等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】已知二次函数的图象经过、两点，且对称轴为直线．设顶点为点，与轴的另一交点为点． (1)求二次函数的解析式及顶点的坐标； (2)如图，在直线上是否存在点，使四边形为等腰梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 【变式7-2】（2025·江苏宿迁·一模）已知抛物线交轴于、两点，交y轴于点C，其顶点为D． (1)求b、c的值并写出抛物线的对称轴； (2)连接，过点O作直线交抛物线的对称轴于点E． 求证：四边形是等腰梯形； (3)抛物线上是否存在点Q，使得的面积等于四边形的面积的？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】已知抛物线过点C（4，0），顶点为D，点B在第一象限，BC垂直于x轴，且BC＝2，直线BD交y轴于点A． (1)求抛物线的解析式； (2)求点A的坐标； (3)点M在抛物线的对称轴上，且四边形AOMD和四边形BCMD中，一个是平行四边形，另一个是等腰梯形，求点M的坐标（直接写出答案）． 【题型8 二次函数与直角梯形】 【例8】（专题30圆与二次函数结合-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版））如图，二次函数的图象与轴交于点和点(点在点的左侧)，与轴交于点，且 (1)求二次函数的解析式； (2)若以点为圆心的圆与直线相切于点，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点使得以为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-1】如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标． 【变式8-2】如图，二次函数y= -x2+ax+b的图象与x轴交于A（，0）、B（2，0）两点，且与y轴交于点C． （1）求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状； （2）在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； （3）在拋物线上存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形，求出P点的坐标. 【变式8-3】如图，抛物线经过点，连接， (1)求该抛物线的解析式． (2)求证：是等腰直角三角形． (3)将绕点O按逆时针方向旋转，得到，写出的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上． (4)在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形成直角梯形？若存在，请求出点M坐标及该直角梯形的面积；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $