27.1 反比例函数的概念-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的概念，涵盖定义、三种解析式、取值范围及待定系数法等核心知识点。通过铁路速度与时间、矩形草坪面积等现实情境导入，衔接一次函数、二次函数的研究顺序，搭建从实际到抽象的学习支架。 其亮点是以核心素养为导向，采用“问题情境—概念抽象—辨析应用”流程，结合正反比例对比表格、高频易错点口诀，培养抽象能力与推理意识。新情境题如气球压强与体积问题强化模型意识，助力学生理解数学本质，教师可直接用于高效教学。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十七章 反比例函数 27.1 反比例函数的概念 知识点汇总 本章前言：反比例函数是初中三大基础函数（一次函数、二次函数、反比例函数）最后一类函数，是中考函数填空、选择、图像分析、压轴应用题核心考点。本节为整章基础，重点掌握定义、三种解析式、自变量取值范围、待定系数法求解析式、正反比例函数辨析。 一、反比例函数的定义（必考） 一般地，形如 $$\boldsymbol{y=\dfrac{k}{x}}$$（$$k$$ 为常数，$$\boldsymbol{k eq 0}$$）的函数，叫做反比例函数。 其中 $$x$$ 是自变量，$$y$$ 是函数。 核心理解 1. 本质：两个变量的乘积为定值（$$xy=k$$）； 2. $$k eq0$$ 是定义必要条件，$$k=0$$ 不是反比例函数； 3. 自变量 x 不能为 0，函数值 y 也不能为 0。 二、反比例函数三种解析式（全部熟记） 形式1：标准式（最常用） $$y=\dfrac{k}{x}\;(k eq0)$$ 形式2：乘积式（判断、求值专用） $$\boldsymbol{xy=k}\;(k eq0)$$ 只要两组变量乘积始终相等，即为反比例函数。 形式3：负指数幂式（选择题辨析专用） $$y=kx^{-1}\;(k eq0)$$ 自变量次数必须为 -1，系数 $$k eq0$$。 三、自变量取值范围 1. 一般情况：$$\boldsymbol{x eq0}$$（全体非零实数） 2. 实际应用题：自变量需结合实际意义（正数、整数等） 四、反比例函数的判定方法（选择必考） 满足以下两点即为反比例函数： 1. 解析式可化为 $$y=\dfrac{k}{x}(k eq0)$$； 2. 自变量次数为$$-1$$，且比例系数 $$k eq0$$。 常见不是反比例函数的形式 $$y=\dfrac{k}{x+1}$$、$$y=\dfrac{1}{x}+k$$、$$y=kx^2$$、$$y=kx$$ 五、正比例函数 VS 反比例函数（终极辨析） 函数类型 解析式 变量关系 自变量次数 正比例函数 $$y=kx(k eq0)$$ 比值一定 $$\dfrac{y}{x}=k$$ 1 反比例函数 $$y=\dfrac{k}{x}(k eq0)$$ 乘积一定 $$xy=k$$ -1 六、待定系数法求反比例函数解析式（大题模板） 解题步骤（四步满分） 1. 设：设解析式 $$y=\dfrac{k}{x}(k eq0)$$； 2. 代：将已知一组 $$x、y$$ 对应值代入解析式； 3. 求：解出 $$k$$ 的值； 4. 写：带回原式，写出最终函数解析式。 七、本节高频易错点（扣分重点） 1. 忽略 $$\boldsymbol{k eq0}$$条件，导致判定出错； 2. 误把 $$y=\dfrac{k}{x+a}$$ 当成反比例函数（分母必须只有单独x）； 3. 混淆正反比例：正比比值定、反比乘积定； 4. 忘记自变量 $$x eq0$$； 5. 含参题型不会根据定义列方程：次数=-1、系数≠0。 八、含参反比例函数秒杀结论 若 $$y=(m-2)x^{m^2-5}$$ 是反比例函数，则满足： ① 次数：$$m^2-5=-1$$ ② 系数：$$m-2 eq0$$ 同时满足两个条件才可求出参数取值。 本节满分口诀 反比函数积为定，x负一次 k 非零； 分母独 x 不含加，自变量零不可行； 正比比值反比积，待定四步解析式明。 27.1 反比例函数的概念 章节导入 现实世界中的变化现象多种多样，除了一次函数、二次函数，还有其他函数模型可以用于刻画不同的变化规律. 情境 同一条铁路线上，由于不同车次列车的运行时间有长有短，所以它们的平均速度有快有慢。由 ，你能发现速度与时间的函数关系吗？ 在路程 一定的前提下，平均速度 与运行时间 成反比例 从函数角度看，平均速度 随运行时间的变化而变化的规律，可表示为 由 可知 本章我们就要来研究类似上式的反比例函数. 探究 新课引入 从八年级到现在，我们已经认识了函数家族的两位重要成员，它们是谁？我们是按照怎样的顺序研究它们的？ 一次函数 正比例函数 二次函数 已学函数 研究顺序 实际问题抽象 概念生成 图象性质 实际应用 今天我们就从三个具体的生活问题入手，研究反比例函的概念. 新知探究 感知函数关系 1.写出每个问题中两个变量之间的函数解析式 . 2.思考每个问题中是否存在函数关系，依据是什么 ？ 情境 问题1 京沪高铁全程为，某次列车的平均速度（单位：）随全程运行时间（单位：）的变化而变化； 想一想 速度、路程与时间之间有什么关系？ 路程=速度时间 路程固定为1318km，故平均速度与全程运行时间的关系式为 知识点1 反比例函数的定义 1. 下列函数：， ， ，，，， ， .其中是 的反比例函数的有( ) C A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2.已知函数是反比例函数，则 的取值范围是______ _______. 且 中考考法 5 情境 问题2 某住宅小区要种植一块面积为的矩形草坪，草坪的一边长（单位：）随另一边长（单位：）的变化而变化； 新知探究 想一想 矩形的面积是如何计算的呢？ 矩形面积=长宽 矩形面积固定为，故草坪的一边长与另一边长的关系为： 长 情境 问题3 李明计划使用完手机流量，平均每天使用的流量（单位：）随总使用时间（单位：天）的变化而变化。 新知探究 想一想 总流量、每天使用的流量、时间三者之间有什么关系？ 总流量=每天使用的流量时间 每天使用的流量 总流量固定为，故平均每天使用的流量与总使用时间的关系为： 知识点2 建立反比例函数模型 3. 下列数量关系中，成反比例关系的是( ) C A. 橘子的单价一定，购买橘子的质量与总价 B. 圆锥的体积一定，它的底面半径与高 C. 路程一定时，速度与时间 D. 学校计划种植500棵树，已植的棵数与未植的棵数 中考考法 8 ①都是分式形式； 新知探究 反比例函数概念 探究 观察下列这三个解析式，它们在形式上有什么共同点？ ②分子是一个不为 0 的常数； ③分母是自变量。 如果我们用 表示分子的常数，用 表示自变量，用 表示因变量，你能写出它们的一般形式吗？ 一般地，形如 （ 为常数，）的函数，叫做反比例函数。其中 是自变量， 是 的函数。 新知探究 思考 如果 ,解析式会变成什么？还是反比例函数吗？ 时，是常数函数，不存在反比例关系 ，若为0，则无意义 想一想 在反比例函数中， 可以取 吗？为什么？ 由分式有意义的条件可知： 反比例函数也可表示为以下形式 ②负指数式：（ 为常数，） ①乘积式：（ 为常数，） 待定系数法求反比例函数解析式 教材例题 已知 是 的反比例函数，且当 时，． （1）写出 关于 的函数解析式； （2）当 时，求 的值． 【分析】因为 是 的反比例函数，所以设 ．把 ， 代入上式，就可求出常数 的值． 解：（1）设 ．因为当 时，，所以 解得 因此 （2）把 代入 ，得 巩固训练3 从实际问题中抽象出反比例函数 某段公路全长200km，一辆汽车要行驶完这段路程，则所用速度（km/h）和时间（h）间的函数关系为。若限定汽车行驶速度不超过80km/h，则所用时间至少要___________h。 解：由题意得： 速度（km/h）和时间（h）间的函数关系为， ∴当时， 故本题答案为：；2.5 【分析】根据等量关系“速度=路程÷时间”即可列出关系式，再求至少所用的时间。 2.5 4. 当矩形面积一定时，长是宽 的反比例函 数，其函数解析式可以写为为常数， .请你仿 照上例另举一个在日常生活、生产或学习中具有反比例函数 关系的量的实例，并写出它的函数解析式.实例：__________ ________________________________；函数解析式： _______________________________. 当路程 一定时，速度是时间的反比例函数 为常数（答案不唯一） 中考考法 13 5. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变 的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比 例函数.当时，.则当 时， ________ . 16 000 中考考法 14 知识点3 反比例函数与成反比例 6. 下列说法正确的是( ) A A. 在中，与 成正比例 B. 在中，与 成反比例 C. 在中，与 成正比例 D. 在中，与 成正比例 中考考法 15 【点拨】A.， . 与 成正比例，故选项正确； B.，与 成正比例，故选项错误； C.时，；时， ，故选项错误； D.， ，故选项错误. 故选A. 中考考法 16 7. 已知和成正比例，和成反比例，则和 成____比例. 反 中考考法 17 8.若长方形的两邻边长度分别为, ，面积保持不变，下表给 出了与 的一些值求长方形的面积． 3 1 8 4 2 5 （1）长方形的面积是多少？ 【解】长方形的面积为4. 中考考法 18 （2）与之间是什么关系？用式子表示与 之间的关系． 与是反比例关系，用式子表示为 . （3）完成上表． 如表所示. 3 1 2 8 6 4 2 5 中考考法 19 9. 节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购 买500度电，若平均每天用电度，则能使用 天.下列说法错 误的是( ) C A. 若，则 B. 若，则 C. 若减小，则 也减小 D. 若减小一半，则 增大一倍 中考考法 20 【点拨】由题意得.若，则 ，正 确，故此选项不符合题意；B.若，则 ，解 得，正确，故此选项不符合题意；C.若减小，则 增 大，原说法错误，故此选项符合题意；D.若 减小一半，则 ，即 增大一倍，正确，故此选项不符合题意. 故选C. 中考考法 21 10. 如图，在矩形中，，，为 边 上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点 作 于点.设，的长度分别为，，则与 的函 数解析式为( ) A A. B. C. D. 中考考法 22 【点拨】如图，连接.由题意得矩形 的面积 ,的面积为 . ， . .故选A. 中考考法 23 11. 定义:为反比例函数 ,,为实数的“关联数”.反比例函数的“关联数”为,反比例函数的“关联数”为 , 若 ,则( ) C A. B. C. D. 无法比较 中考考法 24 【点拨】根据题意，得 ， ， . 中考考法 25 12.对于函数 . （1）当为何值时，是 的反比例函数？求出此函数的解析式. 【解】根据题意得解得 ， 故当时，是的反比例函数，此函数的解析式为 . 中考考法 26 （2）当为何值时，是 的正比例函数？求出此函数的解析式. 根据题意得解得 ， 故当时，是 的正比例函数，此函数的解析式为 . 中考考法 27 课堂总结 本节课你学到了什么？ 课堂小结 28 $