27.2.1反比例函数的图象和性质-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数的图象和性质，涵盖双曲线特征、k的符号与象限及增减性的关系、对称性等核心知识点。课堂导入通过回顾反比例函数概念及一次函数、二次函数研究步骤，搭建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于采用描点法画图与小组合作探究k<0时的性质，结合生活情境题（如轮船牵引力与速度关系），培养学生推理意识和模型意识。易错点强调及口诀总结帮助学生系统掌握，助力学生提升数学思维，教师可高效开展教学。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十七章 反比例函数 27.2.1 反比例函数的图象和性质 知识点汇总 前言：本节是反比例函数核心重难点，承接反比例函数概念，是中考函数图像判断、增减性分析、比较函数值大小、几何综合题的必考内容。重点掌握双曲线图象特征、k的几何意义、象限分布、增减性及对称性。 一、反比例函数的图象基本特征 反比例函数 $$y=\dfrac{k}{x}(k eq0)$$ 的图象是双曲线，由两支互不相交的曲线组成。 核心基础性质： 1. 图象永远不与x轴、y轴相交，无限靠近坐标轴； 2. 图象关于原点中心对称，同时关于直线 $$y=x$$、$$y=-x$$ 轴对称； 3. 图象两支分居不同象限，永不重合、永不相交。 二、k的符号决定图象象限与增减性（必考核心） 1. 当 $$\boldsymbol{k&gt;0}$$ 时 象限分布：图象在第一、三象限。 增减性：在每个象限内，$$y$$ 随$$x$$ 的增大而减小。 图象特征：双曲线从左上向右下延伸，每一象限内曲线单调递减。 2. 当 $$\boldsymbol{k<0}$$ 时 象限分布：图象在第二、四象限。 增减性：在每个象限内，$$y$$ 随 $$x$$ 的增大而增大。 图象特征：双曲线从左下向右上延伸，每一象限内曲线单调递增。 三、超级易错点：增减性范围（扣分重灾区） 绝对不能说：当 $$k>0$$ 时，整个定义域内 $$y$$ 随 $$x$$ 增大而减小。 正确表述：必须强调在每个象限内！ 原因：自变量跨象限取值时，函数值不满足单调变化规律，两支图象相互独立，增减性只针对单一支象限生效。 四、k的大小与图象离坐标轴远近的关系 $$|k|$$ 越大，双曲线越远离坐标轴； $$|k|$$ 越小，双曲线越靠近坐标轴。 原理：$$|k|=|xy|$$，$$|k|$$ 越大，横纵坐标乘积越大，点到坐标轴距离越远。 五、反比例函数图象三大对称性（高频考点） 已知反比例函数 $$y=\dfrac{k}{x}$$，图象对称规律： 1. 中心对称：关于原点对称；若点 $$(a,b)$$ 在图象上，则 $$(-a,-b)$$ 也在图象上； 2. 轴对称1：关于直线 $$y=x$$ 对称；若点 $$(a,b)$$ 在图象上，则 $$(b,a)$$ 也在图象上； 3. 轴对称2：关于直线 $$y=-x$$ 对称；若点 $$(a,b)$$ 在图象上，则 $$(-b,-a)$$ 也在图象上。 六、函数值大小比较解题模板 1. 同象限点 直接根据增减性判断：$$k>0$$ 递减、$$k<0$$ 递增。 2. 跨象限点 一三象限函数值：$$y>0$$；二四象限函数值：$$y<0$$，正数永远大于负数，可直接秒杀比较。 七、本节高频易错汇总 1. 省略“每个象限内”，笼统描述增减性，答题直接扣分； 2. 混淆k的符号对应的象限和增减规律； 3. 误以为双曲线能与坐标轴相交（x、y均不为0）； 4. 比较跨象限函数值时，误用单象限增减规律； 5. 忘记反比例函数的三类对称性质。 本节满分口诀 反比图象双曲线，不交轴来两分限； k正一三递减行，k负二四递增明； 增减仅限象限内，对称原点轴分明； k值越大离轴远，函数大小轻松评。 27.2.1反比例函数的图象和性质 新课引入 回顾 1.什么是反比例函数？自变量 的取值范围是什么？ 2.我们是按照怎样的步骤研究一次函数和二次函数的图象与性质？ ①形如 （ 为常数，）的函数； ② 1.反比例函数的概念及 的取值范围 2.研究步骤 画出函数图象 观察图象 结合解析式研究图象形状、位置、增减性等 今天我们就按照画图→观图→析性的方法，来研究反比例函数的图象与性质. 新知探究 探究 时反比例函数的图象与性质 结合反比例函数和的解析式，思考： (1)自变量不能取 0，那么函数图象会是一条连续的直线吗？ (2)你能绘制出它们的图象吗？ (1)由于和中不能为0，因此它们的图象不可能是一条连续的直线 (2)绘图：①列表 新知探究 ②描点 ③连线 想一想 这些函数的图象都由几支曲线组成？分别位于哪些象限？ 它们都由两支曲线组成；分别位于第一、第三象限。 知识点1 反比例函数的图象 1. 已知点在反比例函数的图象上，其中, 为常 数，且，则点 一定在( ) A A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 中考考法 5 ①当 时，反比例函数的图象是双曲线，两支分别位于第一、第三象限； 新知探究 思考 当，在每一个象限内，随着的增大， 的值如何变化？你能结合解析式说明理由吗？ 增减性的前提是“在每一个象限内”,跨象限比较不成立。 对于同一个象限内的 越大，的值越小，所以越小 ②在每一个象 限内， 随的增大而减小。 动态演示 放映状态下点击图象 新知探究 小组合作 时反比例函数的图象与性质 刚才我们研究了 时的情况，现在请大家类比刚才的研究方法，分组探究 时反比例函数 和 的图象与性质。 小组任务 ①猜想图象的位置和增减性 ②用描点法画出 的图象 ③小组内交流观察到的结论，并结合解析式说明理由。 ④邀请小组代表展示作图成果，分享探究结论。 2. 若反比例函数的图象位于第二、四象限，则 能 取的最大整数为( ) B A. 0 B. C. D. 【点拨】 反比例函数 的图象位于第二、四象限， .的最大整数值为 . 中考考法 8 ①当 时，反比例函数的图象是双曲线，两支分别位于第二、第四象限； 新知探究 思考 当，在每一个象限内，随着的增大， 的值如何变化？你能结合解析式说明理由吗？ 对于同一个象限内的 越大，的值越大，所以越大 ②在每一个象 限内， 随的增大而增大。 观察动态演示，你能得出更一般的结论吗？ 动态演示 放映状态下点击图象 知识小结 思考 结合 和 时的反比例函数图象与性质整理，你能总结出反比例函数的图象与性质吗？ 反比例函数 的符号 图象形状 双曲线（两支不连续的曲线） 所在象限 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，随 的增大而减小 在每一个象限内，随 的增大而增大 注：①增减性必须强调 “在每一个象限内” ②图象永远不与坐标轴相交 3. 若，则函数与 在同一坐 标系中的图象可能是( ) B A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 中考考法 11 【点拨】当 时，函 数 的图象开口向 上，顶点在原点，对称轴 为轴；函数 的图象位于第一、三象限，故①符合题意， ②不符合题意； 中考考法 12 当时，函数 的图象开口向下，顶点在原点，对 称轴为轴；函数 的图象位于第二、四象限，故③不符 合题意，④符合题意.故选B. 中考考法 13 解题支架 中考考法 14 知识点2 反比例函数的性质 4. [2025湖南] 对于反比例函数 ，下列结论正确的是 ( ) D A. 点 在该函数的图象上 B. 该函数的图象分别位于第二、第四象限 C. 当时，随 的增大而增大 D. 当时，随 的增大而减小 中考考法 15 5. 点和点 在反比例函数 为常数的图象上，若，则， ， 0的大小关系为( ) C A. B. C. D. 中考考法 16 【点拨】 反比例函数 ， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限. ， 点在第三象限的图象上，点 在第一象 限的图象上. . 中考考法 17 6. 科技承载梦想，创新始 于少年.某校科技社团的学生们制作了一 艘轮船模型，实验过程中他们发现在某 段航行过程中轮船模型的牵 B A. 该段航行过程中，随 的增大而减小 B. 当时， C. 该段航行过程中，函数解析式为 D. 当时， 引力是其速度 的反比例函数，其图象如图所示，下 列说法不正确的是 ( ) 中考考法 18 【点拨】A.根据图象可知， 是定值，随 的增大而减小，选 项正确，不符合题意；B.当 时， ，选 项错误，符合题意；C.根据图象信息，函数解析式为 ， 选项正确，不符合题意；D.当 时， ，选项正确，不符合题意.故选B. 中考考法 19 7. 已知反比例函数为常数， 的图 象经过点，当时，____；当 时，则符 合条件的 的一个整数值可以是________________________. （第二空答案不唯一） 中考考法 20 8. 如图，这是三个反比例函数 ，，在 轴上方 的图象，由此观察得到，， 的 大小关系为( ) C A. B. C. D. 中考考法 21 9. 已知函数的自变量满足时，函数值 满足 ，则下列函数：，， ， ， ，符合条件的有( ) B A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 中考考法 22 课堂总结 本节课你学到了什么？ 23 $