第二十七章 反比例函数【章末复习】-课件-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学九年级上册反比例函数章末复习课件，系统梳理了反比例函数的概念、图像性质及应用，通过三种解析式辨析、k的符号与几何意义、函数值比较模板等核心内容，结合公式汇总、易错点分析和满分口诀，构建完整知识网络，体现各节次逻辑联系。 其亮点在于采用“概念辨析-性质应用-建模实践”递进式设计，如k的几何意义通过双垂线矩形与三角形面积模型训练，培养几何直观；函数值比较用跨象限与同象限模板，发展推理意识。分层练习含基础题与变式题，帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习针对性。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第二十七章 反比例函数 第二十七章 反比例函数 全章知识点汇总 本章综述：反比例函数是初中三大核心函数之一，考点集中、题型固定，以概念辨析、图像性质、大小比较、几何面积、实际建模应用为核心，是中考选择、填空、解答题高频必考模块。本章所有题目核心本质：乘积为定值、单调分象限、面积定|k|、建模看总量。 27.1 反比例函数的概念 一、定义 形如 $$y=\dfrac{k}{x}\ (k eq0)$$（$$k$$ 为常数）的函数，叫做反比例函数。 核心条件：$$k eq0$$、自变量 $$x eq0$$、函数值 $$y eq0$$。 二、三种等价解析式（全熟记） 1. 标准式：$$y=\dfrac{k}{x}\ (k eq0)$$ 2. 乘积式（判断专用）：$$xy=k\ (k eq0)$$ 3. 负指数式（辨析专用）：$$y=kx^{-1}\ (k eq0)$$（自变量次数为 $$-1$$） 三、正反比例函数终极辨析 正比例函数 $$y=kx(k eq0)$$：比值 $$\dfrac{y}{x}=k$$ 定值，同增同减，次数为1； 反比例函数 $$y=\dfrac{k}{x}(k eq0)$$：乘积 $$xy=k$$ 定值，此增彼减，次数为-1。 四、含参判定规则 若 $$y=mx^{m^2-5}$$ 为反比例函数，需同时满足：次数$$=-1$$、系数$$ eq0$$。 五、求解析式方法：待定系数法（四步） 设解析式 → 代点坐标 → 求 $$k$$ 值 → 写最终解析式。 27.2.1 反比例函数的图象和性质 一、图象特征 图象为双曲线，两支永不相交、永不与坐标轴相交，无限靠近坐标轴。 对称性：关于原点中心对称、关于直线 $$y=x、y=-x$$ 轴对称。 二、k的符号核心性质（必考） k>0：图象分布一、三象限；每个象限内，$$y$$ 随 $$x$$ 增大而减小。 k&lt;0：图象分布二、四象限；每个象限内，$$y$$ 随 $$x$$ 增大而增大。 三、关键易错点 增减性必须强调在每个象限内，跨象限不满足单调规律，直接笼统描述会扣分。 四、|k|的几何意义 $$|k|$$ 越大，双曲线越远离坐标轴；$$|k|$$ 越小，双曲线越靠近坐标轴。 27.2.2 反比例函数的图象和性质的应用 一、函数值大小比较模板 1. 跨象限：一三象限$$y>0$$，二四象限 $$y<0$$，正数大于负数； 2. 同象限：依据k的符号和增减性直接比较。 二、图像共存问题 同一函数中，一次函数与反比例函数的 k 符号必须统一，矛盾选项直接排除。 三、k的几何面积模型（填空压轴） 双垂线矩形面积：$$S=|k|$$； 双垂线+原点三角形面积：$$S=\dfrac12|k|$$； 核心：面积恒定，求k必须先算绝对值，再由象限定正负。 四、交点与不等式解集 联立解析式求交点；图像上高下低，对应函数值大小；解集必须避开 $$x=0$$。 27.3.1 反比例函数的应用 一、核心判定 两个变量乘积为定值，此增彼减，即为反比例关系。 二、四大实际应用场景 工程总量固定、行驶路程固定、图形面积/体积固定、物理压强/电流定值问题。 三、解题规范 判关系→设式→求k→写解析式（带取值范围）→解题作答； 实际问题默认 $$x>0$$，整数变量需额外标注。 27.3.2 建立反比例函数模型 一、建模本质 从实际问题中找到固定总量，提取乘积为定值的两个变量，搭建反比例函数模型。 二、标准六步建模模板（大题满分） 审题意找定量 → 判断反比关系 → 设解析式 → 代值求k → 写完整模型（含定义域）→ 求解作答 三、模型区分 反比：积定值；正比：比值定值；一次函数：和差定值，均匀变化。 四、增减性应用 实际问题中 $$k>0、x>0$$，函数单调递减，自变量增大、函数值减小。 全章核心公式汇总（必背） 1. 反比例解析式：$$y=\dfrac{k}{x}(k eq0)$$ 2. 面积矩形：$$S=|k|$$ 3. 面积三角形：$$S=\dfrac12|k|$$ 全章高频易错汇总 1. 忽略 $$k eq0$$、自变量 $$x eq0$$ 隐藏条件； 2. 描述增减性遗漏“每个象限内”，答题扣分； 3. 面积求k忘记判象限，符号出错； 4. 实际建模题遗漏自变量取值范围； 5. 混淆正比、反比、一次函数模型。 全章满分口诀 反比积定次负一，双曲不交坐标轴； k正一三递减行，k负二四递增求； 象限定正负判大小，半k面积恒相守； 实际建模找总量，定义域全题无忧。 章末复习 1. 反比例函数的概念 定义：形如________ (k 为常数，且 k ≠ 0) 的函数称 为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数． 三种解析式形式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)． 【注意】(1) k ≠ 0；(2)自变量 x ≠ 0；(3)函数值 y ≠ 0. 2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线 和 ；对称中心是 . 双曲线 原点 y = x y=－x (2) 反比例函数的增减性 图象 所在象限 性质 (k≠0) k＞0 第________象限(x，y同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ k＜0 第________象限(x，y异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ x y o x y o 一、三 二、四 减小 增大 (3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义 反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之 积为常数 (xy＝k) 这一特点，即过双曲线上任意一 点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围 成的矩形的面积为 . 推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂 线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的 三角形的面积为 ． | k | 3. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数的解析式： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入 x、y 的一组对应值，或者该函数图象 上一个点的坐标，求出 k 的值； ③ 写出解析式. ◑反比例函数与一次函数的图象的交点： 求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0) 的交点坐标，就是求这两个解析式联立所得方程组的解. ◑利用反比例函数相关知识解决实际问题： 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数的图象与反比例函数图象交于点 和 ,与轴交于点. (1)求反比例函数的解析式; (2)观察图象,请直接写出使的取值范围; 根据反比例函数在每个象限内随增大而增大推出比例系数小于 0，列不等式求解范围。 解:(1) 把点 代入得 , 点 , 把点 代入得 反比例函数的解析式为; 随堂练习 巩固训练2 反比例函数与一次函数的综合 (2)把 代入得, , 一次函数的图象与反比例函数图象交于点 和 的取值范围为或 随堂练习 巩固训练2 反比例函数与一次函数的综合 变式题 如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象两个交点． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； 解：（1）已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点 ， 反比例函数解析式为：； 随堂练习 巩固训练2 反比例函数与一次函数的综合 （2），在一次函数图象上 ，解得 一次函数解析式为： 设一次函数与轴交点为，则， ； 随堂练习 考点1 反比例函数的概念 1.某工程队计划修建铁路，下表给出了铺轨的天数 （天）与 每日铺轨量 之间的关系： 天 120 150 200 240 300 10 8 6 5 4 根据表格信息，判断出是 的函数，则这个函数的解析式是 _ ________. 2.已知是反比例函数，则 的值为____. 中考考法 12 考点2 反比例函数的图象和性质 3. 已知反比例函数 .下列选项正确的是( ) C A. 函数图象在第一、第三象限 B. 随 的增大而减小 C. 函数图象在第二、第四象限 D. 随 的增大而增大 中考考法 13 4.已知反比例函数的图象上两点, ， 当时，有，则 的取值范围是_______． 中考考法 14 考点3 反比例函数中 的几何意义 （第5题） 5. 如图，过轴正半轴上的任意一点作 轴的 平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于，两点.若是 轴上 的一点，则 的面积为( ) B A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 中考考法 15 （第5题） 【点拨】连接， 直线 轴， ,直线轴. .故选B. 中考考法 16 6.如图，点，是双曲线上的点，分别过, 两 点向轴、轴作垂线段，若，则 ___. 4 （第6题） 中考考法 17 考点4 反比例函数与一次函数的综合 7. 如果一个正比例函数的图象与反比例函数 的图象交于， 两点，那么 的值为___. 0 中考考法 18 考点5 反比例函数的应用 9. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变 的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比 例函数，且当时， .当气球内的气体压 强大于 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球 的体积应不小于____ . 0.6 中考考法 19 $