第27章 反比例函数【章末复习】 课件 -2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了反比例函数的概念、图像与性质、k的几何意义及实际应用，通过核心知识总结将三种解析式形式、增减性、对称性等内容串联，帮助学生构建完整知识网络。 其亮点在于以“概念辨析-图像分析-实际建模”为主线，设计高铁行程、矩形面积等问题培养模型意识，通过比较函数值大小、k的几何意义题目发展推理能力，题型从基础选择到综合解答循序渐进，适配不同水平学生，助力教师精准复习。

人教版数学九年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月2日 章末复习 第27章 反比例函数 第27章 反比例函数 全章综合练习题（含解析） 本章练习题整合反比例函数全章核心考点，涵盖反比例函数概念、图象与性质、增减性辨析、图象对称性、实际生活与高铁运行综合应用等重难点，题型循序渐进、考点全覆盖，适配第27章章末巩固、单元检测与中考基础复习，帮助系统掌握反比例函数知识体系，熟练解决概念辨析、图象分析、实际建模各类题型。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（） A. $$y=5x$$ B. $$y=\frac{7}{x}$$ C. $$y=5x+1$$ D. $$y=5x^2$$ 2. 若函数$$y=(m-3)x^{m^2-10}$$是反比例函数，则m的值为（） A. 3 B. -3 C. ±3 D. ±√9 3. 对于反比例函数$$y=-\frac{4}{x}$$，下列说法正确的是（） A. 图象在一、三象限 B. y随x的增大而增大 C. 图象关于原点对称 D. 图象与坐标轴相交 4. 已知点$$A(-3,y_1)$$、$$B(-1,y_2)$$、$$C(2,y_3)$$在$$y=\frac{6}{x}$$图象上，则$$y_1、y_2、y_3$$大小关系为（） A. $$y_1>y_2>y_3$$ B. $$y_3>y_1>y_2$$ C. $$y_2>y_1>y_3$$ D. $$y_3>y_2>y_1$$ 5. 高铁路程固定，行驶速度与行驶时间的函数关系是（） A. 正比例函数 B. 反比例函数 C. 一次函数 D. 二次函数 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 反比例函数的一般形式为________（k为常数，k≠0），自变量x的取值范围是________。 7. 若反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$的图象经过点(2,-3)，则k=________。 8. 反比例函数$$y=\frac{m-4}{x}$$图象在一、三象限，则m的取值范围是________。 9. 已知矩形面积为48，长为x，宽为y，则y与x的函数解析式为________。 10. 高铁全程300km，设行驶速度为x km/h，行驶时间为y h，则y关于x的函数解析式为________。 三、解答题（共60分） 11.（18分）判断下列函数是否为反比例函数，若是，写出比例系数k；若不是，说明理由。 （1）$$y=\frac{-6}{x}$$ （2）$$xy=9$$ （3）$$y=\frac{3}{x}+2$$ 12.（20分）已知反比例函数$$y=\frac{k}{x}$$的图象经过点(-4,6)。（1）求函数解析式；（2）判断图象所在象限；（3）说出函数在每一象限内的增减性；（4）判断点(3,-8)是否在函数图象上。 13.（22分）A、B两城高铁全程固定，高铁以200km/h的速度行驶，2小时可走完全程。设行驶速度为x（km/h），行驶时间为y（h）。（1）求y关于x的反比例函数解析式；（2）若列车提速至250km/h，需要行驶多少小时？（3）若行驶时间不超过1.6h，求列车的最低行驶速度。 四、参考答案与详细解析 选择题 1. B 解析：反比例函数标准形式为$$y=\frac{k}{x}(k≠0)$$，A为正比例函数，C为一次函数，D为二次函数。 2. B 解析：由定义得$$m^2-10=-1$$且$$m-3≠0$$，解得$$m=-3$$。 3. C 解析：$$k=-4＜0$$，图象在二、四象限，每一象限内y随x增大而增大，图象永不与坐标轴相交，且关于原点中心对称。 4. B 解析：$$k=6＞0$$，A、B在第三象限，$$y_2＜y_1＜0$$，C在第一象限$$y_3＞0$$，故$$y_3>y_1>y_2$$。 5. B 解析：路程定值，速度×时间=定值，符合反比例函数关系。 填空题 6. $$y=\frac{k}{x}$$；$$x≠0$$ 7. -6 8. $$m＞4$$ 9. $$y=\frac{48}{x}(x＞0)$$ 10. $$y=\frac{300}{x}(x＞0)$$ 解答题 11. （1）是反比例函数，$$k=-6$$；（2）是反比例函数，可化为$$y=\frac{9}{x}$$，$$k=9$$；（3）不是反比例函数，解析式无法化为标准反比例函数形式。 12. （1）将点代入得$$k=-24$$，解析式为$$y=-\frac{24}{x}$$；（2）$$k＜0$$，图象在第二、四象限；（3）每一象限内，y随x的增大而增大；（4）$$3×(-8)=-24=k$$，点在函数图象上。 13. （1）全程路程：$$200×2=400\mathrm{km}$$，解析式为$$y=\frac{400}{x}(x＞0)$$；（2）代入$$x=250$$，得$$y=1.6\mathrm{h}$$；（3）由$$y\leq1.6$$得$$x\geq250$$，最低行驶速度为250km/h。 本章核心知识总结 1. 概念：形如$$y=\frac{k}{x}(k≠0)$$的函数为反比例函数，三种等价形式：$$y=\frac{k}{x}$$、$$xy=k$$、$$y=kx^{-1}$$。 2. 图象性质：图象为双曲线；$$k＞0$$，一、三象限，递减；$$k＜0$$，二、四象限，递增；图象关于原点中心对称，关于$$y=x、y=-x$$轴对称，永不与坐标轴相交。 3. 实际应用：定值类问题（路程、面积、工作量、运输总量）均可建模为反比例函数，自变量恒为正数，利用增减性求解最值与取值范围。 1. 反比例函数的概念 定义：形如________ (k 为常数，且 k ≠ 0) 的函数称 为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数． 三种解析式形式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)． 【注意】(1) k ≠ 0；(2)自变量 x ≠ 0；(3)函数值 y ≠ 0. 2. 反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的 图象是 ，它既是轴对称图形又是中心 对称图形. 反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线 和 ；对称中心是 . 双曲线 原点 y = x y=－x (2) 反比例函数的增减性 图象 所在象限 性质 (k≠0) k＞0 第________象限(x，y同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ k＜0 第________象限(x，y异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ x y o x y o 一、三 二、四 减小 增大 (3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义 反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之 积为常数 (xy＝k) 这一特点，即过双曲线上任意一 点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围 成的矩形的面积为 . 推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂 线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的 三角形的面积为 ． | k | 3. 反比例函数的应用 ◑利用待定系数法确定反比例函数的解析式： ① 根据两变量之间的反比例关系，设 ； ② 代入 x、y 的一组对应值，或者该函数图象 上一个点的坐标，求出 k 的值； ③ 写出解析式. ◑反比例函数与一次函数的图象的交点： 求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线 (k2≠0) 的交点坐标，就是求这两个解析式联立所得方程组的解. ◑利用反比例函数相关知识解决实际问题： 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值. 考点一 反比例函数的概念 例 1 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数? ① y = 3x－1 ② y = 2x2 ⑤ y = 3x ③ ④ ⑥ ⑦ ⑧ 8 1. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上， 则 k 的值是 ( ) A. 3　　　B. －3　　　C. D. B 【针对训练】 2. 若 是反比例函数，则 a 的值为( ) A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数 A 系数不为 0，x 的次数为-1 9 例2 已知点 A (1，y1)，B (2，y2)，C (－3，y3) 都在反 比例函数的 图象上，则 y1，y2，y3 的大小 关系是 ( ) A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 解析：可分别把各点代入函数解析式求出 y1，y2，y3 的值，再比较大小；也可根据反比例函数的增减性比较． 考点二 反比例函数的图象和性质 D　 方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的增减性比较；在不同象限内，不能按增减性比较，可以根据正负性比较． 3. 已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2)都在反比例函数 (k<0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 . y1＞0＞y2 【针对训练】 例 3 如图，两个反比例函数 和 在第一象 限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上， PA⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B， 则△POB 的面积为 . 1 考点三 反比例函数中 k 的几何意义的相关问题 S△POB=S△POA- S△BOA 【变式题】如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴 上 一点，过点 M 的直线 l∥y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 (x＞0)和 (x＞0) 的图象交于 P，Q 两点，若 S△POQ = 14， 则 k 的值为 . -20 4 10 考点四 反比例函数的应用 例 4 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数 y = kx+b 与反比例函数 (m＜0) 图象的两个交点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D． (1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取何值时， 一次函数的值大于反比例函数的值? O B A x y C D 解：当－4＜ x ＜－1时符合题意. (2) 求一次函数解析式及 m 的值； 解：把 A (－4， )，B (－1，2) 代入 y = kx + b 中，得 －4k + b = ， －k + b = 2， 解得 k = ， b = ， 所以一次函数的解析式为 y = x + . 把 B (－1，2)代入 中，得 m =－1×2=－2. (3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和 △PDB 面积相等，求点 P 的坐标. O B A x y C D P ∵ △PCA 和 △PDB 面积相等， ∴ AC·[t－(－4)] = BD·[ 2－( t + )]， 解得 t = . ∴ 点 P ( ， )． 解：设点 P 的坐标为 ( t， t + )，则点 P 到直线 AC 和 BD 的距离分别为 t－(－4)，2－( t + )． 方法总结：此类一次函数、反比例函数、二元一次方程组、三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中求三角形或四边形面积时，需要选取合适的底边和高，将坐标转化为边长，从而算出图形的面积. 4.如图，设反比例函数的解析式为 (k＞0)． (1) 若该反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图象有一 个交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值； O y x 解：由题意知点 P 在函数 y = 2x 的图象上， 令 y = 2，得 x = 1，即点 P (1，2). 把 P (1，2) 代入 中， 解得 P 2 【针对训练】 (2) 若该反比例函数与过点 M (－2，0) 的直线 l：y = kx + b 的图象交于 A，B 两点，如图所示，当 △AOB 的面 积为 时，求直线 l 的解析式； 解：把 M (－2，0) 代入 y = kx + b， 得 b = 2k，∴ y = kx + 2k. O A y B x M l N 解得 x1 = 1，x2 = －3. ， y = kx+2k， ∴ ∴ A (1，3k)，B (－3，－k). ∵ △AOB 的面积为 ∴ ×2×3k + ×2k = 解得 ∴ 直线 l 的解析式为 y = x + ． O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) (3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的值 小于反比例函数的值？ 解：当 x ＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反比例函数的值. O y x M l N A (1，3k) B (－3，－k) 例 5 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题： (1) 求当 0≤ x ≤2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 0≤ x ≤2 时，y 与 x 成正比例． 设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上， 所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x. O y/毫克 x/小时 2 4 (2) 求当 x > 2 时，y 与 x 的函数解析式； 解：当 x > 2时，y 与 x 成反比例函数关系， 设 由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上， 所以 ， 即 解得 k = 8. O y/毫克 x/小时 2 4 (3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效， 则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？ 解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2， 解得 x≥1，∴1≤x≤2； 当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 ≥2，解得 x ≤4. ∴ 2＜ x ≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有效时间 是1＋2＝3 (小时)． O y/毫克 x/小时 2 4 5. 如图，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x 成一次函数关系. 已知该材料在加热前的温度为 4 ℃，加热一段时间使材料温度达到 28 ℃ 时停止加热， 停止加热后，材料温度逐渐下降， 这时温度 y 与时间 x 成反比例函数关系， 已知第 12 分钟时，材料温度是14 ℃． 【针对训练】 O y(℃) x(min) 12 4 14 28 (1) 写出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数 关系式（要求写出相应的 x 的取值范围）； 解： y = 4x + 4 (0≤x≤6)， (x＞6). O y(℃) x(min) 12 4 14 28 (2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的 这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么 对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟? 解：当 y =12 时，12 = 4x + 4，解得 x = 2． 由 ，解得 x =14. 所以对该材料进行特殊处理 所用的时间为 14－2 = 12 (分钟)． O y(℃) x(min) 12 4 14 28 考点1 反比例函数的概念 1.某工程队计划修建铁路，下表给出了铺轨的天数 （天）与 每日铺轨量 之间的关系： 天 120 150 200 240 300 10 8 6 5 4 根据表格信息，判断出是 的函数，则这个函数的解析式是 _ ________. 2.已知是反比例函数，则 的值为____. 中考考法 28 考点2 反比例函数的图象和性质 3. 已知反比例函数 .下列选项正确的是( ) C A. 函数图象在第一、第三象限 B. 随 的增大而减小 C. 函数图象在第二、第四象限 D. 随 的增大而增大 中考考法 29 4.已知反比例函数的图象上两点, ， 当时，有，则 的取值范围是_______． 中考考法 30 考点3 反比例函数中 的几何意义 （第5题） 5. 如图，过轴正半轴上的任意一点作 轴的 平行线，分别与反比例函数 和 的图象交于，两点.若是 轴上 的一点，则 的面积为( ) B A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 中考考法 31 （第5题） 【点拨】连接， 直线 轴， ,直线轴. .故选B. 中考考法 32 6.如图，点，是双曲线上的点，分别过, 两 点向轴、轴作垂线段，若，则 ___. 4 （第6题） 中考考法 33 考点4 反比例函数与一次函数的综合 7. 如果一个正比例函数的图象与反比例函数 的图象交于， 两点，那么 的值为___. 0 中考考法 34 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象 与一次函数的图象相交于, 两点. （1）求反比例函数和一次函数的解析式； 中考考法 35 【解】 反比例函数的图象过点 ， . 反比例函数的解析式为 . 把点的坐标代入反比例函数，得 ，解 得 . 中考考法 36 点的坐标为 . 一次函数的图象经过， 两点， 解得 一次函数的解析式为 . 中考考法 （2）当 时，请根据函数图象，直 接写出关于的不等式 的解集； 不等式 的解集为 . 中考考法 38 （3）过直线上的点作 轴，交 反比例函数的图象于点.若点 的横坐标 为，求 的面积. 将代入 ， 得， . 将代入，得 ， 解得， . 中考考法 39 如图，过点,分别作 轴的垂线，垂足分别 为,， 易知四边形 是梯形， ,， ， , . 中考考法 40 求坐标系中斜放置的三角形面积时，若三角形的边 与轴、 轴都不平行，且不易求出边长和高时，可将三角形 沿坐标轴或与坐标轴平行的直线分割或补形. 中考考法 41 考点5 反比例函数的应用 9. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变 的条件下，气球内气体的压强是气球体积 的反比 例函数，且当时， .当气球内的气体压 强大于 时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球 的体积应不小于____ . 0.6 中考考法 42 10. 小禾将要搬新家，小禾爸爸选择使用甲醛检测仪来检 测家里的甲醛浓度是否超标，以此来确定搬新家的时间.甲醛 检测仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻 的阻 值与空气中甲醛浓度 之间的变化关系如下表： 0.2 0.4 0.6 0.8 … 100 50 25 … （1）根据表中数据，求电阻的阻值与空气中甲醛浓度 之 间的函数解析式.（不要求写出自变量的取值范围） 中考考法 43 【解】根据表格可知电阻的阻值与空气中甲醛浓度 之间 的函数关系为反比例函数， 设电阻的阻值与空气中甲醛浓度 之间的函数解析式为 ， 当时，，， ， 电阻的阻值与空气中甲醛浓度 之间的函数解析式为 . 中考考法 44 （2）查阅资料发现，当空气中甲醛浓度低于 时， 该环境不会对人体造成伤害.若小禾爸爸检测后确定新家安全， 可以入住，则该甲醛检测仪中核心部件电阻 的阻值在什么 范围内？ 当空气中甲醛浓度低于 时，该环境不会对人体 造成伤害， ， . 该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值 . 中考考法 45 思想1 方程思想 11. 定义：一次函数 的特征数为 .若一次函数 的图象向上平移3个单位长度后 与反比例函数的图象交于点，，且点， 关于原点 对称，则一次函数 的特征数是( ) C A. B. C. D. 中考考法 46 思想2 分类讨论思想 12. 如图，在平面直角坐标系中，点 ，分别在反比例函数 和 的图象上， 轴 于点，轴于点，是线段 的 中点，， . （1）求反比例函数 的解析式. 中考考法 47 【解】 ， 点 的纵坐标为3. 又 点在反比例函数 的 图象上， . . 是线段的中点， 易得 . 中考考法 48 ， . 又 点 在反比例函数 的图象上， . 中考考法 （2）连接，，，求 的面积. . 中考考法 50 （3）是线段上的一个动点， 是线 段 上的一个动点，试探究是否存在点 ，使得 是等腰直角三角形？若存 在，直接写出符合条件的点 的坐标； 若不存在，请说明理由. 存在，点的坐标为或，或， . 中考考法 51 【点拨】设直线 的解析式为 ， 点 ， . 设.①当 ， 时，点与点 重合，此时 中考考法 52 ；②当 ， 时， ，解得 . 易得 ；③当 ， 时，易得 ，解得， 易得 .综上所述，点 的坐标为 或或 . 中考考法 反比例函数 定义 图象和性质 x，y 的取值范围 增减性 对称性 k 的几何意义 应用 在实际生活中的应用 在物理学科中的应用 课堂小结 $