第二十七章 反比例函数 习题课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“反比例函数的概念”，涵盖定义辨析、解析式确定及实际问题建模。通过对比一次函数引入新知，以基础题和变式题搭建学习支架，帮助学生衔接前后知识，理解反比例函数的本质特征。 其亮点在于融合抽象能力与模型意识，如用绿地面积、圆柱体积等实例建立函数模型，培养用数学语言表达现实世界的能力。分层设计基础、能力提升及思维拓展题，易错题强化定义理解，综合题提升推理能力，助力学生巩固知识、提升应用能力，也为教师提供丰富教学资源。

第二十七章　反比例函数 综合与实践　 自动加热饮水机中水温随时间的变化规律 某中学九年级学生，以“运用函数知识探究自动加热饮水机中的水温随时间的变化规律”为主题，开展综合实践活动.自动加热饮水机的工作程序是：加满水后接通电源，则自动加热，平均每分钟水温上升10 ℃，待加热到100 ℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，直至降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程.小安根据学习函数的经验，建立函数模型来研究该问题，研究过程如下： 返回首页 【收集数据】(1)已知某天的水温和室温均为20 ℃，接通电源后，每隔 8 min，记录一次水温，记录的数据如下表所示. 通电时间x/min 0 8 16 24 32 40 … 水温y/℃ 20 100 50 33.3 25 20 … 返回首页 【建立模型】(2)如图，在平面直角坐标系中，描出这些数值所对应的点.发现这些点大致位于两个不同函数的图象上，其中通电时间为0至8 min时，函数的类型最有可能是______，通电8 min至40 min时，函数的类型最有可能是______(均选填序号：①一次函数；②反比例函数). ① ② 返回首页 【求解模型】(3)为使得所描的点尽可能多地落在函数的图象上，根据过程(2)所选函数类型，求出函数的解析式. 解：当0≤x≤8时，设y＝k1x＋b. 将(0，20)，(8，100)分别代入y＝k1x＋b， 得解得 ∴当0≤x≤8时，y＝10x＋20. 当8＜x≤40时，设y＝. 返回首页 将(32，25)代入y＝，得k2＝800. 综上，当0≤x≤8时，y＝10x＋20； 当8＜x≤40时，y＝. ∴当8＜x≤40时，y＝. 返回首页 【应用模型】(4)如果水温随通电时间变化的规律不变，那么就可以求得通电后某个时刻的水温. 林老师这天早上7：30将饮水机的电源打开，若他想在8：10上课前喝到40～80 ℃的温开水，则他应在什么时间段内接水？ 解：∵林老师想在8：10上课前喝到40～80 ℃的温开水， ∴8≤x≤40. 对于y＝，当y＝40时， x＝＝20， 返回首页 当y＝80时，x＝＝10， ∴要想喝到40～80 ℃的温开水， x需满足10≤x≤20. 即林老师要在7：40～7：50之间接水. 返回首页 $第二十七章　反比例函数 27.3　实际问题与反比例函数 第3课时　建立反比例函数模型解决实际问题 知识点　建立反比例函数模型解决实际问题 1.如图1，某实验小组用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，液体的密度ρ(单位：g/cm3)与其浸在液体中的高度h(单位：cm)成一定的函数关系，经过实验获得两个变量h，ρ的对应值如下表. 1 2 3 h/cm 2 2.5 4 5 8 ρ/(g/cm3) 10 8 5 4 2.5 返回首页 (1)在给定的平面直角坐标系(图2)中画出相应函数的图象，并求出密度ρ关于高度h的函数解析式； 解：描点并连线，函数图象如图所示. 根据图象形状选择反比例函数模型进行尝试. 设ρ与h的函数解析式为ρ＝(k≠0). 将点(2，10)的坐标代入，得10＝. 解得k＝20.∴ρ＝. 将其他各点代入验算，均成立. ∴密度ρ关于高度h的函数解析式为ρ＝. 1 2 3 返回首页 (2)当密度计悬浮在一种液体中时，h＝25 cm，求这种液体的密度ρ. 解：当h＝25 cm时，ρ＝＝0.8(g/cm3). 答：这种液体的密度ρ为0.8 g/cm3. 1 2 3 返回首页 2.如图1，在左边托盘A中放置一个固定的重物，在右边托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码，可使得仪器左右平衡.改变托盘B与点O的距离，记录相应的托盘B中的砝码质量，得到的数据如下表. 托盘B与点O的距离x/cm 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量y/g 30 20 15 12 10 1 2 3 返回首页 (1)在图2中画出y与x的函数图象，并求出函数解析式； 解：描点并连线，函数图象如图2所示. 由图象可得y与x之间是反比例函数关系. ∴设y＝(k≠0). ∵当x＝10时，y＝30， ∴30＝. 解得k＝300. ∴y与x的函数解析式为y＝(x＞0). 1 2 3 返回首页 (2)当砝码质量为24 g时，求托盘B与点O的距离； 解：当y＝24时，24＝. 解得x＝12.5. ∴当砝码质量为24 g时，托盘B与点O的距离是12.5 cm. 1 2 3 返回首页 (3)当托盘B向左移动6 cm时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘B中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘B中的砝码质量. 解：设移动前托盘B中的砝码质量为m g，托盘B与点O的距离为 a cm. 由题意，得ma＝300，2m(a－6)＝300. 解得m＝25. ∴在移动前托盘B中的砝码质量为25 g. 1 2 3 返回首页 3.在一次物理实验中，小林同学用一固定电压为U＝12 V的蓄电池，通过调节滑动变阻器R(单位：Ω)来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL＝2 Ω)亮度的实验(如图1，假设灯泡的电阻不随温度的变化而变化).已知串联电路中，电流I与电阻R，RL之间的关系为I＝，通过实验得出如下数据(表格数据不完整). R/Ω … a 2 4 6 … I/A … 4 3 b 1.5 … 1 2 3 返回首页 (1)a＝____，b＝____. R/Ω … a 2 4 6 … I/A … 4 3 b 1.5 … 1 2 3 1 2 返回首页 (2)根据以上实验，构建出函数y＝(x≥0)，结合表格信息，探究函数y＝(x≥0)的图象与性质. ①在图2的平面直角坐标系中画出函数y＝(x≥0) 的图象； 解：根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出函数y＝(x≥0) 的图象如图2所示. ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是__________. 1 2 3 不断减小 R/Ω … a 2 4 6 … I/A … 4 3 b 1.5 … 返回首页 (3)请结合函数图象分析，当x≥0时，≥－x＋6的解集为_____________. 解析：作函数y＝－x＋6的图象，如图2所示. 由函数图象，可知当x≥4或x＝0时，≥－x＋6， 即当x≥0时，≥－x＋6的解集为x≥4或x＝0. 1 2 3 x≥4或x＝0 返回首页 $第二十七章　反比例函数 27.3　实际问题与反比例函数 第1课时　实际问题与反比例函数(1) 知识点　直接根据实际问题建立反比例函数关系 1.一个圆锥的体积是12 cm3，若它的底面面积S(单位：cm2)是它的高h(单位：cm)的函数，则S关于h的函数解析式为(　　) A.S＝ B.S＝4h C.S＝ D.S＝12h 1 2 3 4 5 6 7 8 C 返回首页 2.在一定条件下，乐器中琴弦振动的频率f(单位：Hz)与弦长l(单 位：m)成反比例关系，即f＝(k为常数，k≠0)，若某乐器的弦长l为 0.9 m，振动频率f为200 Hz，则k的值为(　　) A.160 B.170 C.180 D.190 C 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 3.机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度v(单位：m/s)是载重后总质量M(单位：kg)的反比例函数.已知一款机器狗(如图)载重后的总质量M＝25 kg，它的最快移动速度v＝2 m/s. (1)求v与M之间的函数解析式； 解：设v与M之间的函数解析式为v＝(k为常数，k≠0). 将M＝25，v＝2代入v＝，得2＝.解得k＝50. ∴v与M之间的函数解析式为v＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 (2)若其载重后总质量M＝10 kg，求它的最快移动速度v. 解：当M＝10时，v＝＝5. ∴若其载重后总质量M＝10 kg，它的最快移动速度v为5 m/s. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 4.为保护队员手腕，预防损伤，某班级篮球队计划采购一批护腕.假设每副护腕的采购费用为x元，本次采购的护腕数量为y副，总预算为w元.已知当w为定值时，y与x之间的关系如下表所示. x/元 5 8 a 16 y/副 32 20 16 10 请根据表中的信息，解决下列问题： (1)y与x之间的函数解析式为____________； 1 2 3 4 5 6 7 8 y＝(x＞0) 返回首页 (2)求表中a的值； 解：由(1)，得y＝. 当y＝16时，x＝＝10.∴a＝10. x/元 5 8 a 16 y/副 32 20 16 10 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 (3)若每副护腕的采购费用不低于6元，请问最多能采购多少副护腕. 解：在y＝(x＞0)中，当x＝6时，y＝. ∵160＞0，∴y随x的增大而减小. ∵每副护腕的采购费用不低于6元，即x≥6， ∴y≤. ∵y为整数， ∴y的最大值为26. 答：最多能采购26副护腕. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 5.若蓄电池的电压(单位：V)为定值，则电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，当R＝9 Ω时，I＝4 A.下列结论不正确的是(　　) A.蓄电池的电压为36 V　　 B.电流I随电阻R的增大而减小 C.当R＝3 Ω时，I＝12 A　　 D.该函数图象分别位于第一、第三象限 D 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 6.如图，变速自行车通过调节牙盘(前齿轮)与飞轮(后齿轮)的齿数组合来调节车速，并且始终满足：前齿轮齿数×前齿轮转速＝后齿轮齿数×后齿轮转速.若前齿轮齿数为40，其转速为100转/分钟；后齿轮齿数为x，其转速为y转/分钟.下列结论错误的是(　　) A.当x＝25时，y＝160 B.当y＝200时，x＝20 C.要增大y，应增大x D.若x增大一倍，则y减少一半 (第6题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 7.小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为2 000 N和0.3 m.当动力臂由1.5 m增加到2 m时，撬动这块石头可以节省_____N的力.(杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂) 1 2 3 4 5 6 7 8 100 返回首页 8.嘉嘉在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(ɡāo)的古代汲水工具(如图)，有一横杆固定于桔槔上点O处，并可绕点O转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定一块300 N的坠石，且OB＝1 m.当横杆处于水平状态时，若改变OA的长l(单位：m，l≤2)，图中人物竖直向下施加的拉力F(单位：N)也随之改变. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 (1)求F与l的函数解析式； 解：∵动力×动力臂＝阻力×阻力臂， ∴Fl＝300×1. ∴F＝(0＜l≤2). (2)当OA＝1.5 m时，求拉力F的大小； 解：当OA＝1.5 m，即l＝1.5时，拉力F＝＝200(N). 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 (3)如果拉力F不超过250 N，那么OA的长应控制在什么范围？ 解：当F＝250时，250＝. 解得l＝1.2. ∵300＞0， ∴F随l的增大而减小. ∵拉力F不超过250 N，l≤2， ∴1.2≤l≤2，即1.2 m≤OA≤2 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 $第二十七章　反比例函数 专题强化5　“k”的几何意义 类型1　反比例函数的图象与三角形 1.双曲线C1：y＝(k≠0，x＞0)和C2：y＝(x＞0)如图所示，A是双 曲线C1上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交双曲线C2于点C，连接OA，OC.若△AOC的面积为2，则k＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 (第1题) 5 返回首页 变式 等面积转化法 如图，A是双曲线y＝－(x＜0)上的一点，B是双曲线y＝－(x＜0)上的一点，直线AB⊥x轴于点C，点M是y轴上一 点，连接MA，MB，则△MAB的面积为_____. (第1题变式) 1 2 3 4 5 6 7 8 4 返回首页 2.在平面直角坐标系中，反比例函数y＝(x＞0)和反比例函数y＝(x ＞0)的图象如图所示.若一条垂直于x轴的直线分别交这两个反比例函数的图象于A，B两点，则△AOB的面积是(　　) A. C. B (第2题) 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 3.中心对称性如图，△ABC的顶点A，B在反比例函数y＝－的图象 上，且AC⊥y轴于点C.若边AB经过原点O，则△ABC的面积为___. (第3题) 1 2 3 4 5 6 7 8 2 返回首页 变式　如图，正比例函数y＝kx(k≠0，k为常数)与反比例函数y＝ 的图象交于A，B两点.若BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝_____. (第3题变式) 1 2 3 4 5 6 7 8 10 返回首页 4.设参法 如图，双曲线y＝(x＞0)经过Rt△OAB的斜边OB的中点D，并与直角边AB交于点C.若△OBC的面积为6，则k的值为____. (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 4 返回首页 类型2　反比例函数的图象与四边形 5.反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图所示，点P在y＝的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，交y＝的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y＝的图象于点D.当点P的横坐标逐渐变大时，四边形 OCPD的面积(　　) A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.无法确定　　 (第5题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 返回首页 6.等面积转化法 如图，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上.若点B(－1，3)，S▱ABCO＝3，则实数k的值为_______. (第6题) 1 2 3 4 5 6 7 8 －6 返回首页 7.中心对称性 如图，函数y＝－x与函数y＝－的图象相交于A，B两 点.若AC⊥y轴于点C，BD⊥y轴于点D，则四边形ADBC的面积为____. (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 8 返回首页 变式　如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y ＝和y＝上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴.若S四边形ABCD＝ 12，则k＝_______. (第7题变式) 1 2 3 4 5 6 7 8 －4 返回首页 8.导参法 如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形的边AB∥x轴，它的两个顶点B，D是反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上的两点.若点D的坐标是(b，a)，则a－b的值为_____. (第8题) 【提示：根据点D的坐标为(b，a)和正方形的面积为4，表示出点B的坐标，再根据B，D两点在反比例函数的图象上，列出等式即可 求值.】 1 2 3 4 5 6 7 8 2 返回首页 $第二十七章　反比例函数 综合与实践　高铁列车运行中的数量关系 1.某高铁线路全长420 km，列车行驶的平均速度范围为200～350 km/h.设列车行驶的平均速度为v(单位：km/h)，行驶全程所需的时间为t(单位：h). 小航根据学习函数的经验，对因变量t随自变量v的变化而变化的规律进行探究，请将下面的探究过程补充完整. (1)列表：通过列车的试运行得到下列几组数据： 1 2 平均速度v/(km/h) 200 240 b 300 350 行驶时间t/h a 1.75 1.5 1.4 1.2 填空：a＝_____，b＝_____. 2.1 280 返回首页 (2)描点、连线：请在如图所示的平面直角坐标系中描出表中剩余两组数据对应的点，并用平滑的曲线画出t关于v的函数图象. (3)观察函数图象，写出一条函数的性质：______________________ _______________. 1 2 行驶时间t随平均速度v 的增大而减小 返回首页 (4)列车能在80 min内(含80 min)行驶完全程吗？若能，请求出列车行驶的平均速度的范围；若不能，请说明理由. 解：列车能在80 min内(含80 min)行驶完全程. 80 min＝ h. 当t＝ h时，v＝＝315(km/h)，在正常速度范围内. 答：列车能在80 min内(含80 min)行驶完全程，列车行驶的平均速度的范围是315≤v≤350. 1 2 返回首页 2.项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区.假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的运行时间.数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究. 1 2 返回首页 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数，且在加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为v＝v0＋at，其中v是最终速度，v0是初始速度，a是加速度(或减速度)，t是时间. 1 2 返回首页 素材二：已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为d km，时间也相同，均为t s. 素材三：匀加速(即加速度不变)或匀减速过程中，在单向行驶时， 路程与运动时间的关系为s＝v0t＋at2.其中，s是路程，v0是初始速 度，a是加速度(或减速度)，t是时间. 1 2 返回首页 任务—：理解与计算 (1)如果高铁列车的最高速度v＝360 km/h，加速度a＝0.5 m/s2，则从静止加速到最高速度所需的时间t＝______s. (2)在(1)的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的路程d＝_____km. 1 2 200 10 返回首页 任务二：应用与推理 (3)在(1)的条件下，假设高铁线路全程x km中，除去两端的加减速路程d，列车以最高速度行驶的距离为x－2d，请直接写出列车全程行驶的时间T(单位：h)的解析式. 解：列车全程行驶的时间T的解析式为T＝＋. 1 2 返回首页 任务三：设计与分析 (4)假设距某站台2 km有一辆高铁正以180 km/h的速度驶来，由于特殊情况，列车需紧急停车，若减速度a＝－0.5 m/s2，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法. 解：∵v＝0，v0＝180 km/h＝50 m/s， a＝－0.5 m/s2， ∴t＝＝100(s). ∴s＝v0t＋at2＝50×100－×0.5×1002＝2 500(m)＝2.5(km). 1 2 返回首页 ∵2.5 km＞2 km ∴列车不能安全停车. 个人想法：珍爱生命，远离高铁轨道，守护出行安全. 1 2 返回首页 $第二十七章　反比例函数 27.2　反比例函数的图象和性质 第1课时　反比例函数的图象和性质(1) 知识点　反比例函数的图象和性质 1.(2026福州文博中学期中)函数y＝的图象大致是(　　) A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 返回首页 2.如图，该图象对应的函数解析式可能是(　　) A.y＝－ B.y＝－4x C.y＝ D.y＝－ (第2题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回首页 3.(2025浙江)已知反比例函数y＝－.下列选项正确的是(　　) A.函数图象在第一、第三象限 B.y随x的增大而减小 C.函数图象在第二、第四象限 D.y随x的增大而增大 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回首页 4.(2025湖南)对于反比例函数y＝，下列结论正确的是(　　) A.点(2，2)在该函数的图象上 B.该函数的图象分别位于第二、第四象限 C.当x＜0时，y随x的增大而增大 D.当x＞0时，y随x的增大而减小 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回首页 5.若点B(2，b)在反比例函数y＝－的图象上，则b的值是(　　) A.1 B.－1 C. D.－4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回首页 6.若反比例函数y＝的图象在第二、第四象限，则点(k，－3)在第____象限. 7.若点A(－3，a)，B(1，b)，C(2，c)都在反比例函数y＝－的图象上，则a，b，c的大小关系为___________(用“＞”连接). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 三 a＞c＞b 返回首页 8.已知反比例函数y＝的图象在各个象限内，y随x的增大而减小. (1)则k的取值范围为________； (2)此函数的图象经过第一象限内的两点(a＋5，y1)，(2a＋1，y2)，若a＞0，且y1＜y2，求a的取值范围. 解：由题意，得反比例函数y＝的图象在第一象限内，y随x的增大而减小. ∵这个函数的图象经过第一象限内的两点(a＋5，y1)，(2a＋1，y2)，且y1＜y2， ∴a＋5＞2a＋1.解得a＜4.又a＞0， ∴a的取值范围为0＜a＜4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 k＞6 返回首页 9.已知点A(－1，y1)，B(a，y2)在反比例函数y＝的图象上，若y2＞ y1，则a的取值范围是(　　) A.a＜－1或a＞0 B.－1＜a＜0 C.a＞0 D.a＜－1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回首页 10.(2025武威)已知点A(2，y1)，B(6，y2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，如果y1＞y2，那么k＝_______________(请写出一个符合条件的k值). 11.在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝(k≠0)的图象经过点(3，y1)和(－3，y2)，则y1＋y2的值是_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1(答案不唯一) 0 返回首页 12.如图，在平面直角坐标系中，画出反比例函数y＝－的图象，并 结合图象回答下列问题： (1)当x＝2时，求y的值； 解：画出反比例函数y＝－的图象， 如图所示. 当x＝2时，y＝－＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 返回首页 (2)当1＜x≤4时，求y的取值范围； 解：画出反比例函数y＝－的图象， 如图所示. 当x＝1时，y＝－4； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 当x＝4时，y＝－1. 根据图象，得当1＜x≤4时， y的取值范围为－4＜y≤－1. 返回首页 (3)当－1≤y＜4且y≠0时，求x的取值范围. 当y＝－1时，x＝4； 当y＝4时，x＝－1. 根据图象，得当－1≤y＜4且y≠0时， x的取值范围为x＜－1或x≥4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解：画出反比例函数y＝－的图象， 如图所示. 返回首页 13. 类比学习反比例函数的过程与方法，进一步研究函数y ＝的图象与性质，探究过程如下： x … －3 －2 －1 － 1 2 3 … y … m 2 4 4 2 1 … (1)①m＝____； ②如图，在平面直角坐标系中，根据描出的点已画出部分图象，请补全函数图象； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 返回首页 ③根据函数图象，写出该函数的一条性质：____________________ __________________________________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小(答案不唯一) 当x＜0时，y随x的增 返回首页 (2)利用图象直接写出当y≥2时，x的取值范围：_________________ _______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 －1≤x＜0或0＜x ≤1 返回首页 $第二十七章　反比例函数 章末复习 考点1　反比例函数的定义 1.下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　) A.y＝3x＋2 B.y＝ C.y＝ D.y＝ 2. 若函数y＝(3＋m)x8－m2是反比例函数，则m＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 3 返回首页 考点2　反比例函数的图象与性质 3.若点(3，－4)在反比例函数y＝的图象上，则下列各点也在该图 象上的是(　　) A.(3，4) B.(－3，－4) C.(－2，6) D.(2，6) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 4.关于反比例函数y＝的图象与性质，下列说法不正确的是(　　) A.y随x的增大而增大 B.图象关于直线y＝－x对称 C.点(－2，－4)在它的图象上 D.它的图象位于第一、三象限 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 5.已知点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　) A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y3＜y2＜y1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 6.若点A(－2，y1)，B(2，y2)都在反比例函数y＝(k＞0)的图象上，则(　　) A.y1－y2＝0 B.y1＋y2＝0 C.y1－y2＝4 D.y1＋y2＝4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 7.如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形 OABC是面积为4的正方形.若函数y＝(x＞0)的图象经过点B，则满 足y≥2的x的取值范围为(　　) A.0＜x≤2 B.x≥2 C.0＜x≤4 D.x≥4　　　 (第7题) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 8.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半 轴上，OA＝OB＝2，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过线段AB的中 点P，则k＝_____. (第8题) 9.(2025南京)已知反比例函数y＝，则当1≤x≤3时，的最小值是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 返回首页 考点3　反比例函数与一次函数的综合 10.(2025陕西)如图，过原点的直线与反比例函数y＝(k＞0)的图象 交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，则k的值为_____. (第10题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 返回首页 11.如图，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0) 的图象相交于A(1，3)，B(n，－1)两点. (1)求一次函数和反比例函数的解析式； 解：把A(1，3)代入y2＝，得3＝. 解得m＝3. ∴反比例函数的解析式为y2＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 把B(n，－1)代入y2＝，得－1＝. 解得n＝－3.∴B(－3，－1). 把A(1，3)，B(－3，－1)代入y1＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的解析式为y1＝x＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 (2)根据图象直接写出y1＞y2时，x的取值范围； 解：由图象，得当y1＞y2时，x的取值范围为－3＜x＜0或x＞1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 (3)过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连接AC，求△ABC的面积. 解：如图，设直线y1＝x＋2与y轴交于点D，过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N. 在y1＝x＋2中，当x＝0时，y1＝2. ∴D(0，2).∴OD＝2. ∵点B，C关于原点对称， ∴C(3，1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 ∴MN＝3－1＝2，CN＝1，ON＝3. ∴S△ABC＝S△BOD＋S梯形ADOM＋S梯形AMNC－S△CON ＝×2×3＋×(2＋3)×1＋×(1＋3)×2－×3×1 ＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 考点4　反比例函数的实际应用 12.(2025连云港)某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(单位：Pa)是气球体积V(单位：m3)的反比例函数.当V＝1.2 m3时，p＝20 000 Pa，则当V＝1.5 m3时，p＝_______Pa. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 000 返回首页 13.在功W(单位：J)一定的条件下，功率P(单位：W)与做功时间t(单位：s)成反比例函数关系，其图象如图所示.当25≤t≤40时，P的取值范围为____________. (第13题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 30≤P≤48 返回首页 14.如图1，学习小组在探索当电压为定值，输出功率P(单位：W)与电阻R(单位：Ω)的关系时，记录了输出功率P和电阻R的变化关系如下表所示. R/Ω … 2 4 6 8 12 … P/W … 18 9 6 4.5 3 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 (1)通过分析表格中的数据发现，用函数可以刻画输出功率P与电阻R之间的关系，在如图2所示的平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，并画出这个函数的图象； R/Ω … 2 4 6 8 12 … P/W … 18 9 6 4.5 3 … 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 (2)求出这个函数的解析式； 解：由题意，得该函数是反比例函数. 设这个函数的解析式为P＝(k≠0). 将(6，6)代入，得k＝6×6＝36. ∴这个函数的解析式为P＝(R＞0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 返回首页 (3)请直接写出：若P大于10 W，则R的取值范围为____________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0＜R＜3.6 返回首页 $第二十七章　反比例函数 27.1　反比例函数的概念 知识点1　反比例函数的定义 1.(2026福州一中期中)下列函数中，y是x的反比例函数的是(　　) A.y＝3x B.y＝＋1 C.y＝ D.y＝ 变式　给出下列函数：①y＝－；②xy＝6；③y＝3x－1；④y＝3－ x2.其中，y是x的反比例函数的有(　　) A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C C 返回首页 2.若函数y＝是关于x的反比例函数，则a的取值范围是_______，x的取值范围是_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 a≠－1 x≠0 返回首页 知识点2　确定反比例函数的解析式 3.已知y是x的反比例函数，且x＝2时，y＝3，则y关于x的函数解析式是(　　) A.y＝6x B.y＝ C.y＝ D.y＝ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 4.已知y是x的反比例函数，且当x＝4时，y＝－5. (1)求这个函数的解析式； 解：设反比例函数的解析式为y＝. ∵当x＝4时，y＝－5， ∴－5＝. ∴k＝4×(－5)＝－20. ∴这个函数的解析式为y＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (2)当x＝10时，求y的值. 解：把x＝10代入y＝－，得 y＝－＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 知识点3　在实际问题中建立反比例函数模型 5.若某城市市区的绿地面积约为100万m2，平均每人拥有的绿地面积y(单位：m2)随市区人口数量x(单位：万人)的变化而变化，则y与x之间的函数解析式为(　　) A.y＝100x B.y＝ C.x＝100y D.y＝ B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 6.用函数解析式表示下列问题中变量之间的关系： (1)已知圆柱的体积是30 cm3，它的高h(单位：cm)关于底面面积S(单位：cm2)的函数解析式是_______； (2)已知一个菱形的面积为20 cm2，它的一条对角线的长y(单位：cm)关于另一条对角线的长x(单位：cm)的函数解析式是_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 h＝ y＝ 返回首页 7. 若函数y＝(m＋2)x－3是反比例函数，则m的值是(　　) A.2 B.－2 C.±2 D.1 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 8.如果y是m的反比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的(　　) A.反比例函数 B.正比例函数 C.二次函数 D.反比例或正比例函数 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 9.设面积为10 cm2的三角形的一条边长为a(单位：cm)，这条边上的高为h(单位：cm). (1)求h关于a的函数解析式和自变量a的取值范围. 解：根据题意，得ah＝20， ∴h＝. ∵a为三角形的边长， ∴a＞0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (2)h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，说出它的比例系数. 它的比例系数是20. 解：h关于a的函数是反比例函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (3)当a＝2.5 cm时，求这条边上的高. h＝＝8(cm). 因此，当边长为2.5 cm时，这条边上的高为8 cm. 解：当a＝2.5时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 10.(教材P66T3变式)已知y与x－1成反比例，当x＝5时，y＝－3. (1)写出y关于x的函数解析式； 解：∵y与x－1成反比例， ∴设y＝(k≠0). 把x＝5，y＝－3代入， 得k＝－3×(5－1)＝－12. ∴y＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (2)当y＝－3时，求x的值. 解：当y＝－3时，－3＝－. 解得x＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 11.已知y＝y1＋2y2，y1与x－2成正比例，y2与x成反比例.当x＝1时，y＝－1，当x＝2时，y＝3. (1)求y关于x的函数解析式； 解：∵y1与x－2成正比例，y2与x成反比例， ∴设y1＝k1(x－2)，y2＝. ∴y＝y1＋2y2＝k1(x－2)＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 ∵当x＝1时，y＝－1， 当x＝2时，y＝3， ∴ ∴k2＝3，k1＝7. ∴y＝7(x－2)＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 (2)当x＝－2时，求y的值. 解：当x＝－2时， y＝7(x－2)＋ ＝－28＋(－3) ＝－31. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回首页 $第二十七章　反比例函数 27.2　反比例函数的图象和性质 第2课时　反比例函数的图象和性质(2) 知识点1　反比例函数的图象和性质 1.在平面直角坐标系中，若函数y＝(k≠0)的图象经过点A(－3，2) 和B(m，－1)，则m的值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 返回首页 2.反比例函数y＝的图象的一支在平面直角坐标系中的位置如图所示，根据图象回答下列问题： (1)常数m的取值范围是________； (2)若点(x1，y1)，(x2，y2)都在该反比例函数的图象上，且0＞x1＞x2，则y1______y2(填“＞”“＜”或“＝”)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m＜2 ＞ 返回首页 (3)若该反比例函数的图象经过点A(－2，3)，求m的值，并判断点B(－1，－6)，C是否在这个函数图象上. 解：把点A(－2，3)代入y＝， 得＝3， ∴m－2＝－6. ∴m＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∴反比例函数的解析式为y＝－. ∵B(－1，－6)不满足y＝－， C满足y＝－， ∴点B不在反比例函数y＝－的图象上， 点C在这个函数的图象上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 知识点2　反比例函数y＝中k的几何意义 3.(2026福州一检)如图，在平面直角坐标系中，点P位于第一象限， 且在反比例函数y＝(x＞0)的图象上.过点P作x轴的垂线，垂足为 Q，则△OPQ的面积是(　　) A. B.1 C.2 D.4 (第3题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 变式　如图，已知A为反比例函数y＝(x＜0)的图象上的一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B.若△OAB的面积为2，则k的值为______. (第3题变式) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 －4 返回首页 4.如图，点A在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，若AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO 的面积为_____. (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 返回首页 知识点3　反比例函数与一次函数的结合 5.在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋1与y＝(k≠0)的图象可 能是(　　) A B C D A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 6.若反比例函数y＝(k≠0)与一次函数y＝2－x的图象的一个交点的 横坐标为3，则k的值为(　　) A.－3 B.－1 C.1 D.3 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 7.如图，正比例函数y＝kx(k≠0)的图象与反比例函数y＝－的图象相交于A，B两点.若点A的横坐标是－3，则点B的坐标是________. (第7题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (3，－2) 返回首页 8. 若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则m的值为_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 －2 返回首页 9.如图，一次函数y＝mx＋n的图象与反比例函数y＝的图象交于点 A(－2，a)和点B(b，－1)，过点A作x轴的垂线，垂足为C.已知△AOC的面积为4. (1)分别求出a和b的值； 解：∵△AOC的面积为4，∴｜k｜＝4. 解得k＝8或k＝－8.由图象可得k＜0，∴k＝－8. ∴反比例函数的解析式为y＝－. 把点A(－2，a)和点B(b，－1)代入y＝－， 得a＝－＝4，－1＝－.∴a＝4，b＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)求△AOB的面积； 得解得 解：由(1)知，a＝4，b＝8，∴A(－2，4)，B(8，－1). 把A(－2，4)，B(8，－1)代入一次函数y＝mx＋n， ∴一次函数的解析式为y＝－x＋3.如图， 设一次函数的图象与x轴交于点D. 在y＝－x＋3中， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 令y＝0，得－x＋3＝0，解得x＝6. ∴D(6，0).∴OD＝6. ∴S△AOB＝S△AOD＋S△BOD ＝OD•yA＋OD•｜yB｜ ＝×6×4＋×6×1 ＝15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (3)结合图象，直接写出mx＋n＞中x的取值范围：______________ _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x＜－2或0＜x ＜8 返回首页 10.如图，已知直线y＝x＋2分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y＝(x＜0)交于E，F两点.若AB＝2EF，求m的值. 解：如图，作FH⊥x轴于点H，EC⊥y轴于点C，FH交EC于点D. 由直线y＝x＋2，可知点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(0，2).∴OA＝OB＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ∴△AOB为等腰直角三角形.∴AB＝2. ∴EF＝AB＝. ∴△DEF为等腰直角三角形. ∴FD＝DE，∴FD2＋DE2＝EF2＝2. ∴2FD2＝2. ∴FD＝DE＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 设点F的横坐标为t，代入y＝x＋2， 得纵坐标是t＋2， 则点F的坐标为(t，t＋2)，点E的坐标为(t－1，t＋1)， ∵双曲线y＝过E，F两点， ∴t(t＋2)＝(t－1)•(t＋1).解得t＝－. ∴点E的坐标为. ∴m＝－×＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 $第二十七章　反比例函数 专题强化6　反比例函数与一次函数综合 1.如图，一次函数y＝mx＋n(m≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点A(－3，a)，B(1，3)，且一次函数与x轴、y轴分别交于点C，D. (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 1 2 解：将B(1，3)代入y＝，得3＝. 解得k＝3. ∴反比例函数的解析式为y＝. 返回首页 将A(－3，a)代入y＝，得a＝＝－1. ∴点A的坐标为(－3，－1). 将点A，点B的坐标分别代入y＝mx＋n，得 解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋2. 1 2 返回首页 (2)根据图象直接写出不等式mx＋n＜的解集； 解：不等式mx＋n＜的解集为x＜－3或0＜x＜1. 1 2 返回首页 (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD， 求点P的坐标. 解：将x＝0代入y＝x＋2，得y＝2. ∴点D的坐标为(0，2). ∴S△OBD＝×2×1＝1. ∴S△OCP＝4S△OBD＝4. 将y＝0代入y＝x＋2，得x＝－2. ∴点C的坐标为(－2，0). 1 2 返回首页 设点P的坐标为(xP，yP). ∴S△OCP＝×2×｜yP｜＝4. 解得｜yP｜＝4. ∵点P在第三象限， ∴yP＝－4. 将yP＝－4代入y＝，得xP＝－. ∴点P的坐标为. 1 2 返回首页 2.(2025苏州)如图，一次函数y＝2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于 A，B两点，与反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y＝的图象交于点D，连接CD. (1)求A，B两点的坐标； 解：令y＝0，得2x＋4＝0. 解得x＝－2. ∴点A的坐标为(－2，0). 令x＝0，得y＝4. ∴点B的坐标为(0，4). 1 2 返回首页 (2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值. 解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E. ∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形， ∴CB＝CD. ∵CE⊥BD， ∴BE＝DE. 1 2 返回首页 令y＝4，得4＝. ∴点D的坐标为. ∴点C的坐标为. ∴x＝. ∵点C在一次函数y＝2x＋4的图象上， ∴2×k＋4＝8. 解得k＝16. 1 2 返回首页 $第二十七章　反比例函数 27.3　实际问题与反比例函数 第2课时　实际问题与反比例函数(2) 知识点　从图象中读取信息建立反比例函数关系 1.当压力F(单位：N)一定时，物体所受的压强p(单位：Pa)与受力面 积S(单位：m2)之间的函数解析式为p＝(S≠0)，这个函数的图象大 致是(　　) A B C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C 返回首页 2.如图，在常温状态下，气球内的气压p(单位：kPa)与气体体积V(单位：m3)成反比例函数关系，则p关于V的函数解析式为(　　) A.p＝ B.p＝－ C.p＝ D.p＝－ (第2题) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 3.在功W(单位：J)一定的条件下，功率P(单位：W)与做功时间t(单位：s)成反比例函数关系，其图象如图所示.当t＝30时，P的值 是(　　) A.7.5 B.20 C.30 D.40 C (第3题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 4.近视眼镜的镜片度数y(单位：度)与镜片焦距x(单位：m)之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副镜片小于250度的近视眼镜，则焦距x的取值范围应是__________. (第4题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x＞0.4 返回首页 5.(教材P81T8变式)某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数，其图象如图所示. (1)求这个函数的解析式. 由题意，知120＝， 解得k＝96. 所以p关于V的函数解析式为p＝. 解：设p＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)当气体体积为1.5 m3时，气压是多少？ 解：当V＝1.5时，p＝＝64. 所以当气体体积为1.5 m3时，气压是64 kPa. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (3)当气球内的气压大于140 kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少(结果保留小数点后两位)？ 解：当p＝140 kPa时，V＝≈0.69(m3). 对于函数p＝，当V＞0时，p随V的增大而减小. 为了安全起见，气体的体积应不小于0.69 m3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 6. 当汽车的功率P(单位：kW)一定时，汽车的行驶速度v(单位：m/s)与汽车所受阻力F(单位：N)之间成反比例函数关系，其图象如图所示.当汽车所受阻力低于600 N时，汽车会有安全隐患，为保证汽车行驶安全，汽车的行驶速度应(　　) A.大于30 m/s B.不大于30 m/s C.小于30 m/s D.不小于30 m/s (第6题) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 7.小亮新买了一盏亮度可调节的台灯，他发现调节的原理是：当电压为220 V时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的亮度.台灯的电流I(单位：A)是电阻R(单位：Ω)的反比例函数，其图象如图所示.下列说法正确的是(　　) A.电流I随电阻R的增大而增大 B.电流I与电阻R的关系式为I＝220R C.当电阻R为550 Ω时，电流I为0.5 A D.当电阻1 100 Ω≤R≤2 200 Ω时，电流I最大为0.2 A (第7题) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 8.如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度.小明发现在安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速公路的限速区间AB段的平均行驶速度v(单位：km/h)与行驶时间t(单位：h)成反比例函数关系(如图2).已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过100 km/h，最低车速不得低于60 km/h.若小明的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间为m h，则m的取值范围是_______________. (第8题) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.24≤m≤0.4 返回首页 9.某人感冒后，到药店买了一种新型感冒药，按说明书服用后，血液中的药物浓度y(单位：μg/mL)与服药后时间x(单位：h)之间的函数关系如图所示，其中，当0≤x≤3时，满足y＝tx的关系式；当3≤x≤8时，y与x成反比例. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (1)求t的值，并求当3≤x≤8时，y与x之间的函数解析式； 解：将(3，6)代入y＝tx， 得6＝3t. 解得t＝2. 当3≤x≤8时，设y与x之间的函数解析式为y＝. 将(3，6)代入，得6＝， 解得k＝18. 所以y＝(3≤x≤8). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 (2)若血液中药物浓度不低于2.5 μg/mL的持续时间超过5.5 h，则称药物治疗有效，请通过计算说明用这种新药治疗是否有效. 解：将y＝代入y＝2x，得＝2x， 解得x＝. 将y＝代入y＝，得＝， 解得x＝. 因为－＝＞5.5， 所以这种新药治疗有效. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 返回首页 $