精品解析：山东淄博实验中学、淄博齐盛高中2025-2026学年高一第二学期第一次模块考试数学试题

淄博实验中学、淄博齐盛高中高一年级第二学期第一次模块考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数（ ） A. 5 B. C. D. 4 2. 已知平面向量，，若与共线，则（ ） A. B. 1 C. 或0 D. 1或0 3. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 4. 如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 8. 已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，互为共轭复数，，则 C. 若复数满足，则的最大值为 D. 若复数是实系数方程的一个根，则 10. 已知向量，满足：，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量坐标为 D. （）的最小值为1 11. 如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________． 13. 如图，在直三棱柱中，，，，点、分别是、的中点，则直线与所成的角为__________． 14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． （1）求圆锥的体积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 17. 在中，角，，所对的边分别是，，，且 （1）求角； （2）若是边的中点，，，求的面积； （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围． 18. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 19. 在中，已知，的面积S满足：． （1）求的值； （2）如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博实验中学、淄博齐盛高中高一年级第二学期第一次模块考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数（ ） A. 5 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，， 则， 所以，则. 2. 已知平面向量，，若与共线，则（ ） A. B. 1 C. 或0 D. 1或0 【答案】D 【解析】 【详解】因为与共线， 则， 解得或. 3. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 【答案】B 【解析】 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B 4. 如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的最值即可. 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 5. 一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据母线与底面的夹角求出圆台的高，再代入圆台体积公式计算结果即可. 【详解】已知圆台的上底面半径为，即，下底面半径为，即，母线与底面的夹角为， 由于圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，由题意得，， 因此圆台的高， 由圆台的体积公式得. 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解． 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 7. 如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定与性质、二面角的余弦值等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于①，因为，所以. 因为，所以，又， 所以，即. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面. 若平面平面，由于平面平面， 过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 8. 已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得的值，再结合可得角B的大小.又根据和爪型定理，可得，两边平方后可将BD用表示，又有，消元可得关于的二次函数，进而求出BD的最小值 【详解】由题结合正弦定理可得：， 因为，所以， ，为钝角，. ，，由爪型定理可得 两边平方可得： ， ，， 当时，取得最小值，即最小值为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，互为共轭复数，，则 C. 若复数满足，则的最大值为 D. 若复数是实系数方程的一个根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的运算、共轭复数性质、复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根的特征，需逐一分析选项即可. 【详解】对于A，取反例，满足，但均不为0，故A错误； 对于B，先化简，其共轭复数， 由于的幂次周期为4，，故，故B正确； 对于C，的几何意义是复平面上对应点的轨迹为以为圆心、半径为的圆，是圆上点到原点的距离， 原点到圆心距离为，故最大值为，故C正确； 对于D，实系数方程的虚根互为共轭复数，因此另一根为， 由韦达定理：两根和为，解得；两根积为，解得 故，故D正确. 10. 已知向量，满足：，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量坐标为 D. （）的最小值为1 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：由，知， 平方可得 ，则成立； 选项B：，故不成立； 选项C：在上的投影向量为，故不成立； 选项D： 所以当时，取得最小值，正确. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，结合勾股定理求出点的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B，作出截面，并求出截面周长，即可作出判断；选项C，取中点，连接，分析可得等腰的外接圆圆心在上，且外接圆半径为，再过点作底面的垂线，设为三棱锥的外接球的球心，结合底面，可得，进而求出外接球半径，再根据球的表面积公式求解判断即可；选项D，由题意知点在以为圆心，为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以， 因为，则， 则在以为圆心，半径为的四分之一圆周上，如图， 所以点的轨迹长度为，故A正确； 对于B选项，如下图所示： 延长分别交直线、于点、， 连接交于点，连接交于点，连接、， 所以五边形为所求截面， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 又因为，故，所以， 因为，所以，所以， 由勾股定理可得， ，， 同理可得，，， 故截面周长为，故B正确； 对于C选项，如图所示，， 取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上， 所以外接圆半径，依题意易知，， 根据正弦定理可知，，则， 过点作底面的垂线，由于底面， 设为三棱锥的外接球的球心，则， 而，则，又， 则三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误； 对于D选项，因为平面，所以与的夹角为， 故，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆弧上， 连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于， 在中，， 则，故， 如图在平面中，过点作于点， 则，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别用，表示出和，结合向量数量积及运算律求解即可. 【详解】由为中线可得，. 又点为中线的三等分点，所以. 因为点为的中点，所以， 又， 所以. 13. 如图，在直三棱柱中，，，，点、分别是、的中点，则直线与所成的角为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】借助等角定理找到直线与所成的角后，利用直三棱柱性质及勾股定理与余弦定理计算即可得解. 【详解】取中点，连接、、、， 由点是的中点，则且， 故或其补角即为直线与所成的角， 由直三棱柱性质可得平面， 又、平面，故、， 由，，则， 又、， 则，， 则，则， 即直线与所成的角为. 14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正、余弦定理与三角形内角和得出与的关系，写出的表达式，利用是锐角三角形得出的范围，构造函数，得出其对称轴，利用存在最小值求出的范围，即得出存在最小值时实数的取值范围. 【详解】由题意， 在锐角中，， 由余弦定理，， ∴，即， 由正弦定理，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵为锐角三角形， ∴，即， ∴ ， ，解得， ∴， ∴， 在中， ，开口向上，对称轴， 若函数存在最小值，则，解得， ∴若存在最小值，则实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系的向量表示，结合向量的数量积及运算律求解即可. （2）根据向量夹角的求解公式，结合向量的模、向量的数量积及运算律求解即可. 【小问1详解】 由题意知，. 因为，所以， 即，代入整理得，解得. 【小问2详解】 ， ， ， 设与的夹角为， 则. 16. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． （1）求圆锥的体积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 【答案】（1） （2） 最大值为，此时圆柱的高为. 【解析】 【分析】（1）利用圆锥侧面展开图半圆弧长等于圆锥底面周长，结合已知母线长求出圆锥底面半径，再由勾股定理得圆锥的高，代入体积公式计算得体积； （2）利用轴截面的相似三角形建立圆柱底面半径与高的关系，将侧面积表示为二次函数，利用二次函数性质即可求得最大值及对应圆柱的高. 【小问1详解】 设圆锥的母线长为，底面半径为，高为. 已知母线长​，圆锥侧面展开图为半圆， 因此半圆的弧长等于圆锥底面周长，即，代入​，得， 圆锥的高. 因此圆锥的体积为. 【小问2详解】 设圆柱的底面半径为，高为. 由相似三角形（小圆锥的轴截面与原圆锥的轴截面相似）， 可得比例关系. 圆柱侧面积公式为，代入得 这是关于的开口向下的二次函数，当时，二次函数取得最大值， 代入得最大侧面积. 因此圆柱侧面积的最大值为，此时圆柱的高为. 17. 在中，角，，所对的边分别是，，，且 （1）求角； （2）若是边的中点，，，求的面积； （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简方程，即可求出角； （2）利用中点结合向量得出，两边平方解出，即可求出的面积； （3）求出的范围，利用正弦定理得出，的表达式，进而得出的表达式，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 由题意，在中，， 由正弦定理， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴，又， ∴，解得， ∴. 【小问2详解】 由题意及（1）知，， ，， ∵是边的中点， ∴， ， 解得， ∴. 【小问3详解】 由题意，及（1）知， 在锐角中，，， ，解得， 由正弦定理，， ∴， ， ∴ ， ∵，，， ∴. 18. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接、． 为的中点，且． 平面，平面， ，． 又，． 四边形为平行四边形，则． 平面，平面， 平面． AI    （2）证明：为等边三角形，为的中点，． 平面，平面，． ，所以，， 又，平面， 平面． 平面，平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 在平面内，过作于，连接． 平面平面，平面平面，平面， 平面． 为和平面所成的角． 因为，，则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为． 19. 在中，已知，的面积S满足：． （1）求的值； （2）如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）（i）的面积为，的面积为 （ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和向量数量积公式，结合已知等式求出，再利用余弦定理求出边长比. （2）（i）先用余弦定理表示出，再结合第一问表示出的面积，利用三角形面积公式及正弦定理、余弦定理表示出的面积. （ii）利用三角形面积之间的关系将转化为关于的函数，最后利用三角函数的性质求最值. 【小问1详解】 因为，所以， 即，得， 所以，而， 在中，由余弦定理可知，, 所以，即. 【小问2详解】 （i）记，的面积分别为，设， 在中，由余弦定理可知，， 则， 即，则， 在中，由正弦定理可知，，即， 所以 ， 故的面积为，的面积为. （ii）记的面积为，则， 由，可得 ， 令，则由，得， 而在上单调递增，故， 所以实数的最大值为，当且仅当，即时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $