精品解析：山东淄博实验中学、淄博齐盛高中2025-2026学年高一第二学期第一次模块考试数学试题

淄博实验中学、淄博齐盛高中高一年级第二学期第一次模块考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数（ ） A. 5 B. C. D. 4 2. 已知平面向量，，若与共线，则（ ） A. B. 1 C. 或0 D. 1或0 3. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 4. 如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 8. 已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，互为共轭复数，，则 C. 若复数满足，则的最大值为 D. 若复数是实系数方程的一个根，则 10. 已知向量，满足：，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量坐标为 D. （）的最小值为1 11. 如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________． 13. 如图，在直三棱柱中，，，，点、分别是、的中点，则直线与所成的角为__________． 14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． （1）求圆锥的体积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 17. 在中，角，，所对的边分别是，，，且 （1）求角； （2）若是边的中点，，，求的面积； （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围． 18. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 19. 在中，已知，的面积S满足：． （1）求的值； （2）如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博实验中学、淄博齐盛高中高一年级第二学期第一次模块考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数（ ） A. 5 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，， 则， 所以，则. 2. 已知平面向量，，若与共线，则（ ） A. B. 1 C. 或0 D. 1或0 【答案】D 【解析】 【详解】因为与共线， 则， 解得或. 3. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 【答案】B 【解析】 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对于A，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故A错误； 对于B，直线，直线，若，则，故B正确； 对于C，直线，直线，若，则或平面和平面相交，故C错误； 对于D，直线，直线，若与为异面直线，则或平面和平面相交，故D错误. 故选：B 4. 如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的最值即可. 【详解】因为，所以，所以， 显然，又三点共线，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最大值为． 5. 一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据母线与底面的夹角求出圆台的高，再代入圆台体积公式计算结果即可. 【详解】已知圆台的上底面半径为，即，下底面半径为，即，母线与底面的夹角为， 由于圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，由题意得， ， 因此圆台的高， 由圆台的体积公式得 . 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解． 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 7. 如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定与性质、二面角的余弦值等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于①，因为，所以. 因为，所以，又， 所以，即. 因为平面平面，平面平面，， 所以平面. 若平面平面，由于平面平面， 过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 8. 已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得的值，再结合可得角B的大小.又根据和爪型定理，可得，两边平方后可将BD用表示，又有，消元可得关于的二次函数，进而求出BD的最小值 【详解】由题结合正弦定理可得：， 因为，所以， ，为钝角，. ，，由爪型定理可得 两边平方可得： ， ，， 当时，取得最小值，即最小值为. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，互为共轭复数，，则 C. 若复数满足，则的最大值为 D. 若复数是实系数方程的一个根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的运算、共轭复数性质、复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根的特征，需逐一分析选项即可. 【详解】对于A，取反例 ，满足 ，但均不为0，故A错误； 对于B，先化简 ，其共轭复数， 由于的幂次周期为4， ，故，故B正确； 对于C， 的几何意义是复平面上对应点的轨迹为以为圆心、半径为的圆，是圆上点到原点的距离， 原点到圆心距离为，故最大值为，故C正确； 对于D，实系数方程的虚根互为共轭复数，因此另一根为， 由韦达定理：两根和为，解得；两根积为 ，解得 故 ，故D正确. 10. 已知向量，满足：，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量坐标为 D. （）的最小值为1 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：由，知， 平方可得 ，则成立； 选项B：，故不成立； 选项C：在上的投影向量为，故不成立； 选项D： 所以当时，取得最小值，正确. 11. 如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，结合勾股定理求出点的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B，作出截面，并求出截面周长，即可作出判断；选项C，取中点，连接，分析可得等腰的外接圆圆心在上，且外接圆半径为，再过点作底面的垂线，设为三棱锥的外接球的球心，结合底面，可得，进而求出外接球半径，再根据球的表面积公式求解判断即可；选项D，由题意知点在以为圆心，为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何知识即可判断D. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，所以， 因为，则， 则在以为圆心，半径为的四分之一圆周上，如图， 所以点的轨迹长度为，故A正确； 对于B选项，如下图所示： 延长分别交直线、于点、， 连接交于点，连接交于点，连接、， 所以五边形为所求截面， 因为为的中点，所以， 因为，所以， 又因为，故，所以， 因为，所以，所以， 由勾股定理可得， ，， 同理可得，，， 故截面周长为，故B正确； 对于C选项，如图所示，， 取中点，连接，则等腰的外接圆圆心在上， 所以外接圆半径，依题意易知，， 根据正弦定理可知，，则， 过点作底面的垂线，由于底面， 设为三棱锥的外接球的球心，则， 而，则，又， 则三棱锥的外接球的半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故C错误； 对于D选项，因为平面，所以与的夹角为， 故，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆弧上， 连接，由对称性可知，当点位于上时，最小，过作于， 在中，， 则，故， 如图在平面中，过点作于点， 则，当且仅当、、三点共线时取等号，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别用，表示出和，结合向量数量积及运算律求解即可. 【详解】由为中线可得，. 又点为中线的三等分点，所以. 因为点为的中点，所以， 又， 所以. 13. 如图，在直三棱柱中，，，，点、分别是、的中点，则直线与所成的角为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】借助等角定理找到直线与所成的角后，利用直三棱柱性质及勾股定理与余弦定理计算即可得解. 【详解】取中点，连接、、、， 由点是的中点，则且， 故或其补角即为直线与所成的角， 由直三棱柱性质可得平面， 又、平面，故、， 由，，则， 又、， 则， ， 则，则， 即直线与所成的角为. 14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正、余弦定理与三角形内角和得出与的关系，写出的表达式，利用是锐角三角形得出的范围，构造函数，得出其对称轴，利用存在最小值求出的范围，即得出存在最小值时实数的取值范围. 【详解】由题意， 在锐角中，， 由余弦定理，， ∴，即， 由正弦定理，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵为锐角三角形， ∴，即， ∴ ， ，解得， ∴， ∴， 在中， ，开口向上，对称轴， 若函数存在最小值，则，解得， ∴若存在最小值，则实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系的向量表示，结合向量的数量积及运算律求解即可. （2）根据向量夹角的求解公式，结合向量的模、向量的数量积及运算律求解即可. 【小问1详解】 由题意知，. 因为，所以， 即，代入整理得，解得. 【小问2详解】 ， ， ， 设与的夹角为， 则. 16. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． （1）求圆锥的体积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 【答案】（1） （2） 最大值为，此时圆柱的高为. 【解析】 【分析】（1）利用圆锥侧面展开图半圆弧长等于圆锥底面周长，结合已知母线长求出圆锥底面半径，再由勾股定理得圆锥的高，代入体积公式计算得体积； （2）利用轴截面的相似三角形建立圆柱底面半径与高的关系，将侧面积表示为二次函数，利用二次函数性质即可求得最大值及对应圆柱的高. 【小问1详解】 设圆锥的母线长为，底面半径为，高为. 已知母线长​，圆锥侧面展开图为半圆， 因此半圆的弧长等于圆锥底面周长，即 ，代入​，得， 圆锥的高 . 因此圆锥的体积为 . 【小问2详解】 设圆柱的底面半径为，高为. 由相似三角形（小圆锥的轴截面与原圆锥的轴截面相似）， 可得比例关系 . 圆柱侧面积公式为，代入得 这是关于的开口向下的二次函数，当时，二次函数取得最大值， 代入得最大侧面积. 因此圆柱侧面积的最大值为，此时圆柱的高为. 17. 在中，角，，所对的边分别是，，，且 （1）求角； （2）若是边的中点，，，求的面积； （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简方程，即可求出角； （2）利用中点结合向量得出，两边平方解出，即可求出的面积； （3）求出的范围，利用正弦定理得出，的表达式，进而得出的表达式，即可求出的取值范围． 【小问1详解】 由题意，在中，， 由正弦定理， ∴， ∵， ∴ ， 即 ， ∴， ∴ ，又， ∴，解得， ∴. 【小问2详解】 由题意及（1）知，， ，， ∵是边的中点， ∴， ， 解得， ∴. 【小问3详解】 由题意，及（1）知， 在锐角中，，， ，解得， 由正弦定理，， ∴， ， ∴ ， ∵，，， ∴. 18. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得证． （2）通过证明，，从而得到，，即可证明平面，进而证明平面平面． （3）在平面内，过作于，由平面平面，得平面，故为和平面所成的角，解求出的正弦值． 【小问1详解】 取的中点，连接、． 为的中点，且． 平面，平面， ，． 又，． 四边形为平行四边形，则． 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 为等边三角形，为的中点，． 平面，平面，． ，所以，， 又，平面， 平面． 平面，平面平面． 【小问3详解】 在平面内，过作于，连接． 平面平面，平面平面，平面， 平面． 为和平面所成的角． 因为，，则，， 在中，， 直线和平面所成角的正弦值为． 19. 在中，已知，的面积S满足：． （1）求的值； （2）如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 【答案】（1） （2）（i）的面积为，的面积为 （ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角形面积公式和向量数量积公式，结合已知等式求出，再利用余弦定理求出边长比. （2）（i）先用余弦定理表示出，再结合第一问表示出的面积，利用三角形面积公式及正弦定理、余弦定理表示出的面积. （ii）利用三角形面积之间的关系将转化为关于的函数，最后利用三角函数的性质求最值. 【小问1详解】 因为，所以 ， 即 ，得， 所以，而， 在中，由余弦定理可知，, 所以，即. 【小问2详解】 （i）记，的面积分别为，设 ， 在中，由余弦定理可知，， 则 ， 即 ，则， 在中，由正弦定理可知，，即 ， 所以 ， 故的面积为，的面积为. （ii）记的面积为，则， 由，可得 ， 令，则由，得， 而在上单调递增，故， 所以实数的最大值为，当且仅当，即时等号成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $