精品解析：山东淄博实验中学、淄博齐盛高中2025-2026学年高一第二学期第一次模块考试数学试题

6学科网命组卷网 淄博实验中学、淄博齐盛高中高一年级第二学期第一次模块考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. z-i =1-2i 1.若1+2i 则复数=() A.5 B.10 C.v26 D.4 【答案】C 【解析】 z-1=1-2i 【详解】根据题意，1+2i 则2-i=(1-2)01+2i)=5 所以z=5+i,则l=V26 2.已知平面向量i=(m+1,2m）,6=(2+m,3m）,若a与5共线，则m=() A.-1 B.1 C.-1或0 D.1或0 【答案】D 【解析】 【详解】因为a与6共线， 则3m(m+l)-2m(2+m）=0 解得m=1或m=0 第1页/共29页 学科网组卷网 ncB 3.已知平面a和平面A,直线mCa,直线” 则下列结论一定成立的是() A.若m/na1/B ,则 B若nla,则m上n a⊥B c若m1n,则 D。若m与n是异面直线，则a/B 【答案】B 【解析】 【分析】由空间点、线、面的位置关系，逐项判断即可 【详解】对于A,直线mCa,直线”CB,若mn,则a/f政 P或平面和平面”相交，故A错误： 对于B,直线mc0,直线”cB,若n1“,则m1n ,故B正确： 对于C,直线mc&,直线”CB.若m上n,则aP欧平面“和平面P相交，故C错误： 对于D,直线mCa,直线”CB,若m与”为异面直线，则41 P或平面”和平面P相交，故D错误 故选：B 2 AD=二AC 4.如图，在△ABC中，点D满足 3 ,E为线段BD上的一点，若AE=xAB+yAC,则y的 最大值为() v② 1 1 A.2 B.2 C.4 D.6 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算与三点共线定理构建出关于X,'的关系式，结合基本不等式求出目标乘积的 最值即可. 第2页/共29页 学科网命组卷网 AD ，所以 2 E AE=xAB+yAC=x4B+3Y AD 【详解】因为 3 ,所以 2 =1 显然x>0,y>0,又B,D,E三点共线，所以2， 3y ≥2 3 由基本不等式得 1=x+ XY 2 V2 所以 6, 3y 1.1 X= x= 当且仅当2，即 2, 3时，等号成立. 1 所以)的最大值为6. 5.一圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，若母线与底面的夹角为60°，则该圆台的体积为() 2V5 43 5v5 75 π A.3 B.3 c3π π D.3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据母线与底面的夹角求出圆台的高，再代入圆台体积公式计算结果即可. 【详解】己知圆台的上底面半径为1，即r=1,下底面半径为2，即R=2,母线与底面的夹角为60°， AB=2,CD=4,∠ADC=60° 由于圆台的轴截面为等腰梯形，如图所示，由题意得， h=CD-AB Btan60°=4,2xV5=V5 因此圆台的高 2 2 面台的净积会式有"-有++)-号5-+21+)-=75。 第3页/共29页 6学科网列组卷网 Cπ 6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且面积为S.若a=1,C4且 4S=acos B+bcos A,B=() 5π 7元 下 r A.6 B.12 C.6 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解， 【详解】在△ABC中， acos B+bcos A=a. Q+e2-b+bF+c-a=e,s=号absinC一 2ac 2bc 2 4S=acos B+bcosA,得2 absin c=c,又a-1C、 4,则c=√2b, 2sin B=sin C=sin 由正弦定理得 4,解 得sinB=1 2,由b<c,得B<C, 所以B=π 6· 7.如图，在四边形ABCD中，ADIIBC,AD=AB,∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中，下列说法正确的是( ①平面ABD⊥平面ABC；②BD⊥AC:③平面ACD⊥平面ABC:④锐二面角C-AB-D的余弦值 5 为3 第4页/共29页 6学科网 命组卷网 D B A.①② B.①③ C.②③ D.③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定与性质、二面角的余弦值等知识逐项计算判断即可 【详解】对于O,因为1D=AB,∠B1D=90,所以∠ABD=∠ADB=45 因为4D/BC,所∠DBC=∠ADB=45,又∠DCB=45】 所以∠BDC=90即BD⊥CD ,即 因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABDO平面BCD=BD,BD⊥CD, 所以CD⊥平面ABD. 若平面ABD⊥平面ABC,由于平面ABDO平面ABC=AB, 过点C作CE⊥AB,则CE⊥平面ABD,这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错 误； 对于@，由于BD1CD,若BDL4C,因为CDAC=C,CD,4CC平面4CD, 所以BD平面CD,又DC平面CD,所以BD LAD,这与∠DB=45矛盾，所以②猎，误 第5页/共29页 6学科网命组卷网 对于③，因为DC⊥平面ABD,ABc平面ABD,所以DC⊥AB 又因为△1BD是等腰三角形，4D=AB,∠BMD=90,所以AD⊥AB DC∩AD=D,DC,ADC 因为 F平面1CD,所以平面4CD1平面ABC,所以③正确： 对于④，由③可知AB⊥平面ACD,则∠DAC为二面角C-AB-D的平面角， 设AD=AB=1,则BD=DC=5,由DC1AD, 得AC=V5,得cos∠∠DAC=D=V5 AC3，所以④正确， 8已知△ABC的三个内角4，B,C所对的边分别是ab,C,且满足>a2+c,V5a=2bsi1,a+c=1, 点D是边AC上一点，且AC=3CD,则BD的最小值为() V21 √21 2W21 4W21 A.7 B.21 C.7 D.21 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得sinB的值，再结合b>a2+c2可得角B的大小.又根据AC=3CD和爪型 BD-2BC+IBA 定理，可得 3 31 ,两边平方后可将BD用a,C表示，又有a+c=1,消元可得关于a的二 次函数，进而求出BD的最小值 【详解】由题V5a=2bsi血4结合正弦定理可得： 3 sin A=2sin Bsin A 因为sinA>0,所以sin6=Y 2 第6页/共29页 6学科网6组卷网 b2>a2+c2,B为钝角， B=2n 3 BD-2BC+1BA AC=3CD,.AC=3DC,由爪型定理可得 3 内方尚o可-后c函j-号号c丽+a对 3 0 4 4 gaccos 2π，12 399 +12_2 -ac 99， a+c=1.c=1-a 2 √2i √21 :当M=7时，BD取得最小值2引，即BD最小值为21， 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知为虚数单位，则下列说法正确的是() A若2+号=0，则3=，=0 1+i B.若乙，2互为共轭复数，名=1-i,则2”=2 c.若复数2满足2-1=1，则的最大值为2 D.若复数2=-1+31是实系数方程+px+g=0的一个根，则P+g=12 第7页/共29页 6学科网6组卷网 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的运算、共轭复数性质、复数模的几何意义及实系数一元二次方程的根的特征，需逐一 分析选项即可 【详解]对于A,取反例=i石，满是矿+号=-1+1=0，但，均不为0，枚A绩误： 1+i。1+i)2=2i 对于B,先化简=1-i(-)1+21,其共轭复数2，=i, =i 由的器次周别为2027=4×506+3，故=0==i=名，故B正确： 对于C,2-i 0,1) 的几何意义是复平面上2对应点的轨迹为以 为圆心、半径为'的圆，是圆上点 到原点的距离， 21 原点到圆心距离为，故2最大值为+1=2，故C正确： 对于D,实系数方程x+pr+g= 的虚根互为共轭复数，因此另一根为1-31 由韦达定理：两根和为P=(←1+3)+(-1-3)），解得P=2,两根积为9=（1+3(-1-31），解得 9=10 故P+9=2+10=12 故D正确 10.已知向量a,6满是：同=5,6=(2,2)a-26=V5瓦，则（) √5 A.a.b=-4 B.a与b夹角的余弦值为3 C.a在b上的投影向量坐标为(1，) D.a-5 (2∈R)的最小值为1 【答案】AD 【解析】 第8页/共29页 6学科网命组卷网 【详解】选项A:由6=(2,2)，知=22， a-2万=5i平方可得(a-2b=a2-4i-6+462=51,则a6=-4成立： -4 √6 选项B:Cosa,b)=3×223·放不成立， ā6=4=-6=(1，-l),故不成立： 选项C:。在3上的投影向量为0(2V02 a b 顶心.--f+-2a5=3+82+3=82++1 所以当 2时，日-取得最小值1，正确 1如图，在棱长为4的正方体1BCD-4BCD中，点E为AD中点，动点P在正方形4BCD内 (含边界)，则( ) D P。B A, D E. B A若4P=4W2,则点P的轨迹长度为2π B若点F为CD中点，过点E、F、8的平面数该正方体，所得截面周长为45+25 41π C.若点P为AD中点，则三棱锥E-BCP的外接球表面积为4 第9页/共29页 6学科网6组卷网 D.若BP与BB的夹角为4，O为线段BD上的动点，则PO4V3 3 B的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A,结合勾股定理求出点P的轨迹，利用圆的周长计算即可；选项B,作出截面，并求出截 面周长，即可作出判断：选项C,取BC中点F,连接EF,分析可得等腰△BCE的外接圆圆心O在 BP上，且外接因羊径为QE-.再过点0作面8CD的重线O0,女O为=枝能E一BCp的外接 球的球心，结合PE⊥底面ABCD,可得 ,进而求出外接球半径，再根据球的表面积公 式求解判断即可：选项D,由慰意知点P在以B为圆心，4为半径的圆弧上，再利用对称性结合平面几何 知识即可判断D, 【详解1对于A选项，因为4上平面4B,CD,4PC平面4BCGD,所44上4P 因为AP=4V2,则4P=VAP2-A4=V32-42=4, 则P在以A为圆心，半径为4的四分之一圆周上，如图， B D E B =2π 所以点P的轨迹长度为 2nx4x1 4 ,故A正确： 对于B选项，如下图所示： 第10页/共29页 6学科网列组卷网 D B D: G A 延长EF分别交直线AB、BC于点G、N, 连接B,C交14于点H,连接B,V交CC于点S,连接EH、PS, BHEFS 所以五边形 为所求截面， 因为E为AD的中点，所以AE=DE, 因为DF∥AG,所以∠AGE=∠DFE, AG=DF-1CD=2 又因为∠AEG=∠DEF,故AAEG≌△DEF,所以 AHAG21 因为H/B8,所以BR8G2十43，所以4H=写8B=1 3 3, 213 由勾股定理可得EH=√AE+AH=23、 3 以-从=2-9A1-晖+4F-F图 4v13 -33 3 同理可得FS=23 BS=4V13 3,EF=VDE2+DF2=V22+22=2√2， 故截面周长为BH+EH+BS+FS+EF=43+23+413+13+22=413+2√2故B 3333 正确： 第11页/共29页 命学科网命组卷网 对于C选项，如图所示，EB=EC=V4+22=2√5 取BC中点F,连接EF,则等腰△BCE的外接圆圆心O在EF上， 所以aBCE外接圆半径r=OE,依题定易知，sim∠EBC=F=,4-25 EB255, EC 25 2r= 根据正弦定理可知， 5im∠EBC25, 5 2 过点O作底面ABCD的垂线O0,由于PE上底面ABCD D P A B E过F B 设O为三棱锥E-BCP 的外接球的球心，则 OO IIPE 而OE=OP,则 0-号P8-205- 2 ,25V41 则三棱锥E-BCP的外接球的半径为R=OE=VOO+0E=4+ 42 4rR2=4r×41=41元 所以三棱锥E-BCP的外接球表面积 4 ,故C错误； 对于D选项，因为BB上平面ABCD,所以BP与BB的夹角为 ∠BPB=T 4 故am∠BPB=g=1 BP,则BP=BB=4, 第12页/共29页 命学科网命组卷网 B. 所以点P在以8为圆心，4为半径的圆弧上， BD 连接 由对称性可知，当点P位于B0上时，PO最小，过P作QG LBD于G 在R△OGB中，sin∠QBD-gS=sm∠D,BD-P0-4-点 BO BD 43 3 0=0G,P0+540-0+0 则3 如图在平 BDDB中，过点P作PM⊥BD于点M. D MG、 B 则PO+QG≥PM=DD,=4 当且仅当P、Q、G三点共线时取等号，放D正确。 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. I2.在边长为2的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点（靠近点B),点F为BC的中点，则 FE.FC= 【答案】2 【解析】 【分析】分别用BA,BC表示出F匠和C,结合向量数量积及运算律求解即可 【详解】由BD为中线可得， BD-(BA+RC) 第13页/共29页 6学科网组卷网 D E F 又点E为中线BD的三等分点，所以 配-)BD=(⑧A+BC) F=FC=-BC 因为点F为BC的中点，所以 女E=所-F-a+8c)c--c 61 Ec-(8a}cac-立2x2*}82- 13如图，在直三楼柱ABC-AB,C中，AB=AC=2,AM=2W5,AB1AC,点M、N分别是 AA、BC的中点，则直线MN与AC所成的角为： A M A N 【答案】3拼60° 【解析】 第14页/供29页 6学科网列组卷网 【分析】借助等角定理找到直线MN与AC所成的角后，利用直三棱柱性质及勾股定理与余弦定理计算即 可得解。 【详解】取AB中点P,连接MN、MP、NP、AN, 由点N是BC的中点，则PNI/HC且PN=4C=1 2 故∠MNP或其补角即为直线MN与AC所成的角， 由直三棱柱性质可得14平面ABC, 又AB、AWC平面ABC,故A4LAB、AA1AN 白B=4C=2·B1AC,则4N=C-22-5 22 又4M=丝=反P=-1 2 2 则MP=2中i=5,MN-2列+2=2 则cos∠MNP= +2wp图 2×1×2 元 即直线MN与AC所成的角为3. B 第15页/供29页 6学科网6组卷网 c-Aa 14.在锐角△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且b2=a2-bc,若b存在最小值 则实数九的取值范围是 【答案】 (22,2V3) 【解析】 c-Aa 【分析】利用正、余弦定理与三角形内角和得出A与B的关系，写出b的表达式，利用△ABC是锐 角三角形得出，的范围，构造函数f(x)=4x2-2x- V2 <x< 得出其对称轴，利用存在最小 R c-λa 值求出入的范围，即得出b存在最小值时实数入的取值范围 【详解】由题意， 在锐角△1BC中，b=a2-bc b2=a2+c2-2accos B 由余弦定理， :c2-2 accos B=-bc,即b b=2acos B-c a b c 由正弦定理，sin A sin B sinC, .'sin B=2sin Acos B-sin C, ,A+B+C=π， .sin C=sin_n-(4+B)=sin(4+B)=sin Acos B+cos Asin B .sin B=2sin Acos B-(sin AcosB+cos Asin B) 第16页/供29页 命学科网命组卷网 sin B=sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B) ,△ABC为锐角三角形， B=A-B,即A=2B, c-a_sinC-sinA_sin元-(A+B)】]-元sin2Bsin(A+B)-sin2B :.b sin B sin B sin B sin3B-Asin2B sin(B+2B)-Asin 2B sin Bcos2B+cos Bsin 2B-Asin2B sin B sin B sin B sin B cos 2B+2sin B cos2 B-2Asin Bcos B cos2B+2cos'B-24cos B sin B =4cos2B-2元cosB-1 0<A< 2 0<B< 2 0<C<π 解得 A+B+C=π A=2B I<B<I 6 4 2 .2 <cos 2, ,c-10=4c0s2B-21cosB-1 2 ..b cosB<3 -222 X三 4>0,开口向上，对称轴2×44， 第17页/共29页 6学科网列组卷网 √2，λ3 若函数存在最小值，则242，解得22<1<2√5， c-Aa 二若b存在最小值，则实数元的取值范围是(2√5,25) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 2π 15已知向量a,万满足同=1，同=2，且a与6的夹角为3. (1)若(2a-)1(a+),求实数元的值： (2求a+6与a+2万 的夹角的余弦值， 1 λ= 【答案】(1) 2 2V39 (2)13 【解析】 【分析】(1)根据垂直关系的向量表示，结合向量的数量积及运算律求解即可. (2)根据向量夹角的求解公式，结合向量的模、向量的数量积及运算律求解即可 【小问1详解】 由题意知， a6-w-1w2(》- 因为(2a-b)1(a+),所以(2a-b)-(a+)=0, 1 即2+(21-1)a-6-=0,代入整理得3-61=0，解得4=2 【小问2详解】 a+b)-a+2b)=a+3a-6+26=1P+3x(-1)+2×22=6, 第18页/共29页 6学科网命组卷网 a+=a+-+2a6+=P+2x(-+2=5. a+2-a+2-d+4a-万+46-F+4×(-1)+4x2=店. 设0+6与a+26的夹角为9 则cos (a+b)(a+2b) 6 2V39 a+a+23xv1313 16已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为2√5 (1)求圆锥的体积： (2)在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高. 【答案】(1) 3π (2) 33元 3 最大值为2，此时圆柱的高为2， 【解析】 【分析】(1)利用圆锥侧面展开图半圆弧长等于圆锥底面周长，结合己知母线长求出圆锥底面半径，再 由勾股定理得圆锥的高，代入体积公式计算得体积： (2)利用轴截面的相似三角形建立圆柱底面半径与高的关系，将侧面积表示为二次函数，利用二次函数 性质即可求得最大值及对应圆柱的高 【小问1详解】 设圆锥的母线长为，底面半径为R,高为H.。 知母线长I=2V3 圆锥侧面展开图为半圆， 第19页/共29页 6学科网6组卷网 因此半圆的弧长等于圆维底面周长，即=2R,代入1=25，得R=2V5 圆锥的高H=VP-R2=V2√3)2-(5列=3 因此四涯特体板为”-写RH-写小3=3江 【小问2详解】 h 设圆柱的底面半径为，高为 由相似三角形（小圆锥10的轴截面与原圆锥40的轴截面相似）， 可的地<后分店 -(0<h<3) =2 -h= 圆柱侧面积公式为S=2πrh,代入r得 3-九h=2π(-R+3h） :h3 这是关于的开口向下的二次函数，当2时，二次函数取得最大值， 5(2 3V5元 3 因此圆柱侧面积的最大值为2，此时圆柱的高为2· 17.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,且V5a=sinB+V3bc0sC (1)求角B: (2)若D是边AC的中点，a=2, BD=V19 2,求△ABC的面积： (3)若4ABC是锐角三角形，且b=V5,求2a-C的取值范围. 第20页/共29页 6学科网列组卷网 【答案】(1)3 35 (2)2 (3)(0,3) 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理和三角形内角和化简方程，即可求出角B; (2)利用中点结合向量得出 BD-BA+BC 两边平方解出C,即可求出△ABC的面积； (3)求出A的范围，利用正弦定理得出a,C的表达式，进而得出2a-C的表达式，即可求出2a-C的 取值范围， 【小问1详解】 由题意，在△ABC中，V5a=csinB+-V3 beosC a b 由正弦定理sin A sin B sinC, 3sin A4=sin Bsin C+3sin BcosC :A+B+C=π， :V5sin[元-(B+C】=-sin Bsin C+V3 sin BcosC 3sin(B+C)=sin Bsin C+sin Bcosc 3sin BcosC+cosB sin C=sin Bsin Csin BcosC :(N3cosB-sinB)sinC=0,又sinC≠0， 第21页/共29页 命学科网命组卷网 :V5cosB-sinB=0,解得mB=5 3 【小问2详解】 B=π 由题意及(1)知， 3, a=2, BD=V19 2, :D是边AC的中点， :BD-5(a+8c)】 comno)-.co 解得c=3, -号0csmB-×2×3xm-3g .S.mc =a 2 32· 【小问3详解】 由题意，及(1)知， B=T 在锐角△ABC中，b3,b=V3, 第22页/共29页 6学科网6组卷网 B、π 3 A+B+C=π 0<A<元 ,解得 2 0<C<π <A< 2 6 2 a b 3 =2 由正弦定理， sin A sinC sin B sin 3 .a=2sin A, c=2mc-2smg-(4+j-2m-(4-】-2-4 如-c22m4-2n停-4小44-5ow4nd =3n4-5cosA=25sm4-君】 、.T4<刀，0<A-<,0<s1mAk3 6 63, 62, 2a-e=25sm4-副03) 18.已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形，AD=DE=2,AB=1,F为 CD 的中点. 第23页/共29页 6学科网可组卷网 (1)求证：AF∥平面BCE: (2)求证：平面BCE⊥平面CDE: (3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值， 【答案】(1)证明见解析 2 (2)证明见解析 (3)4 【解析】 【分析】(1)取CE的中点G,连接FG、BG,即可证明AF∥BG,从而得证. (2)通过证明AF⊥CD,DE⊥AF,从而得到DE⊥BG,BG⊥CD,即可证明BG⊥平面CDE,进 而证明平面BCE⊥平面CDE. (3)在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H,由平面BCE⊥平面CDE,得FH⊥平面BCE,故 ∠FBH为BF BCE t△FHB 和平面 ∠FBH 所成的角，解 求出 的正弦值。 【小问1详解】 取CE的中点G,连接FG、BG. GF-1DE F为CD的中点，∴.GFIDE且 2 :AB上平面MCD,DE上平面1CD 第24页/共29页 6学科网命组卷网 .ABIIDE∴.GFI∥AB ，.GF=AB “四边形 FAB AFI∥BG 为平行四边形，则 AF BCE BGC BCE ”平面 平面 .AF CE 平面 B G,7 A 【小问2详解】 -- D .△AC 为等边=角形，F为CD的中点，1F1CD :DEL平国1CD,FC平面1CD.六DELC .BGI∥AF DE⊥BGBG⊥CD ,所以 又CD∩DE=D,CD,DEc平面CDE, ∴.BG⊥CDE 平面 :BGC平面BCE.平面BCE上平面CDE ”平面 【小问3详解】 在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H,连接BH. BCEL平面CDE.Y面BCE平面CDE=CE,FHc平面CDE, 平 :.FH上平面 BCE 第25页/供29页 6学科网6组卷网 .∠FBH BF BCE 为 和平面 所成的角. 因为AD=DE=2,AB=1,则 H=CFsm45=及，BF=+F=F+可=2 2. 在RtFHB中，sin∠FBH= FH√2 BF 4, √2 :,直线BF和平面BCE所成角的正弦值为4· B E 19,在△ABC中，已知AB=BC,△ABC的面积S满是：2S+V3BA:BC=0」 B D AB (1)求AC的值； (2)如图所示，O为线段AC上一点，延长BO至点D,使得CD=2AD=4,记∠ADC=0 (i)用含B的式子分别表示△ABC与△ABD的面积： (i若A0=AC 求实数入的最大值. √5 【答案】(1)3 第26页/共29页 6学科网列组卷网 53-4v3 cos0 5,45 (2)(i)△ABC的面积为 3 ,B8D的面积为3+s0-6 5 (ii)13 【解析】 【分析】(l)利用三角形面积公式和向量数量积公式，结合已知等式求出tan∠ABC,再利用余弦定理求 出边长比 (2)()先用余弦定理表示出 AC2 再结合第一问表示出△MBC 的面积，利用三角形面积公式及正弦定 理、余弦定理表示出△ABD的面积 1=40 (i)利用三角形面积之间的关系将AC转化为关于O的函数，最后利用三角函数的性质求最值. 【小问1详解】 因为2S+V3BA.BC=0,所以BCsin∠ABC+V5BA,BCcos.∠ABC=0, 即sin∠ABC+V3cos∠ABC=0,行tan∠ABC=-V5 所以<4BC π 3,而AB=BC, AB 3 所以AC=V3AB,即AC3· 【小问2详解】 (①记△4BC,△ABD的面积分别为S,设∠D1C=P。 在AACD AC2=22+42-2×2×4×cos0=20-16c0s0 中，由余弦定理可知， 第27页/共29页 命学科网命组卷网 则4=2'+AC2-2×2AC-c0s9=4+20-16cos0-44Cc0sp 1√3 即ACc0s0=2-4c0s0,则S=22 4B-BC=5.4C_55-4W5cos0 43 3 在△ACD中，由正弦定理可知，sin0sinp,即ACsino=4sin0, AC 33cos8+2sin0=545 325 5v3-4v3 cos0 V3,45 故△ABC的面积为 1D的面积为了十等如9- (i)记a1CD的面积为S,则9，=2×2×4sim0=4sin0 由A0=AC 可得 5,45(。 S2 1+4sin0-7 (6 6 ACS+S,5585 3 +8sm0-6 5+8sn0- 令t=4sin0-π） 5+2t>0 6,则由1+t>0,得t∈(-1,4]， =1+1=13 m2-#经分6在11年地.改e0, 5 所以实数九的最大值为13，当且仅当t=4,即3时等号成立， 第28页/供29页 命学科网组卷网 第29页/共29页 淄博实验中学、淄博齐盛高中高一年级第二学期第一次模块考试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则复数（ ） A. 5 B. C. D. 4 2. 已知平面向量，，若与共线，则（ ） A. B. 1 C. 或0 D. 1或0 3. 已知平面α和平面β，直线，直线 则下列结论一定成立的是 （ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若m与n是异面直线，则 4. 如图，在中，点满足，为线段上的一点，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 一圆台的上底面半径为，下底面半径为，若母线与底面的夹角为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（ ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 8. 已知的三个内角所对的边分别是，且满足，，点是边上一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，互为共轭复数，，则 C. 若复数满足，则的最大值为 D. 若复数是实系数方程的一个根，则 10. 已知向量，满足：，则（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. 在上的投影向量坐标为 D. （）的最小值为1 11. 如图，在棱长为的正方体中，点为中点，动点在正方形内（含边界），则（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 若点为中点，过点、、的平面截该正方体，所得截面周长为 C. 若点为中点，则三棱锥的外接球表面积为 D. 若与的夹角为，为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（靠近点），点为的中点，则_________． 13. 如图，在直三棱柱中，，，，点、分别是、的中点，则直线与所成的角为__________． 14. 在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，若存在最小值，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． （1）求圆锥的体积； （2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，求圆柱侧面积的最大值，并求出此时圆柱的高． 17. 在中，角，，所对的边分别是，，，且 （1）求角； （2）若是边的中点，，，求的面积； （3）若是锐角三角形，且，求的取值范围． 18. 已知平面，平面，为等边三角形，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线和平面所成角的正弦值． 19. 在中，已知，的面积S满足：． （1）求的值； （2）如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $