精品解析：山东德州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

山东德州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题 2026.7 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第Ⅰ卷选择题（共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数的共轭复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 3. 已知为所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 样本数据的中位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位…，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15，现将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上（两粒珠子不能都从上珠拨动），则“表示的三位数能被3整除”的概率是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且与夹角为锐角，则 C. 若，则在上的投影数量为 D. 若是的外心，，则的值为8 11. 若的内角所对的边分别为，且满足，则（ ） A. 角一定是钝角 B. C. 若，则面积的最大值为 D. 若在上的投影向量模长为，则的值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________. 13. 甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则五次投篮结束的概率为__________；投篮结束时，乙只投了2个球的概率为__________． 14. 如图，某景区有景点.经测量得，，.现计划在的角平分线与的交点处修建观景台，则观景台到景点的距离为__________. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知的顶点坐标为是边上一点，且. （1）求点的坐标； （2）若是线段上的一个动点，求的最大值. 16. 从某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. （1）求第六组矩形的纵坐标，并估计该校男生身高的第一四分位数； （2）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，，记为事件，求事件的概率. 17. 在中，为内一点，. （1）若，求； （2）若，求. 18. 已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记样本平均数为，样本方差为. （1）证明：； （2）某校为调查高一年级某次数学考试的情况，选取该年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均分为120，方差为5，乙班学生数学成绩的平均分为110，方差为10，且甲乙两班的学生人数之比为，求这两班数学成绩的平均分和方差； （3）若第一层抽取的样本量为20，平均数为60，方差为；第二层抽取的样本量为30，平均数为70，方差为.若两层合并后的方差为，且，试判断与的大小关系，并加以证明. 19. 设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，､分别在轴､轴正半轴上，，､分别为中点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东德州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题 2026.7 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第Ⅰ卷选择题（共58分） 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数的共轭复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助共轭复数定义与复数虚部定义即可得. 【详解】由，则，故的虚部为. 2. 在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理把换成,代入化简得,结合三角形内角范围,得或,故三角形为等腰三角形或直角三角形. 【详解】在中，由正弦定理，为外接圆半径. 得，. 将其代入已知条件，可得. 化简得，因为，所以. 因此有两种情况： ①，即，此时为等腰三角形； ②，即，则，此时为直角三角形. 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形. 3. 已知为所在平面内的一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形的几何性质结合向量的线性运算即可得解. 【详解】如图， 由题意得；. 4. 样本数据的中位数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】样本数据升序排列为，样本数据共6个，中位数为第3、4个平均值， 即中位数为：． 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 即，则，故， 则，而， 故. 6. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用两角和正弦公式求解即可. 【详解】， 结合 ， 得： ​ ， ， 故 . 7. 在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再对，利用正弦定理边化角，结合的范围即可求解. 【详解】由，结合正弦定理边化角得： ， 又，， 代入得： ， 因为是锐角三角形，，， 故，即， ​ ， 故  因为是锐角三角形，三个角均小于：  且， 又余弦函数在单调递减，故​，即， 因此，即原式的取值范围是. 8. 算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具，如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位､十位､百位､千位…，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15，现将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上（两粒珠子不能都从上珠拨动），则“表示的三位数能被3整除”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出每位数字有种等可能取值 1、2、5、6 并统计总三位数个数，再按各位数字除以 3 的余数分类枚举数字组合，算出数字和为 3 的倍数的三位数数量，最后用符合条件数除以总数得到概率. 【详解】要求每个数位拨动1粒或2粒珠子，且两粒不能都从上珠拨动，单个数位所有可能结果为： 拨1粒：上珠1粒（数值）、下珠1粒（数值），共2种； 拨2粒：下珠2粒（数值）、1上珠+1下珠（数值），共2种。 因此单个数位共种等可能结果，其中1被3除余1，2和5被3除余2，6被3整除， 则可构成不同的三位数共有个. 一个数能被整除等价于各位数字之和是3的倍数，分类计算符合条件的事件数： 三个位数上都是6，则构成不同的三位数个； 三个位数上都是1，则构成不同的三位数个； 三个位数上分别是和中一个，则构成不同的三位数种； 三个位数上有一位是和中取一个，另两位分别取和，则构成不同的三位数个； 综上，符合条件的不同的三位数共有. 所以“表示的三位数能被整除”的概率. 二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为复数，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，，结合复数运算法则、共轭复数定义逐项计算并判断即可得. 【详解】令，，其中； 对A：， 则 ， 有 ，故A正确； 对B：由A知：，故， 有，故B正确； 对C：取，，此时有，但，故C错误； 对D：若，则，即， 则至少有一个为0，即或，故D正确. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且与夹角为锐角，则 C. 若，则在上的投影数量为 D. 若是的外心，，则的值为8 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用向量垂直的坐标表示式计算即得；对于B，利用向量数量积的坐标式，结合向量数量积的意义列不等式求解；对于C，根据投影数量的定义计算可得；对于D，根据三角形的外心性质，结合图形和向量数量积的运算律计算判断. 【详解】对于A，由可得， 因，则，解得，故A正确； 对于B，由得， 因与夹角为锐角，则有，解得且，故B错误； 对于C，因，则，， 则在上的投影数量为，故C正确； 对于D，如图，作，垂足分别为， 因是的外心，则点分别为的中点. 于是， ，故D错误. 11. 若的内角所对的边分别为，且满足，则（ ） A. 角一定是钝角 B. C. 若，则面积的最大值为 D. 若在上的投影向量模长为，则的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用降幂公式化简得可判断A；利用余弦定理可得，进而可判断B；利用三角形面积公式得，利用基本不等式可求最大值判断C；利用投影向量的模长可求得，结合，利用正弦定理边化角可求得. 【详解】由，得， 即，所以， 所以，即，又， 所以，故A正确； 由余弦定理，，故B错误； 因为，则， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为，故C正确； 在上的投影向量为， 又在上的投影向量模长为，所以， 因为，所以，所以，所以. 又，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以，所以，故D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正切化弦，诱导公式以及辅助角公式，结合特殊角的三角函数值计算即得. 【详解】因 13. 甲､乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则五次投篮结束的概率为__________；投篮结束时，乙只投了2个球的概率为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意明确投篮顺序，终止规则，直接利用独立事件概率相乘公式计算五次投篮结束概率，把乙投两次拆分成两种互斥情况，再相加求和． 【详解】设甲每次投中概率，未投中概率， 乙每次投中概率，未投中概率， 由题意，五次结束等价于前4次投篮全部未中，第5次甲投中， 则； 乙仅投两次，有两种情况： 投第4次结束，即前3次未中，第4次乙中，， 投第5次结束，， 故乙只投了2个球的概率为：． 14. 如图，某景区有景点.经测量得，，.现计划在的角平分线与的交点处修建观景台，则观景台到景点的距离为__________. 【答案】14 【解析】 【分析】在中，由正弦定理求得，进而由余弦定理求得，由内角平分线的性质可求得，在中，利用余弦定理可求得观景台到景点的距离. 【详解】在中，由正弦定理得， 又，，所以， 解得，又，所以， 由余弦定理可得， 所以，所以， 解得或（舍去）. 因为平分，所以，所以， 在中，由余弦定理得， 又，所以， 所以，所以观景台到景点的距离为14. 四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知的顶点坐标为是边上一点，且. （1）求点的坐标； （2）若是线段上的一个动点，求的最大值. 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）法一：设，求出相关向量的坐标，再由及是边上一点，应用向量垂直、共线的坐标表示列方程求参数，即可得；法二：设，再表示出，再由列方程求参数，即可得. （2）设，用参数表示出，结合二次函数的性质求最值. 【小问1详解】 法一：设，则， 因为，则，即①， 由点在上，即，且， 故，即②， 由①②得：，故点为； 法二：， 设，则， 由，则，解得， 所以，即； 【小问2详解】 设，则， 故， 当时，的最大值为5. 16. 从某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. （1）求第六组矩形的纵坐标，并估计该校男生身高的第一四分位数； （2）从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，，记为事件，求事件的概率. 【答案】（1）第六组矩形的纵坐标是，第一四分位数为； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为“1”计算可得第六组矩形的纵坐标，根据第一四分位数的概念计算可得该校男生身高的第一四分位数； （2）先计算第六组和第八组的男生人数，再利用列举法结合古典概率计算公式计算求解即可. 【小问1详解】 因为第七组的人数为3，所以第七组的频率为. 则第六组频率为. 所以第六组矩形的纵坐标是. 第一组的频率为； 第二组的频率为，累计频率为； 第三组的频率为，累计频率为； 因为，因此第一四分位数落在第三组之内， 设第一四分位数为，则. 解得. 所以第六组矩形的纵坐标是，第一四分位数为. 【小问2详解】 样本身高在第六组的人数为，设其分别为 样本身高在第八组的人数为，设其分别为， 则从六人中随机抽取两名男生的样本空间为： 共15种情况. 当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件发生，则事件包含的基本事件为 共8种情况， 根据古典概型概率公式得. 17. 在中，为内一点，. （1）若，求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)中利用三角函数的定义，求出,，从而得到，再在中利用余弦定理，即可得出答案； （2）设，则在中，利用正弦定理可求解；或设，在中，得，在中，利用正弦定理得，从而得，化简可求得结果. 【小问1详解】 在中，. 则且，所以， 在中，由余弦定理得： 所以. 【小问2详解】 解法一：设，则 在中，由正弦定理得： 解得： 化简得：，即， 所以 故. 解法二：设，所以 从而 在中，， 在中，由正弦定理，得，所以 即 所以. 18. 已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记样本平均数为，样本方差为. （1）证明：； （2）某校为调查高一年级某次数学考试的情况，选取该年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均分为120，方差为5，乙班学生数学成绩的平均分为110，方差为10，且甲乙两班的学生人数之比为，求这两班数学成绩的平均分和方差； （3）若第一层抽取的样本量为20，平均数为60，方差为；第二层抽取的样本量为30，平均数为70，方差为.若两层合并后的方差为，且，试判断与的大小关系，并加以证明. 【答案】（1）证明：不妨设第一层数据为，第二层数据为. 因为，所以. 所以； 因为， 所以， 又 而 因为， 所以 同理. 综上： （2）平均分为114分，方差为32 （3），设合并后的平均数为，则， 因为，所以，即，所以 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 两班数学成绩的平均分为 方差为 【小问3详解】 略 19. 设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求； （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求； （3）如图所示，在仿射坐标系中，､分别在轴､轴正半轴上，，､分别为中点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先算出基底向量数量积，再把向量用基底表示并平方展开求模长平方，最后开方得到； （2）将用基底展开，分别平方求模长、作点积，再代入两向量夹角余弦公式解方程求出； （3）先用中点向量公式表示并展开计算，结合基底夹角化简，再在中利用余弦定理消去，转化为关于的二次方程，通过判别式求出范围，进而得到点积取值区间. 【小问1详解】 由题意可知，的夹角为，则， 若，则， ， 所以. 【小问2详解】 由 ， 因为 ， ， 所以， 因为 ， 因为与的夹角为，则， 所以. 【小问3详解】 依题意，设，且，， 因为为的中点，则， 因为为中点，则， 所以 ， 由题意知， 则， 在中，由余弦定理得，所以， 所以. 将看作关于的方程： （） 若存在实数，使（）式成立，需. 所以 ，解得. 设为（）式的两根，则， 所以至少有一根为正. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $