广东广州市越秀区2025-2026学年第二学期期末调研高一年级数学试题

2025学年第二学期期末调研参考资料 高一年级数学学科 本调研资料共4页，19小题，满分150分．建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1．作答前，学生务必将自己的姓名、调研号、监测室号和座位号填写在答题卡上． 2．用铅笔将调研号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在调研资料上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答无效． 4．学生必须保证答题卡的整洁．调研结束后，将调研资料和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．不等式的解集为 A． B． C． D． 3．在中，点在边上，，记，，则 A． B． C． D． 4．天气预报报道：端午节甲地降雨的概率是0.6，乙地降雨的概率是0.8．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一地降雨的概率是 A．0.2 B．0.48 C．0.52 D．0.92 5．某公司共有50名在职员工，去年全体员工年薪的平均数是10万元，其中最高的年薪200万元，最低的年薪3万元，员工年薪的第一四分位数为4.5万元、第三四分位数为9.5万元，求职者小林拿到了该公司的录用通知，年薪为9万元，则下列结论正确的是 A．该公司有一半员工的年薪高于10万元 B．该公司员工的年薪中位数高于9.5万元 C．年薪高于9.5万元的员工约为25人 D．小林的这份年薪在公司内属于中等偏上水平 6．将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现点”，“第二次出现点”，“两次出现的点数之和为”，“两次出现的点数之和为奇数”，则 A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 7．若，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 8．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，现测得的数据有：①，②，③，④，⑤，⑥，则下列可求出的测量数据组合是 A．②③④⑤⑥ B．①③④⑤⑥ C．①②③④ D．②③④⑤ 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9．下列说法正确的是 A．若复数满足（其中为的共轭复数），则 B．若复数为纯虚数，则或 C．若，则 D．若是实系数一元二次方程的一个根，则， 10．已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的上下底面半径分别是和，则 A．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 B．圆台的体积为 C．球的体积为 D．过圆台两母线的截面面积最大值为 11．已知正方体的棱长为，点在棱上运动（含两个端点），下列结论正确的是 A．对任意位置的点，都有 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．以点为球心，为半径的球面与平面的交线长为 D．当为中点时，正方体被平面截得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的虚部为________． 13．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱与下底面所成角为，则该棱台侧面积为________． 14．已知，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 已知中，角，，所对应的边分别为，，，向量，，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 16．(15分) 某电商平台开展“季度金牌店铺”评选活动，所有参评店铺的季度服务综合评分满分为100分，将所有参评店铺得分从高分到低分排序，得分前的店铺将获得平台“金牌店铺”标识及流量扶持．为了解所有参评店铺的得分情况，现从全部参评店铺中随机抽取了100个店铺的综合评分组成样本，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计全部参评店铺的综合评分的平均分（计算平均分时，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）估计获得“金牌店铺”标识的最低分数线是多少分（结果保留整数）； （3）若从调查的100个店铺里分数不低于80分的店铺中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5个店铺进行经验交流，从中随机抽取2个店铺进行运营案例分享，求这2个店铺分别来自，分数组的概率． 17．(15分) 如图，在所有棱长均为2正三棱柱中，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18．(17分) 设，是平面内相交成角的两条数轴（且），，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若向量，则记． （1）若，，，且，，三点共线，求的值； （2）若，，，求与所成夹角的余弦值； （3）若，，且对任意恒成立，求的取值范围． 19．(17分) 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，且，点为中点，且，． （1）求证； （2）若二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积； （3）由立体几何中的最大角定理知，给定二面角，过上同一点在半平面内作任意直线，该直线与平面所成线面角的最大值等于二面角的平面角．已知点为平面内任意点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年第二学期期末调研参考资料 高一年级数学学科 本调研资料共4页，19小题，满分150分.建议完成时间：120分钟. 注意事项： 1.作答前，学生务必将自已的姓名、调研号、监测室号和座位号填写在答题卡上 2.用2B铅笔将调研号、座位号等填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题 答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案.答案不能答在调研资料上， 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和 涂改液、涂改带.不按以上要求作答无效。 4.学生必须保证答题卡的整洁.调研结束后，将调研资料和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，‘只有一项 是符合题目要求的 1已知集合A=-3<x<01,B=->2则AUB= A.(-3,-2) B.(-3,1) C.(-2,0) D.（-∞，-2) 2.不等式1og1x>1的解集为 A0,) B.(2,+) C.(1,+∞) ·D.(0,+∞) 3.在△ABC中，点D在AB边上，BD=2DA,记CB=m,CD=n,则CA= A.-mtn B.-2m+3n C2m+分n D.3m-2n 4.天气预报报道：端午节甲地降雨的概率是0.6，乙地降雨的概率是0.8.假定在这段时间内两 地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一地降雨的概率是 A.0.2 B.0.48 C.0.52 D.0.92 5.某公司共有50名在职员工，去年全体员工年薪的平均数是10万元，其中最高的年薪200 万元，最低的年薪3万元，员工年薪的第一四分位数为4.5万元、第三四分位数为9.5万 元，求职者小林拿到了该公司的录用通知，年薪为9万元，则下列结论正确的是 A.该公司有一半员工的年薪高于10万元 B.该公司员工的年薪中位数高于9.5万元 C.年薪高于9.5万元的员工约为25人 D.小林的这份年薪在公司内属于中等偏上水平 高一年级数学第1页（共4页） 6.将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设A=“第一次出现1点”，B=“第二次出现1点”， C=“两次出现的点数之和为5”，D=“两次出现的点数之和为奇数”，则 A.事件A与事件C互斥 B.事件B与事件C相互独立 C.事件A与事件D相互独立 D.PAUB)=号 7.若m,n表示两条不同的直线，a,B表示两个不同的平面，下列命题中正确的是 A若a∥B,mCa,nCβ，则m∥n B.若mn,m∥a,则n∥a C.若m⊥n,m∥a,n￠a,则n⊥a D.若m⊥，n⊥B,m∥n,则a∥B 8.如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B点进行测量，A,B,M,N 在同一铅垂平面内，现测得的数据有： A ①∠BAM=a,②∠BAN=B,③AB=S, ④∠ANB=y,⑤∠ABM=P,⑥∠ABN=O, 则下列可求出MN的测量数据组合是 A.②③④⑤6 B.①③④⑤⑥ c.①②③④ D.②③④⑤ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.若复数z满足z+2z=3-i(其中z为x的共轭复数)，则z=1+i B.若复数z=(2+2x-3)+(x-1)i(xER)为纯虚数，则x=-3或x=1 C.若i(1-z)=1,则|z=2 D.若z=1-i是实系数一元二次方程+px+q=0的一个根，则p=-2,q=2 10.已知球0与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的上下底面半径分别是1和6，则 A.圆台侧面展开图扇环的圆心角为2π B.圆台的体积为86y石m 3 C.球0的体积为8V6π D.过圆台两母线的截面面积最大值为343 10 高一年级数学第2页（共4页） 11.已知正方体ABCD-AB1CD,的棱长为a,点P在棱AB1.上运动（含两个端点)，下列结论 正确的是 A.对任意位置的点P,都有CP⊥AD, B.存在点P,使得异面直线AP与BC,所成的角为30° C.以点A,为球心，a为半径的球面与平面ABD,的交线长为V2πa D.当P为中点时，正方体被平面PAC截得的截面面积为？2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1+51的虚部为 13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱与下底面所成角为45°，则该棱台侧面 积为 14.已知=PA,P丽=2，PA.PC=8,则B的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,向量m=(a,V3b),n=(sinB,cosA),且 m⊥B. (1)求A; (2)若a=V7,b=2,求△ABC,的面积. 16.(15分) 某电商平台开展“季度金牌店铺”评选活动，所有参评店铺的季度服务综合评分满分为 100分，将所有参评店铺得分从高分到低分排序，得分前15%的店铺将获得平台“金牌店 铺”标识及流量扶持.为了解所有参评店铺的得分情况，现从全部参评店铺中随机抽取了 100个店铺的综合评分组成样本，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图： (1)求图中α的值，并估计全部参评店铺的综合评分的平均分（计算平均分时，同一组中 的数据用该组区间的中点值为代表) (2)估计获得“金牌店铺”标识的最低分数线是多 频率/组距 少分（结果保留整数）； 0.030 (3)若从调查的100°个店铺里分数不低于80分的店 0.020… 铺中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽 0 取5个店铺进行经验交流，从中随机抽取2个店 0.010 铺进行运营案例分享，求这2个店铺分别来自 [80,90),[90,100]分数组的概率 405060708090100得分 高一年级数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在所有棱长均为2正三棱柱ADE-BCF中，M为楼AD的中点. (1)求证：DF∥平面BEM; (2)求证：平面BEM⊥平面ABCD; (3)求直线BF与平面BEM所成角的正弦值. B 18.(17分) 设0x,0y是平面内相交成α角的两条数轴(0<a<m且≠受)，1,2分别是与x轴， y轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为xOy仿射坐标系.在xOy似仿射坐标 系中，若向量0=e1+y82,则记0证=(x,y). (1)若0A=(9,0),0B=(0,6),0=(m,2),且A,B,M三点共线，求m的值； (2)若a=号，M=(2,1,0丽=(1，-1)，求0与0丽所成夹角的余弦值； (3)若0A=(1,2),0丽=(1,0)，且Oi-t0B|≥V2对任意t∈R恒成立，求a的 取值范围. 19.(17分) 如图，在四楼锥P-ABCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，且PB⊥BD,点M为P℃ 中点，且DM=CD=2,BC=2V2. (1)求证BD⊥AM; (2)若二面角M-BD-C的平面角的余弦值为Y至，求三棱锥P-BDM的体积： 3 「(3)由立体几何中的最大角定理知，给定二面角α-l-B,过l上同一点在半平面内作任意直 线，该直线与平面β所成线面角的最大值等于二 面角的平面角.已知点H为平面PBD内任意点， 求直线BH与平面BDM所成角的正弦值的最大值. M 高一年级数学第4页（共4页） 参考答案 一、 选择题(5分/题8题共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A 0 0 C D B 二、 多选题(6分/题*3题共18分) 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ACD 三、填空题(5分/题*3题共15分) 12、 -1 13、 12W5 14、 四、解答恶 15.(本题满分13分) 解：(1)因为m=(a,√3b),n=(sinB,寸cos),且mLn, 所以m~n=asnB+V3b(-cos)=0 由正弦定理， 得sn4sinB-√5 sin Bcos A=0 又sinB≠0 从而得tanA=√3 因为0<A<元 所以A= 3 (2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcc0sA 而a=万，b=2,A-号 得7=4+c2-2c 即c2-2e-3=0 因为c>0 所以c=3 1 ,1。533 故△ABC的面积S=-bcsin A=二×2×3× 2 2 22 16.（本题满分15分) 解：(1)由频率分布直方图，得10×(0.01+a+0.02+0.03+a+0.01)=1 解得a=0.015 总样本平均值x=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1 =4.5+8.25+13+22.5+12.75+9.5 =70.5 据此可以估计全部参评店铺的综合评分的平均分为70.5分、 (2)由题即求第85百分位数6分 由频率分布直方图得[40,80)区间累计频率为0.75 所以第85百分位数位于[80,90)区间内 设最低分数线为x,则(x-80)×0.015=0.85-0.75 得x=80+9867 因此估计获得“金牌店铺”标识的最低分数线是87分 (3)可知样本中不低于80分的店铺数有100×(0.15+0.1)=25个 其中[80,90)分数组15个，[90,100]分数组10个 用按比例分配的分层随机抽样抽取5个店铺，则需在[80,90)分数组内抽取3个店铺， 记作A,B,C,在[90,100]分数组内抽取2个店铺记作a,b 从中随机抽取2个店铺该试验的样本空间 2={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)} 则n(2)=10 记A=“抽取到的2个店铺分别来旬80,90)，[90,100]分数组”， 则A={(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b)} 则n()=6 所以P()= n(A)63 n(2)105 2 17.（本题满分) 解：(1)方法一： 如图，取BC中点G,连接DG,FG,MG· 由题可知MD∥BG .四边形MBGD为平行四边形 ∴.MB∥GD G :MBC平面MBGD,MBt平面MBGD .DG∥平面BEM 同理可得，FG∥平面BEM 又：FG∩GD=G :.平面DGF∥平面BEM 又：DFc平面DGF DF∥平面BEM 方法二： 如图，连接AF交BE于N,连接N, ,由棱柱性质知四边形ABFE为平行四边形 .N为AF中点 又：M也AD为中点 D .在△ADF中，N为中位线 :.DF∥MN ,MNc平面BEM,DF比平面BEM .DF∥平面BEM (2)由题三棱柱ADE-BCF为正三棱柱，则侧棱AB⊥底面ADE 又.EMG平面ADE :.EM⊥AB 又：底面ADE为正三角形，M也为中点 ·.EM⊥AD 3 又：ABC平面ADE,ADC平面ADE,且AB∩AD=A EM⊥平面ABCD 、平面BEM⊥平面ABCD (3)方法一： 过F作平面BEM的垂线，设垂足为H,连BH 则∠FBH为直线BF与平面BEM所成角 、由题知AB∥EF ∴，点B到平面EFM距离等于点A与平面EFM的距离 又：AD⊥EM,AD⊥EF,EM∩EF=E .AD⊥平面EFM .点A与平面EFM的距离为AM V3-MEF =VR-BEM 中sA仙=写rP阴， 即BM4M-=wM 32 分25x1-x5阳.得团居 2 ÷咖FBH=职-咫-5= BF 2 2 5 方法二： 过F作平面BEM的垂线，设垂足为H,连BH 则∠FBH为直线BF与平面BEM所成角1 :三棱柱ADE-BCF为正三棱柱 平面ADE⊥平面ABFE: 又：平面ADE∩平面ABFE=AE :.过M作AE的垂线，垂足为H,得MH⊥平面ABFE :MH为M到平面BEF的距离 又：在Rt△4MH中，∠MAH'=60°，AM=1 H=3 八VM-B=V:B3w 小3gMn=号SamP阴，即gxEF-BF.MI-x3BMBM-PH 1 32 32 2-355阳，将m后 32 232 2 .sin∠FBH= 胜.及_ BF=2=2 5 方法三： 过点A作AH⊥BM交BM于H',连接EH NBF∥AE .BF与平面BEM所成角等于AE与平面BEM所成角 :由(2)知平面BEM⊥平面ABCD,且平面BEM∩平面ABCD-BE ·AH⊥平面BEM :.∠AEH等于直线BF与平面BEM所成角 又在RtAABM中，AB·AM=BM·AH .2x1=V22+1PAH 2 如r-4g=4g-店5 AE225 18.(本题满分1) 解：(1)由A,B,M三点共线可得，A丽=AM OA=9e+0e2,0i=0e,+6e2,0M=me,+2e2 则AB=OB-0A=9e,+0e2-(0e,+6e2）=9e-6e, 5 AM=OM-可A=m%+2e2-(9%+0e2)=(m-9)e+2e2 可得9e,-6e2=2(m-9)e,+2e2) 9=2(m-9) 所以 1-6=22 因此m=6 (2)设OA与OB的夹角为日 由题0A=2g+6,0丽=6-6，a= 3 则00丽=24+6)4-6)=22-4e-2-}1-月 可=OA.OA=2e+e,=4e2+4ee+e,2=万 o=6丽.o=√g-6=e2-2ee2+e2-=1 1 所以cos日= 04.0B OAOS (3)由题得0A-t0B=(1,2)-(t,0)=1-6,2)=1-0%+22 而由|可A-tO丽√2恒成立，得(OA-tOB)≥4对任意teR恒成立 也即(-)%+2e2)2=(1-t)2g2+41-t)e,e2+e2224对任意t∈R恒成立 所以-亿+4cosa)r+(4cosa+3)≥0对任意teR恒成立年 则△=(2+4c0sa)2-4(4cosa+3)≤0 可得cog2a .2 也即、 2 scosa≤ 2 2 由于0<a<且a 2 所似平sa53开且a* 4 2 19.(本题满分1) 解：(I)取BD中点O,连接AO并延长交BC于N :△ABD为等边三角形 .AN⊥BD 又：BD=CD=2,BC=2√2 :,由勾股定理得△BDC为等腰直角三角形，也即BD⊥CD AN∥CD OW为△BDC的中位线，也即N为BC中点 又：点M为PC中点 .N∥PB PB⊥BD, BD⊥MN 又.AN∩W=N ·.BD⊥平面AMN 又：4AMc平面AMN BD⊥AM (2)连接MO :由(1)知BD⊥平面AMN且MOc平面AN, ∴.BD⊥MO :平面BDM∩平面BCD=BD,且AN⊥BD .二面角M-BD-C的平面角为∠MON 又：RIADOM中，D0=l,DM=2∠DOM=90° ·0M=V22-1=5 :,cos∠MON= 3 ∴在△MON中由余弦定理得，MW2=MO2+NO2-2MO·NO.cos.∠MON 2=53+1-25x1 3 =2 MW=√2 :PB=22 MW2+0W2=√22+12=3=V52=M02 .MN⊥AN 又：由(1)已知MN∥PB PB⊥AN PB⊥BD且AN∩BD=O :.PB⊥平面ABCD 3 (3)由题最大角定理知，直线BH与平面BDM所成角的最大值为二面角P-BD-M的平面角 过O作OE∥PB交PD于E,连接EM1 :PB⊥BD ∴.OE⊥BD 又：OM⊥BD .二面角P-BD-M的平面角为∠EOM1 :O为BD中点 E为PD中点 又：M为PC中点 .EM=CD-1 2 又：OM=V5 设OE=x(W5-1<x<√5+1)，在△EOM中由余弦定理可得 cos∠BOM=0E2+OM2-EM2 x+52-2 20E.OM 23x 2g+3 ·.cos∠EOM≥ 当且仅当x=即x=√反时，取等号 3 即x=√反时，取等号 ÷直线B明与平面BDM所成角的正弦值的最大值为 3 5 【说明： 在△EOM中由正弦定理可相， sin ZEOM sin ZOEM 如果上述最值的过程写成： :血0W:曲名2方，即608M0时，k每9 也给分 3 或者写成： 当OE⊥EM时，si如EOM S EM.↓.互 也给分参考答案 一、选择题(5分/题*8题共40分) 题号 6 7 8 答案 A A 0 D D B 二、 多选题(6分/题3题共18分) 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ACD 三、填空题(5分/题*3题共15分) 12.-1 13.125 14.3 四、解答题 15.(本题满分13分) 解：( )因为m=(a,5）,n=(snB,-os4）,且m⊥元.所以m-i=asinB+V56(-cos)=0. 由正弦定理，得sinAsinB-V3 sinBcosA=0, 又sinB≠0，从而得tanA=V3】 A=。 因为0<A<π，所以3 2)由余弦定理，得a=b+c2-2bcc0s4,而a=V7b=2A=,7 得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0, 因为C>0,所以c=3, S=bcsind=x 故△ABC的面积2 2x3x53g 22. 16.(本题满分15分) 解：(1)由频率分布直方图，得10×(0.01+a+0.02+0.03+a+0.01)=1,解得a=0.015, 总样本平均值x=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1 =4.5+8.25+13+22.5+12.75+9.5 =70.5 据此可以估计全部参评店铺的综合评分的平均分为70.5分. (2)由题即求第85百分位数6分， 由频率分布直方图得[40,80)区间累计频率为0,75， 所以第85百分位数位于80,90)区间内， 黄线-8知x005=035-5产F800 ≈86.67 3 因此估计获得“金牌店铺”标识的最低分数线是87分， (3)可知样本中不低于80分的店铺数有100×(0.15+0.1)=25个， 其中[80,90)分数组15个，[90,10]分数组10个， 用按比例分配的分层随机抽样抽取5个店铺，则需在[80,90)分数组内抽取3个店铺。 记作A,B,C,在[90,10]分数组内抽取2个店铺记作a,b, 从中随机抽取2个店铺该试验的样本空间， ={《AB.(4,C)(4,a,(4,b),(B,C).(B,a(B,b),(C,a,(C,b).(a,b},则n()=10 记A=“轴取到的2个店铺分别来自80,90)，[90,10]分数组”， 则4={《4a,(4,b)(B,a)(B,b),(C,,(C,b},则(4=6 P(A)=n(463 所 n(2)105 17.(本题满分) 解：(1)方法一： 如图，取BC中点G,连接DG,FG,MG E DL G 由题可知MDIBG,四边形MBGD为平行四边，形∴MB/GD, :MBc平面MBGD,MB￠平面MBGD,.DG∥平面BEM, 同理可得，FG∥平面BEM, 又：FG∩GD=G,.平面DGF∥平面BEM, 又：DFc平面DGF,∴.DF∥平面BEM. 方法二： 如图，连接AF交BE于N,连接MN E :由棱柱性质知四边形ABFE为平行四边形，·N为AF中点， 又：M也AD为中点，在△ADF中，MN为中位线，DFIIMN, :MNC平面BEM,DF女平面BEM,.DF∥平面BEM (2)由题三棱柱ADE-BCF为正三棱柱，则侧棱AB⊥底面ADE, 又EMC平面ADE,∴EM⊥AB, 又：底面ADE为正三角形，M也为中点，∴.EM⊥AD, 又：ABC平面ADE,ADC平面ADE,且AB∩AD=A,.EM⊥平面ABCD, ∴.平面BEM⊥平面ABCD (3)方法一： 过F作平面BEM的垂线，设垂足为H,连BH, E 则∠FBH为直线BF与平面BEM所成角， :由题知AB/EF,“点B到平面EFM距离等于点A与平面EFM的距离， 又：AD⊥EM,AD⊥EF,EMEF=E,.AD⊥平面EFM, ∴.点A与平面EFM的距离为AM, V-MEF=V-M3 g4M-5wFH.nEF-EM4M-Ew-aM,H 3 ,即32 32 2 ×x2x5x1=xx5x5FHFH=2 32 32 ,得 sin∠FBH=-FH-店-5 BF225 方法二： 过F作平面BEM的垂线，设垂足为H,连BH,则∠FBH为直线BF与平面BEM所成角1， H女 :三棱柱ADE-BCF为正三棱柱，：平面ADE⊥平面ABFE, 又：平面ADE∩平面ABFE=AE,∴过M作AE的垂线，垂足为H',得MH'⊥平面ABFE, ∴.MH′为M到平面BEF的距离， 又：在Rt△AMH'中，∠MAH'=60°，AM=1, MH=3 2, VM-BEF VF-BEM, r-吉ampm,时FBF.M0含EN8w-HH ,即32 32 2x2x-5×5xw5x5,FH,每阳=5 11 2 3×2 232 ,得 2 ∴sin☑FBH=FH_FH_5-V5 BF225 方法三： 过点A作AH'⊥BM交BM于H',连接EH', 'BFIAE,∴BF与平面BEM所成角等于AE与平面BEM所成角， 由(2)知平面BEML平面ABCD,且平面BEMn平面ABCD=BE ∴AH'⊥平面BEM,∴.∠AEH'等于直线BF与平面BEM所成角， 又：在Rt△ABM中，AB·AM=BM·AH', 2 2×1=22+1F4m.· -5 .sinAEA55 AH'= AE 2 2 5 18.(本题满分17) 解：(1)由A,B，M三点共线可得，AB=AM, 0A=9e+0g,0B=0e+6e,.0M=me+28, 则B=0B-01=g+0g-(0G+6g)=9g-6g AM=0M-0A=me+2e-(9g+0g)=(m-9)g+2e, 可得g-6g=2m-9)8+2g)】 9=(m-9) 所以6=21 ,因此m=6。 (2)设OA与OB的夹角为0， 题01=2g+8,05=4-6.a=骨 3， 0i.o丽=+a)6-)=2g-g-6-2分1 2, OA-0A.0A-/(2G+e)-V4e"+4ee+e,"- 0=0.0i=-6=2-286+8=1 cos0= 0A.0B2V万 万14 所以 OAOB (3)由题得0A-0B=(1,2)-1(1,0)=(1-4,2)=(1-)g+2g, 1-025成立，得O1-0≥4 而由 任意t∈R恒成立， 也即(-08+2g°=0-g+40-g6+62≥4 2 对任意t∈R恒成立， 所以t-(2+4cos)1+(4cosa+3)≥0对任意t∈R恒成立， 则A=(+46osa-4(4ca+3)50,可物osia≤号 1 V2 2,也即2 5 cosas 2, 3T a+ 由于0<a<π且2，所以4 4且2. 19.(本题满分17) 解：(1)取BD中点O,连接AO并延长交BC于N, N :△ABD为等边三角形，∴.AN⊥BD 又：BD=CD=2.BC=22 ∴由勾股定理得△BDC为等腰直角三角形，也即BD⊥CD, AN/CD,ON为△BDC的中位线，也即N为BC中点， 又：点M为PC中点，∴.MNIIPB, PB⊥BD,BD⊥MN, 又：AN∩MN=N,BD⊥平面AMN, 又：AMc平面AMN,BD⊥AM. (2)连接MO :由(1)知BD⊥平面AMN且MOC平面AMN,BD⊥MO, :平面BDMO平面BCD=BD,且AN⊥BD,二面角M-BD-C的平面角为∠MON, 又：Rt△DOM中，D0=1,DM=2,∠DOM=9,∴OM=V2-1=V5 cos∠Mow= 又 3, ∴在△MON中由余弦定理得，MN2=MO2+NO2-2MO.NO.cos∠MON, w2=5+1P-25x1x5-2 3 :.MN=2,:PB=22 :.MN2+ON2=+=3=3=MO,MNL AN, 又：由(1)己知NIPB,PB⊥AN, :PB⊥BD且AN∩BD=O,PB⊥平面ABCD 232 3 (3)由题最大角定理知，直线BH与平面BDM所成角的最大值为二面角P-BD-M的平面角过O作 OEI∥PB交PD于E,连接EM1, PB⊥BD,∴.OE⊥BD 又：OM⊥BD,:.二面角P-BD-M的平面角为∠EOM1, O为BD中点，E为PD中点， EM=ICD=1 又：M为PC中点， 又：OM=5,段OE=(5-1<x<5+刊，在△BOM中由杂弦到可得. COSZEOM-06+OM:-EM 20E.OM 2V3x cos∠E0M≥2 x=2 ,当且仅当x即x=V2时，取等号， :.sin∠E0M=V1-cos2∠EOM ,即X=V2时，取等号， 3 ∴直线BH与平面BDM所成角的正弦值的最大值为3， 【说明】 如果上述最值的过程写成： 1 3 在△EOM中由正弦定理可得，sin/EOM sin∠OEM, ∴.sin∠EOM= sin∠OEM1 3, 即∠OEM=90°时，取等号. 或者写成： wo NaT0宗 >WO/uIs Wa