广东广州市越秀区2025-2026学年第二学期期末调研高一年级数学试题

参考答案 一、选择题(5分/题题共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A D D C D B 二、多选题(6分/题题共18分) 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ACD 三、填空题(5分/题题共15分) 12． 13． 14． 四、解答题 15．（本题满分13分） 解：（1）因为，，且．所以， 由正弦定理，得， 又，从而得， 因为，所以． （2）由余弦定理，得，而，，， 得，即， 因为，所以， 故的面积． 16．（本题满分15分） 解：（1）由频率分布直方图，得，解得， 总样本平均值 据此可以估计全部参评店铺的综合评分的平均分为70.5分． （2）由题即求第85百分位数6分，由频率分布直方图得区间累计频率为0.75， 所以第85百分位数位于区间内， 设最低分数线为，则，得， 因此估计获得“金牌店铺”标识的最低分数线是87分． （3）可知样本中不低于80分的店铺数有个， 其中分数组15个，分数组10个， 用按比例分配的分层随机抽样抽取5个店铺，则需在分数组内抽取3个店铺， 记作，，，在分数组内抽取2个店铺记作，， 从中随机抽取2个店铺该试验的样本空间， ，则， 记“抽取到的2个店铺分别来自分数组”， 则，则， 所以． 17．（本题满分） 解：（1）方法一： 如图，取中点，连接，，． 由题可知，∴四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 同理可得，平面， 又，∴平面平面， 又平面，平面． 方法二： 如图，连接交于，连接． ∵由棱柱性质知四边形为平行四边形，为中点， 又也为中点，∴在中，为中位线，， 平面，平面，平面． （2）由题三棱柱为正三棱柱，则侧棱底面， 又平面，， 又∵底面为正三角形，也为中点，， 又平面，平面，且，平面， ∴平面平面． （3）方法一： 过作平面的垂线，设垂足为，连， 则为直线与平面所成角， ∵由题知，∴点到平面距离等于点与平面的距离， 又，，，平面， ∴点与平面的距离为， ，，即 ，得． 方法二： 过作平面的垂线，设垂足为，连，则为直线与平面所成角， ∵三棱柱为正三棱柱，∴平面平面， 又∵平面平面，∴过作的垂线，垂足为，得平面， 为到平面的距离， 又∵在中，，，， ， ，即， ，得， ． 方法三： 过点作交于，连接， ，与平面所成角等于与平面所成角， 由（2）知平面平面，且平面平面 平面，等于直线与平面所成角， 又∵在中，， ，，． 18．（本题满分17） 解：（1）由，，三点共线可得，，，，， 则， ， 可得，所以，因此． （2）设与的夹角为，由题，，， 则， ， ， 所以． （3）由题得， 而由恒成立，得对任意恒成立， 也即对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 则，可得，也即， 由于且，所以且． 19．（本题满分17） 解：（1）取中点，连接并延长交于， 为等边三角形，， 又，． ∴由勾股定理得为等腰直角三角形，也即， ，为的中位线，也即为中点， 又∵点为中点，， ，， 又，平面， 又平面，． （2）连接 ∵由（1）知平面且平面，， ∵平面平面，且，二面角的平面角为， 又中，，，，， 又， ∴在中由余弦定理得，， ，，， ，， 又∵由（1）已知，， 且，平面， ． （3）由题最大角定理知，直线与平面所成角的最大值为二面角的平面角过作交于，连接1， ，， 又，∴二面角的平面角为1， 为中点，为中点， 又为中点，， 又，设，在中由余弦定理可得， ， ，当且仅当即时，取等号， ，即时，取等号， 直线与平面所成角的正弦值的最大值为． 【说明】 如果上述最值的过程写成： 在中由正弦定理可得，， ，即时，取等号． 或者写成：当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $2025学年第二学期期末调研参考资料 高一年级数学学科 本调研资料共4页，19小题，满分150分.建议完成时间：120分钟. 注意事项： 1.作答前，学生务必将自已的姓名、调研号、监测室号和座位号填写在答题卡上 2.用2B铅笔将调研号、座位号等填涂在答题卡相应位置上.作答选择题时，选出每小题 答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案.答案不能答在调研资料上， 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和 涂改液、涂改带.不按以上要求作答无效。 4.学生必须保证答题卡的整洁.调研结束后，将调研资料和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，‘只有一项 是符合题目要求的 1已知集合A=-3<x<01,B=->2则AUB= A.(-3,-2) B.(-3,1) C.(-2,0) D.（-∞，-2) 2.不等式1og1x>1的解集为 A0,) B.(2,+) C.(1,+∞) ·D.(0,+∞) 3.在△ABC中，点D在AB边上，BD=2DA,记CB=m,CD=n,则CA= A.-mtn B.-2m+3n C2m+分n D.3m-2n 4.天气预报报道：端午节甲地降雨的概率是0.6，乙地降雨的概率是0.8.假定在这段时间内两 地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一地降雨的概率是 A.0.2 B.0.48 C.0.52 D.0.92 5.某公司共有50名在职员工，去年全体员工年薪的平均数是10万元，其中最高的年薪200 万元，最低的年薪3万元，员工年薪的第一四分位数为4.5万元、第三四分位数为9.5万 元，求职者小林拿到了该公司的录用通知，年薪为9万元，则下列结论正确的是 A.该公司有一半员工的年薪高于10万元 B.该公司员工的年薪中位数高于9.5万元 C.年薪高于9.5万元的员工约为25人 D.小林的这份年薪在公司内属于中等偏上水平 高一年级数学第1页（共4页） 6.将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设A=“第一次出现1点”，B=“第二次出现1点”， C=“两次出现的点数之和为5”，D=“两次出现的点数之和为奇数”，则 A.事件A与事件C互斥 B.事件B与事件C相互独立 C.事件A与事件D相互独立 D.PAUB)=号 7.若m,n表示两条不同的直线，a,B表示两个不同的平面，下列命题中正确的是 A若a∥B,mCa,nCβ，则m∥n B.若mn,m∥a,则n∥a C.若m⊥n,m∥a,n￠a,则n⊥a D.若m⊥，n⊥B,m∥n,则a∥B 8.如图，为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B点进行测量，A,B,M,N 在同一铅垂平面内，现测得的数据有： A ①∠BAM=a,②∠BAN=B,③AB=S, ④∠ANB=y,⑤∠ABM=P,⑥∠ABN=O, 则下列可求出MN的测量数据组合是 A.②③④⑤6 B.①③④⑤⑥ c.①②③④ D.②③④⑤ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是 A.若复数z满足z+2z=3-i(其中z为x的共轭复数)，则z=1+i B.若复数z=(2+2x-3)+(x-1)i(xER)为纯虚数，则x=-3或x=1 C.若i(1-z)=1,则|z=2 D.若z=1-i是实系数一元二次方程+px+q=0的一个根，则p=-2,q=2 10.已知球0与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的上下底面半径分别是1和6，则 A.圆台侧面展开图扇环的圆心角为2π B.圆台的体积为86y石m 3 C.球0的体积为8V6π D.过圆台两母线的截面面积最大值为343 10 高一年级数学第2页（共4页） 11.已知正方体ABCD-AB1CD,的棱长为a,点P在棱AB1.上运动（含两个端点)，下列结论 正确的是 A.对任意位置的点P,都有CP⊥AD, B.存在点P,使得异面直线AP与BC,所成的角为30° C.以点A,为球心，a为半径的球面与平面ABD,的交线长为V2πa D.当P为中点时，正方体被平面PAC截得的截面面积为？2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.1+51的虚部为 13.已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱与下底面所成角为45°，则该棱台侧面 积为 14.已知=PA,P丽=2，PA.PC=8,则B的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 已知△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,向量m=(a,V3b),n=(sinB,cosA),且 m⊥B. (1)求A; (2)若a=V7,b=2,求△ABC,的面积. 16.(15分) 某电商平台开展“季度金牌店铺”评选活动，所有参评店铺的季度服务综合评分满分为 100分，将所有参评店铺得分从高分到低分排序，得分前15%的店铺将获得平台“金牌店 铺”标识及流量扶持.为了解所有参评店铺的得分情况，现从全部参评店铺中随机抽取了 100个店铺的综合评分组成样本，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图： (1)求图中α的值，并估计全部参评店铺的综合评分的平均分（计算平均分时，同一组中 的数据用该组区间的中点值为代表) (2)估计获得“金牌店铺”标识的最低分数线是多 频率/组距 少分（结果保留整数）； 0.030 (3)若从调查的100°个店铺里分数不低于80分的店 0.020… 铺中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽 0 取5个店铺进行经验交流，从中随机抽取2个店 0.010 铺进行运营案例分享，求这2个店铺分别来自 [80,90),[90,100]分数组的概率 405060708090100得分 高一年级数学第3页（共4页） 17.(15分) 如图，在所有棱长均为2正三棱柱ADE-BCF中，M为楼AD的中点. (1)求证：DF∥平面BEM; (2)求证：平面BEM⊥平面ABCD; (3)求直线BF与平面BEM所成角的正弦值. B 18.(17分) 设0x,0y是平面内相交成α角的两条数轴(0<a<m且≠受)，1,2分别是与x轴， y轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为xOy仿射坐标系.在xOy似仿射坐标 系中，若向量0=e1+y82,则记0证=(x,y). (1)若0A=(9,0),0B=(0,6),0=(m,2),且A,B,M三点共线，求m的值； (2)若a=号，M=(2,1,0丽=(1，-1)，求0与0丽所成夹角的余弦值； (3)若0A=(1,2),0丽=(1,0)，且Oi-t0B|≥V2对任意t∈R恒成立，求a的 取值范围. 19.(17分) 如图，在四楼锥P-ABCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，且PB⊥BD,点M为P℃ 中点，且DM=CD=2,BC=2V2. (1)求证BD⊥AM; (2)若二面角M-BD-C的平面角的余弦值为Y至，求三棱锥P-BDM的体积： 3 「(3)由立体几何中的最大角定理知，给定二面角α-l-B,过l上同一点在半平面内作任意直 线，该直线与平面β所成线面角的最大值等于二 面角的平面角.已知点H为平面PBD内任意点， 求直线BH与平面BDM所成角的正弦值的最大值. M 高一年级数学第4页（共4页） 参考答案 一、 选择题(5分/题8题共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A A 0 0 C D B 二、 多选题(6分/题*3题共18分) 题号 9 10 11 答案 ACD BCD ACD 三、填空题(5分/题*3题共15分) 12、 -1 13、 12W5 14、 四、解答恶 15.(本题满分13分) 解：(1)因为m=(a,√3b),n=(sinB,寸cos),且mLn, 所以m~n=asnB+V3b(-cos)=0 由正弦定理， 得sn4sinB-√5 sin Bcos A=0 又sinB≠0 从而得tanA=√3 因为0<A<元 所以A= 3 (2)由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcc0sA 而a=万，b=2,A-号 得7=4+c2-2c 即c2-2e-3=0 因为c>0 所以c=3 1 ,1。533 故△ABC的面积S=-bcsin A=二×2×3× 2 2 22 16.（本题满分15分) 解：(1)由频率分布直方图，得10×(0.01+a+0.02+0.03+a+0.01)=1 解得a=0.015 总样本平均值x=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1 =4.5+8.25+13+22.5+12.75+9.5 =70.5 据此可以估计全部参评店铺的综合评分的平均分为70.5分、 (2)由题即求第85百分位数6分 由频率分布直方图得[40,80)区间累计频率为0.75 所以第85百分位数位于[80,90)区间内 设最低分数线为x,则(x-80)×0.015=0.85-0.75 得x=80+9867 因此估计获得“金牌店铺”标识的最低分数线是87分 (3)可知样本中不低于80分的店铺数有100×(0.15+0.1)=25个 其中[80,90)分数组15个，[90,100]分数组10个 用按比例分配的分层随机抽样抽取5个店铺，则需在[80,90)分数组内抽取3个店铺， 记作A,B,C,在[90,100]分数组内抽取2个店铺记作a,b 从中随机抽取2个店铺该试验的样本空间 2={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)} 则n(2)=10 记A=“抽取到的2个店铺分别来旬80,90)，[90,100]分数组”， 则A={(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b)} 则n()=6 所以P()= n(A)63 n(2)105 2 17.（本题满分) 解：(1)方法一： 如图，取BC中点G,连接DG,FG,MG· 由题可知MD∥BG .四边形MBGD为平行四边形 ∴.MB∥GD G :MBC平面MBGD,MBt平面MBGD .DG∥平面BEM 同理可得，FG∥平面BEM 又：FG∩GD=G :.平面DGF∥平面BEM 又：DFc平面DGF DF∥平面BEM 方法二： 如图，连接AF交BE于N,连接N, ,由棱柱性质知四边形ABFE为平行四边形 .N为AF中点 又：M也AD为中点 D .在△ADF中，N为中位线 :.DF∥MN ,MNc平面BEM,DF比平面BEM .DF∥平面BEM (2)由题三棱柱ADE-BCF为正三棱柱，则侧棱AB⊥底面ADE 又.EMG平面ADE :.EM⊥AB 又：底面ADE为正三角形，M也为中点 ·.EM⊥AD 3 又：ABC平面ADE,ADC平面ADE,且AB∩AD=A EM⊥平面ABCD 、平面BEM⊥平面ABCD (3)方法一： 过F作平面BEM的垂线，设垂足为H,连BH 则∠FBH为直线BF与平面BEM所成角 、由题知AB∥EF ∴，点B到平面EFM距离等于点A与平面EFM的距离 又：AD⊥EM,AD⊥EF,EM∩EF=E .AD⊥平面EFM .点A与平面EFM的距离为AM V3-MEF =VR-BEM 中sA仙=写rP阴， 即BM4M-=wM 32 分25x1-x5阳.得团居 2 ÷咖FBH=职-咫-5= BF 2 2 5 方法二： 过F作平面BEM的垂线，设垂足为H,连BH 则∠FBH为直线BF与平面BEM所成角1 :三棱柱ADE-BCF为正三棱柱 平面ADE⊥平面ABFE: 又：平面ADE∩平面ABFE=AE :.过M作AE的垂线，垂足为H,得MH⊥平面ABFE :MH为M到平面BEF的距离 又：在Rt△4MH中，∠MAH'=60°，AM=1 H=3 八VM-B=V:B3w 小3gMn=号SamP阴，即gxEF-BF.MI-x3BMBM-PH 1 32 32 2-355阳，将m后 32 232 2 .sin∠FBH= 胜.及_ BF=2=2 5 方法三： 过点A作AH⊥BM交BM于H',连接EH NBF∥AE .BF与平面BEM所成角等于AE与平面BEM所成角 :由(2)知平面BEM⊥平面ABCD,且平面BEM∩平面ABCD-BE ·AH⊥平面BEM :.∠AEH等于直线BF与平面BEM所成角 又在RtAABM中，AB·AM=BM·AH .2x1=V22+1PAH 2 如r-4g=4g-店5 AE225 18.(本题满分1) 解：(1)由A,B,M三点共线可得，A丽=AM OA=9e+0e2,0i=0e,+6e2,0M=me,+2e2 则AB=OB-0A=9e,+0e2-(0e,+6e2）=9e-6e, 5 AM=OM-可A=m%+2e2-(9%+0e2)=(m-9)e+2e2 可得9e,-6e2=2(m-9)e,+2e2) 9=2(m-9) 所以 1-6=22 因此m=6 (2)设OA与OB的夹角为日 由题0A=2g+6,0丽=6-6，a= 3 则00丽=24+6)4-6)=22-4e-2-}1-月 可=OA.OA=2e+e,=4e2+4ee+e,2=万 o=6丽.o=√g-6=e2-2ee2+e2-=1 1 所以cos日= 04.0B OAOS (3)由题得0A-t0B=(1,2)-(t,0)=1-6,2)=1-0%+22 而由|可A-tO丽√2恒成立，得(OA-tOB)≥4对任意teR恒成立 也即(-)%+2e2)2=(1-t)2g2+41-t)e,e2+e2224对任意t∈R恒成立 所以-亿+4cosa)r+(4cosa+3)≥0对任意teR恒成立年 则△=(2+4c0sa)2-4(4cosa+3)≤0 可得cog2a .2 也即、 2 scosa≤ 2 2 由于0<a<且a 2 所似平sa53开且a* 4 2 19.(本题满分1) 解：(I)取BD中点O,连接AO并延长交BC于N :△ABD为等边三角形 .AN⊥BD 又：BD=CD=2,BC=2√2 :,由勾股定理得△BDC为等腰直角三角形，也即BD⊥CD AN∥CD OW为△BDC的中位线，也即N为BC中点 又：点M为PC中点 .N∥PB PB⊥BD, BD⊥MN 又.AN∩W=N ·.BD⊥平面AMN 又：4AMc平面AMN BD⊥AM (2)连接MO :由(1)知BD⊥平面AMN且MOc平面AN, ∴.BD⊥MO :平面BDM∩平面BCD=BD,且AN⊥BD .二面角M-BD-C的平面角为∠MON 又：RIADOM中，D0=l,DM=2∠DOM=90° ·0M=V22-1=5 :,cos∠MON= 3 ∴在△MON中由余弦定理得，MW2=MO2+NO2-2MO·NO.cos.∠MON 2=53+1-25x1 3 =2 MW=√2 :PB=22 MW2+0W2=√22+12=3=V52=M02 .MN⊥AN 又：由(1)已知MN∥PB PB⊥AN PB⊥BD且AN∩BD=O :.PB⊥平面ABCD 3 (3)由题最大角定理知，直线BH与平面BDM所成角的最大值为二面角P-BD-M的平面角 过O作OE∥PB交PD于E,连接EM1 :PB⊥BD ∴.OE⊥BD 又：OM⊥BD .二面角P-BD-M的平面角为∠EOM1 :O为BD中点 E为PD中点 又：M为PC中点 .EM=CD-1 2 又：OM=V5 设OE=x(W5-1<x<√5+1)，在△EOM中由余弦定理可得 cos∠BOM=0E2+OM2-EM2 x+52-2 20E.OM 23x 2g+3 ·.cos∠EOM≥ 当且仅当x=即x=√反时，取等号 3 即x=√反时，取等号 ÷直线B明与平面BDM所成角的正弦值的最大值为 3 5 【说明： 在△EOM中由正弦定理可相， sin ZEOM sin ZOEM 如果上述最值的过程写成： :血0W:曲名2方，即608M0时，k每9 也给分 3 或者写成： 当OE⊥EM时，si如EOM S EM.↓.互 也给分 2025学年第二学期期末调研参考资料 高一年级数学学科 本调研资料共4页，19小题，满分150分．建议完成时间：120分钟． 注意事项： 1．作答前，学生务必将自己的姓名、调研号、监测室号和座位号填写在答题卡上． 2．用铅笔将调研号、座位号等填涂在答题卡相应位置上．作答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在调研资料上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液、涂改带．不按以上要求作答无效． 4．学生必须保证答题卡的整洁．调研结束后，将调研资料和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．不等式的解集为 A． B． C． D． 3．在中，点在边上，，记，，则 A． B． C． D． 4．天气预报报道：端午节甲地降雨的概率是0.6，乙地降雨的概率是0.8．假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则至少有一地降雨的概率是 A．0.2 B．0.48 C．0.52 D．0.92 5．某公司共有50名在职员工，去年全体员工年薪的平均数是10万元，其中最高的年薪200万元，最低的年薪3万元，员工年薪的第一四分位数为4.5万元、第三四分位数为9.5万元，求职者小林拿到了该公司的录用通知，年薪为9万元，则下列结论正确的是 A．该公司有一半员工的年薪高于10万元 B．该公司员工的年薪中位数高于9.5万元 C．年薪高于9.5万元的员工约为25人 D．小林的这份年薪在公司内属于中等偏上水平 6．将一枚质地均匀的骰子先后掷两次，设“第一次出现点”，“第二次出现点”，“两次出现的点数之和为”，“两次出现的点数之和为奇数”，则 A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D． 7．若，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，下列命题中正确的是 A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 8．如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，点进行测量，，，，在同一铅垂平面内，现测得的数据有：①，②，③，④，⑤，⑥，则下列可求出的测量数据组合是 A．②③④⑤⑥ B．①③④⑤⑥ C．①②③④ D．②③④⑤ 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分． 9．下列说法正确的是 A．若复数满足（其中为的共轭复数），则 B．若复数为纯虚数，则或 C．若，则 D．若是实系数一元二次方程的一个根，则， 10．已知球与圆台的上下底面和侧面都相切，若圆台的上下底面半径分别是和，则 A．圆台侧面展开图扇环的圆心角为 B．圆台的体积为 C．球的体积为 D．过圆台两母线的截面面积最大值为 11．已知正方体的棱长为，点在棱上运动（含两个端点），下列结论正确的是 A．对任意位置的点，都有 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．以点为球心，为半径的球面与平面的交线长为 D．当为中点时，正方体被平面截得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的虚部为________． 13．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱与下底面所成角为，则该棱台侧面积为________． 14．已知，，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 已知中，角，，所对应的边分别为，，，向量，，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 16．(15分) 某电商平台开展“季度金牌店铺”评选活动，所有参评店铺的季度服务综合评分满分为100分，将所有参评店铺得分从高分到低分排序，得分前的店铺将获得平台“金牌店铺”标识及流量扶持．为了解所有参评店铺的得分情况，现从全部参评店铺中随机抽取了100个店铺的综合评分组成样本，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图． （1）求图中的值，并估计全部参评店铺的综合评分的平均分（计算平均分时，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）估计获得“金牌店铺”标识的最低分数线是多少分（结果保留整数）； （3）若从调查的100个店铺里分数不低于80分的店铺中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5个店铺进行经验交流，从中随机抽取2个店铺进行运营案例分享，求这2个店铺分别来自，分数组的概率． 17．(15分) 如图，在所有棱长均为2正三棱柱中，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值． 18．(17分) 设，是平面内相交成角的两条数轴（且），，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中，若向量，则记． （1）若，，，且，，三点共线，求的值； （2）若，，，求与所成夹角的余弦值； （3）若，，且对任意恒成立，求的取值范围． 19．(17分) 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，且，点为中点，且，． （1）求证； （2）若二面角的平面角的余弦值为，求三棱锥的体积； （3）由立体几何中的最大角定理知，给定二面角，过上同一点在半平面内作任意直线，该直线与平面所成线面角的最大值等于二面角的平面角．已知点为平面内任意点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $