精品解析：广东省广州市越秀区2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024学年第二学期学业水平调研测试 高一年级数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的加法运算和复数的几何意义即可得到判断. 【详解】已知，，则, 所以在复平面内对应的点是，即该点位于第四象限， 故选：D 2. 有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（ ）． A. 86，88 B. 86，89 C. 87，88 D. 87，89 【答案】B 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可求得结果. 【详解】因为，故该组数据的第百分位数为， 因为，故该组数据的第百分位数为. 故选：B. 3. 已知，，则与向量方向相反的单位向量为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的定义运算，结合相反向量和单位向量的概念即可求解. 【详解】由，，可得向量， 则与向量方向相反的单位向量为， 故选：C. 4. 在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方体的性质，通过平移即可得就是直线与所成的角或其补角，通过计算即可求解. 【详解】 由正方体的性质可知：， 所以就是直线与所成的角或其补角， 由正方体的性质可知：平面，平面， 所以， 假设正方体的棱长为，则， 所以有， 因为为锐角，所以， 故选：A. 5. 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（ ）． A. 28 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用侧棱长结合勾股定理可求出棱台的高，结合台体体积公式，即可求出体积. 【详解】 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3， 如图可得正四棱台的高， 由棱台体积公式可得， 故选：D. 6. 已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数在复平面内的几何意义，通过数形结合，即可得到判断. 【详解】 利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转， 得到对应的复数是, 故选：A. 7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理来求边，再由正切函数可求出塔高. 【详解】在中，由，，可得， 结合已知和正弦定理可得：，解得， 因为在点C测得塔顶A的仰角为， 所以， 故选：C. 8. 空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（ ）． A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解. 【详解】 先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为．记事件“接触面上的数字是偶数”，事件“接触面上的数字是素数”，事件“接触面上的数字小于5”，则下列结论正确的是（ ）． A. 事件A与B互斥 B. 事件A与C相互独立 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】确定事件包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项判断. 【详解】事件，事件，事件，， 对于A，事件有相同的样本点2，事件A与B不互斥，A错误； 对于B，，事件A与C相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 10. 某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为172和12．抽取了女生30人，其平均数和方差分别为162和24．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（ ）． A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分层抽样的总样本平均数和方差公式进行求解即可. 【详解】根据题意可得总样本平均数为 ， 根据方差公式可得： . 11. 如图，在正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点．记直线与所成角的大小为，与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则（ ）． A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正三棱柱的性质，把空间角转化为平面角，再结合直角三角形的正切函数，把角的大小转化为边的大小比较，从而可判断各选项. 【详解】 过作于点，过点作于点，连接， 由正三棱柱的性质可知：就是直线与所成的角，所以， 由正三棱柱的性质可知：平面，所以就是与平面所成角， 则， 由正三棱柱的性质可知：， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以，即就是二面角的一个平面角，则， 由图可知：，故A正确； 因为，而 所以有，结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得，故B正确； 因为，而，， 所以，又因为是锐角，所以，故C错误； 因为， 又， 所以，结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的共轭复数是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算和共轭复数概念即可求解. 【详解】由， 可得复数的共轭复数是， 故答案为：. 13. 如图，在四边形中，，．若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的加法运算，结合共线向量性质，消元后，即可得三向量关系，再利用平面向量基本定理，可求. 【详解】 由图可得：，， 因为，,可得 所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 故答案为： 14. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为______，该圆锥的外接球的表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，建立方程组求出圆锥底面圆半径及母线长，再借助正弦定理及圆锥的构造特征求出其外接球半径即可. 【详解】设圆锥底面圆半径为，母线长为， 依题意，，解得， 因此这个圆锥的底面半径为； 圆锥轴截面等腰三角形底角，则，， 这个等腰三角形外接圆半径，而圆锥轴截面等腰三角形外接圆是其外接球截面大圆， 因此圆锥的外接球的半径为，其表面积为. 故答案为： ； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． （1）若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； （2）若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）通过不放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率； （2）通过有放回列举样本空间和满足随机事件的样本空间，即可求出相应概率. 【小问1详解】 若标签的选取是不放回的，则样本空间为： ， 共种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率为； 【小问2详解】 若标签的选取是有放回的，则样本空间为： ， 共16种等可能情形， 满足的有：，共6种情形， 所以满足的概率. 16. 如图，在正四棱柱中，，垂足为E． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面平面． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用正四棱柱的性质可得线线平行，再证明线面平行，即可证明面面平行； （2）利用正四棱柱的性质可得线面垂直和线线垂直，再通过线面垂直证明面面垂直即可. 【小问1详解】 由正四棱柱性质可得：， 由平面，平面，所以平面， 又由平面，平面，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 连接，由正四棱柱可知，平面， 因为平面，所以， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 17. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当时，求与； （2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最小值． 【答案】（1），; （2），0.02. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由第一个图求出的矩形面积，再根据第二个图求出的矩形面积即可解出. （2）根据题意，确定分段点100，即可得出的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出. 【小问1详解】 依题意得： ， . 【小问2详解】 当时， ， 当时，； 当时， ， 当时，，此时， 所以，在区间上的最小值为0.02. 18. 已知的三个内角的对边分别为设，的面积为S． （1）求证：； （2）已知，，求的内切圆半径r； （3）已知，且，求S的最大值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求角，利用平方关系转化为角的正弦，再利用正弦面积公式来求解化简即可证明； （2）利用内切圆圆心把一个三角形分割成三个高为的三角形，再由等面积法求解即可； （3）利用边化角来求出，再结合海伦面积公式，利用消元，即可得二次函数的最大值来求解. 【小问1详解】 由余弦定理得：， 所以， 再由三角形面积公式： ， 由于得：； 【小问2详解】 已知，则，由的内切圆半径r， 可用等面积法知：； 【小问3详解】 由，结合正弦定理边化角和内角和定理可得：， 因为，所以，再由，可知：， 所以， 根据海伦公式可知： ， 当时，，此时. 19. 如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，M，N分别为，的中点． （1）求证：； （2）若，，求三棱锥的体积； （3）设在三棱锥内有一个半径为r的球，，且，求证：． 【答案】（1）证明见详解 （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）设中点为，连接，可证平面，得到； （2）过作交于，证得平面，利用即可求体积； （3）可先利用等体积法求三棱锥内切球半径，根据即可证明. 【小问1详解】 证明：设中点为，连接， 因为M，N分别为，的中点，所以， 又，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以 【小问2详解】 过作交于， 由（1）知平面，平面，， 又，平面， 所以平面， 又，平面平面， 所以就是二面角的平面角， ，，，， 又平面，是中点， 所以. 【小问3详解】 证明：由（2）知，，过作交于， ，又平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 平面，所以，， 设的高，所以， 又，，所以， 即， 所以三棱锥的表面积， ， 所以三棱锥的内切球半径， 所以， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期学业水平调研测试 高一年级数学试卷 本试卷共4页，19小题，全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上．用2B铅笔将考生号、座位号填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则在复平面内对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是（ ）． A. 86，88 B. 86，89 C. 87，88 D. 87，89 3. 已知，，则与向量方向相反的单位向量为（ ）． A. B. C. D. 4. 在正方体中，O为的中点，则直线与所成角的大小为（ ）． A. B. C. D. 5. 正四棱台的上、下底面边长分别为2，4，侧棱长为3，则其体积为（ ）． A. 28 B. C. D. 6. 已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，，，在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ）． A. B. C. D. 8. 空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是（ ）． A. 25 B. 26 C. 28 D. 30 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间为．记事件“接触面上的数字是偶数”，事件“接触面上的数字是素数”，事件“接触面上的数字小于5”，则下列结论正确的是（ ）． A. 事件A与B互斥 B. 事件A与C相互独立 C. D. 10. 某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为172和12．抽取了女生30人，其平均数和方差分别为162和24．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（ ）． A. B. C. D. 11. 如图，在正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点．记直线与所成角的大小为，与平面所成角的大小为，二面角的大小为，则（ ）． A. B. C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的共轭复数是______． 13. 如图，在四边形中，，．若，则实数______． 14. 已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的底面半径为______，该圆锥的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中m表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字． （1）若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率； （2）若标签的选取是有放回的，写出样本空间，并求的概率． 16. 如图，在正四棱柱中，，垂足为E． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面平面． 17. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． （1）当时，求与； （2）设函数，当时，求的解析式，并求在区间上的最小值． 18. 已知的三个内角的对边分别为设，的面积为S． （1）求证：； （2）已知，，求的内切圆半径r； （3）已知，且，求S的最大值． 19. 如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，M，N分别为，的中点． （1）求证：； （2）若，，求三棱锥的体积； （3）设在三棱锥内有一个半径为r的球，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $