精品解析：湖南张家界市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

6学科网命组卷网 2026年普通高中二年级第二学期期末考试 数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在 本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知一组数据3,7,11,7,13,15，则该组数据的第40百分位数为() A.7 B.9 C.11 D.12 2已知向量a=(m,2),方=(2，，且a16,则日-26=（) A.V5 B.4 c25 D.5 ",则cos(π-a)=() 第1页共6页 6学科网 命组卷网 4 3 3 4 A.5 B.- C.5 D.5 4曲线y=f()在x=1处的切线如图所示，则f(0-f(0=（】 A.0 B.2 C.-2 D.-1 5,已知抛物线广=4y上的一点M(o,)到其焦点P的距离为3，则儿的值为() 23 47 A.1 B.2 C.8 D.16 6.已知x=2026是函数f(x)=(x-2025)x-2026x-m）的-个极值点，则/(2027)=（) A.0 B.1 C.2 D.3 7.一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台， 自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座.已知其中10层的塔数成公差不为 零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为() A.15 B.16 C.17 D.19 x(0<x<5) 8.已知数据1,2,3,4， 的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之 积大于5的概率为 第2页/共6页 6学科网命组卷网 2 3 7 A.5 B.2 c.5 D.10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 2 Z= 9.已知复数1-i,则下列结论正确的有() A.z的虚部是i B.z的共轭复数是1-1 C.z在复平面内对应的点在第二象限 D.1z=2 10已知点P是圆0：x+y=4上一动点，点M(-3,0),点N(0,-4),则() 12 A.点P到直线MN的距离的最大值为5 B.满足PM⊥PN的点P有2个 C过点V作回的两条切线、切点分别为么8，则直线4仙份分程为” D.2PM+PNl的最小值是2i0 1L已知点P是楼长为2的正方体ABCD-AB,GD表面上一动点，则下列结论正确的有《) A当P在线段CG上运动时，三棱锥B-MBP 的体积为定值 ππ B.当P在线段AC上运动时，DP与AC所成角的取值范围为4'2] C当P在底面4BCD上运动，且AD的中点为E,若PE1BD,则PE的最小值为N6 D.使直线AP与平面AB,GD所成角的大小为45°的点P的轨迹长度为π+42 第3页共6页 学科网命组卷网 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 口者描同手+号-6>同的印2，先安0*为 1因为属数f=(ox+p40心>0树s的同高高象.共4P各2为汤约一个 13π 0 高点， 12 为函数与x轴的一个交点，则p的值为 12 14.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操 作称为该数列的一次“差扩充”.如数列2024,2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2,2026，第2次 “差扩充”后得到的数列2024,2026，-2，-2028,2026.设数列2024,2026经过第次“差扩充”后所得数 列的项数为B,所有项的和为S。,则og:(ms+Sms-)的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.在△ABC中，角4，B,C对边分别为4，b,c,且sin2B+sinC-V3 BsinBsinC=sin'A, (1)求A; (2②)若a=万，b=L,求△MBC的面积 16图1所示的平行四边形4BCD中，CA=CB=1,CD=V5现将AD4C沿4C折起，得到如图2所 示的三棱锥PABC,记棱PC的中点为M,且PB=V3 第4页/共6页 6学科网6组卷网 0 图1 图2 (1)求证：AM⊥BC: (2)记棱AB的中点为E,是否在直线CE上存在点W,使得PN∥平面MAB?请说明理由，并求出二 面角P-NB-A的大小 17.某素质训练营设计了一项闯关比赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一 个人闯关失败，再派下一个人重新闯关：三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关现有甲、 乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为B、P、P,假定P、P、乃互不相等，且每 人能否闯关成功的事件相互独立 3 .2 1 （山)计：次误甲乙丙进行闲关，名P一，PB专，B2,求该小组比赛利的气率： (2)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目X的分布，并求X的期望E(X): (3)已 知>P>P>D,若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数日的期望较小，试确定甲、丙 谁先派出 18.已知点A(3,0),B(0,1),双曲线的方 C:x_ C:。尺=1(a>0,b>0)经过点A,且C的一条新近线 与直线AB平行，P为C上异于顶点的任意一点，A为C的左顶点. (1)求C的方程： 第5页供6页 6学科网命组卷网 (2求直线4P与4P的斜率之积： (3)设P为C上异于顶点和点P的任意一点，且直线4的斜幸是直线40的斜率的3倍，证明：直线 PO 恒过定点。 19设f()是定义在R上的函藏定义性颜P:若对任意，西∈R,当<K时，f()<f() 则称函数()具有性质P 4)判断函数f()=c是香具有性质P: (2)若分段函数f(c)=1 ax,x≤0 x+b,x>0具有“性质p”,求所有满足条件的实数a和b的解： (3)已知f()的值域为[0,1)，且在[0，+o)上是严格增函数，证明：f(冈是偶函数的充要条件是： f(x)具有性质P 第6页/共6页学科网命组卷网 2026年普通高中二年级第二学期期末考试 数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在 本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知一组数据3,7,11,7,13,15，则该组数据的第40百分位数为() A.7 B.9 C.11 D.12 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40百分位数. 3,7,7,11,13,15 【详解】首先将该组数据从小到大排列为： 数据总个数”=6 因为6×0.4=2.4. 因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7. 第1页/共25页 6学科网命组卷网 2.己知向量a=(m,-2),方=(2,1)，且a16,则-26=（) A.5 B.4 C.25 D.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量的线性运算及向量的模计算即可， 【详解】由a1b,得a~b=0,即2m-2=0,解得m=1,此时a=(山，-2) 所以d-26=(-3,4),则a-26=V(-3}+(-4)2=5 3 c.5 D. 4-5 【答案】D 【解析】 故cosa=-4 5 &asa-小- 4.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示，则(0)-f(0=《) A.0 B.2 C.-2 D.-1 【答案】C 第2页/共25页 6学科网6组卷网 【解析】 [k=1 【分析】设切线方程为y=+b,根据切线方程得到关于k,b的方程组，解得b=2,进而得出导数值 计算求解 【详解】设曲线y=f()在x=1处的切线方程为y=:+b, b=2, k=1, 则-2k+b=0,解得b=2, 所以曲线y=f()在x=1处的切线方程为y=x+2,则切线斜率为1， 所以f"(0=f(0=1+2=3 因此，'(0)-f0=1-3=-2 故选：C 5.已知抛物线=4y上的一点M(o,）到其焦点P的距离为3，则的值为《) 23 47 A.1 B.2 c.8 D.16 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解 【详解】由能物线子4y可得2=4，即P=2,因此其准线方密头=一号-】 21 已知点M(,)到焦点的距离为3，则点M到准线y=-的距离也为3， 即+1=3 ,解得人=2 6已知x=2026是函数f()-(x-2025x-2026(x-m的一个极值点，则f(2027)=（) 第3页/共25页 6学科网 命组卷网 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，f'()=(x-2026(x-m)）+(x-2025)(x-m)+(x-2025)(x-2026) 又x=2026是f(x)的-个极值点，所f(2026)-=(2026-2025)2026-m）-2026-m=0,所以 m=2026 所以f(6)=(x-2025)x-2026)°，所以f(2027）=(2027-2025)(2027-2026}'=2 7.一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台， 自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座.己知其中10层的塔数成公差不为 零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为() A.15 B.16 C.17 D.19 【答案】C 【解析】 【分析】先计算等差数列10项的总和，结合公差为正整数的约束确定等差数列的各项，再根据非递减序列 的特征确定第11层的塔数， 【详解】，12层塔的总数量为108，剩余两层的塔数之和为8， ∴.构成等差数列的10层塔总数量为108-8=100 设该等差数列首项为4，公差为d,由题意知deN,d21 10×9 由等差数列求和公式得S0=104+ 2 d=10a+45d=100 整理得2a,+9d=20. 第4页/共25页 学科网命组卷网 2a为惘数，20为偶数，÷91为倜数，即4为偶数，纺合d21,得d=2, 代入得2a=20-18=2 解得4=1. 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19 ∴.该等差数列的10项为 ,每层塔数不少于上一层，即12层塔数构成非递减正整数序列， ∴.剩余两个和为8的正整数均不大于等差数列的最大项，插入序列后不会改变序列末尾的顺序， ∴.12层塔数按从小到大排列后，最后两项为17,19，即第11层的塔数为17. x(0<x<5) 8.己知数据1,2,3,4， 的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之 积大于5的概率为 3 1 A.5 B.2 C.5 D.10 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古 典概型计算公式即可求得最终结果， +2+3+4+x-2+e23到， 详解：由数据1,2,3,4，￥(0KK5)的平均数5 可得2+5=x,所以=2，从这5个数中任取2个，结果有： 23).4 2引2.2， 3844到 共10种，这2个数字之积大于5的结果有： 4(3334.其5# 第5页/共25页 6学科网命组卷网 51 D= 所以所求概率为102. 本题选择B选项 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事 件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图列举.(2) 注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 2 9.已知复数1-i,则下列结论正确的有() A.z的虚部是i B.z的共轭复数是1-i C.z在复平面内对应的点在第二象限 D.z=2 【答案】BD 【解析】 2 20+i)-20+1)=1+i 【详解】2=1-i-(0-i1+)2 .z的虚部是1，故A错误： z=1-i,故B正确； 2在复平面内对应的点为，1），位于第一象限，故C错误： z=(P+P=2 故D正确， 10已知点P是因0：r+y=4上一动点，点M(-3,0）,点N(0,-4),则() 12 A.点P到直线MW的距离的最大值为5 第6页/共25页 6学科网 列组卷网 B.满足PM⊥PN的点P有2个 A,B C过点V作圆O的两条切线，切点分别为B,则直线4B的方程为'= D.2PM+PW的最小值是2i0 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式来判断A,利用PM⊥PN的动点P的轨迹是以MN为直径的圆，然 后借助两圆位置关系来判断B,根据切线的性质求得两圆相交弦所在直线方程来判断C,设存在定点 (0,),使得点P在圆O上任忘位置时都有PW=2P四，求得点，计算判断D, 1212 d= 【详解】对于A,原点0到直线MW:4x+3y+12=0的距离为”√9+165， 12 22 所以圆O:x2+y=4上动点P到直线MN的距离的最大值为5 +2= 5,故A错误： 对于B,满足PM⊥PN的动点P的轨迹是以MN为直径的圆， 圆的半径为”= MN5 22, 所以Cx++(0+2}2-2 .32 o0-层4-，因为-2<经2，所uC宁0相密效8 9 第7页/共25页 可学科网命组卷网 x2+y2=4 M 对于C,过点N(0,一4)作园O的两条切线，切点分别为4B, 由切线性质可知0，N,A,B四点共圆，该圆的方程为·+(y+2)'=4. 则直线AB的方程为两圆的相交弦， 所以+(0y+2-(r+y）=4-4→4y+4=0→y=-1,故C正确： x2+v2=4 对于D,设存在定点(0,1，使得点P在圆O上任意位置时都有PW=2PO 设P(x,y,则Vx2+(y+4)2=2Vx2+(y-)2, 化简可得产+(0+4=4x2+40y-. 因为×+y=4,所以1=-1，即点(0，-) 所以2PM+|PW=2(PM+P)≥2Mg=2V(-3-0)2+(0+1)2=2W10, 当且仅当 M,Pe=点共线且点P在M 中间时等号成立， 所u2PM+PW的最小值是210，放D正确。 第8页/共25页 命学科网列组卷网 D M 11.已知点P是棱长为2的正方体 BCD-AB,CD表面上一动点，则下列结论正确的有(） A当P在线段CG上运动时，三楼锥B-ABP 的体积为定值 ππ] B.当P在线段AC上运动时，DP与AC所成角的取值范围为4'2] C当P在底面4B,GD上运动，且AD的中点为E,若PE上BD,则PE的最小值为6 D.使直线AP与平面4B,CD所成角的大小为45°的点P的轨迹长度为π+4N2 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点P到平面 ABB 的距离为定值可知A正确，由异面直线夹角的求法找出夹角的平面角，可 得B错误，建立空间直角坐标系利用长度的坐标运算可知C正确，利用线面角定义可知点P的运动轨迹是 两段线段和一段圆弧，可知D正确， 【详解】对于A,当点P在线段CG上运动时，点P到平面 ABB 的距离为正方体的棱长2， 1 11 所以'4Am=s=3 Sm- 3x)×2x2x2=4 321 3, 4 所以三棱锥B,-ABP的体积为定值3，A正确， 对于B.因为4C114G,故DP与4C所成角等于DP与4G所成角。 第9页/共25页 命学科网列组卷网 连接DA,DG,易 ADAC为等边三角形，如下图： D D▣ AC与DA,DC夹角为3，当P为AC中点时，DP⊥AC,夹角为2， ππ 故夹角的取值范围为3’2，B错误， 对于C,以A为坐标原点， AB,1D,AM分别为少，2轴建立空间直角坐标系，如下图： D P A B E B 易知4(0,00，B2,00),D(0,2,2),E(0,10）,设P(xy,2) 则PE=(x1--2),BD=(-22,2), 由PE1BD,得PEBD=0,故2(-)+2(1-)4=0→x-y-1=0 PE的长度P四=V-x}+-y+(-2. 代入x=y+1,得PE=Vy+1+1-y+4=V2y2+6, 当y=0时，PE最小，最小值为V6,C正确 第10页供25页 6学科网命组卷网 对于D,易知 B,1D与平面ABCD所成的角均为45°，如下图所示： A B 只需保证点P在线 AB,AD上运动即可， 当点P在平面ABGD内运动时，需满足到点A的距离为2即可， 此时点P的运动轨迹是以点A为圆心的4圆弧， AB+AD,+×2π×2=4V2+ 因此可知点P的运动轨迹长度为 4 ,即D正确： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. x2.y2 12.若椭圆+3 =1(a>v3 )的焦距是2，则其离心率为一 【答案】2#0.5 【解析】 【详解】由题意得，2c=2,c2=a2-3,得c=1,a=2,则离心率为2 13如图为圆数f(问=n(or+p(4>0@>0网5角局部图案，其中P后2为量数的个摄 第11页/共25页 6学科网命组卷网 0 13π主 12 1 【答案】6拼6 【解析】 【分析】由最高点的纵坐标确定A,又由P,Q两点之间的横坐标之差为4，结合周期公式从而确定0， 将P点坐标代入解析式，再结合少的范围，即可确定P的值 【详解】由题意可知最高点的纵坐标就是振幅，所以A=2, 373r=13m-元_3m 又由图象可知P,Q两点之间的横坐标之差为4，即41234， T=元=2匹(a>0 所 0 ,解得=2，即f()=2sin(2x+p) I+p-3+2kz.kEZ =-7+2kmk EZ 2π 所以3 2 ,解得 6 因为网下不，所以当长=0时，可得0=名 14.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项)，形成新的数列，我们把这样的操 作称为该数列的一次“差扩充”.如数列2024,2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2,2026，第2次 “差扩充”后得到的数列2024,2026，-2，-2028,2026.设数列2024,2026经过第n次“差扩充”后所得数 第12页/共25页 6学科网列组卷网 列的项数为片，所有项的和为S,则oe,(+的值为 【答案】1013 【解析】 【分析】通过该念的性质求出尸-为等比数列以及，为等考数列并求出具体表达式，最后代入到 S 1og,(P6+Sms-)中求解 【详解】由题意，B=3.P1=R+(化-)=2P-1 所以2-1=2C-) 即数列化-是以-1=2为 2为首项，2为公比的等比数列， 所以B-1=2°，=2”+1.B%=2“+1 由题意，8=4048.S1=S.-2 即数列，}是以4048为首项，-2为公差的等差数列， 所以8，=4048+0m-)-(2)=-2n+4050 0所以B%+Ss=20s+1 S205=0 l0g4(P2o26+S2025-1)=1013 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.在△ABC中，角4，B,C对边分别为a,bh,c,且sinB+sinC-V3 BsinBsinC=sin'A (1)求A: (2)若Q=V万，b=L,求△MBC的面积 第13页供25页 6学科网6组卷网 π A= 【答案】(1) 6 √3 (2)2 【解析】 【小问1详解】 由sin'B+sin'C-V3 SsinBsinC=sin'A和正弦定理， 可得b+C2-V5bc=d,即b2+c2-d2=5bc 又由余弦定理osA-+c-d-Ve店 2bc 2bc 2, Ae(0,).A= 6 【小问2详解】 将a=√7，b=116代入余弦定理a=b2+c2-2bm 可行（5列=P+e2-2x1xces 6，即c2-V3c-6=0, V3±3V5 利用求根公式得c= 2,即c=2W3或c=-√3（边长不能为负，舍去）， 则成c-csnA-x1x2v3×sin至-5 62 16图1所示的平行四边形ABCD中，CM=CB=1,CD=V5现将△D1C沿4C折起，得到图2所 示的三枝锥P-ABC,记棱PC的中点为M,且.PB=V3 第14页/共25页 6学科网列组卷网 图1 图2 (1)求证：AM⊥BC: (2)记棱AB的中点为E,是否在直线CE上存在点W,使得PN∥平面MAB?请说明理由，并求出二 面角P-NB-A的大小 【答案】(1)证明如下： 因为CA=CB=DA=1,CD=AB=V2 CA2+CB2=AB2=2 所以∠ACB=90,所∠DAC=90,DALAC,.BC⊥CA 图2中，PA=DA=lAB=2,PB=5 则PM+AB=PB=3,所以PALAB,又PALAC 又B,AC 为平面ABC 内两条相交直线， 所以PA⊥面ABC,又BC在面ABC, 所以PA⊥BC又BC⊥CA, PA,CA PAC 为平面 内两条相交直线， 所以BC⊥面PAC,又AM在面PAC内， 第15页/共25页 6学科网 命组卷网 所以AM⊥BC (2)存在点N,使得PF∥平面MAB,理由如下： B N(F) CA.C 为6边，构造矩形1CBF,连接CT,易知过点B。 E,M CF,CP 因为 分别为 的中点， 所以PFIIME,又ME在平面MAB内，PF在平面MAB外，所以PF∥平面MAB, 即点F就是N点， 由(I)知PA⊥面ACBN,BN在面ACBN内， 所以BN⊥PA,又BN⊥AN, AN,PA PAN 是平面内两条相交直线， 所以BN⊥面PAN,PN在面PAN内， 所以PN⊥BN,又AN⊥BN, 所以∠PNA为二面角P-NB-A的平面角， PA⊥AN,PA=AN 因为 所以∠PWA=45° 第16页/供25页 学科网命组卷网 所以二面角 P-NB-A 的大小为45 【解析】 【分析】(I)通过条件证明PA⊥面ABC,进而证明BC⊥面PAC,即可求解： CA,CB 为临边，构造矩形1CBD通过中位线可说明点D即为点V,再通过二面角平面角的概念 N (2)以 求得∠PNA为二面角P-NB-A的平面角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17.某素质训练营设计了一项闯关比赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一 个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关现有甲、 乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为PB、P、P,假定P、P、P互不相等，且每 人能否闯关成功的事件相互独立： 3 1 山)计划依次派甲乙丙进行间关，若B一，B一了，B一2，求该小组比类壁利的概率。 (2②)若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数日X的分布，并求X的期望E(X): (3)已知 >A>P>P乃，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙 谁先派出 23 【答案】(1)24 (2)BP,-2p-P2+3 (3)先派出甲 【解析】 第17页/供25页 命学科网命组卷网 【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式求解： (2)由题意可知，X的所有可能取值为1,2,3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而 得到X的分布，再结合期望公式求解： (3)分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差 法比较大小即可. 【小问1详解】 设事件A表示“该小组比赛胜利”， nP0-号+对a. 【小问2详解】 由题意可知，X的所有可能取值为1,2,3， P(X=I)=p1P(X=2)=1-p)P2P(X=3)=(1-p1-P2) 则 所以X的分布为： X 2 3 P (1-p)P2 (1-p)1-P2) 所以 (X)=p1+21-p)p2+3(1-p)1-P2)=PP2-2p,-P2+3 【小问3详解】 E 若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为 由(2)可知， E=pP2-2p1-P2+3 若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为 则B=PB-2n,-P,+3 则E-E,=(DD-2n-凸+3)-(PB-2p-P+3)=AA,-2n-nP,+2p 第18页/供25页 命学科网命组卷网 =P2p-P3)-2(p1-P3)=(p1-P3P2-2) 因为1>n>Ph>P,所以A-P>0,B-2<0, 所以E-B,<0,即6<B 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲. 8已知点43,0.B0,.双曲线的方程C:京6=(a>0,D>0经过点，且C的-条新 与直线AB平行，P为C上异于顶点的任意一点，A为C的左顶点. (1)求C的方程： (2)求直线4P与AP的斜李之积： (3)设9为C上异于顶点和点P的任意一点，且直线4的率是直线40的斜率的3倍，证明：直线 PO 恒过定点. x2 【答案】(1)9-=1 (2)9 1 （3)证明：方法）由62知.k-9,因为k4=3认0，所以 x2 设直线P吧的方程为x=m+n,代入9少=1】 得(m-9）y2+2my+n2-9=0 第19页/供25页 命学科网命组卷网 则m2-9≠0且△=36(m2+-9）>0,即m㎡≠9且m2+r2>9. 2mn n2-9 设(x,)(x≠±3且为≠x),则少+为= m2-9,= m2-9 因为k和kr=当x五 x-3x-3(x-3)(x2-3)27, 再将=m+n,名=m+”代入得：得m+n-3m+n-3列=27y, 即（m2-27)+m(n-3(y+52)+(n-3)}2=0 所以(m2-27）n-9 g+m(a-3列n2g+a-=0 因为直线P吧不过点430)，所以n≠3.所(m-27), m2-9 2mn+n-3=0 +m- m2-9 3 (m2-27)(n+3)-2mn+(n-3m2-9）=0,化简整理得-36n-54=0,解得”2， n=- 所以直线PO的方程为x=m妙- .rent(30 方法二)设直线PQ的方程为x=my+n,代入g-y=1■ 得(m-9)y2+2mmy+m2-9=0 则m2-9≠0且△=36(m2+-9列)>0，即m2≠9且m+m2>9. 第20页/供25页 6学科网6组卷网 设(6）*3且西5)，则+%=20 n2-9 m2-9,h= m2-9 y3y2 3y2 因为k4P=3k40,所以x+3x2-3,即my+n+3my2+n-3, 整理得2my+(n-3)y-3(n+3),=0 n2-9 ,=m2-9 由 mn≠0 出+业2mn,，得沙二 m2-9 -9(+%)” 所以2n. -9x+)+(n-3)%-3(n+3)4=0, -2mn (m2-9g+)+n(n-3列y-3n(n+3)y=0,整理得(2m-3n-9)y=(2m+9n+9）4, 2n2-3n-9=0 因为字式22-3n-94=r+9咖+9乃短度之，所以2+9别490：能得”=号 3 所以直线PQ的方程为=my ,故直线PQ恒过定点 【解析】 【分析】(1)根据双曲线的性质可得双曲线的基本量，进而可得双曲的方程： 2)设P(,出)(：≠±3) 根据点在双曲线上及斜率的定义可得； 1 1 (3)方法一：先设直线P的方程为x=my+n,由（②的分折得k一） 9,进而可得 27, 3 n=- 再由斜率的坐标运算公式及根与系数关系代入化简得2，从而可得直线过定点；方法二：先设直线 P的方程为x=mw+n,再由条件 k知=30及根与系数关系可得 第21页/供25页 6学科网6组卷网 2n2-3n-9=0 3 (2-3n-9)以=(2n+9n+恒成立，得2n2+9n+9=0,从面可得n=-及直线过定点 【小问1详解】 由C经过点4(3,0)，得a=3. 1-01 庙033，又因为双曲线C:专卡Q>0.b>0条近线与直线B平 b1 x2 所以a3,则b=1,故C的方程为9少=1」 【小问2详解】 款k,,宽吾-分=，听-号-1 x1-3, 所以kk加=上2上=片 1好9=日 9 x+3x-3x-9x-99x-9)9 故直线4P与AP的斜率之积为9. 【小问3详解】 略 19.设f()是定义在R上的函数定义性质P:若对任意，∈R,当<时，f()<(3), 第22页/供25页 6学科网列组卷网 则称函数f()具有性质P （少判断西数f(冈=©是香具有性质P (2)若分段函数f(x)= ax,x≤0 x+b,x>0具有“性质p”,求所有满足条件的实数a和b的解； (3)已知f(的值域为[0，)，且在[0，+o)上是严格增函数，证明：f()是偶函数的充要条件是： f()具有性质P 【答案】(1)没有，理由如下： 例如当=-2，=-3时，显然<3成立， e =e2,e*=e3 ，根据指数函数的单调性可知e2>。3 所以有f()>f(3）,这与“性质P矛盾，故函数f)=e不具有性质P: (2) a=-1,b=0 (3)证明：充分性：若（☒）具有性质P,则(~)是偶函数 若存在>0，f(:)≠f（),不妨设f(x)>f(), 记f()=M,f（)=m,即M>m, 因为函数f()的值城为[0，)， 所以0≤m<M<1, 若内<，则有f(<()=m, 若>，则有f()>f()=M 第23页/供25页 6学科网命组卷网 e.e闲"e),g与fm收子E 所以f()≠f,)不成立，则有(x)卢f-),因此函数（四是偶面数： 必要性：若（是偶函数，则(x具有性质P 当<时因为f(✉在0，+w)上是严格增函数， 所以f)<f(). 又因为函数(：)是偶函数。 所以由f(<()→(s)大f(,),因此f()具有性质P 所以（冈）是偶函数的充要条件是：f(冈具有“性质P~ 【解析】 【分析】(1)运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可； (2)根据一次函数的单调性，结合“性质P”的特性进行求解即可； (3)根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质P”的特性进行运算证明即可 【小问1详解】 函数()=C不具有性质P,理由略， 【小问2详解】 因为函数f()具有性质P,所以取=0，有0<K, 于是有()<f() 当5∈(0，+)时，由()<f(3)→0<x+b→b≥0」 当∈(-o,0)时，由f(x)<f(x)→0<匹→a<0 第24页/供25页 6学科网列组卷网 老b0.5[80.购)sf8）-8-6 取=-受>0→f)-=+b>b≥f0) 此时<，但是f()>(),不符合“性质P,所以b>0不符合题意， 故6=0：此时f()=m,x50 x,x>0, >-1 若x>0,x2<0,x<-x2时，则x2； 由f()kfs)→x{ac→5a→as-1. 2<-1 若x<0,x2>0,-x1<x2时，则x1 南f)Kf()→<5→点<a→a≥-1 因此a=-1, .a=-1,b=0 综上所述：当且仅当 时，满足条件： 【小问3详解】 略 第25页/供25页