精品解析：湖南张家界市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2026年普通高中二年级第二学期期末考试 数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先将数据从小到大排序，再根据百分位数的定义计算对应位置，即可求得第40百分位数． 【详解】首先将该组数据从小到大排列为：，数据总个数， 因为， 因此该组数据的第40百分位数为排列后的第3个数据7． 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量的线性运算及向量的模计算即可. 【详解】由，得，即，解得，此时. 所以，则. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，而，，故， 故. 4. 曲线在处的切线如图所示，则＝（ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】设切线方程为，根据切线方程得到关于的方程组，解得，进而得出导数值计算求解. 【详解】设曲线在处的切线方程为， 则解得 所以曲线在处的切线方程为，则切线斜率为1， 所以， 因此，． 故选：C. 5. 已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 6. 已知是函数的一个极值点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 7. 一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】先计算等差数列10项的总和，结合公差为正整数的约束确定等差数列的各项，再根据非递减序列的特征确定第11层的塔数. 【详解】∵ 12层塔的总数量为108，剩余两层的塔数之和为8， ∴ 构成等差数列的10层塔总数量为. 设该等差数列首项为，公差为，由题意知， 由等差数列求和公式得，整理得. ∵ 为偶数，20为偶数，∴ 为偶数，即为偶数，结合，得， 代入得，解得. ∴ 该等差数列的10项为. ∵ 每层塔数不少于上一层，即12层塔数构成非递减正整数序列， ∴ 剩余两个和为8的正整数均不大于等差数列的最大项，插入序列后不会改变序列末尾的顺序， ∴ 12层塔数按从小到大排列后，最后两项为17,19，即第11层的塔数为17. 8. 已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】分析：由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果. 详解：由数据1，2，3，4，x（0<x<5）的平均数， 可得2+=x，所以x=，从这5个数中任取2个，结果有： 共10种，这2个数字之积大于5的结果有： ，共5种， 所以所求概率为. 本题选择B选项. 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 【答案】BD 【解析】 【详解】， 的虚部是1，故A错误； ，故B正确； 在复平面内对应的点为，位于第一象限，故C错误； ，故D正确． 10. 已知点是圆上一动点，点，点，则（ ） A. 点到直线的距离的最大值为 B. 满足的点有2个 C. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式来判断A，利用的动点的轨迹是以为直径的圆，然后借助两圆位置关系来判断B，根据切线的性质求得两圆相交弦所在直线方程来判断C，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有，求得点，计算判断D. 【详解】对于A，原点到直线的距离为， 所以圆上动点到直线的距离的最大值为，故 A错误； 对于B，满足的动点的轨迹是以为直径的圆， 设线段的中点为，则，圆的半径为， 所以圆， ，因为，所以圆与圆相交，故B正确； 对于C，过点作圆的两条切线，切点分别为， 由切线性质可知四点共圆，该圆的方程为， 则直线的方程为两圆的相交弦， 所以，故C正确； 对于D，设存在定点，使得点在圆上任意位置时都有， 设，则， 化简可得， 因为，所以，即点 所以， 当且仅当三点共线且点在中间时等号成立， 所以的最小值是，故D正确． 11. 已知点是棱长为2的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围为 C. 当在底面上运动，且的中点为，若，则的最小值为 D. 使直线与平面所成角的大小为的点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点到平面的距离为定值可知A正确，由异面直线夹角的求法找出夹角的平面角，可得B错误，建立空间直角坐标系利用长度的坐标运算可知C正确，利用线面角定义可知点的运动轨迹是两段线段和一段圆弧，可知D正确． 【详解】对于A，当点在线段上运动时，点到平面的距离为正方体的棱长， 所以， 所以三棱锥的体积为定值，A正确， 对于B，因为，故与所成角等于与所成角， 连接，易知为等边三角形，如下图： 与夹角为，当为中点时，，夹角为， 故夹角的取值范围为，B错误， 对于C，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图： 易知,设, 则 由，得，故, 的长度， 代入，得， 当时，最小，最小值为，C正确. 对于D，易知与平面所成的角均为，如下图所示： 只需保证点在线段上运动即可， 当点在平面内运动时，需满足到点的距离为2即可， 此时点的运动轨迹是以点为圆心的圆弧， 因此可知点的运动轨迹长度为，即D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得，，，得，，则离心率为. 13. 如图为函数的局部图象，其中为函数的一个最高点，为函数与轴的一个交点，则的值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】由最高点的纵坐标确定，又由两点之间的横坐标之差为，结合周期公式从而确定，将点坐标代入解析式，再结合的范围，即可确定的值. 【详解】由题意可知最高点的纵坐标就是振幅，所以， 又由图象可知两点之间的横坐标之差为，即， 所以，解得，即. 将代入上式，可得，即， 所以，解得. 因为，所以当时，可得. 14. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 【答案】1013 【解析】 【分析】通过该概念的性质求出为等比数列以及为等差数列并求出具体表达式，最后代入到中求解. 【详解】由题意，，， 所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，. 由题意，，， 即数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， .所以， . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角对边分别为，且． （1）求A； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由和正弦定理， 可得，即， 又由余弦定理， ，. 【小问2详解】 将，，代入余弦定理， 可得，即， 利用求根公式得，即或（边长不能为负，舍去）， 则. 16. 图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. （1）求证：； （2）记棱的中点为，是否在直线上存在点，使得平面？请说明理由，并求出二面角的大小. 【答案】（1）证明如下： 因为，， ， 所以，所以，即， 图2中，， 则,所以，又， 又为平面内两条相交直线， 所以面，又在面， 所以又， 为平面内两条相交直线， 所以面，又在面内， 所以. （2）存在点，使得平面，理由如下： 以为临边，构造矩形,连接，易知过点， 因为分别为的中点， 所以，又在平面内，在平面外，所以平面, 即点就是点， 由（1）知面，在面内， 所以，又， 是平面内两条相交直线， 所以面，在面内， 所以，又， 所以为二面角的平面角， 因为, 所以， 所以二面角的大小为. 【解析】 【分析】（1）通过条件证明面，进而证明面，即可求解； （2）以为临边，构造矩形,通过中位线可说明点即为点，再通过二面角平面角的概念求得为二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. （1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； （2）若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； （3）已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出. 【答案】（1） （2） （3）先派出甲 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解； （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3，利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布，再结合期望公式求解； （3）分别计算出依次派甲乙丙进行闯关和依次派丙乙甲进行闯关，所派出人员数目的期望，再利用作差法比较大小即可． 【小问1详解】 设事件表示“该小组比赛胜利”， 则； 【小问2详解】 由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布为： 所以； 【小问3详解】 若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为， 由（2）可知，， 若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为， 则， 则 ， 因为，所以，， 所以，即， 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲． 18. 已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． （1）求的方程； （2）求直线与的斜率之积； （3）设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2） （3）证明：（方法一）由（2）知，，因为，所以． 设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为， 再将，代入得：得， 即， 所以， 因为直线不过点，所以，所以， ，化简整理得，解得， 所以直线的方程为，故直线恒过定点． （方法二）设直线的方程为，代入， 得， 则且，即且． 设（且），则，． 因为，所以，即， 整理得， 由，所以，得， 所以， ，整理得， 因为等式恒成立，所以，解得． 所以直线的方程为，故直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质可得双曲线的基本量，进而可得双曲的方程； （2）设，根据点在双曲线上及斜率的定义可得； （3）方法一：先设直线的方程为，由（2）的分析得，进而可得，再由斜率的坐标运算公式及根与系数关系代入化简得，从而可得直线过定点；方法二：先设直线的方程为，再由条件及根与系数关系可得恒成立，得，从而可得及直线过定点. 【小问1详解】 由经过点，得． 由，又因为双曲线一条渐近线与直线平行， 所以，则，故的方程为． 【小问2详解】 设，则，即， 因为，， 所以， 故直线与的斜率之积为． 【小问3详解】 略 19. 设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”； （2）若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； （3）已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【答案】（1）没有，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可； （2）根据一次函数的单调性，结合“性质”的特性进行求解即可； （3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质”的特性进行运算证明即可. 【小问1详解】 函数不具有“性质”，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； 【小问2详解】 因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； 【小问3详解】 充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高中二年级第二学期期末考试 数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（ ） A. 7 B. 9 C. 11 D. 12 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 5 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线如图所示，则＝（ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. －1 5. 已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知是函数的一个极值点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 19 8. 已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ） A. 的虚部是 B. 的共轭复数是 C. 在复平面内对应的点在第二象限 D. 10. 已知点是圆上一动点，点，点，则（ ） A. 点到直线的距离的最大值为 B. 满足的点有2个 C. 过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 D. 的最小值是 11. 已知点是棱长为2的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围为 C. 当在底面上运动，且的中点为，若，则的最小值为 D. 使直线与平面所成角的大小为的点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若椭圆的焦距是2，则其离心率为______． 13. 如图为函数的局部图象，其中为函数的一个最高点，为函数与轴的一个交点，则的值为________. 14. 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角对边分别为，且． （1）求A； （2）若，，求的面积． 16. 图1所示的平行四边形中，，现将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，记棱的中点为，且.. （1）求证：； （2）记棱的中点为，是否在直线上存在点，使得平面？请说明理由，并求出二面角的大小. 17. 某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. （1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； （2）若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； （3）已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出. 18. 已知点，，双曲线的方程经过点，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． （1）求的方程； （2）求直线与的斜率之积； （3）设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 19. 设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. （1）判断函数是否具有“性质”； （2）若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； （3）已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $