第08讲 直线的交点坐标与距离公式 讲义-2026年新高二暑假数学人教A版选择性必修第一册

第08讲直线的交，点坐标与距离公式 目录 知识点1两条直线的交点坐标…。 …2 知识点2两点间的距离公式 2 知识点3点到直线的距离公式 2 知识点4两条平行直线间的距离.3 题型一 两直线的交点问题 ….4 题型二 直线的交点系方程 题型 两点的距离问题， .5 题型四 两点距离中的最值问题 .6 题型五 点到直线的距离问题 7 题型六 平行直线的距离问题8 题型七 直线的对称问题 题型八 将军饮马问题 12 1 学习新知 知识点1两条直线的交点坐标 1.两条直线的交点坐标 已知两条直线：4x+B,y+C=0,:Ax+B,y+C,=0相交，设这两条直线的交点 为P,则点P既在直线上，也在直线上.所以点P的坐标既满足直线的方程 Ax+By+C=0,也满足直线的方程4，x+B,y+C,=0,即点P的坐标是方程组 Ax+By+C=0 Ax+B2y+C2=0 的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标。 2.方程组解的组数与两条直线的位置关系 Ax+By+C=0 Ax+B3y+C2=0 一组 无数组 无解 方程组 的解 直线1与2的位置关系 相交 重合 平行 知识点2两点间的距离公式 如图，平面上任意两点P(x),B(:,)间的距离公式为 y P 1PE=V(x2-x)2+02-y)月 特别地，原点0(0,0)与任一点P(x,y)的距离OPVx2+y 2 知识点3点到直线的距离公式 T面上任盒一点B,)到直线：++C=0的距离d-中B+C 42+B2 0 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点P%)到与x轴平行的直线y=bb≠0)的距离d=-,特别地，点 P(xoyo)到x轴的距离d=vol: ②点P(w)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=K-a,特别地，点 P)到y轴的距离d= 知识点4两条平行直线间的距离 1.两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长. 2.两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线1：Ax+By+C1=0(A2+B≠0)和12：Ax+By+C2=0( A+B≠0)间的距离d=1CC V√A2+B2 注意：当两直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决： 3 ①两直线都与x轴垂直时，x=:X=x'则=书-： ②两直线都与y轴垂直时'：y=,:y=则d=少- 经典题型 题型一两直线的交点问题 1.直线2r-+6= 与直线*y=3 交点坐标是（) A.30) 8.(14) c.36 D.4-) 2经过直线：y=-2x-和4y=2x+3 的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方 程为() A.2x+y+1=0B.x-4y+3=0C.4x+3y+1=0 D.3x+4y-1=0 3.(多选)若直线 :y=kx+3k-2,n2:x+y-3=0 与直线 的交点在第四象限，则实数的取 值可以是() 1 A.0 B.3 D.-1 4已知直线.x+3y+4=0 123x+y+6=0 直线： 的交点在轴上，则直线的斜率为 () A司 1 B.3 1 c.-3 5过直线+y+1=0与2x-y-4=0的交点，且一个方向向量为P=(L-3)的直线方程为 () A.3x+y-1=0 B.x+3y-5=0 C. x+y-3=0 D.x+3y+5=0 5 题型二直线的交点系方程 6平面直角坐标系x0中，过直线 :7x-3y+1=0,12:x+4y-3=0 与 的交点，且在轴上截 距为1的直线的方程为 (写成一般式) 7.求过直线2x-y+2=0和+y+1=0的交点，且斜率为3的直线方程. 题型三两点的距离问题 8已知点4化利，B(5利那么4B两点之间的距离等于 9已知点133a+3)与点B(a,3)之间的距离为5，则实数a的值为 10.已知△ABC的三个顶点的坐标是A-3,),B(3,-3),CL,). (1)判断△ABC的形状： (2)求△ABC的面积 6 题型四 两点距离中的最值问题 1.已知直线1过点1(4,2)且与x轴.y轴分别交于P0两点，则当MP40最小时，直线1的 斜率为() A.1 B.2 C.±2 D.1 12当点P-1,0)到直线1，(6+)r+(+1y-(42+2)=0 距离最大时，实数的值为( A.-1 B.1 C.-2 D.2 13.已知x,y为实数，代数式+12x+40++了+V-8y+20的最小值是 题型五点到直线的距离问题 14.原点到直线9x+12y-10=0间的距离是() A. 1 B.3 C.1 D.5 15.点P为y轴上一点，且点P到直线3x-4y+3=0的距离等于1，则点P的坐标为() A.0,2 B·(0,2) C.(0,2或(0,2) D.(0,或(0，-2) 16.已知1(-34)，8(6,3)两点到直线：x+y+1=0的距离相等，求a的值(） 9 17 17 A.3 B.7 C.3或9 D.3或9 17.在直线x-2y+1=0上求一点，使它到直线：x+3y-2=0的距离等于原点到1的距离，则 此点的坐标为 题型六平行直线的距离问题 18.平行直线3x+4y-5=0及3x+4y+5=0之间的距离是. 19.(多选)己知两条平行直线m,n,直线m:3x+4y+2=0,直线n:6x+8y+a=0,直线 m,n之间的距离为1，则a的值可以是() A.-8 B.-6 C.12 D.14 20.若动点 A(x,),B(x2,y2) 4:x+y-7=02:x+y-5=0 分别在直线 和 上移动，则AB的中点 M到原点距离的最小值为() A.3② B.2 Cv岭 D.4 310 21.(多选)若两条平行直线4：x+3y+m=0与2：2x+心y+9=0之间的距离是20，则 m+n的值可能为() A.3 B.9 C.12 D.15 9 题型七直线的对称问题 【僻题思路】 (1)点关于点：点Pc,)关于点Q@,D)的对称点P(x',Jy)满足 (2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (3)点关于线：点A(a,D)关于直线Ax+By+C=0(B≠0)的对称点A'(m,) 对称两点的直线与对称轴垂直 】 两对称点的中点在对称轴上 则有 (4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中 心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方 程，联立求解 22点(30 关于直线x-y+3=0 对称的点的坐标为() A.(36) B.(6,-3) C.(6,3) D.(3,6) 23.直线1：4+3y-2=0关于点1,1对称的直线方程为（) A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0 10 24.已知直线1与直线2x-3y+4=0关于直线x=1对称，则直线1的方程为 25.直线y=x+1关于直线y=2x对称的直线方程为（) A.3-y-1=0B.4x-y-2=0c.5x-y-30 。7x-y-5=0 26已知点112)关于直线'对称的点为8(6，)，则直线'的方程为《） A.4x+2y-5=0B.x-2y-5=0C.x+2y-5=0D.4x-2y-5=0 11 27.已知直线：y=3r+7,试求： P(2,5)关于直线的对称点的坐标： (1) (2)直线y=x+3关于直线I对称的直线方程： 6)直线1关于点4(4,2)对称的直线方程. 28.一条光线从 P(6,4) 射出，经直线'=x-后反射，反射光线经过点 (2,0) 则反射光线所 在直线方程为 12 题型八将军饮马问题 29.“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句， 诗句中隐含着一个著名的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后， 从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总 路程最短？己知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点O(0,0),将军从山脚下的 点P,)处出发返回军营，河岸线所在直线方程为x-y+2=0.则返回总路程最短为 30.已知实数x,y满足x+y+1=0,则V-+0-+c-2+少的最小值为() A v5 B,2V2 c vio D.2V5 13 第08讲 直线的交点坐标与距离公式 目录 知识点1 两条直线的交点坐标 2 知识点2 两点间的距离公式 2 知识点3 点到直线的距离公式 2 知识点4 两条平行直线间的距离 2 题型一 两直线的交点问题 4 题型二 直线的交点系方程 6 题型三 两点的距离问题 7 题型四 两点距离中的最值问题 8 题型五 点到直线的距离问题 9 题型六 平行直线的距离问题 10 题型七 直线的对称问题 12 题型八 将军饮马问题 16 01 学习新知 知识点1 两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 已知两条直线相交，设这两条直线的交点为，则点既在直线上，也在直线上．所以点的坐标既满足直线的方程，也满足直线的方程，即点的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． 2．方程组解的组数与两条直线的位置关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线与的位置关系 相交 重合 平行 知识点2 两点间的距离公式 如图，平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 知识点3 点到直线的距离公式 平面上任意一点到直线：的距离. 注意：点到几种特殊直线的距离 ①点到与x轴平行的直线的距离，特别地，点到x轴的距离d=|y0|； ②点到与y轴平行的直线的距离，特别地，点到y轴的距离. 知识点4 两条平行直线间的距离 1．两条平行直线间的距离 两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． 2．两条平行直线间的距离公式 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 注意：当两直线都与轴(或轴)垂直时，可利用数形结合来解决： ①两直线都与轴垂直时，则； ②两直线都与轴垂直时则. 02 经典题型 题型一 两直线的交点问题 1. 直线与直线的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】……① ……② ①+②得：……③ ③代入②有：……④ 由③④得交点坐标为：. 故选：B. 2. 经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，解得，即所求方程的直线过点， 令直线的倾斜角为，则，显然是锐角， 因此所求方程的直线斜率， 所以所求的直线方程为，即. 故选：C 3. （多选）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】AC 【详解】联立方程， 解得 ， 因为交点在第四象限， 可得，解得 故选：AC. 4. 已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在直线方程中，令，得， 即直线与轴的交点为， 因为点在直线上，所以，即， 所以：，即，所以直线的斜率为. 故选：D. 5. 过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，解得，即直线与的交点坐标为， 而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即. 故选：A 题型二 直线的交点系方程 6. 平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 7. 求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 题型三 两点的距离问题 8. 已知点，，那么两点之间的距离等于 . 【答案】3 【解析】因为点，，则，所以两点之间的距离等于3.故答案为：3. 9. 已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为 ． 【答案】或 【详解】， 化简为，解得：或. 故答案为：或 10. 已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形.（2）由（1）得. 题型四 两点距离中的最值问题 11. 已知直线过点且与轴､轴分别交于两点，则当最小时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知：直线斜率存在且不为，可设， 令，解得：，即；令，解得：，即； ，， （当且仅当，即时取等号）， 即当时，取得最小值. 故选：A. 12. 当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】直线l：， 整理得， 由，可得，故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得故选：B. 13. 已知，为实数，代数式的最小值是 . 【答案】10 【详解】 设点， 则 ， 当且仅当分别为连线与两坐标轴的交点时，等号成立. 故答案为：10. 题型五 点到直线的距离问题 14. 原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】原点到直线间的距离是：.故选：A 15. 点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【解析】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或.故选：C. 16. 已知，两点到直线的距离相等，求a的值（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 17. 在直线上求一点，使它到直线的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为 . 【答案】或 【详解】设直线上的点为， 点直线的距离为， 原点到l的距离为， 所以，解得或， 所以此点的坐标为或.故答案为：或. 题型六 平行直线的距离问题 18. 平行直线及之间的距离是 ． 【答案】 【详解】平行直线及之间的距离. 故答案为： 19. （多选）已知两条平行直线，，直线，直线，直线，之间的距离为1，则的值可以是（    ） A． B． C．12 D．14 【答案】BD 【详解】将直线化为， 则，之间的距离， 即，解得或． 故选：BD． 20. 若动点分别在直线和上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】由题意，知点M在直线与之间且与两直线距离相等的直线上， 设该直线方程为，则，即， ∴点M在直线上， ∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线的距离，即. 故选：A. 21. （多选）若两条平行直线：与：之间的距离是，则的值可能为（    ） A．3 B．9 C．12 D．15 【答案】BC 【详解】由题意知，解得，所以：， 又：，即， 所以，解得或， 所以或． 故选：BC． 题型七 直线的对称问题 【解题思路】 (1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 (2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (3)点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n) 则有 (4)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解 22. 点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为.故选：D. 23. 直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【解析】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 24. 已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】直线取两点， 则它们关于对称的点为在直线上， 故直线的斜率为， 则直线的方程为，即. 故答案为： 25. 直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 26. 已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即.故选：D 27. 已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为，再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得，即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为，化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 28. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【详解】设关于的对称点， 则有，解得，即， 反射光线所在直线为：， 整理得：. 故答案为： 题型八 将军饮马问题 29. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    30. 已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：    设点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以对称点为，则 由图知：的最小值为， 故选：D 学科网（北京）股份有限公司 $