第10讲 圆的方程（知识详解+9典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选择性必修第一册）

第10讲 圆的方程（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：圆的标准方程 知识点02：点与圆的位置关系 知识点03：圆的一般方程的辨析 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由圆心(或半径)求圆的方程 题型02：求过已知三点的圆的标准方程 题型03：由标准方程确定圆心和半径 题型04：圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型05：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型06：求圆的一般方程 题型07：轨迹问题--圆 题型08：判断点与圆的位置关系 题型09：点与圆的位置关系求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 【例1】已知圆的圆心为 ，且圆经过定点 ，求该圆的标准方程。 解：步骤1：明确解题思路，已知圆心，只需计算半径 圆的半径 为圆心 到圆上点 的距离，由两点间距离公式： 步骤2：代入坐标计算半径 步骤3：代入圆的标准方程公式 将 代入 可得圆的标准方程： 【知识点02】点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P（） 设d＝|PC|＝ 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【例2】已知圆的方程为 ，判定点 、、 与圆的位置关系。 解：由圆的方程可知：圆心 ，半径平方 步骤1：判定点 满足小于关系，故点A在圆内。 步骤2：判定点 满足相等关系，故点B在圆上。 步骤3：判定点 满足大于关系，故点C在圆外。 【知识点03】圆的一般方程的辨析 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点（） D2＋E2－4F>0 表示以（）为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 【例3】辨析方程 是否为圆的方程，若是，求出圆心坐标和半径。 解：步骤1：化简方程，统一二次项系数 方程两边同时除以2，化为标准一般式： 可得： 步骤2：验证圆的充要条件 二次项系数相等、无项，计算判别式： 满足条件，该方程表示圆。 步骤3：计算圆心和半径 圆心坐标： 半径：. 【题型01】由圆心(或半径)求圆的方程 【典例1-1】（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为 【变式1-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点，则以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 【变式1-2】（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相切于点，则圆C的标准方程是_____. 【答案】/ 【分析】设圆心坐标为，半径为，依题意求出，从而求出圆的标准方程. 【详解】设圆心，半径为， 由题意，，则， 则圆的标准方程为：， 故答案为：. 【变式1-3】已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线上的圆的标准方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）周长最小即圆的半径最小，求出圆心和半径，即可求解圆的标准方程； （2）先求出AB的垂直平分线，然后联立方程求解圆心坐标，利用两点距离求解半径，即可求解圆的标准方程. 【详解】（1）当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小， 即圆心为线段AB的中点，半径为． 则所求圆的标准方程为． （2）由题意可知，圆心在AB的垂直平分线上， 由（1）知AB的中点，斜率为， ∴AB的垂直平分线为，即， 又∵圆心也在直线上，∴圆心是这两条直线的交点， ∴ ，解得，即圆心的坐标是， ∴半径， ∴所求圆的标准方程是． 【题型02】求过已知三点的圆的标准方程 【典例2-1】已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 【变式2-1】（25-26高二上·四川成都·期中）过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆的标准方程，代入三点坐标组成方程组求解即可. 【详解】设圆的方程为，代入可得： ，即， 解得，所以所求圆的标准方程为. 故选：C 【变式2-2】（25-26高二上·湖南湘潭·期中）过三点的圆的标准方程为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出圆心坐标及半径，进而求出圆的标准方程. 【详解】以点为端点的线段的中垂线的方程为，以点为端点的线段的中垂线方程为， 则过三点的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的标准方程为. 故答案为： 【变式2-3】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程：过三点、、的圆； 【答案】 【分析】待定系数法求解圆的方程. 【详解】设圆的标准方程为， 根据题意，，解得， 所以圆的标准方程为 【题型03】由标准方程确定圆心和半径 【典例3-1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的标准方程求得圆心和半径. 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：B 【变式3-1】（多选）对于圆，下列说法正确的为（    ） A．圆C的圆心为 B．圆C的圆心为 C．圆C的半径为2 D．圆C的半径为 【答案】BD 【分析】根据圆的标准方程可得答案. 【详解】因为圆，所以圆C的圆心为，圆C的半径为. 故选：BD. 【变式3-2】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）圆的圆心坐标为__________. 【答案】 【分析】由圆的标准方程即可直接求得圆心坐标. 【详解】由题意可得圆心坐标为. 故答案为：. 【变式3-3】写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. 【答案】①；② 【分析】①根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程②先求出圆的半径，可得圆的标准方程． 【详解】①圆心在，半径长是，故圆的标准方程为． ②圆心在，且经过点，故半径为， 故圆的标准方程为． 【题型04】圆的一般方程与标准方程之间的互化 【典例4-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得圆心和半径. 【详解】由题可知圆的标准方程为，所以圆心为，半径为． 故选：D. 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）若圆的半径小于，则的取值可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】BC 【分析】将圆的方程写出标准式，即可求解. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 由可得. 故选：BC 【变式4-2】（25-26高二上·河北沧州·期末）若圆的面积为，则实数的值为__________. 【答案】2 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，再根据圆的面积推出半径，列出方程即可得解. 【详解】由题意得圆的方程可以化为， 又因为圆的面积为，所以圆的半径为3， 可得，解得. 故答案为：2. 【变式4-3】写出下列圆的圆心坐标和半径： (1)； (2)． 【答案】(1)圆心为，半径为3； (2)圆心为，半径为. 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可确定圆心坐标和半径. 【详解】（1）圆的标准方程为，所以圆心为，半径为3. （2）圆的标准方程为，所以圆心为，半径为. 【题型05】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【典例5-1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 【变式5-1】（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程的要求列不等式求解即可. 【详解】方程表示一个圆，则，解得. 故选：D. 【变式5-2】（多选）（24-25高二上·广西南宁·期中）若是一个圆的方程，则实数可取的值有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据二元二次方程表示圆的充要条件直接构造不等式即可. 【详解】是一个圆的方程，，解得：， 实数可取的值有和. 故选：CD. 【变式5-3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）若方程表示圆，则a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】根据一般方程表示圆可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为方程表示圆，则，解得， 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型06】求圆的一般方程 【典例6-1】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 【变式6-1】（25-26高二上·全国·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【详解】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 【变式6-2】（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知圆经过，，，则圆的一般方程为______. 【答案】 【分析】用待定系数法先设圆C的一般方程，再将圆C经过的点代入方程求出未知量即可得解. 【详解】设圆C的一般方程为， 则由题可得，解得， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高二上·四川雅安·期中）分别根据下列条件，求圆的方程： (1)过点，，且圆心在直线上； (2)过、、三点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心坐标为，由，解出，可求得圆心和半径，得到圆的方程； （2）设直线的一般式方程，代入、、三点，求出系数即可. 【详解】（1）圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆过点，，则有 即，解得， 可得圆心坐标为，圆的半径， 所以圆的方程为. （2）设过、、三点的圆的方程为， 则有，解得， 故所求圆的方程为. 【题型07】轨迹问题--圆 【典例7-1】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 【变式7-1】（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点坐标，根据条件列出等式，可求出阿氏圆方程，得到半径，从而求出面积. 【详解】设，因为定点，， ，化简得：，即. 点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：. 故选：B 【变式7-2】（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 【答案】 【分析】设动点，根据两点间距离公式，列方程即可求解. 【详解】设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 【变式7-3】．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设，根据结合两点间距离公式运算求解即可； （2）设，根据中点可得，代入圆的方程运算求解即可. 【详解】（1）设， 由题意可知：，即， 则，整理可得， 所以动点的轨迹方程为； （2）设， 因为点为线段的中点，且，则， 又因为点在圆上运动， 则，可得， 所以点的轨迹方程为 【题型08】判断点与圆的位置关系 【典例8-1】（2026高二·全国·专题练习）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用韦达定理及点与圆的位置关系计算判断. 【详解】由是方程的两个不等实数根，得， 则， 所以点与圆外. 故选：C 【变式8-1】（2026高二·全国·专题练习）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 【变式8-2】（25-26高二·全国·寒假作业）给出以下五个点的坐标：①；②；③；④；⑤以上各点在圆上的是________（写出所有可能的序号）. 【答案】③⑤ 【分析】将根据点点距与半径的大小关系即可判断. 【详解】由于，故点在圆内， ，故点在圆内， ，故点在圆上， ，故点在圆内， ，故点在圆上， 故答案为：③⑤ 【变式8-3】已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 【答案】(1); (2)点在圆C上. 【分析】（1）结合已知条件，建立方程组，求解即可; （2）将点代入圆C的一般方程为,即可判断. 【详解】（1）由题意可得：因为圆,所以圆心， 因为圆心在直线上，半径长为，且圆心在第二象限. 所以，解得：, 故圆C的一般方程为：. （2）将点代入圆C的一般方程为, 得：，故点在圆C上. 【题型09】点与圆的位置关系求参数 【典例9-1】（25-26高二上·四川眉山·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解. 【详解】由点在圆的外部，可列不等式组： ，解得：， 故选：C. 【变式9-1】（多选）（25-26高二上·四川南充·期中）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】由点在圆：的外部，得， 解得或，则实数可能的值为，，. 故选：ABD 【变式9-2】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知点在圆内，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据二次方程表示圆以及点在圆内，列出不等式，即可求得答案. 【详解】由于圆，即， 故满足，则； 又点在圆内，故， 即，解得， 综上所述可知， 故答案为： 【变式9-3】（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 【答案】（1）① 答案见解析；②答案见解析；（2）． 【分析】（1）①②化圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得. （2）由点与圆的位置关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）①标准方程为，圆心为，半径为3； ②圆的标准方程为，圆心为，半径为. （2）由点在圆的内部， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 知识点01圆的标准方程 1. 核心定义与公式 在平面直角坐标系中，到定点距离等于定长的点的轨迹为圆。设定点（圆心）为，定长（半径）为，则圆的标准方程： 特殊情形：圆心在坐标原点，圆的标准方程： 2. 核心特征 方程直观：直接体现圆心坐标和半径，适用于已知圆心、半径的求值场景； 结构特点：均为二次且系数相同、无交叉项； 解题核心：求标准方程只需确定圆心和半径两个核心量。 知识点02点与圆的位置关系 1. 判定依据 设圆的标准方程为，圆心，平面内任意一点。通过比较点代入后的平方值与半径平方的大小判定位置，无需开方，计算更简便。 2. 三大判定公式 点在圆外：点到圆心距离大于半径 点在圆上：点到圆心距离等于半径 点在圆内：点到圆心距离小于半径 知识点03圆的一般方程 1. 标准形式与成立条件 圆的一般方程统一形式： 方程表示圆的充要条件： 2. 圆心与半径通用公式 当方程满足圆的条件时，圆心坐标： 圆的半径： 3. 方程图形分类辨析（易错点） ：表示圆心为、半径为的圆； ：方程退化为一个点（点圆，无几何圆图形）； ：无实数轨迹，不表示任何图形。 4. 二元二次方程表示圆的完整条件 对于一般二元二次方程，表示圆需同时满足3个条件： （二次项系数相等且不为0）； （无交叉项）； （判别式大于0）。 知识点04圆的两种方程互化方法 1. 标准方程 → 一般方程 将标准方程完全展开、去括号、合并同类项，整理为的形式即可。 2. 一般方程 → 标准方程 核心方法：配方法。分别对的二次项和一次项配方，将方程化为平方和形式，可快速读出圆心与半径。 知识点05核心公式汇总（微软标准） 公式用途 公式表达式 圆的标准方程 原点圆心圆方程 圆的一般方程 一般方程圆心坐标 一般方程半径公式 知识点06高频易错点总结 标准方程符号易错：对应圆心横坐标为，括号内符号与圆心坐标相反； 切勿默认平方和方程就是圆，必须验证； 点与圆位置关系判断，优先使用平方比较，规避开方运算带来的计算误差； 含系数的圆方程，需先化简为二次项系数为1的标准一般式，再计算圆心和半径。 一、单选题 1．（25-26高二下·甘肃天水·期中）圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 2．（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接运用圆的标准方程进行求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径为6， 所以圆的标准方程为. 故选：B 3．（25-26高二上·广东汕头·期中）圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程求解参数即可. 【详解】设该圆的标准方程为， 将代入方程，可得，解得， 得到圆的标准方程为，故C正确. 故选：C 4．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程转化成圆的标准方程结构即可求解. 【详解】由， 得， 解得.即m的取值范围是. 故选：D. 5．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用点到圆心的距离与半径的大小关系判断即可。 【详解】因为圆的标准方程是，所以圆心在原点，半径， 选项A， ，所以点在圆外； 选项B， ,所以点在圆上； 选项C， ,所以点在圆内； 选项D， ,所以点在圆上； 故选：C 6．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】首先根据题意得到的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点，即可求解. 【详解】设，，因为， 所以，， 化简得：，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆，去掉和两点. 到轴的最大距离为4， 所以的面积最大值为. 故选：B 7．（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆的一般式整理为标准式，写出圆的圆心以及半径，根据题意，建立不等式组，可得答案. 【详解】由，化简可得， 因为圆心在第二象限，则，所以， 解得，所以实数a的取值范围为. 故选：D. 8．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆上存在一点，在以为直径的圆外，即可求解. 【详解】依题意，，且圆上存在一点，在以为直径的圆外， 设以为直径的圆的圆心为，半径. 设圆的圆心为，则， 所以，则. 故选：D 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【分析】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【详解】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 10．（25-26高二·全国·寒假作业）若坐标原点在圆的内部，则实数的取值可以是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】AD 【分析】根据原点在圆内可建立不等式，求解即可. 【详解】由题意，得，解得， 结合选项，实数的取值可以是，1. 故选：AD. 11．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆的一般方程为，圆心坐标为，半径为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据圆的一般方程及所给圆心判断ABC，再配方后求圆的半径判断D. 【详解】因为圆的一般方程不含项，所以，故A正确； 因为圆心坐标为，所以，故BC正确； 由，可得， 所以圆的半径 ，故D错误． 故选：ABC 三、填空题 12．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在圆外（其中为常数），则实数的取值范围______ 【答案】或 【分析】先根据方程为圆的方程确定的范围，再根据已知条件点在圆外，将点的坐标代入圆的方程得不等式，解不等式求交集即可. 【详解】根据题意圆， 化为标准方程为：， 方程表示圆，则，整理有， 解得； 又因为点在圆外，则有，解得或； 以上两个集合取交集，得：或. 故答案为；或. 13．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】由曲线表示圆可得，从而可求出的取值范围. 【详解】因为方程表示的曲线是一个圆， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 14．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为__________. 【答案】 【分析】由中点坐标公式求出圆心和两点距离公式求出半径即可得解. 【详解】线段的中点为，则半径为， 则以线段为直径的圆的标准方程为. 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二上·河北唐山·阶段检测）平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？ 【答案】四点在同一个圆上（证明见解析） 【分析】以三点，求出圆的方程，再将点代入即可得出答案. 【详解】设过三点的圆的一般方程为. 将三点代入得：. 所以圆的一般方程为. 将点代入得：，满足方程. 所以四点在同一个圆上. 16．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知方程表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心和半径； 【答案】(1)； (2)圆心坐标为，半径为. 【分析】（1）由二元二次方程表示圆的条件列不等式求解； （2）配方得圆的标准方程后可得圆心坐标与半径. 【详解】（1）由题意，解得：， 所以的取值范围是； （2）圆的标准方程是， 圆心坐标为，半径为. 17．（25-26高二上·新疆喀什·期中）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由斜率关系和中点坐标求出弦的垂直平分线方程，再解出圆心坐标，然后得到圆的标准方程； （2）由两点间距离得到半径，再写出圆的标准方程即可； （3）由圆的一般方程利用待定系数法求解可得. 【详解】（1）由题，所以其垂线斜率，且AB中点为，即， 所以AB的垂直平分线方程为，即， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标， 所以圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 （2）圆心为，且经过点， 故圆的半径为， 故圆的标准方程为． （3）设圆的方程为， 则由题意， ∴圆的方程为：，标准方程为. 18．（25-26高二上·广东中山·阶段检测） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）线段的中点的坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即 由，解得，所以， , 所以圆的标准方程为. （2）设，，由于是线段的中点，已知， 则，即，所以， 将点的坐标代入圆的方程得， 整理得点的轨迹方程为：. 19．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 圆的方程（知识详解+9典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：圆的标准方程 知识点02：点与圆的位置关系 知识点03：圆的一般方程的辨析 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：由圆心(或半径)求圆的方程 题型02：求过已知三点的圆的标准方程 题型03：由标准方程确定圆心和半径 题型04：圆的一般方程与标准方程之间的互化 题型05：二元二次方程表示的曲线与圆的关系 题型06：求圆的一般方程 题型07：轨迹问题--圆 题型08：判断点与圆的位置关系 题型09：点与圆的位置关系求参数 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 注意点： (1)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上． 【例1】已知圆的圆心为 ，且圆经过定点 ，求该圆的标准方程。 【知识点02】点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P（） 设d＝|PC|＝ 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【例2】已知圆的方程为 ，判定点 、、 与圆的位置关系。 【知识点03】圆的一般方程的辨析 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点（） D2＋E2－4F>0 表示以（）为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. 【例3】辨析方程 是否为圆的方程，若是，求出圆心坐标和半径。 【题型01】由圆心(或半径)求圆的方程 【典例1-1】（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相切于点，则圆C的标准方程是_____. 【变式1-3】已知圆过点，． (1)求周长最小的圆的标准方程； (2)求圆心在直线上的圆的标准方程； 【题型02】求过已知三点的圆的标准方程 【典例2-1】已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·四川成都·期中）过点的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·湖南湘潭·期中）过三点的圆的标准方程为_____. 【变式2-3】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）求满足下列条件的曲线的标准方程：过三点、、的圆； 【题型03】由标准方程确定圆心和半径 【典例3-1】（25-26高二上·广东江门·阶段检测）圆，则圆的圆心坐标和半径分别为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（多选）对于圆，下列说法正确的为（    ） A．圆C的圆心为 B．圆C的圆心为 C．圆C的半径为2 D．圆C的半径为 【变式3-2】（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）圆的圆心坐标为__________. 【变式3-3】写出下列圆的标准方程： ①圆心为，半径是； ②圆心为，且经过点. 【题型04】圆的一般方程与标准方程之间的互化 【典例4-1】（25-26高二上·安徽·阶段检测）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（多选）（25-26高二上·河南·阶段检测）若圆的半径小于，则的取值可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式4-2】（25-26高二上·河北沧州·期末）若圆的面积为，则实数的值为__________. 【变式4-3】写出下列圆的圆心坐标和半径： (1)； (2)． 【题型05】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【典例5-1】（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·浙江温州·期末）若方程表示一个圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（24-25高二上·广西南宁·期中）若是一个圆的方程，则实数可取的值有（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）若方程表示圆，则a的取值范围为_______． 【题型06】求圆的一般方程 【典例6-1】（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·全国·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·江西宜春·阶段检测）已知圆经过，，，则圆的一般方程为______. 【变式6-3】（25-26高二上·四川雅安·期中）分别根据下列条件，求圆的方程： (1)过点，，且圆心在直线上； (2)过、、三点． 【题型07】轨迹问题--圆 【典例7-1】（25-26高二上·四川南充·阶段检测）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高二上·辽宁大连·期中）若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为_________. 【变式7-3】．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）（1）已知动点到定点的距离与到定点的距离之比为,求动点的轨迹方程； （2）已知圆，线段的一端点在圆上运动，另一个端点．求线段的中点的轨迹方程. 【题型08】判断点与圆的位置关系 【典例8-1】（2026高二·全国·专题练习）已知，是方程的两个不等实数根，则点与圆：的位置关系是（   ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【变式8-1】（2026高二·全国·专题练习）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高二·全国·寒假作业）给出以下五个点的坐标：①；②；③；④；⑤以上各点在圆上的是________（写出所有可能的序号）. 【变式8-3】已知圆，圆心在直线上，且圆心在第二象限，半径长为. (1)求圆C的一般方程； (2)判断和圆的位置关系． 【题型09】点与圆的位置关系求参数 【典例9-1】（25-26高二上·四川眉山·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（多选）（25-26高二上·四川南充·期中）若点在圆：的外部，则实数可能的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26高二上·江西南昌·期中）已知点在圆内，则实数m的取值范围是__________. 【变式9-3】（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 知识点01圆的标准方程 1. 核心定义与公式 在平面直角坐标系中，到定点距离等于定长的点的轨迹为圆。设定点（圆心）为，定长（半径）为，则圆的标准方程： 特殊情形：圆心在坐标原点，圆的标准方程： 2. 核心特征 方程直观：直接体现圆心坐标和半径，适用于已知圆心、半径的求值场景； 结构特点：均为二次且系数相同、无交叉项； 解题核心：求标准方程只需确定圆心和半径两个核心量。 知识点02点与圆的位置关系 1. 判定依据 设圆的标准方程为，圆心，平面内任意一点。通过比较点代入后的平方值与半径平方的大小判定位置，无需开方，计算更简便。 2. 三大判定公式 点在圆外：点到圆心距离大于半径 点在圆上：点到圆心距离等于半径 点在圆内：点到圆心距离小于半径 知识点03圆的一般方程 1. 标准形式与成立条件 圆的一般方程统一形式： 方程表示圆的充要条件： 2. 圆心与半径通用公式 当方程满足圆的条件时，圆心坐标： 圆的半径： 3. 方程图形分类辨析（易错点） ：表示圆心为、半径为的圆； ：方程退化为一个点（点圆，无几何圆图形）； ：无实数轨迹，不表示任何图形。 4. 二元二次方程表示圆的完整条件 对于一般二元二次方程，表示圆需同时满足3个条件： （二次项系数相等且不为0）； （无交叉项）； （判别式大于0）。 知识点04圆的两种方程互化方法 1. 标准方程 → 一般方程 将标准方程完全展开、去括号、合并同类项，整理为的形式即可。 2. 一般方程 → 标准方程 核心方法：配方法。分别对的二次项和一次项配方，将方程化为平方和形式，可快速读出圆心与半径。 知识点05核心公式汇总（微软标准） 公式用途 公式表达式 圆的标准方程 原点圆心圆方程 圆的一般方程 一般方程圆心坐标 一般方程半径公式 知识点06高频易错点总结 标准方程符号易错：对应圆心横坐标为，括号内符号与圆心坐标相反； 切勿默认平方和方程就是圆，必须验证； 点与圆位置关系判断，优先使用平方比较，规避开方运算带来的计算误差； 含系数的圆方程，需先化简为二次项系数为1的标准一般式，再计算圆心和半径。 一、单选题 1．（25-26高二下·甘肃天水·期中）圆的半径为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西宜春·期末）圆心为，半径为6的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东汕头·期中）圆心在轴上，且经过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南张家界·期末）已知圆的标准方程是，下列各点在圆内的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知，，动点满足，则面积的最大值为（    ） A．6 B．12 C．16 D．24 7．（25-26高二上·安徽·期中）若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知点，，圆：，若圆上存在点，使得为锐角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 10．（25-26高二·全国·寒假作业）若坐标原点在圆的内部，则实数的取值可以是（   ） A． B．2 C． D．1 11．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆的一般方程为，圆心坐标为，半径为，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知点在圆外（其中为常数），则实数的取值范围______ 13．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是________． 14．（25-26高二上·江西赣州·阶段检测）已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程为__________. 四、解答题 15．（24-25高二上·河北唐山·阶段检测）平面直角坐标系中有，，，四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？ 16．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知方程表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心和半径； 17．（25-26高二上·新疆喀什·期中）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 18．（25-26高二上·广东中山·阶段检测） 已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆C上运动，求线段AB中点P的轨迹方程. 19．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $